CC BY
33
УДК 519.6
Вестник СибГАУ 2014. № 5(57). С. 101-107
О СИЛОВСКОЙ 2-ПОДГРУППЕ В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ГРУППЕ С ЗАДАННЫМ НАБОРОМ КОНЕЧНЫХ ПОДГРУПП
Е. А. Пронина1, А. А. Шлепкин2, А. Н. Дарзиев1
^Красноярский государственный аграрный университет Российская Федерация, 660130, г. Красноярск, ул. Стасовой, 44и E-mail: katyushka_2707@mail.ru 2Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: ak_kgau@mail.ru
Изучение бесконечных групп с различными условиями конечности - актуальная задача в теории групп. Одним из таких условий является условие насыщенности группы заданным множеством групп.
Группа G насыщена группами из множества M, если любая конечная подгруппа из G содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из M. Известно, что произвольная периодическая группа, насыщенная
группами из множества групп {l2(pn)}, где p и n не фиксируются, изоморфна L2(Q), где Q - локально-конечное поле. Кроме того, этот результат удалось обобщить на случай, когда группа насыщена группами из множества групп {SL2 (pn)}. Естественно было бы рассмотреть случай, когда периодическая группа насыщена группами из множества групп {GL2 (pn)} в предположении, что имеет место следующая гипотеза: пусть периодическая группа G насыщена множеством групп {GL2(pn)}, где p, n не фиксируются. Тогда
G — GL2 (Q) для некоторого локально-конечного поля Q. Таким образом, возникает задача выделения в периодических группах классов групп, в которых данная гипотеза имеет место. Данная гипотеза доказана в классе локально-конечных групп. Одним из классов, в котором эта гипотеза может оказаться верной, является класс групп Шункова. В данном классе эта гипотеза была доказана для периодических групп Шункова при дополнительном ограничении - фиксированности p. Попытка отказаться от условия фиксированности p привела к необходимости классификации силовских 2-подгрупп в указанных группах. В данной работе эта классификация сделана. Установлена структура силовских 2-подгрупп группы G для случая, когда M состоит из полных линейных групп степени два над конечными полями.
Ключевые слова: группа, насыщенность.
Vestnik SibGAU 2014, No. 5(57), P. 101-107
ABOUT A SYLOW 2-SUBGROUP IN THE PERIODIC GROUP WITH A GIVEN SET OF FINITE SUBGROUPS
E. A. Pronina1, A. A. Shlepkin2, A. N. Darziev1
Krasnoyarsk State Agrarian University 44I, Stasov str., Krasnoyarsk, 660130, Russian Federation E-mail: katyushka_2707@mail.ru 2Siberian Federal University 79, Svododnyi Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: ak_kgau@mail.ru
This article is about the study of infinite groups with different conditions limbs actual problem in group theory. One of such conditions is the condition of saturation of a group specified set of groups.
The group G is full of groups of many M, if any finite subset of is contained in a subgroup G isomorphic to some
group of M . It is known that an arbitrary periodic group, saturated groups from a variety of groups {l2(pn)}, where p and n not fixed, is isomorphic to L2(Q), where Q is a locally - finite field. Additionally, this result has been generalized to the case when the group is saturated with groups from a variety ofgroups {>SL2 (pn)}. It would be natural to
consider the case when periodic group are saturated with groups from a variety of groups {GL2 ( pn )} : Let a periodic
group G is saturated with many groups {GL2 ( pn )}, where p, n not fixed. Then G — GL2 (Q) for some locally finite
fields Q. Thus, there is a problem of separation in periodic groups of classes of groups in which this hypothesis holds. This hypothesis is proved in the class of locally _ finite groups. One of the classes in which this hypothesis may be true, is the class of groups Shunkov. In this class, this hypothesis was proved for periodic groups Shunkov when the additional constraint is fixed p. Attempt to abandon the fixity conditions led to the need for classification ofSylow 2-subgroups in these groups. In this work, this classification is made. The structure of Sylow 2-subgroups of the group G for the case when is M of the full linear group of degree two over finite fields.
