Периодические группы Шункова насыщенные gl (p n) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54 А.А. Шлепкин, К.Н. Папунидис, И.И. Гончарук,

С.В. Карпов, А.В. Федосенко ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ШУНКОВА НАСЫЩЕННЫЕ GL2 (pn)

Авторами статьи исследуется структура бесконечных подгрупп в периодических группах Шунко-ва, насыщенных полными линейными группами размерности два над конечными полями.

Ключевые слова: периодические группы Шункова насыщенные, размерность, конечные поля, множество.

A.A. Shlepkin, K.N. Papunidis, I.I. Goncharuk,

S.V. Karpov, A.V. Fedosenko

SHUNKOVS SATURATED PERIODIC GROUPS GL2 (pn)

The structure of infinite subgroups in Shunkov's period groups saturated with full linear two dimension groups over final fields is researched by the authors of the article.

Key words: Shunkov's saturated periodic groups, dimension, final fields, set.

Введение. Группа О насыщена группами из множества X, если любая конечная подгруппа К и О содержится в подгруппе группы О (возможно совпадающей с К), изоморфной некоторой группе из X [1].

Пусть группа О насыщена множеством 9? и К некоторая подгруппа из О. Через ЩК) будет обозначено подмножество групп группы С, содержащее подгруппы К и изоморфные группам из 9?. В частности, если

1 - единичная группа, то 9?(1) - это множество всех подгрупп группы С, изоморфных группам из К.

В работах [2,3,4] изучались локально конечные группы периодические группы Шункова X, насыщенные множеством (ОЬ2 (3”)}. В данной работе продолжены исследования в этом направлении.

Доказаны следующие результаты:

Теорема 1. Пусть бесконечная периодическая группа Шункова О насыщена группами из множества

3 = {С^2(д)}, гдед = 2”и натуральное п не фиксируется. Тогда О -ОЬ2(0), где £>-локально конечное поле характеристики 2.

Теорема 2. Пусть О бесконечная, периодическая, не локально конечная группа Шункова, насыщенная множеством 3 = {ОЬ2(рп)},

щерф2 фиксированное простое число и натуральное п не фиксируется. Тогда:

1. Силовская р подгруппа £ группы О элементарная абелева.

2. Для любых двух силовскихр- подгрупп ^ и £2 группы О либо =е,Б1 =£2.

3. Пусть а элемент порядка р из О и А бесконечная локально конечная подгруппа из О , содержащая а. Тогда в С существует бесконечная силовская р- подгруппа Б содержащая а.

4. Если £силовскаяр подгруппа группы О, то А?с(5,) = 5,Х(1)х7?)

где £) и К изоморфные локально циклические группы; £\1)- группа Фробениуса с неинвариатным множителем Б и ядром £.

5. К0(ОхК) = (АхВ)\{ф}

где (о2 = е, Аю =В,А бесконечная локально-циклическая группа.

6. 02(1(К))^1(0).

1. Известные факты и определения

Предложение 1. Группа О называется группой Шункова, если для любой конечной подгруппы Н и О в факторе-группе N а(Н) / Н любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную группу [4].

Предложение 2. Расширение локально конечной группы при помощи локально конечной группы есть локально конечная группа [5].

Предложение 3. Пусть, где Л = ОЬ2(д\ д = 2” . Тогда:

1.Д = -

, а е СР(д) \ - силовская 2 - подгруппа группы Ь.

2. ыь (К) = л\(г хТ), ще г = \

/а Он (а 0Л

к0 1,

З.Я- абелева группа периода р и Йс54(2") 4 ,сь(Я) = (Кхг).

5.Ыь{1хТ) = 1хТ\(со), где со =

0 1

1 О

6. Все силовские 2- подгруппы группы Ь сопряжены и пересекаются тривиально.

