CC BY
7
Серия «Математика» 2017. Т. 20. С. 96-108
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvest.ia.
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного ■университета
УДК 512.54 МЭС 20К01
Б01 https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.20.96 О периодических группах и группах Шункова, насыщенных группами диэдра и Лб *
А. А. Шлепкин
Сибирский федеральный университет
Аннотация. Группа, называется периодической, если любой ее элемент имеет конечный порядок. Группой Шункова. называется группа., в которой любая пара, сопряженных элементов порождает конечную подгруппу с сохранением этого свойства, при переходе к фактор-группам по конечным подгруппам. Группа. О насыщена, группами из множества, групп Л', если любая конечная подгруппа. К из О содержится в подгруппе группы С, изоморфной некоторой группе из Л'. В работе установлено строение периодических групп и групп Шункова., насыщенных множеством групп 9Л, состоящим из одной конечной простой неабелевой группы Аь и групп диэдра, с силовской 2-подгруппой порядка. 2. Доказано, что периодическая группа., насыщенная группами из 9Л, либо изоморфна, простой группе Аь, либо изоморфна, локально диэдральной группе с силовской 2-подгруппой порядка. 2. Также доказано существование периодической части группы Шункова., насыщенной группами из множества. 9Л, и установлена, структура, данной периодической части.
Ключевые слова: периодическая группа., насыщенность группы множеством групп, группа. Шункова..
1. Введение
Группа Н насыщена группами из множества групп X, если любая конечная подгруппа К из Н содержится в подгруппе группы О, изоморфной некоторой группе из X. Группы с условием насыщенности изучались различными авторами (см. обзор [3]). Одной из задач данного направления является изучение групп с насыщающим множеством,
* Работа, выполнена, при финансовой поддержке РФФИ, проект № 16-31-50030 и в рамках государственного задания Министерства, образования и науки РФ Сибирскому федеральному университету на. выполнение НИР в 2014 году, задание № 1.1462.2014/К
состоящим из конечных простых неабелевых групп. При решении этой задачи в различных классах групп возникла необходимость изучения групп с насыщающим множеством, состоящим не только из конечных простых неабелевых групп [16]. Другой задачей данного направления является изучение смешанных групп с насыщающим множеством, состоящим из конечных групп. В частности, в каких случаях данная группа будет обладать периодической частью? Особенно актуальна эта задача для групп Шункова, которые могут не обладать периодической частью [15].
В [7] получено описание периодических групп, насыщенных группами из множества состоящим из конечных простых неабелевых групп с силовской 2-подгруппой, содержащей все свои инволюции в своем центре. Естественно было получить обобщение этого результата на другие классы групп, в частности, на класс групп Шункова. При решении данной задачи возникла необходимость получения структуры централизатора инволюции г в группе К насыщенной группами из множества 3, где 3 — множество централизаторов инволюций в группах из множества 5Г. Одним из важных частных случаев решения этой задачи является разбор ситуации, когда множество 3 — состоит из групп, изоморфных группе (г) х либо группе диэда с силовской 2-подгруппой, являющейся четверной группой. Переходя к фактор-группе О = Ся(г)/{г} мы приходим к задаче установления структуры группы О с насыщающим множеством = 21и*В, где 21 = {А5} — множество, состоящее из одной группы © — множество, состоящее из конечных групп диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2.
В данной работе доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Периодическая группа О, насыщенная группами из множества ТХ, либо изоморфна группе либо изоморфна локально диэд-ральной группе с силовской 2-подгруппой порядка 2.
Теорема 2. Группа Шункова О, насыщенная группами из множества ТХ, обладает периодической частью Т(С), которая либо изоморфна группе либо изоморфна локально диэдральной группе с силовской 2-подгруппой порядка 2.
Несмотря на то, что доказательство теоремы 1 несложно получить, используя результаты работы [4], мы приводим его полностью для иллюстрации различия в технике доказательств при установлении структуры периодических групп и групп Шункова насыщенных, группами из одного множества.
2. Определения, известные факты, вспомогательные
утверждения
Определение 1. Группа О называется группой Шункова (сопряжен-но-бипримитивно конечной группой), если для любой конечной подгруппы Н из С в фактор-группе Хс(Н)/Н любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную группу [8], [9].