Keywords: group, saturation.
Введение. Группа G насыщена группами из множества групп M , если любая конечная подгруппа K из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из M [1].
Пусть группа G насыщена группами из множества групп M и K - конечная подгруппа из G . Через M(K) обозначим множество всех подгрупп из G, содержащих K и изоморфных группам из M . В частности, если 1 - единичная подгруппа G, то M(1) -множество всех подгрупп группы G , изоморфных группам из M [2].
Под символом e в данной работе будет пониматься единица группы G .
В [3] доказано, что произвольная периодическая группа, насыщенная группами из множества групп
{l2(pn )}, где p и n не фиксируются, изоморфна
L2(Q), где Q - локально-конечное поле. Там же этот результат удалось обобщить на случай, когда группа насыщена группами из множества групп {SL2 (pn )}.
Естественно рассмотреть случай, когда периодическая группа насыщена группами из множества групп {( pn )}.
Гипотеза. Пусть периодическая группа G насыщена множеством групп {GL2 (pn )}, где p, n не
фиксируются. Тогда G - GL2 (Q) для некоторого локально-конечного поля Q .
Следующий пример показывает, указанная гипотеза в классе периодических групп неверна. Рассмотрим группу
G = L2(2n ) х B(m, p),
где m > 1; p = 2n -1 - простое фиксированное число. большее 665; B(m, p) - свободная берсайдова группа с m образующими и периода p . Так как
GL2(2n ) = L2(2n ) х Z (GL2 (2n )),
|z(GL2(2n))| = 2n -1 = p и порядок любой нетривиальной конечной подгруппы из B(m, p), как показано в [4, с. 296], равен p, то G насыщена множеством
Ш = {0£2(2")}, состоящим из одной группы. Как
показано в [4, с. 262], В(т, р) для указанных т и р не является локально-конечной группой. Следовательно, G не локально-конечная группа.
Таким образом, возникает задача выделения в периодических группах классов групп, в которых данная гипотеза имеет место. В [5] данная гипотеза доказана в классе локально-конечных групп. Одним из классов, в котором эта гипотеза может оказаться верной, является класс групп Шункова.
Для доказательства гипотезы в классе групп Шункова предлагается следующая схема:
1. Доказать, что центр 2 нетривиален и является локально-циклической группой.
2. Доказать, что G = G \ 2 является группой Шункова и насыщена группами из множества {PGL2(рп)} и, как следствие, вывести отсюда, что
G изоморфна PGL2(Q) для некоторого локально-конечного поля Q .
3. Используя верность гипотезы для локально-конечных групп, показать, что G изоморфна GL2 .
В [6; 7] данная схема реализована в классе периодических групп Шункова при дополнительном ограничении - фиксированности р. Попытка отказаться от условия фиксированности р привела к необходимости классификации силовских 2-подгрупп в указанных группах. В данной работе эта классификация сделана.
Пусть Ш = {GL2(рп)}, где р - простое нефиксированное число и натуральное п не фиксируется.
Доказан следующий результат.
Теорема. Пусть периодическая группа G насыщена группами из множества Ш. Тогда силовская 2-подгруппа £ группы G одна из следующих:
1. S = ( a2 = v2 = 1, av = a2 " -1
полудиэдраль-
ная группа и |S| = 2
2. S = ( a, w
= b2 = w2 = e, aw = b, ab = ba\
сплетенная 2-группа и |S| = 2n+2.
3. S - конечная элементарная абелева 2-группа.
4. Б - бесконечная элементарная абелева 2-группа.
5. Б = БК, где Б - полная 2-группа 2 ранга не более 2, К - конечная 2-группа, изоморфная некоторой подгруппе группы диэдра порядка 8.
6. В О существует силовская 2-подгруппа Б = (А х Б)Х(м), где А - бесконечная локально-
циклическая 2-группа; м2 = е; А = Б .
Известные факты и определения.
Предложение 1. Определение черниковской группы. Группа называется черниковской, если она является конечным расширением прямого произведения квазициклических групп, взятых в конечном числе [8].
