CC BY
37
УДК 512.54
Вестник СибГАУ Т. 16, № 3. С. 618-623
ГРУППЫ ШУНКОВА
В. И. Сенашов
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: [email protected]
Представлены результаты изучения класса сопряжено бипримитивно конечных групп, получившего название групп Шункова. Условие конечности в таких группах накладывается на подгруппы, порожденные двумя сопряженными элементами в группе и ее сечениях по конечным подгруппам. Приводятся результаты, касающиеся групп Шункова. Показана связь класса групп Шункова с классами черниковских групп, групп Алёшина, почти слойно конечных групп, периодических групп. Доказываются два результата, устанавливающие свойства групп Шункова. Доказана замкнутость класса групп Шункова относительно взятия подгрупп и факторгрупп по конечным подгруппам. В. П. Шунков в своей первой теореме, посвященной классу групп Шункова, установил их связь с группами Черникова в классе примарных групп. Далее группы Шункова изучаются совместно с условием минимальности для абелевых подгрупп, с условием примарной минимальности и с различными условиями для систем подгрупп. В. П. Шунков установил существование бесконечной абелевой подгруппы в произвольной бесконечной группе Шункова. А. И. Созутов описал строение неинвариантного множителя группы Шункова, являющейся группой Фробениуса и группа Шункова, составляющей с собственной подгруппой пару Фробениуса. Изучается строение периодических групп Шункова с черниковскими силовскими 2-подгруппами. Несколько авторов установили взаимосвязи групп Шункова с близкими классами групп. Доказано существование групп Шункова, не обладающих периодической частью. А. В. Рожков при помощи техники работы с автоморфизмами деревьев разделил между собой бесконечное множество классов подгрупп, обобщающих понятие группы Шункова, путем переноса условия конечности с подгрупп, порожденных двумя сопряженными элементами, на подгруппы, порожденные любыми ее п-сопряженными элементами. Результаты по группам Шункова с условием насыщенности, интенсивно изучаемые в последнее время, не вошли в данную работу, поскольку их можно найти в обзоре А. А. Кузнецова и К. А. Филиппова в «Сибирских электронных математических известиях». Результаты статьи найдут применение при изучении бесконечных групп с условиями конечности.
Ключевые слова: группа, инволюция, условие конечности, группа Шункова.
Vestnik SibGAU Vol. 16, No. 3, P. 618-623
SHUNKOV GROUPS
V. I. Senashov
Institute of Computational Modelling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation Siberian Federal University 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: [email protected]
The paper is devoted to the study of a class of conjugately biprimitively finite groups named as groups of Shunkov. Finiteness condition in such groups is superimposed on the subgroup generated by two conjugate elements of the group and group sections on finite subgroups. The paper presents results concerning groups of Shunkov. The relations between the class of groups of Shunkov with classes of groups of Chernikov, groups of Aleshin, almost layer-finite groups and periodic groups are shown. We have proven two results establishing the properties of groups of Shunkov. V. P. Shunkov in his first theorem dedicated to the class of groups of Shunkov established their connection with Chernikov groups in the class of primary groups. Further the groups of Shunkov together with the minimal condition for Abelian subgroups, with a primary minimality condition and with different conditions for systems of subgroups are studied. V. P. Shunkov establishes the existence of infinite Abelian subgroups in an arbitrary infinite Shunkov group. A. I. Sozutov described the structure of complement of group of Shunkov which is a Frobenius group or constituting
a Frobenius pair with a proper subgroup. The structure of periodic groups of Shunkov with Chernikov Sylow 2-subgroups was studied. Several authors have established relationships of Shunkov groups with similar classes of groups. The existence of Shunkov groups without periodic part was proved. A. V. Rozhkov using techniques for working with automorphisms of trees divided an infinite set of classes of subgroups, generalizing the concept of Shunkov group by transferring finiteness conditions from the subgroup generated by two elements conjugate to the subgroup generated by any of its n conjugate elements. The results on Shunkov groups with the condition of saturation have been intensively studied in recent years were not included in this work because they can be found in the review of A. A. Kuznetsov and K. A. Filippov in the Siberian Electronic Mathematical News. Our results will be used in the study of infinite groups with finiteness conditions.