Определение 2. Группа О называется локально диэдральной группой (локально конечным диэдром), если она является объединением бесконечной цепочки вложенных друг в друга конечных групп диэдра [13].
Определение 3. Группа О насыщена группами из множества групп X, если любая конечная подгруппа К из С содержится в подгруппе группы О, изоморфной некоторой группе из X [11].
Определение 4. Пусть группа О насыщена группами из множества групп ЭТ. Тогда множество ЭТ будем называть насыщающим множеством для группы О [3].
Определение 5. Пусть О — группа, X — множество групп. Запись
СеХ
означает, что группа О изоморфна некоторой группе из X. Соответственно запись _
О £ X
означает, что группа О не изоморфна никакой группе из множества X.
Определение 6. Пусть О — группа, К — подгруппа С, X — множество групп. Через
ХС(К) = {Н | К < Н <С,Н € X}
будем обозначать множество всех подгрупп Н группы С, содержащих подгруппу К и изоморфных группам из множества X. Если 1 — единичная подгруппа группы С, то
£с(1) = {Н | Я < С,Н е X}
будет обозначать множество всех подгрупп Н группы С, изоморфных группам из множества X. Если из контекста ясно, о какой группе О идет речь, то вместо Хс{К) будем писать Х(К), и соответственно вместо Э£с(1) будем писать ЗЕ(1).
Определение 7. Пусть G — группа. Если все элементы конечных порядков из G содержатся в периодической подгруппе группы G, то она называется периодической частью группы G и обозначается T(G) ([2], с. 90, 150).
Предложение 1. Периодическая группа, содержащая инволюцию с конечным централизатором, локально конечна [8].
Предложение 2. Конечное инвариантное множество элементов конечного порядка в любой группе порождает конечную нормальную подгруппу [1].
Предложение 3. Группа Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка обладает бесконечной локально конечной подгруппой [10].
Предложение 4. Пусть G — группа Шункова, а — элемент простого порядка из G, х — инволюция из G. Тогда {х, а) — конечная группа.
Доказательство. Из определения группы Шункова вытекает, что {а,ах) — конечная группа. Несложно заметить, что х € Nc{{a,ax)). Следовательно, {а,ах){х} — конечная группа. Так как (х,а) является подгруппой {а,ах){х}, то (х,а} — также конечная группа. □
Предложение 5. Пусть G — группа Шункова, Н — конечная нормальная подгруппа группы G. Тогда фактор-группа G = G/H — группа Шункова.
Доказательство. Пусть К — конечная подгруппа в G, а — элемент простого порядка из Nq(K), ~g — произвольный элемент из G. Тогда а = аН, g = gH, К = КН для некоторых элементов а,д € G и конечной подгруппы К С G. Рассмотрим Nq{KH). Очевидно, a,gG Ng(KH), а а\ = a(KH),bi = а9(КН) — элементы фактор-группы Ng(KH)/KH, имеют простой порядок и сопряжены в ней. Так как
G — группа Шункова, то {а\, Ъ\) — конечная группа, что и требовалось.
□
Предложение 6. Пусть G — группа Шункова,
#1 < Я2 < . . . < На < . . .
— цепочка ее нормальных подгрупп, такая, что для любой подгруппы из этой цепочки фактор-группа G/Ha является группой Шункова, и Н = (J На. Тогда G/H — группа Шункова ([12], следствие 2.4.4).
Предложение 7. Если в группе Шункова G некоторая силовская 2-подгруппа конечна, то все силовские 2-подгруппы из G конечны и сопряжены.
Доказательство. Предположим обратное, пусть R — конечная силовская 2-подгруппа группы G. Положим £Н = {R9\g € G}, и $ — множество всех силовских 2-подгрупп группы G, не сопряженных с R. Выберем такие X € и У € что число т = \Х П Y\ принимает максимально возможное значение. Используя нормализаторное условие в конечных 2-группах, выбираем элементы х € Nx(X П Y) и у € Ny(X П Y) так, что х2,у2 € X П Y. Так как G — группа Шункова, то (х,у,Х П Y) — конечная группа (предложение 4), и все силовские 2-подгруппы в ней сопряжены. Пусть S — одна из них, и S < Z — некоторая силовская 2-подгруппа из G. Следовательно, Z € £Н или Zed- Но в первом случае для некоторого g € G, (ж,1П Y) <25ПУи \Zgf)Y\ > т, а во втором случае (y,XCiY) < Z9CiX и снова \Zgf)Y\ > т. Противоречие с выбором т. □
Предложение 8. Группа Шункова G, в которой все конечные подгруппы абелевы, обладает абелевой периодической частью T(G).