Предложение 2. Пусть О—р - группа Шункова. Если ранги конечных элементарных абелевых р подгрупп из О ограничены в совокупности, то О - чер-ни-ковская группа [9-11].
Предложение 3. Пусть О = (АхБм} - конечная сплетенная 2-группа, т. е.
А = а, Б = (Ь), ам = Ь, а2 = Ь2 = м2 = 1. Тогда:
1. Центр 7 = 7(О) = (аЬ) = , где I = аЬ .
2. О = (А х Б)Х{м) = (7 х А)Х(м), = г, ам = Ь =
= aba 1 = za l, aw
= (za ~l)w = (za- )-1 = zz ~la = a.
3. G = (Z x B), zw = z, bw = a = abb'1 = zb~\
4. Пусть x e (A x B) и |x| = 2m . Тогда |xw| < 2m+1, (xw)2 e Z , в частности, если x = a , то (aw)2 = ab = z, и если x = b , то (bw)2 = ab = z .
5. (aw)(bw) = azb- = abz.
6/ w wiM
. (ab ) = a b
группа диэдра.
= ba и R = ( ab
7. Пусть d = a2 ~lbl
и (l 2) = 1
iw ,2m-l l
d = b a ,
ddw = a2 -lblb2 -lal = a2 b2 = z
2iti til 2 U2
2
1 ow ow
dw = d a b2 =
13. Пусть О1 = ((с)х(а))Х(м>г), см = а , = е и О1 с О. Тогда имеет место одно из следующих
„w2 _
= dj, w2 = e
)чw -
= а12т ,| а| = 2к.
8. Если т = к и (а) = (аЬ1^, тогда (а)Х(М = = (аЬ~1^Х(м} = К - группа диэдра.
2т 2т
9. Если т = к -1, то а - инволюция из А , Ь -
2т 2т
инволюция из Б и а Ь = - инволюция из Б п 7 = ). Тогда аам = , йм = а и Б = (а) Х (м) - полудиэдральная группа.
10. N((Ьм)) = (Ьм) ХгЬ , где гЬ - инволюция из (Ь), (Ьм)1Ь = Ьмг1.
11. N((ам}) = {ем} Хга , где га - инволюция из (а), (ам>)2а = амг1.
12. Пусть С х(^ с О. Если |с| = > 2, тогда С х( а) с А х Б .
утверждений:
1) О! = ((с^^а^)^м2), где и ((сх)х(ах)) с А х Б ;
2) О1 = (VХ(м>3)), где V = 4, V 6 А х Б , м32 = е,
Vм3 = И.
Доказательство пункта 12. Предположим, что (с) х (а} < А х Б . Тогда для некоторого х 6 ((^ х{а)), х = ум, где у 6 А х Б . Ясно, что для любого
V 6 (А х Б) П ((с) х (а}), vx = XV . Следовательно vyw = = ywv , у™ = ywv, ум = wv и V 6 7 . Следовательно, (А х Б) П ((с) а)) с 7 . Так как 7 - циклическая группа, то и (А х Б) П ((с) х(а)) - циклическая группа, а это не так, в силу условия |с| > 2. Противоречие. Пункт доказан.
Доказательство пункта 13. Поскольку х2 = е, то ум = у. Если 6 (А х Б), то ((с) х( а ))Х( = = ^ х( х) )Х( = ^ х{ х), положив
мХ = с1, = а1, х = м2, получаем пункт 1 предложения 12.
Пусть <£ (А х Б). Тогда = ум для некоторого
V 6 (А х Б). Посчитаем х = умум = уу-1 6 (А х Б). Очевидно, уу-1 Ф е, так как в противном случае V = у их = м, что невозможно по условию. Если |уу_1| = 2, то уу= V = уг1,ум = ум,= х, что невозможно. Итак, уу"1 > 2, значит |уу-11 = 4 .
Положив V = мгх и м3 = получаем утверждение 2 предложения 13. Предложение доказано.