Keywords: group, involution, finiteness condition, group of Shunkov.
Введение. Под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существует хотя бы одна бесконечная группа, которая этим свойством не обладает [1]. Примерами свойств такого рода являются локальная конечность, локальная нормальность, конечность всех классов сопряженных элементов, конечность всех убывающих цепей подгрупп (условие минимальности для подгрупп) и многие другие свойства. Систематическое изучение групп с теми или иными условиями конечности началось в конце 30-х гг. ХХ в. и в значительной степени было связано с исследованием специальных групп и близких к ним локально разрешимых групп с условием минимальности для подгрупп С. Н. Черниковым [2; 3] в 1939, 1940 гг.
Владимир Петрович Шунков уже десять лет назад указал на связь теории групп с космической отраслью. Как будто предчувствуя заказ на эту связь его теории с космосом, в 2005 г. он написал работу «Теория групп и космос» [4]. В работе 1970 г. [5] В. П. Шунков использует термин «бипримитивно конечные группы» для класса групп, ставших в настоящее время классом групп Шункова, но только для периодических групп, и сечения берутся по экстремальным (черниковским) подгруппам.
Определение. Пусть G - периодическая группа, р -некоторое простое число, удовлетворяющее условию: если H подгруппа из G, N - инвариантная экстремальная подгруппа в H, то в фактор-группе H/N любые два элемента порядка p порождают конечную подгруппу. Тогда G назовем бипримитивно конечной относительно р.
Если G бипримитивно конечна относительно любого р en(G), то группа G в 1970 г. называлась
бипримитивно конечной.
В дальнейшем понятие совершенствовалось, и в окончательном виде, который используется и теперь, закрепилось следующее определение.
Определение. Группа G называется сопряженно q-бипримитивно конечной, если для любой ее конечной подгруппы H в фактор-группе NG (H) / H любая
пара сопряженных элементов порядка q порождает конечную подгруппу.
В частности, любая периодическая группа сопряженно 2-бипримитивно конечна.
Если группа G является сопряженно q-биприми-тивно конечной относительно любого простого числа
q ел (О), то О называется сопряженно бипримитивно конечной группой.
В это же время были введены условия.
Определение. Группа называется слабо q-биприми-тивно конечной, если ее два любых элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.
Определение. Группа называется слабо биприми-тивно конечной, если ее два любых элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.
Определение. Группа называется слабо q-сопря-женно бипримитивно конечной, если ее два любых элемента простого порядка q, сопряженных между собой, порождают конечную подгруппу.
Определение. Группа называется слабо сопряженно бипримитивно конечной, если ее два любых элемента простого порядка, сопряженных между собой, порождают конечную подгруппу.
Понятие сопряженно бипримитивно конечной группы в последнем варианте введено Владимиром Петровичем Шунковым в 1975 г. в тезисах доклада на Всесоюзном алгебраическом симпозиуме. Ссылка на этот факт имеется в работе А. Н. Остыловского [6].
Намек на появление нового термина для класса сопряженно бипримитивно конечных групп сделал сам В. П. Шунков. Когда в 1975 г. Д. И. Зайцев высказал мысль о громоздком названии этого класса групп, Владимир Петрович ответил в шутку: «Так назовите их группами Шункова». Но тогда этот класс еще не получил достаточного применения и использовался только в работах автора и трех его учеников.
В 80-е годы ХХ в. ситуация сильно изменилась: класс сопряженно бипримитивно конечных групп упоминался уже во многих докладах на международных конференциях, десятки ученых посвящали этому классу групп свои статьи, защищались диссертации. И уже на заседании диссертационного совета официально отметили, что пора бы подумать о более приемлемом названии для широко используемых групп.
В самом начале ХХ1 в. В. Д. Мазуров предложил назвать сопряженно бипримитивно конечные группы группами Шункова. И постепенно, то в одной статье, то в другой термин заменялся на новый. И теперь уже трудно встретить старый термин, а термин «группы Шункова» стал таким же естественным, как термин «группы Черникова».