Доказательство. Действительно, пусть а — произвольный элемент конечного порядка из G. Предположим, что |а|— простое число. Тогда {а, а9) — конечная абелева группа для любого g € G. Следовательно, N\ = {a9\g € G) — абелева нормальная подгруппа группы G. В силу произвольного выбора а как элемента простого порядка получим, что все элементы простых порядков из G порождают абелеву нормальную подгруппу N2 группы G, и более того, любой элемент из N2 перестановочен с любым элементом g € G, имеющим конечный порядок. Пусть R(G) — подгруппа группы G, порождённая всеми элементами конечных порядков группы G. Очевидно, N2 < Z(R(G)), значит, группа R = R(G)/N2 — группа Шункова (предложения 5, 6). Ясно, что для R условие леммы выполняется, и поэтому можно считать, что для R лемма верна (индукция по порядку а). Следовательно, R(G) = T(G) — периодическая часть группы G, и T(G) — абелева группа. □
Поскольку любая локально конечная группа является группой Шункова, то имеет место
Предложение 9. Локально конечная группа G, насыщенная группами диэдра, изоморфна локально диэдральной группе [13].
Предложение 10. Группа Шункова G насыщенная группами диэдра, обладает периодической частью T(G), и T(G) изоморфна локально диэдральной группе [5].
Предложение 11. Пусть группа Шункова О насыщенна группами из множества {Ь2(рп)}. Тогда О обладает периодической частью Т(С), и Т(С) ~ для подходящего локально конечного поля С} [6].
3. Доказательство Теоремы 1
Предположим обратное, и пусть G — контрпример. Лемма 1. Группа G бесконечна.
Доказательство. Действительно, если G — конечная группа, то по условию насыщенности G € ТХ. Следовательно, либо G изоморфна либо G изоморфна группе диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2. Противоречие с тем, что G — контрпример. □
Лемма 2. Пусть z — инволюция из G. Тогда Cg(z) — элементарная абелева группа порядка не более 4.
Доказательство. Пусть g такой элемент из Cg(z), что порядок g больше двух. Ясно, что (z,g) — конечная группа. По условию насыщенности
{z, g) < Я < G и Не Ш.
Следовательно, либо Н изоморфна либо Н изоморфна конечной группе диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2. Но в каждом из этих случаев Ch(z) содержит только элементы порядка 2. Противоречие с выбором элемента д. Итак, все элементы из Cg(z) имеют порядок 2, следовательно, Cg(z) — элементарная абелева 2-группа. Предположим, что в Cg(z) нашлась конечная подгруппа А такая, что порядок А больше 4. Ясно, что (z, А) — конечная группа. По условию насыщенности
(z,A) < Н < G и Не Ж
Следовательно, либо Н изоморфна А$, либо Н изоморфна конечной группе диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2. Но в каждом из этих случаев конечные подгруппы из Ch(z) являются 2-группами и имеют порядок не более 4. Поскольку А < Ch(z), то мы приходим к противоречию с выбором группы А. Итак, все конечные подгруппы из Cg(z) являются элементарными абелевыми 2-группами порядка не более 4, следовательно, Cg{z) — элементарная абелева 2-группа порядка не более 4. □
Завершим доказательство теоремы. По предложению 1 и леммам 1, 2 G — бесконечная локально конечная группа. Пусть R — произвольная конечная подгруппа группы G. Так как G — бесконечная локально
конечная группа, то в ней найдется конечная подгруппа К такая, что К < К, и \К\ > |-Аб|. По условию насыщенности в С найдется такая конечная подгруппа Н, что К < Н и Нё. Ш1. Следовательно, либо Н изоморфна либо Н изоморфна конечной группе диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2. Так как \Н\ > |1, то Н не изоморфна А5. Следовательно, Н изоморфна группе диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2. В силу произвольности выбора группы К как конечной подгруппы группы О получаем, что О насыщена группами диэдра, и по предложению 9 О — локально диэдральная группа. Противоречие с тем, что О — контрпример.