7. Пусть М=(а) х (р), где |а| = |б| = &>2 подгруппы Ь. Тогда К делит д-\ и для некоторого

g^L Мч<^{1хТ) и Ыь(М) = Ыь(гхТ).

8.Ь = Ь (2п)х1.

Предложение 4. Пусть 0-Ь2(д), где д-2п >2 и Р —силовская 2-подгруппа группы G.

Тогда:

1. Р—элементарная абелева группа и любые две различные силовские 2 - подгруппы группы О пересекаются тривиально.

2. Ос{а) -Р для любой инволюции а еР .

3.ЫС(Р) = Р\Н максимальная подгруппа в О являющаяся группой Фробениуса с ядром Р и циклическим дополнением Нпорядка д-1, действующим транзитивно на множестве.

4.И0(Н)- группа диэдра порядка 2(д-\).

5. Если подгруппа в О и обладает нетривиальной нормальной подгруппой нечетного порядка, то Ыа(К) — группа диэдра порядка 2(д-\) или 2(д + \) [6].

Предложение 5. Пусть где Ь = ОЬ2(д), д-р" и р- нечетно. Тогда:

1.Д = -

, а е ОР(д) ^ - силовская р - подгруппа группы Ь.

га 0Л О а

центр группы Ь,Т -{

га 0Л ч0 1у

),\а\ -д-1.

3.7?- абелева группа периода р и Я а Ж2(рп).

4 .сь(Я)=(Рхг).

Ъ.Кь(1хТ) = 1хТ\(со), где со =

0 1

1 О

6. Все силовские р- подгруппы группы Ь - сопряжены и пересекаются тривиально.

7. Пусть М=(а) х (Ь), где |а| = |й| = А;>2 подгруппы Ь. Тогда к делит д-1 и для некоторого

gEL Мг ^{2хТ)\л Кь(М) = Ыь(1хТ).

га 0Л

8.1 = а2(/)ХГ, где г =

9. Если q = -1(шоё4), то

ч0 1,

и а^СР{рк).

Ь = (8ЦяУ2)\(а))

10. Если д = 1(шоё4) то Ы1{Р) = Ь2 рп X (и) где и— инволюция, являющаяся образом элемента

гк ОУО 1Л

и =

О 1

1 О

при гомоморфизме £ —>■ Ы 2{Ь)\л к элемент поля ОР(р") из которого не извлекается корень квадратный.

11. Если q = 1(тос14),2х-2 часть числа д-1,^- примитивный корень степени Т из 1 в

ОР(д), то силовская 2 - подгруппа £ - порядка 2

5+1

- является сплетением групп 2 и

2гй = \

О'

чО 1,

1 о О £

0 1

1 о

12. Если q = — 1(тос14),2х-2 часть числа q + \,£- примитивный корень степени Т+ из 1 в

ОР(д2), то силовская 2 - подгруппа £

о ^ Г о Iм

является полудиэдральной группой порядка 2х+2и

м-1 °У

•[6].

Предложение 6. Бесконечная локально конечная группа обладает бесконечной абелевой подгруппой [7]. Предложение 7. В группе Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка существует бесконечная локально конечная подгруппа [8].

Пусть 5И — некоторое непустое множество неизоморфных циклических групп нечетного порядка, а ЯК —некоторое непустое множество неизоморфных групп £2 (2”). Положим Х = ХхУХеШ1,Уе91.

Таким образом, множество X состоит из набора конечных групп, каждый из которых является прямым произведением двух групп X и У, где группах берется из множества Ш1, а группа 7-из множества Л.

Предложение 8. Периодическая группа Шункова О, насыщенная группами из множества X, локально

конечна и изоморфна прямому произведению ЬхУ, где Ь— Ь2(0) для некоторого локально конечного

поля Q характеристики два, а V- локально циклическая группа без инволюций [9].