Определение. Группа называется группой Шункова, если для любой ее конечной подгруппы Н в факторгруппе N0 (Н) / Н любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.
В настоящее время группы Шункова встречаются в работах А. А. Дуж, Л. Гамуди, В. О. Гомера, М. Н. Ив-ко, А. Н. Измайлова, Ал. Н. Остыловского, А. Н. Ос-тыловского, И. И. Павлюка, А. М. Попова, А. В. Рож-кова, А. Г. Рубашкина, Е. И. Седовой, В. И. Сенашова,
A. И. Созутова, Н. Г. Сучковой, А. В. Тимофеенко, Г. А. Трояковой, К. А. Филиппова, А. А. Черепа, Н. С. Черникова, А. А. Шафиро, А. К. Шлепкина,
B. П. Шункова.
Результаты по группам Шункова. Первым результатом В. П. Шункова, касающимся класса бипри-митивно конечных групп, является следующая теорема.
Теорема 1 (В. П. Шунков [5]). Если в биприми-тивно конечной /»-группе централизатор некоторого элемента простого порядка - экстремальная группа, то сама группа экстремальна.
Напомним, что экстремальным называлась во время написания статьи В. П. Шункова конечное расширение абелевой группы с условием минимальности для подгрупп (в дальнейшем эти группы получили название черниковских или групп Черникова).
Теорема 2 (В. П. Шунков [5]). Если бипримитивно конечная /-группа (а при р = 2 произвольная 2-группа) обладает конечной максимальной элементарной абелевой подгруппой, то группа экстремальна.
Следствие (В. П. Шунков [5]). Если бипримитивно конечная /-группа (а при р = 2 произвольная 2-группа) удовлетворяет условию минимальности для абелевых подгрупп, то она экстремальна.
Теорема 3 (В. П. Шунков [7]). Бесконечная би-примитивно конечная группа содержит собственную бесконечную абелеву подгруппу.
Теорема 4 (А. И. Созутов, В. П. Шунков [8]). Би-примитивно конечная группа, у которой все собственные бесконечные подгруппы абелевы, локально конечна.
Отметим один результат М. В. Носкова, обобщающий предыдущую теорему А. И. Созутова и В. П. Шун-кова.
Теорема 5 (М. В. Носков [9]). Бипримитивно конечная группа О с собственными бесконечными подгруппами нильпотентности класса < 2 локально конечна.
Чтобы множество групп считалось классом групп, необходима замкнутость его относительно взятия подгрупп и фактор-групп. Докажем две теоремы в этом направлении:
Теорема 6. Класс групп Шункова замкнут относительно взятия подгрупп.
Доказательство. Пусть Н - подгруппа группы Шункова О. В группе Н подгруппы, порожденные сопряженными элементами простого порядка, являются подгруппами группы О, поэтому они конечны. В фактор-группе Ын (К) / К по конечной подгруппе К
подгруппы, порожденные двумя сопряженными элементами простого порядка, являются подгруппами группы N0 (К)/ К , поэтому также конечны по определению группы Шункова. Следовательно, группа Н является группой Шункова. Теорема доказана.
Теорема 7. Класс групп Шункова замкнут относительно взятия фактор-групп по конечным группам.
Доказательство. Пусть К - конечная нормальная подгруппа группы Шункова О. В фактор-группе О = О/К подгруппы, порожденные сопряженными элементами простого порядка, конечны по определению группы Шункова.
В фактор-группе N0 (Н)/ Н по конечной подгруппе Н группы О рассмотрим два сопряженных элемента простого порядка а, а8. Поскольку они нормализуют подгруппу К, то их образы Ь, Ь8 в факторгруппе Ыо (НК) / НК , очевидно, имеют простой порядок и сопряжены по теореме 4.2.1 из [10]. Группа (Ь,Ь8) конечна по определению группы Шункова, тогда и группа (а, а8) также конечна, поскольку ее полный прообраз содержится в конечном полном прообразе группы (Ь,Ь8) в группе О. Теорема доказана.