Теорема доказана. □
4. Доказательство теоремы 2
Предположим обратное, и пусть О — контрпример.
Лемма 3. Группа О содержит бесконечно много элементов конечного порядка.
Доказательство. Действительно, если О содержит конечное число элементов конечного порядка, то С обладает конечной периодической частью Т(С) (предложение 2). По условию насыщенности Т(С) € Ш. По теореме 1, либо Т{С) изоморфна А5, либо Т{С) изоморфна группе диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2. Противоречие с тем, что С — контрпример. □
Лемма 4. Все инволюции в О сопряжены.
Доказательство. Пусть х,у — две различные инволюции из группы О. Из предложения 4 вытекает, что (х, у) — конечная группа. По условию насыщенности (х,у} < К € Ш1(1). Следовательно, либо К изоморфна либо К изоморфна конечной группе диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2. В каждом из этих случаев инволюции х, у сопряжены в К. Так как К — подгруппа О, то инволюции х, у сопряжены в группе С. □
Лемма 5. Ш1(1) — бесконечное множество и для него возможны только следующие взаимоисключающие случаи:
(A) Ш1(1) = 21(1).
(B) Ш1(1) = 53(1).
(C) Ш1(1) = 21(1) и ®(1), где 21(1) ф 0, ®(1) ф 0.
Доказательство. То, что — бесконечное множество вытекает из леммы 3. Второе утверждение леммы является непосредственным следствием определения множеств 21, □
Дальнейшее доказательство теоремы проведем отдельно для каждого из случаев, перечисленных в лемме 5. В случае (А) теорема доказана по предложению 11. В случае (В) теорема доказана по предложению 10. Ниже до окончания доказательства будет рассматриваться только случай (С).
Лемма 6. Пусть 5 — силовская 2-подгруппа группы С, г — инволюция из 5. Тогда
1. Сс(^) обладает периодической частью Т(Сс(г)).
2. Т(Сс(г)) — элементарная абелева группа порядка 4 (четверная группа).
3. Т(Сс(г)) = Б.
Доказательство. Пусть д — такой элемент конечного порядка из Со (г), что порядок д больше двух. Ясно, что (г,д) — конечная группа. По условию насыщенности
{г,д} < Я < С и Не Ш.
Следовательно, либо Я изоморфна либо Я изоморфна конечной группе диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2. Но в каждом из этих случаев Ся(-г) содержит только элементы порядка 2. Противоречие с выбором элемента д. Итак, все элементы конечного порядка из Сс(-г) имеют порядок 2, т. е. являются инволюциями. Так как Сс(-г) — группа Шункова, то по предложению 4 все элементы конечного порядка из Сс(^) порождают элементарную абелеву 2-группу, которая, очевидно, совпадает с Т(Сс(г)). Итак, пункт 1 доказан.
Так как мы рассматриваем случай (С) из утверждения леммы 5, то в С найдется четверная группа. Следовательно, Т(Сс(г)) — элементарная абелева 2-группа порядка не менее 4 (лемма 4). Предположим, что в Т(Сс{%)) нашлась конечная подгруппа А такая, что порядок А больше 4. Ясно, что (г, А) — конечная группа. По условию насыщенности
{г, А) < Я < С и Не Ш.
Следовательно, либо Я изоморфна А$, либо Я изоморфна конечной группе диэдра с силовской 2-подгруппой порядка 2. Но в каждом из этих случаев конечные подгруппы из Ся(-г) являются элементарными абелевыми 2-группами и имеют порядок не более 4. Поскольку А < Ся(-г), то мы приходим к противоречию с выбором группы А. Итак, все конечные подгруппы из Т(Сс{%)) являются элементарными абелевыми
группами порядка не более 4, следовательно, Т(Сс(г)) — элементарная абелева 2-группа порядка 4. Пункт 2 доказан.
Пункт 3 вытекает из пункта 2. □
По лемме 5 в С существует подгруппа Н, изоморфная Возьмем в Н четверную подгруппу А, элемент а £ Ас тем свойством, что порядок а равен 5, и инволюцию и € А, такие, что Н = (а, у). По лемме 6 А = Т(Сс(и)). Зафиксируем группы Н,А, элемент а и инвлюцию v.