Предложение 4. В ОЬ2 (рп), где р - нечетно, нет подгрупп, изоморфных А4.
Доказательство. Предположим обратное: пусть Н с О12(рп) и Н и А4. Тогда Н = (а)х(Ь)Х(у), где
а2 = Ь2 = V3 = е,а = аЬ [12; 13]. Возьмем инволюцию
г 6 7(ОЬ2(рп)). Если г лежит в Н , то (а)х
х{Ь)х(^ - подгруппа в ОЬ2(рп), что невозможно.
Следовательно г 6 Н , что противоречит структуре А . Предложение доказано.
Предложение 5. Пусть О - периодическая группа, с - инволюция из О , а Ь - элемент порядка 4 из О
такие, что
cb2 = b2c . Тогда H = (a, b) -
конечная
группа одного из следующих видов:
1) Н = {Ь)х(с);
2) Н = Ь Х (с) - группа диэдра;
3) Н = Щ Х(с), Щс = Ь2Щ_1, Ь2 еЩ, Щ > 4, Ь = Щс -полудиэдральная группа;
4) Н = ((Щ) х(Ь2})Х( с), Щс = Щ-1Ь2, Ь = Щс, Щс = Ь2 Щ"1,
Щ > 2.
Доказательство. Рассмотрим фактор-группу С = С^(Ь2)/(Ь2), а в ней подгруппу Н = ^а,Ь ^ . Очевидно, С - периодическая группа и Н = Х(с) = = ^^Х^Ь^ - группа диэдра. Пусть Щ = Ьс . Тогда
Н = ^Ь^ •( Щ ))Х( с) и либо Щс = Щ-, либо Щс = Щ "1Ь2
[14]. Если Н - абелева группа, то Н вида 1. Если Н -неабелева и |Н| = 8, то Н вида 2. Пусть Н > 8 .
Если Щс = Щ-1, то Щс = сЬсс = сЬ = с _1Ь_1, сЬ = с^Ь-1 и Ь2 = с~2 = е . Противоречие с тем, что Ы = 4 . Таким образом, Щс = Ь2Щ_1, и если Ь2 г (Щ) ,
то Н = ((Ь2} х (Щ))Х (с) (Н - вида 3), а если Ь2 е (Щ) ,
то Н = Щ Х (с) - полудиэдральная группа (Н - вида 4). Предложение доказано.
Предложение 6. Пусть (а} - циклическая порядка
2п и ф - изоморфизм порядка 2 группы (а). Тогда имеет место одно из следующих утверждений:
1) ф(а) = а-1 ;
2) ф(а) = а-1 г, г2 = е ;
3) ф(а) = аг .
Доказательство. Ясно, что для некоторого нечетного 1 < 2п, ф(а) = а1. Так как ф2 (а) = а, то а1 = а,
а1-1 = е и (12 -1) = 0(mod2n). Запишем 1 в двоичной системе 1 = 2т1 + 2т2 +... + 2т +1, где 1 < < -1 < ... < т2 < т1 < 2п.
Тогда (е2 -1) = (е-1)(е + 1) = 0^2п) и (2п1 + +2п2 +... + 2п* )(2п1 + 2п2 +... + 2п* + 2) = 0(mod2n). Следовательно, 2п* (2п1 -п* + 2п2 - п +... + 2^ -п, + 1)2(2п1 -1 + +2п2-1 +... + 2п*-1 +1) = 0(mod2п). Если п, -1 > 0, то (2п + 2п2 - п* +... + 2п-1 -п* +1) - нечетное число и (2п1 -1 + 2nl-1 +... + 2п-1 +1) - нечетное число. Отсюда вытекает, что 2п+1 = 2п, п = п, +1, п1 = п,.,
п-1 2п-1+1
1 = 2 +1. В этом случае ф(а) = а = га, где г -
элемент порядка 2 из (а), т. е. имеет место утверждение 3.
Рассмотрим ситуацию, когда п, = 1. Тогда
2п, (2п-1 + 2п2-1 +... + 2п,-1 -1 + !) 22(2п-2 + 2п2-2 +... + +2п*-2 +1) = 0(mod 2п).