Теорема 8 (А. Н. Остыловский, В. П. Шунков [11]). Пусть О - д-бипримитивно конечная группа со слабым условием минимальности для абелевых ^-подгрупп. Если в централизаторе любого нецентрального д-элемента силовские д-подгруппы сопряжены, то и в О силовские д-подгруппы сопряжены.
В работе [11] А. Н. Остыловский и В П. Шунков доказали, что в д-бипримитивно конечной группе со слабым условием минимальности силовские д-подгруппы сопряжены. В этой же работе ими для периодической бипримитивно конечной группы доказана эквивалентность слабого условия минимальности и условия минимальности.
В следующей теореме группа Шункова и группа Черникова связываются в классе групп без элементов второго порядка через условие минимальности для абелевых подгрупп.
Теорема 9 (А. Н. Остыловский, В. П. Шунков [11; 12]). Сопряженно бипримитивно конечная группа, не содержащая инволюций и удовлетворяющая условию минимальности для абелевых подгрупп, является разрешимой черниковской.
А. И. Созутов доказал существование да-порождён-ных бесконечных слабо бипримитивно конечных групп Фробениуса для т > 2 четного периода пд такого, что п/2 > 665, д - простое число, взаимно простое с п [13].
Приведем ряд результатов А. И. Созутова, характеризующих группы Шункова и близкий к ним класс групп слабо сопряжено бипримитивно конечных групп и бипримитивно конечных групп (включающих в себя группы Шункова).
Теорема 10 (А. И. Созутов [13; 14]). Слабо сопряженно бипримитивно конечная группа тогда и только тогда изоморфно вложима в группу регулярных автоморфизмов абелевой группы, когда все ее элементы простых порядков порождают локально конечную подгруппу Т одного из типов:
1) Т - локально циклическая группа;
2) Т = С х Б, где £ = Ж2(3), С - локально циклическая {2,3}'-группа;
3) Т = С х Б, Б = Ж2(5), С - локально циклическая {2,3,5}'-группа.
Теорема 11 (А. И. Созутов [13; 14]). В неинвариантном множителе Н слабо бипримитивно конечной группы Фробениуса элементы простых порядков порождают подгруппу типов 1-3 предыдущей теоремы.
Теорема 12 (А. И. Созутов [13; 14]). Пусть О - группа Шункова, Н - ее собственная подгруппа, содержащая неединичный элемент конечного порядка, и (0,Н) - пара Фробениуса. Тогда О обладает периодической частью Т, являющейся группой Фробе-ниуса с локально конечным неинвариантным множителем Н П Т.
Теорема 13 (А. И. Созутов [13; 14]). Неинвариантный множитель бипримитивно конечной группы Фробениуса обладает локально конечной периодической частью, изоморфно вложимой в группу регулярных автоморфизмов абелевой группы.
В. П. Шунков в 2003 г. охарактеризовал почти слойно конечные группы в классе локально конечных групп.
Теорема 14 (В. П. Шунков [15]). Локально конечная группа О тогда и только тогда почти слойно конечна, когда в О выполняется условие: нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы из О - почти слойно конечная группа.
Из этой теоремы В. П. Шункова берут начало ха-рактеризации почти слойно конечных групп в классе групп Шункова. Приведем одну из таких характери-заций.
Теорема 15 (В. И. Сенатов [16; 17]). Пусть группа Шункова О содержит сильно вложенную подгруппу, обладающую почти слойно конечной периодической частью. Если в О нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью, то и сама группа О обладает почти слойно конечной периодической частью.
Следующая теорема устанавливает строение бесконечной силовской 2-подгруппы в группах Шункова, не обладающих почти слойно конечной периодической частью, при условии, что нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью.
Теорема 16 (В. И. Сенатов [18]). Пусть в группе Шункова О, не обладающей почти слойно конечной периодической частью, нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью. Если некоторая силовская 2-подгруппа группы О бесконечна, то она является расширением квазициклической 2-группы при помощи обращающего автоморфизма.