Лемма 7. обладает периодической частью, и
Т(МС(А)) =МН(А)=А\ (Ъ) ~ 53.
Доказательство. Рассмотрим-фактор группу N = Мс(А)/А. По предложению 5 N — группа Шункова. Покажем, что N насыщена одной циклической группой порядка 3. Действительно, пусть К — конечная подгруппа группы ТУ, и К — её полный прообраз в N. По условию насыщенности К < К < О, и поскольку А < К, то К ~ А$. Следовательно, К < Ык{А) = А X (Ь) ~ ¿>з, для некоторого элемента Ь € К такого, что порядок Ь равен 3. Переходя к фактор-группе Ж, получаем включение К < (Ъ), что и требовалось. По предложению 8 N обладает периодической частью Т{М)1 и Т{М) ~ (Ь). Возвращаясь в группу Мс(А), получаем, что обладает периодической частью Г(ЛГС(Л)), и Г(ЛГС(Л)) = МК(А) = А\{Ь) ~ 5"3. Поскольку ^(А) < то = Лгя(^4) =АХ(6)~
□
Пусть Ь — элемент порядка 3 из утверждения леммы 7. Положим
В = Т(МС(А)) = МН(А) =А\(Ь),
Ъ1={(у,а°)\д&С\МгЛШ, и зафиксируем множество ОТ, группу В и элемент Ъ.
Лемма 8. Множество 9Т содержит бесконечное подмножество групп 1), и каждая группа из множества 1) изоморфна А$.
Доказательство. Покажем, что 9Т — бесконечное множество. Действительно, в противном случае множество а° конечно, и по предложению
2 К = (а°) — конечная нормальная подгруппа группы С. Очевидно, Н < К. Из условия насыщенности вытекает, что К = Н. По лемме
3 существует элемент конечного порядка (I € О \ Н. Так как Н — нормальная подгруппа в О, то (Н, с!) — конечная группа. По условию насыщенности (Н,Ь) < Ь и Ь ~ А$. Следовательно, Ь = Н, что невозможно, так как Н — собственная подгруппа группы Ь. Итак, 9Т — бесконечное множество.
Пусть а9 — такой элемент из что {у, а9} ф- А&. По предложению 4 (у, а9) — конечная группа для любого д € О). По условию насыщенности (у, а9) = (а9) X (у) и (а9У = (а9)~1. Если теперь предположить, что бесконечного множества 33 не существует, то в множестве а° существует бесконечное подмножество
= {а91,а92,--- ,а9",---}
такое, что (а9п,г) = {а9п} X {у) и (а9п)'и = (а9п)~1 ( п = 1,2,---). Следовательно, {а9" 1, а9"?, у) — конечная группа для любых щ,П2- Ввиду бесконечности множества £Н, множество групп (а9п 1, а9"2, г) ~ А5 бесконечно. В каждой из таких групп найдется элемент а9"з такой, что
{а9пз, -и) = {а9"1, а®"2 ,у) ~ А5.
Но тогда 33 = {(г>,айпз)} — бесконечное множество, удовлетворяющее утверждению леммы. Противоречие с предположением, что такого множества не существует. □
Зафиксируем множество 33 из утверждения леммы 8.
Лемма 9. Пусть X — группаизТ> такая, что X фП. Тогда ХГ\Н = В.
Доказательство. Так как Сн(у) и Сх(у) являются четверными группами, то по лемме 6 А = Сн(у) = Сх(у), следовательно, А < X П Н. По лемме 7 ХН(А) = Хх(А) = В, иХпН = В. □
Лемма 10. Группа Мс({Ь}) обладает периодической частью, и
Т№((Ь)))=Ь\® -
бесконечная локально диэдральная группа, Г — бесконечная локально циклическая группа, £ — инволюция и для любого х € Ь, хг = х~1.
Доказательство. Пусть N = Покажем, что N насыщена груп-
пами диэдра. Действительно, пусть К — конечная подгруппа группы N, и К — её полный прообраз в N. По условию насыщенности К < К < О, где либо К изоморфна А5, либо К изоморфна группе диэдра с си-ловской 2-подгруппой порядка 2. В каждом из этих случаев является группой диэдра. Так как К < то насыщенность группы
N конечными группами диэдра доказана. По предложению 10 группа N обладает периодической частью Т(Ж), и Т(Ж) = Т(7УС((Ь))) = —
бесконечная локально диэдральная группа, Ь — бесконечная локально циклическая группа, £ — инволюция, и для любого х € Г, хг = х~1. □
Зафиксируем группу Ь из утверждения леммы 10.