Если п5-1 - 2 > 0 , то, как и выше, п5-1 > 2, 23 = 2п, п = 3, 1 = 22 + 2 +1 = 7 и противоречие с тем, что п,_2 > 2 . Следовательно, п,- = 2 , = 2п-1. Действуя подобны образом, получаем, что 1 = (2п + 2п1-1 +... + 22 + 2 +1), (е- 1)(е +1) = 2а2т, где а - нечетное число, 2т = (2п1 + 2п1-1 +... + 22 + +2 +1) +1 = е +1 и 2т+1 = 0(mod 2п). Следовательно, либо т = п , либо т = п -1 и т +1 > п .
По формуле геометрической прогрессии имеем (2п-1 + 2п-2 +...+ 2 +1) +1 = (2п -1) +1 = 2п в первом
случае и (2п-2 + 2п-3 +... + 2 +1) +1 = (2п-1 -1) +1 = 2п-1 во втором случае. Соответственно, либо 1 = 2п-1 -1 и имеет место утверждение 2, либо 1 = 2п -1 и имеет место утверждение 1. Предложение доказано.
Доказательство теоремы. Если в G некоторая £ конечна, то из предложений 1, 2 вытекает, что £ одна из первых трех видов 1, 2, 3, и в этом случае теорема доказана.
В дальнейшем считаем, что £ - бесконечная группа.
Лемма 1. Если £ содержит подгруппу Р = (X)х (у)х (г), где х2 = у2 = г2 = 1, то £ - элементарная абелева группа.
Доказательство. В силу предложения 4 и [14; 15] Б вложена в бесконечную локально-конечную подгруппу I групп £.
Если I содержит элемент в порядке 4, то (р, Ь) -
конечная 2-группа, которая по условию насыщенности является подгруппой группы Р1, где Р1 - одна из следующих (предложение 6):
1) Р1 - конечная группа полудиэдра;
2) Р1 - конечная сплетенная 2-группа;
3) Р1 - элементарная абелева 2-группа
Но в первых двух случаях Р1 не может содержать подгруппу Р, а в последнем - не может содержать элемент Ь .
Итак, I - элементарная абелева 2-группа, и можно считать I максимальной в указанном смысле
(Р < I).
Если £ = 1, то все доказано. Предположим, что х е G \ I . Покажем, что х можно выбрать так, что хг = гх для некоторой инволюции г е I.
Если |х| = 2, то группа (х, г) конечна для любой инволюции 2 из I. Пусть / - инволюция из 2 ((х, г}). Если / е I, то положим 2 = /. Если / г I,
то положим х = /. Подгруппа {г} х (х^ = К1, очевидно, не лежит в I и К1 ПI =(г). Возьмем в I инволюцию / ^ г. Ясно, что 1г = г/.
Рассмотрим конечную подгруппу (г, х,/). Данные подгруппы, очевидно, не лежат в I и (г,х,^ПI > ((х)х!^). В силу леммы 1 в {г,х,^
существует элемент V такой, что V 6 NО ((^ х (^) \ I и V2 61. Тогда группа К2 = (у,г,х,г,где г1 6 I \ ((^ х (^), конечная 2-группа.
По условию насыщенности К2 < К3 6 ОТ(1). Так как К2 содержит подгруппу х (х (^ , то из структуры М вытекает, что К2 - элементарная абе-лева 2-группа. В силу произвольности /1 как инволюции из I получим, что х перестановочен с любой инволюцией из I. Таким образом, I х (х^ - элементарная абелева 2-группа, что противоречит максимальности I как элементарной абелевой 2-группы.
Пусть |х| = 4 . Возьмем х1 = х2. По доказанному выше х1 61. В дальнейшем, дословно повторяя рассуждения для случая |х| = 2 , получим, что х 6 К2 -элементарная абелева 2-группа. Противоречие с тем, что |х| = 4 . Лемма доказана.