Взаимоотношения класса почти слойно конечных групп с близкими классами групп установлены автором в [19].
Приведем результат Н. С. Черникова, устанавливающий связь между классами групп Шункова и Черникова.
Теорема 17 (Н. С. Черников [20]). Периодическая группа Шункова с условием минимальности для неабелевых подгрупп - черниковская.
А. К. Шлёпкин получил свойства групп Шункова с условием примарной минимальности.
Теорема 18 (А. К. Шлепкин [21]). Группа Шункова с условием примарной минимальности обладает локально конечной периодической частью.
Теорема 19 (А. К. Шлепкин [21]). Периодическая группа Шункова с условием примарной минимальности локально конечна и почти локально разрешима.
Н. Г. Сучкова совместно с В. П. Шунковым описывала группы Шункова с условием минимальности для абелевых подгрупп.
Теорема 20 (Н. Г. Сучкова, В. П. Шунков [22]). Всякая сопряженно бипримитивно конечная группа, удовлетворяющая условию минимальности для абе-левых подгрупп, является черниковской.
Теорема 21 (Н. Г. Сучкова, В. П. Шунков [23]). Пусть О - сопряженно бипримитивно конечная группа, содержащая инволюции, и С0 (/) - периодическая подгруппа для любой инволюции /. Если в группе О любая локально конечная подгруппа с инволюциями удовлетворяет минимальности для абелевых подгрупп, то О - черниковская группа.
Теорема 22 (Н. Г. Сучкова, В. П. Шунков [24]). Пусть / - автоморфизм порядка 2 периодической сопряженно бипримитивно конечной группы Т без инволюций. Если в Т все /-допустимые локально конечные подгруппы удовлетворяют условию минимальности для абелевых подгрупп, то Т - черников-ская группа.
Г. А. Троякова изучала строение периодических групп Шункова с черниковскими силовскими 2-под-группами.
Теорема 23 (Г. А. Троякова [25]). Пусть О - бесконечная периодическая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием: любая локально конечная подгруппа из О либо черниковская, либо локально нильпотентна. Если силовские 2-подгруппы из О -черниковские, то группа О либо черниковская, либо О/2(О) разлагается в прямое произведение силовских подгрупп.
М. Ю. Бахова в [26] установила существование бипримитивно конечной, но не бинарно конечной группы. А. А. Череп в [27] доказал, что существует бипримитивно конечная группа, не обладающая периодической частью, и в [28] он доказал, что для любого простого числа р существует бипримитивно конечная группа О такая, что п(О) = {р} и множество периодических элементов группы О не составляет подгруппу - ее периодическую часть.
Отметим, что А. А. Череп в [28] установил существование бипримитивно конечной группы О, обладающей нормальной элементарной абелевой подгруппой В такой, что фактор-группа О/В не является даже слабо сопряженно бипримитивно конечной. В то же время в этой же работе показано, что разрешимая сопряженно бипримитивно конечная группа бипри-митивно конечна.
То, что некоторые группы Алёшина не являются группами Шункова, установил А. В. Тимофеенко.
Теорема 24 (А. В. Тимофеенко [29]). Для любого простого числа р и каждого г > 2 существует несопряженно бипримитивно конечная финитно аппроксимируемая г-порожденная р-группа.
Недавно им совместно К. Гуптой удалось установить, какие из групп Голода являются группами Шун-кова, а какие нет.
Напомним, что группа называется сопряженно n-конечной, если любые ее n сопряженных элементов порождают конечную подгруппу. В следуюшей теореме устанавливается связь между классами сопряжено k-конечных групп и n-конечных групп для натуральных чисел n и k.
Теорема 25 (А. В. Рожков [30]). Пусть p - простое число, 1 < n < k - натуральные числа. Тогда существует конечно порожденная финитно аппроксимируемая сопряжено k-конечная, n-конечная, но не (n + ^-конечная p-группа. В частности, p-группа может быть не бинарно конечной, но сопряженно k-конечной, где k сколь угодно велико.