Лемма 11. Для любой группы X из D найдется элемент g € L такой, что X9 = Н.
Доказательство. По лемме 9 1ПЯ = В = А\ (Ь). Возьмем в Н инволюцию г такую, что Ьг = Ъ~1. Возьмем в X инволюцию j такую, что W =Ъ~1. Очевидно, инволюции i,j лежат в Т(No((&))• По лемме 10 найдется такой элемент I € L , что jl = i. Следовательно,
(b) X (i) <н nxl.
По лемме 6 T(Cc{i) — четверная группа, следовательно, Т(Сс(г)) < Н П X1. В этом случае, как нетрудно видеть, Н = (b, Сс(г)) = X1.
□
Завершим доказательство теоремы. Из леммы 11 вытекает существование бесконечного множества
{h, h, ■ ■ ■ ,1п, - ■ ■} элементов группы L со свойством
j^i = А12 = ■ ■ ■ = А1п = • • •
Следовательно,
А = А1,21!1 = ■ ■ ■ = А1"1!1 = ■ ■ ■
и
{¿2^1 1, ■ ■ ■ , 1п1\ 1 • • • } —
бесконечное множество элементов группы L, лежащее в T(Ng(A)). Так как T(Ng(A)) — группа Шункова, то по предложению 4 она содержит бесконечную локально конечную подгруппу F. Поскольку
|F : СР(А)\ < 3,
то Cf(A) — бесконечная локально конечная группа. Ясно, что Cf(A) < T(Ng(A)). Противоречие с утверждением леммы 7. □
Список литературы
1. Дидман А. П. О центре р-групп / А. П. Дидман // Тр. семинара по теории групп. - М., 1938. - С. 30-34.
2. Каргаполов М. И. Основы теории групп / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. - М. : Наука, 1982.
3. Кузнецов А. А. Группы, насыщенные заданным множеством групп / А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов// Сиб. электрон, мат. изв. - 2011. - Т. 8. - С. 230-246.
4. Мазуров В. Д. О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций / В. Д. Мазуров // Алгебра и логика. - 2000. - Т. 39, № 1. - С. 74-86.
5. Рубашкин А. Г. Группы, насыщенные заданными множествами конечных групп : дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. Г. Рубашкин ; Краснояр. гос. ун-т. - Красноярск, 2005. - 10 с.
6. Филиппов К. А. О периодической части группы Шункова, насыщенной Ьг(]зп) / К. А. Филиппов// Вести. СибГАУ. - 2012. - № 1. - С. 611-617.
7. Филиппов К. А. О периодических группах, насыщенных конечными простыми группами / К. А. Филиппов // Сиб. мат. журн. - 2012. - Т. 53, № 2. - С. 430-438.
8. Остыловский А. Н. О локальной конечности одного класса групп с условием минимальности / А. Н.Остыловский, В. П. Шунков // Исследования по теории групп. - Красноярск, 1975. - С. 32-48.
9. Сенатов В. И. Группы с условиями конечности / В. И. Сенатов, В. П. Шунков. - Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001.
10. Шлепкин А. К. О сопряженно-бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности // Алгебра и логика. - 1983. - № 22. - С. 226-231.
11. Шлепкин А. К. Сопряженно-бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы / А. К. Шлепкин // Третья междунар. конф. по алгебре : сб. тез. - Красноярск, 1993.
12. Шлепкин А. К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями : дис. ... док. физ.-мат. наук / А. К. Шлепкин; Краснояр. гос. ун-т. - Красноярск, 1999. - 20 с.
13. Шлепкин А. К. Об одном классе периодических групп / А. К. Шлепкин, А. Г. Рубашкин // Алгебра и логика. - 2005. - Т. 44, № 1. - С. 114-125.
14. Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией / В. П. Шунков // Алгебра и логика. - 1972. - № 4. - С. 470-494.
15. Череп А. А. Об элементах конечного порядка в бипримитивно конечных группах / А. А. Череп // Алгебра и логика. - 1987. - № 26. - С. 518-521.