В дальнейшем будем считать, что О не содержит элементарных абелевых групп порядка более четырех.
Лемма 2. Если ранг Б равен 2, Б1 типа 5.
Доказательство. В этом случае Б = А х Б , где А, В -локально-циклические группы. Возьмем в Б конечную подгруппу Я = {а} х{Ь) , где а 6 А,Ь 6 Б, |а| = = |Ь| > 2. По условию насыщенности Я с К 6 ОТ(1).
Следовательно, К — ОЬ2(рп) и р Ф 2. Пусть БК -силовская 2-подгруппа из К, содержащая Я . По предложению 3 БК = ((с) х(а})Хм - сплетенная
2-группа, т. е. |с| = |а| > 2 и см = а. По предложению 4 Я < ((с} х(а)) и Ям = Я . Возьмем в Б \Я элемент у со свойством у2 6 Я . Очевидно, такой, в силу структуры Б , найдется. Ясно, что у 6 СО (Я). Следовательно, группа (Я, у, М - конечна.
По условию насыщенности (Я, у, м} с К1 6 ММ(1) и К1 — ОЬ2 (р^), где р1 Ф 2 . По предложению 5 (Я1,у,М с (Я) = ((с^х (ах))Х{М - сплетенная
группа. Здесь = Щ = (р^1 -1)2 и с1М = а1. Кроме того, СК1 (Я) = ((с1 ^ х (а^). В частности, отсюда вытекает, что ^ум, у^ < ((с^ х( а^). Пусть у1 - другой элемент из Б \ Я со свойством у2 6 Я и (у) Ф (у^. Покажем, что у1 ум = уму1. Действительно, ^Я, у1, у^ - конечная группа.
По условию насыщенности ^Я,у1,< К2 6
6 ОТ(1), К2 - ОЬ2 (р12), где р1 Ф 2. По предложению 5 Ск2(Я) = ((с^х(а^), где \с2\ = \а2\ = (рп2 -1)2. Так
как (Я,у1,ум) < Ск2 (Я), то уум = уму1, что и требовалось.
Пусть У - множество элементов из Б \ Я со свойством, что для нового у 6 У, у2 6 Я . Ясно, что У -конечное множество. Из сказанного выше получаем, что (у- конечная абелева группа из СО(Я),
а ^Я, У, Ум, М - конечная группа из NО (Я).
По условию насыщенности (я, У, Ум, < К3 6 ОТ(1),
К3 — О£2 (р3п3) и р3 Ф 2 . По предложению 5 Nк3 (Я) = ((с^ х ( а^)^ М, (( с^ х (а3)) = Ск3 (Я) и (я, У, У^ < СК3 (Я). Положим, Я1 = Б? П ((с3) х (а3)).
По построению Я < Я1 = ((у) х (м1)), где V < А,(м) < Б и ум = м1. Действуя по описанному выше алгоритму, мы строим цепочку подгрупп Б
Я <Я1 <Я2 <... <Я <...
со следующими свойствами
1) К = (<мг) х(V,));
2) уМ = м, .
Так как Б полная 2-группа ранга 2, то очевидно Я, = Б и м 6 N (Б).
Осталось показать, что БХ( м) = Б . Рассмотрим
NО (Б) / Б = N . Очевидно в N силовская 2-подгруппа конечна, а значит все силовские 2-подгруппы из N конечны и сопряжены. Поэтому с точностью до сопряженности можно считать, что БХ(м} < Бх,
а значит Бх(М < Бх для некоторого х 6 N0. (Б). Это
означает, что Б = Б ^у^ и у2 6 Б . Из предложения 5
получаем, что у 6 БХ( м) . Следовательно, БХ{м} = Б.
Лемма доказана.
Лемма 3. Если Б содержит подгруппу
(((ап)х{Ьп))Х(мп)) с Б, где |а„| = > 2, а^ = Ьп
и м>2п = е , то Б типа 5.
Доказательство. Положим, Бп = ((ап} х^ Ьп х
х^. Если Б содержит бесконечную цепочку
Б < Б2 <... < Бп <..., (1)
то очевидно Б насыщена конечными сплетенными 2-группами по предложению 2 Б типа 5.