Группы Шункова с условием насыщенности в последнее время интенсивно изучаются в работах А. А. Дуж, А. А. Кузнецова, А. Г. Рубашкина, К. А. Филиппова, А. К. Шлепкина. С результатами этих авторов в данном направлении можно познакомиться в обзоре [31].
Заключение. Класс групп Шункова уже достаточно давно получил признание у специалистов по теории групп. Эта работа является первой работой, посвященной обзору результатов, касающихся групп Шункова. Показана связь класса групп Шункова с классами групп Черникова, групп Алёшина, почти слойно конечных групп, периодических групп. Результаты статьи найдут применение при изучении бесконечных групп с условиями конечности.
Благодарности. Работа выполнена при поддержке гранта Сибирского федерального университета (проект «Алгебро-логические структуры и комплексный анализ»).
Acknowledgments. This work was supported by the grant of the Siberian Federal University (Project -Algebra-logical structures and complex analysis).
Библиографические ссылки
1. Черников С. Н. Условия конечности в общей теории групп // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, № 5. С. 45-96.
2. Черников С. Н. Бесконечные специальные группы // Мат. сб. 1939. № 6. С. 199-214.
3. Черников С. Н. О группах с силовским множеством // Мат. сб. 1940. № 8. С. 377-394.
4. Шунков В. П. Теория групп и космос : препринт № 1. Красноярск : ИВМ СО РАН, 2005. 16 с.
5. Шунков В. П. Об одном классе p-групп // Алгебра и логика. 1970. Т. 9, № 4. С. 484-486.
6. Остыловский А. Н. Локальная конечность некоторых групп с условием минимальности для абелевых подгрупп // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, № 1. С. 63-73.
7. Шунков В. П. Об абелевых подгруппах бипри-митивно конечных групп // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, № 5. С. 603-614.
8. Созутов А. И., Шунков В. П. Об одном обобщении теоремы Фробениуса на бесконечные группы // Мат. сб. 1976. Т. 100, № 4. С. 495-506.
9. Носков М. В. О локальной конечности одного класса бипримитивно конечных групп // Исследования по теории групп / Ин-т физики CO PAH CCCP. Красноярск, 1975. С. 24-31.
10. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. 4-е изд. М. : Наука, 1996. 288 с.
11. Остыловский А. Н., Шунков В. П. О д-биприми-тивно конечных группах с условием минимальности для д-подгрупп // Алгебра и логика. 1973. Т.14, № 1. С. 61-78.
12. Остыловский А. Н., Шунков В. П. О локальной конечности одного класса групп с условием минимальности // Исследования по теории групп / Ин-т физики CO PAH CCCP. Красноярск, 1975. С. 32-48.
13. Созутов А. И. О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 4. С. 893-901.
14. Попов А. М., Созутов А. И., Шунков В. П. Группы с системами фробениусовых подгрупп. Красноярск : Изд-во КГТУ. 2004. 210 с.
15. Сенашов В. И., Шунков В. П. Почти слойная конечность периодической части группы без инволюций // Дискретная математика. 2003. Т. 15, № 3. С. 91104.
16. Сенашов В. И. О группах Шункова с сильно вложенной почти слойно конечной подгруппой // Труды ИММ УрО РАН. Т.16, № 3. 2010. С. 234-239.
17. Сенашов В. И. О группах с сильно вложенной подгруппой, обладающей почти слойно конечной периодической частью // Укр. мат. журн. 2012. Т. 64, № 3. С. 384-391.
18. Сенашов В. И. Строение бесконечной силов-ской подгруппы в некоторых группах Шункова // Вестник СибГАУ. 2013. № 1 (47). С. 74-79.
19. Сенашов В. И. Взаимоотношения почти слой-но конечных групп с близкими классами // Вестник СибГАУ. 2014. № 1 (53). С. 76-79.
20. Черников Н. С. Группы с условиями минимальности // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14, № 5. С. 219-235.
21. Шлепкин А. К. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, № 2. С. 226-231.
22. Сучкова Н. Г., Шунков В. П. О группах с условием минимальности для абелевых подгрупп // Алгебра и логика. 1986. Т. 25, № 4. С. 445-469.