16. Amberg В. Periodic groups saturated by dihedral subgroups / B. Amberg, L. Kazarin // Book of abstracts of the international algebraic conference dedicated to 70-th birthday of Anatoly Yakovlev. - Saint-Petersburg, 2010. - P. 79-80.
Шлепкин Алексей Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и компьютерной безопасности, Институт космических и информационных технологий, Сибирский федеральный университет, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, (e-mail: shlyopkin@mail.ru)
A. A. Shlepkin
On Periodic Groups and Shunkov Groups that are Saturated by Dihedral Groups and A5
Abstract.
A group is said to be periodic, if any of its elements is of finite order. A Shunkov group is a group in which any pair of conjugate elements generates Finite subgroup with preservation of this property when passing to factor groups by finite Subgroups. The group G is saturated with groups from the set of groups X if any A finite subgroup K of G is contained in the subgroup of G, Isomorphic to some group in X. The paper
establishes the structure of periodic groups And Shunkov groups saturated by the set of groups dJl consisting of one finite simple non-Abelian group As and dihedral groups with Sylow 2-subgroup of order 2. It is proved that A periodic group saturated with groups from 9H, is either isomorphic to a prime Group As, or is isomorphic to a locally dihedral group with Sylow 2 subgroup of order 2. Also, the existence of the periodic part of the Shunkov group saturated with groups from the set 9JI is proved, and the structure of this periodic part is established.
Keywords: Periodic groups, groups saturated with the set of groups, Shunkov group.
References
1. Ditsman A.P. On the center of p -groups. In Sat. Proceedings of the seminar on group theory. Moscow, 1938, pp. 30-34.
2. Kargapolov М.И., Merzlyakov Yu.I. Fundamentals of group theory. Moscow, Nauka Publ., 1982. .
3. Kuznetsov A.A., Filippov K.A. Groups. Saturated with given Set of groups. Siberian electronic mathematical repots, 2011, vol. 8, pp. 230-246.
4. Mazurov V.D. On infinite groups with Abelian centralizers of involutions. Algebra and logic, 2009, vol. 39, no 1, pp. 74-86.
5. Rubashkin A.G. Groups saturated with given sets of finite groups. PhD thesis. 2005.
6. Filippov K.A. On the periodic part of the Shunkov group saturated with Ьг(]зп). Bulletin ofSibSAU, 2012, no 1, pp. 611-617.
7. Filippov K.A. On periodic groups saturated by finite simple groups. Sib. mat. Journal, 2012, vol. 53, no 2, pp. 430-438.
8. Ostylovsky A.N., Shunkov V.P. On the local finiteness of a class of groups with the minimality condition. Studies on the theory of groups. Krasnoyarsk, 1975, pp. 32-48.
9. Senashov V.I., Shunkov V.P. Groups with finiteness conditions. Novosibirsk, Izdatel'stvo SB RAN, 2001.
10. Shlepkin A.K. On conjugately biprimitively finite groups with a primary minimum condition, Algebra and logic, 1983, no 22, pp. 226-231.
11. Shlepkin A.K. Conjugately biprimitively finite groups containing finite unsolvable subgroups. Third Intern. Conf. In algebra. Krasnoyarsk, 1993.
12. Shlepkin A.K. Shunkov groups with additional restrictions. Thesis doc. Phys. Sciences. Krasnoyarsk State Univer, 1999.
13. Shlepkin A.K., Rubashkin A.G. On a class of periodic groups. Algebra and Logic, 2005, no 1, pp. 114-125. https://doi.org/10.1007/sl0469-005-0008-x
14. Shunkov V.P. On periodic groups with almost regular involution. Algebra and logic, 1972, no 4, pp. 470-494. https://doi.org/10.1007/BF02219098
15. A.A. Skull, On elements of finite order in biprimitively finite groups. Algebra and logic, 1987, no 26, pp. 518-521.
16. Amberg В., Kazarin L. Periodic groups saturated by dihedral subgroups. Book of abstracts of the international algebraic conference dedicated to the 70th birthday of Anatoly Yakovlev. Saint-Petersburg, 2010, pp. 79-80.
Shlepkin Alexey Anatolievich, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Siberian Federal University, 79, Svobodny av., Krasnoyarsk, 660041, (e-mail: shlyopkin@mail.ru)