Предположим, что бесконечных цепочек типа (1) в Б нет. Пусть Бп -максимальная конечно-сплетенная
2-группа из Б . Пусть ((ап)х(Ьп)) = Яп .
Покажем, что Яп нормальная подгруппа Б . Возьмем 5 6 Б \ Бп и 5 6 NS \ Б . По условию насыщенности конечная группа (Бп, ^ с К с О и К - ОЬ2 (рп), где
р Ф 2 . Более того, (Рп, £) с £К е £у12К. По предложению 1 £К сплетенная 2-группа и Яп д£к и
£ е N(Я). Пусть Р1п = £к п £. Возьмем £2 е М£(Р1п). Повторяя проведенные выше рассуждения, показывают, что £2 е N£ (Яп). Действуя подобным образом, получаем, что N£ (Яп) бесконечная группа. Таким образом £ с N(Яп), а поскольку £ = £Рп, то £ = N£ (Яп).
Пусть 5 такой элемент из £, что 52 е Яп . Тогда (Рп, 5, х^ конечная группа и по условию насыщенности (рп, 5, х) с К - GL2 (рп), где р Ф 2 . По предложению 3 5 е Ск (Яп), т. е. х5 = ,х. Используя индукцию по |£|, получим что £ с СС1 (х) и х^ абелева группа. Пусть теперь |х| > 2 и ^£2, хабелева группа. Рассмотрим конечную группу {Яп, х, , где 5 е ^Яп, х2 ^ , тогда (Яп, х, £) - конечная группа. И по условию насыщенности получим, что (Яп, х, £) с с К - GL2 (рп), где р Ф 2 . По предложению 3 (Кп, х, £) с Ск (Яп) и значит (,Яп, х, £) - абелева группа. Далее, используя индукцию по |£|, получим, что
Яп, х^ - абелева группа. Теперь перейдем к индукции по |х| и получим, что Яп, х^ абелева 2-группа и значит, по предложению 4, Са (Яп) = £ -
абелева 2-подгруппа и £К с £>1К . Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть £ не содержит подгруппу
рп = ((ап)х(Ьп))Х(^п) с условием Ы = |Ьп| > 2. Тогда £ типа 6.
Доказательство. Очевидно в этом случае полная часть £ группы £ квазициклическая 2-группа. Положим £ = А . Тогда £ / А - конечная 2-группа, и пусть К - ее минимальный по порядку прообраз в £ . Тогда £ = АК и К - конечная подгруппа из группы диэдра порядка 8. Лемма доказана.
Заключение. Пусть периодическая группа G насыщена группами из множества Ш . Тогда силовская 2-подгруппа £ группы G одна из следующих:
1. S = ( a2 = v2 = 1, av = a2 ~
- полудиэдраль-
ная
группа и |S = 2"+1. 2. S = ( a, w
2 2 2 w
a = b = w = e, a = b, ab = ba) -
сплетенная 2-группа и |£| = 2п+2.
3. £ - конечная элементарная абелева 2-группа.
4. £ - бесконечная элементарная абелева 2-группа.
5. £ = £К, где £ - полная 2-группа 2 ранга не более 2, К - конечная 2-группа, изоморфная некоторой подгруппе группы диэдра порядка 8.
6. В G существует силовская 2-подгруппа S = (A х B)X(w), где A - бесконечная локальноцикли-
ческая 2-группа, w2 = e; Aw = B .
Библиографические ссылки
1. Шлепкин А. К. Сопряженно бипримитивно-конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // сб. тез. 3-й Междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. С. 396.
2. Кузнецов А. А., Филиппов К. А. Группы, насыщенные заданным множеством групп // Сибирские электронные математические известия. 2011. Т. 8. С. 230-246.
3. Рубашкин А. Г., Филиппов К. А. О периодических группах, насыщенных группами L2(pn) // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 6. С. 1388-1392.
4. Адаян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М. : Наука. 1975.