23. Сучкова Н. Г. О некоторых сопряженно би-примитивно конечных группах. Красноярск, 1987, 21 c. Деп. в ВИНИТИ. 09.09.87, № 6627-В-87.
24. Сучкова Н. Г. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условием минимальности для некоторых абелевых подгрупп. Красноярск, 1989. 19 c. Деп. в ВИНИТИ. 11.05.89, № 3063-В-89.
25. Троякова Г. А. К теории черниковских групп // Тр. Ин-та математики АН Украины. Киев. 1993. С. 34-37.
26. Бахова М. Ю. Примеры бипримитивно конечных групп без инволюций // Тез. докл. 17 Всесоюз. алгебраич. конф. Минск, 1983. С. 17.
27. Череп А. А. О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно конечной группе // Алгебра и логика. 1987. Т. 26, № 4. С. 518-521.
28. Череп А. А. Группы с (^^-условием конечности : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск. 1993. 53 с.
29. Тимофеенко А. В. О 2-порожденных p-группах Голода // Алгебра и логика. 1985. Т. 24, № 2. С. 211225.
30. Рожков А. В. Условия конечности в группах автоморфизмов деревьев // Алгебра и логика. 1998. Т. 37, № 5. С. 568-605.
31. Кузнецов А. А., Филиппов К. А. Группы, насыщенные заданным множеством групп // Сибирские электронные математические известия. 2011. Т. 8. С. 230-246.
References
1. Chernikov S. N. [Finiteness conditions in the general theory of groups]. Uspekhi mat. nauk. 1959, Vol. 14, No. 5, P. 45-96 (In Russ.).
2. Chernikov S. N. [Infinite special groups]. Mat. Sbornik. 1939, No. 6, P. 199-214 (In Russ.).
3. Chernikov S. N. [On groups with Sylow set]. Mat. Sbornik. 1940, No. 8, P. 377-394 (In Russ.).
4. Shunkov V. P. [Group theory and space]. Preprint № 1. Krasnoyarsk : ICMSB RAS, 2005, 16 p.
5. Shunkov V. P. [On a class of p-groups]. Algebra i logika, 1970, Vol. 9, No. 4, P. 484-486 (In Russ.).
6. Ostylovsky A. N. [Local finiteness of some groups with minimal condition for Abelian subgroups]. Algebra i logika, 1977, Vol. 16, no 1, P. 63-73. (In Russ.).
7. Shunkov V. P. [On Abelian subgroups of biprimi-tively finite groups]. Algebra i logika, 1973, Vol. 12, No. 5, P. 603-614 (In Russ.).
8. Sozutov A. I., Shunkov V. P. [On a generalization of Frobenius' theorem to infinite groups]. Mat. Sbornik. 1976, Vol. 100, No. 4, P. 495-506 (In Russ.).
9. Noskov M. V. [On local finiteness of one class of biprimitively finite groups]. Vsb. "Issledovaniyapo teorii grupp". [In Proc. "Studies in the theory of groups"]. Krasnoyarsk, Institute of Physics of SB AS USSR Publ., 1975, P. 24-31.
10. Kargapolov M. I., Merzlyakov Y. I. Osnovy teorii grupp. 4-ye izd. [Fundations of the theory of groups]. 4th ed. Moscow, Nauka Publ., 1996, 288 p.
11. Ostylovsky A. N., Shunkov V. P. [On a biprimitively q-finite groups with minimal condition for ^-subgroups]. Algebra i logika, 1973, Vol. 14, No 1, P. 61-78 (In Russ.).
12. Ostylovsky A. N., Shunkov V. P. [On local finiteness of one class of groups with minimal condition]. V sb. "Issledovaniya po teorii grupp". [In Proc. "Studies in the theory of groups"]. Krasnoyarsk, Institute of Physics of SB AS USSR Publ., 1975, p. 32-48.
13. Sozutov A. I. [On the structure of non-invariant factor in some Frobenius groups]. Sib. mat. Zh. 1994, Vol. 35, No 4, P. 893-901 (In Russ.).