5. Шлепкин А. А. О группах насыщенных
GL2( pn) // Вестник СибГАУ. 2013. Том 1. С. 100-108.
6. Шлепкин А. А. Периодические группы, насыщенные сплетенными группами // Сибирские электронные математические известия. 2013. Т. 10. С. 56-64.
7. Шлепкин А. А., Сабодах И. В. О группах Шункова, насыщенных GL2(pn) // Сибирские электронные математические известия. 2014. № 11. С. 734-744.
8. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука. 1977.
9. Шунков В. П. Mp -группы. М. : Наука. 1990.
10. Шунков В. П. Об одном классе групп // Алгебра и логика. 1970. № 4. С. 484-496.
11. Шунков В. П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. 1972. № 4. С. 470-494.
12. Dichson L. Linear groups. Leipzig : B. C. Neub-ner, 1901.
13. Garter R. W. Simple groups of Lie type. London : John Wiley & Sons, 1972.
14. Группы с условием насыщенности / А. А. Кузнецов [и др.] / КрасГАУ. Красноярск. 2010. С. 254.
15. Дуж А. А., Шлепкин А. А. О группах Шунко-ва, насыщенных прямыми произведениями групп // Владикавказский математический журнал. 2012. № 12. С. 123-126.
References
1. Shlepkin A. K. [Conjugate aprimitive finite groups containing a finite insoluble subgroup] Sb. tez. 3-ya mezhdunar. konf. po algebre [Sat. mes. 3rd Intern. Conf. Algebra]. Krasnoyarsk, 1993, p. 396 (In Russ.).
2. Kuznetsov A. A., Filippov K. A. [Group, saturated specified set of groups]. Sibirskie elektronnye mate-maticheskie izvestiya. 2011, vol. 8, p. 230-246. (In Russ.).
3. Rubashkin A., Filippov K. A. [On periodic groups saturated groups L2(pn)]. Sib. matem. zhurn. 2005, vol. 46, no. 6, p. 1388-1392 (In Russ.).
4. Adan S. I. Problema Berncaida i togdestva v grup-pakh [The Burnside problem and identities in groups]. Science, 1975.
5. Shlepkin A. A. [About the saturated groups
GL2(pn)]. Vestnik SibGAU. 2013, no. 1 (47), p. 100-108 (In Russ.).
6. Shlepkin A. A. [Periodic groups saturated woven groups]. Sibirskie elektronnye matematicheskie izvestiya. 2013, vol. 10, p. 56-64 (In Russ.).
7. Shlepkin A. A., Subodah I. V. [About groups Shunkov saturated GL2( pn)]. Sibirskie elektronnye matematicheskie izvestiya. 2014, vol. 11, p. 734-744 (In Russ.).
8. Kargapolov M. I., Merzlyakov Y. I. Osnov teorii grupp [Fundamentals of group theory]. Moscow, Nauka Publ., 1977.
9. Shunkov V. P. Mp-grupp [Mp -group]. Moscow, Nauka Publ., 1990.
10. Shunkov V. P. [One class of groups]. Algebra i logika. 1970, vol. 4, p. 484-496 (In Russ.).
11. Shunkov V. P. [Of periodic groups with an almost regular involution]. Algebra i logika. 1972, vol. 4, p. 470-494 (In Russ.).
12. Dichson L. Linear groups. Leipzig B. C. Neub-ner. 1901.
13. Garter R. W. Simple groups of Lie type. London: John Wiley & Sons. 1972.
14. Kuznetsov A. A., Lytkina D. V., Tukhvatullin L. R., Filippov K. A. Gruppy s usloviem nasyshchennosti. [Group with the condition of saturation]. Krasnoyarsk, 2010, 254 p.
15. Duzh A. A., Shlepkin A. A. [Groups Shunkov, saturated direct products of groups]. Vladikavkazskii matematicheskii zhurnal. 2012, vol. 12, p. 123-126 (In Russ.).
© Пронина Е. А., Шлепкин А. А., Дарзиев А. Н., 2014