14. Popov A. M., Sozutov A. I., Shunkov V. P. Gruppy s sistemami frobeniusovykh podgrupp [Groups with systems of Frobenius subgroups]. Krasnoyarsk, KSTU Pabl., 2004, 210 p.
15. Senashov V. I., Shunkov V. P. [Almost layer-finiteness of the periodic part of a group without involutions]. Diskretnaya matematika. 2003, Vol. 15, No. 3, P. 91-104 (In Russ.).
16. Senashov V. I. [On Shunkov groups with a strongly embedded almost layer-finite subgroup]. Trudy
IMM UrO RAN. 2010, Vol. 16, No. 3, P. 234-239 (In Russ.).
17. Senashov V. I. [On groups with a strongly embedded subgroup with an almost layer-finite periodic part]. Ukrain. math. zhurn. 2012, Vol. 64, No. 3, P. 384-391.
18. Senashov V. I. [Structure of an infinite Sylow subgroup in some Shunkov groups]. Vestnik SibGAU. 2013, No. 1 (47), P. 74-79 (In Russ.).
19. Senashov V. I. [Relationship of almost layer-finite groups with similar classes]. Vestnik SibGAU. 2014, No. 1 (53), P. 76-79 (In Russ.).
20. Chernikov N. S. [Groups with minimal conditions]. Fundamental'naya i prikl. matematika. 2008, Vol. 14, No. 5, P. 219-235 (In Russ.).
21. Shlepkin A. K. [On conjugate biprimitively finite groups with a primary minimality condition]. Algebra i logika, 1983, Vol. 22, No. 2, P. 226-231 (In Russ.).
22. Suchkova N. G., Shunkov V. P. [On groups with minimal condition for Abelian subgroups]. Algebra i logika, 1986, Vol. 25, No. 4, P. 445-469 (In Russ.).
23. Suchkova N. G. O nekotorykh sopryazhenno biprimitivno konechnykh gruppakh [On some conjugately biprimitively finite groups]. Krasnoyarsk, 1987, 21 p. Manuscript Dep. VINITI. 9.9.87, N6627-B-87.
24. Suchkova N. G. O sopryazhenno biprimitivno konechnykh gruppakh s usloviem minimal'nosti dlya nekotorykh abelevykh podgrupp [On conjugate biprimitively finite groups with minimal condition for some Abelian subgroups]. Krasnoyarsk, 1989. 19 p. Manuscript Dep. VINITI. 11.05.89, N3063-B-89.
25. Troyakova G. A. [To the theory of Chernikov groups]. Tr. in-ta matematiki AN Ukrainy. [Proc. of Institute of Mathematics, Academy of Sciences of Ukraine]. Kiev, 1993, P. 34-37.
26. Bakhova M. Yu. [Examples of biprimitively finite groups without involutions]. Tez. dokl. 17 Vsesoyuzn. algebraich. konf. [Abstracts of 17 All-Union algebraic. Conf.]. Minsk, 1983, P. 17.
27. Cherep A. A. [On the set of elements of finite order in biprimitively finite groups]. Algebra i logika, 1987, Vol. 26, No 4, P. 518-521 (In Russ.).
28. Cherep A. A. Gruppy s (a,b)-usloviem konechnosti. Diss. Cand. Phys.-Mat. Sciences. [Groups with (a, b)-finiteness condition. Diss. Cand. Physics-mathematics sciences]. Krasnoyarsk, 1993.
29. Timofeenko A. V. [On 2-generated p-groups of Golod]. Algebra i logika, 1985, Vol. 24, No. 2, P. 211225 (In Russ.).
30. Rozhkov A. V. [Finiteness conditions in automorphism groups of trees]. Algebra i logika, 1998, Vol. 37, No. 5, P. 568-605 (In Russ.).
31. Kuznetsov A. A., Filippov K. A. [Groups saturated by a given set of groups]. Sibirskie elektronnye matematicheskie izvestiya. 2011, Vol. 8, P. 230-246 (In Russ.).
© Сенашов В. И., 2015