Предложение 9. ГруппаЬ2(д), где д = рп-степень простого числар имеет следующие подгруппы:

1) <7 +1 сопряженных абелевых элементарных подгрупп порядка q;

(<7±1)

2) (д + 1)/2 сопряженных циклических подгрупп порядка ^ ^ , 2 и 1 берутся в знаменателе со-

2;1

гласно р>2 и р=2,1(0);

а — \

3) </(</±1)/2 сопряженных циклических подгрупп порядка qT,q1L делит -—;

2,1

4)М(д)12с1- сопряженных групп диэдра порядка 2й?_, где <1- - нечетное число и М(д) = q(q2 -1) для р = 2 и М(д) = q(q2 -1) / 2 для р >2;

5) две системы, каждая из М(д)!4й? + сопряженных групп диэдра порядка 2й?_, где нечетное число, большее 2;

6) для р” = 8/г±3 одно множество из М(д) /12 сопряженных нециклических подгрупп порядка 4;

(рп-1)(рп-р)...(рп-рт~1) Р2"-1

7) —------—--------———---- —^множеств, каждое из ------- -----;---- сопряженных коммутатив-

(Рт -1 )(рт - р)(рт -Рт~1) (2,1; 1)(/ -1)

ных групп порядка рт, где (2,1; 1) означает 2,1 или 1 согласно одному из случаев: р>2 и четное число, р>2 и л / £ - нечетное число; или/? = 2 и п! к- целое число; к- делитель т , зависящий от свойств

т

группы порядка р .

)

О” -1 )рп~т

8) множество из ^ ^ ^—— сопряженных групп Фробениуса порядка ртй, где к и й зависят

от т;

9) (2,1;1) множеств, каждое из М(д)/(2,1;1)М(рк) сопряженных подгрупп, изоморфных РБЬ{2,рк\к- делитель и;

10) две системы, каждая из М(д) / 2М(рк) сопряженных подгрупп, изоморфных РОЬ{2,рк) -р>2, п / А: - четное число;

11) для д = 8/г ± 1 два множества, каждое из М(д) / 24 сопряженных подгрупп £4;

12) для д = 8/г ±1 два множества, каждое из М(д)/ 24 сопряженных подгрупп Л4;

13) для д = 8/г±3или д = 2”, я-четное число, М(д)! 12 сопряженных подгрупп А4;

14) для д = 10/±1 две системы, каждая из М(д)/ 60сопряженных подгрупп А; [6].

Предложение 10. Локально конечная группа О ^ насыщенная группами из множества^, изоморфна

ОЬ2 (Р) для некоторого локально конечного поля Р.

2. Доказательство теоремы 1

В этом случае ОЬ2(д) = Ь2(2п)х2(ОЬ2(2п)), |7(С£2(2”))| = 2”-1 нечетное число и

1{СЬ2{2")) - циклическая группа нечетного порядка (предложение 3). По предложению 12 О = ЬхУ, где V - локально циклическая группа без инволюций, а Ь — Ь2 (0) локально конечное поле характеристики 2. Следовательно, Є-локально конечна и по предложению 11 О — ОЬ2(0) где £>-локально конечное

поле характеристики 2.

Теорема доказана.

3. Доказательство теоремы 2

Лемма 1. Пусть £ - силовская р- подгруппа группы О. Тогда £ - абелева группа периода р.

Доказательство. По условиям теоремы любой элемент я ф е из £ содержится в некоторой конечной группе/, е 3((5)).Так как я лежит в некоторой силовскойр- подгруппе группыЬ, то |я| = р. В силу произвольности выбора « из5 заключаем, что группа периода р. Для любых неединичных элементов х,у е £ группа (х,ху^является конечной — группой (предложение 2). В силу условия насыщенности

А < 3( {х,ху) )

и, следовательно, ОЬ2(рп). Поскольку [х,ху^ р-группа, то она лежит в некоторой силовской р —

подгруппе £ группы По предложению 4 £элементарная абелева группа, а значит, элементы х и

ху перестановочны. В силу произвольности выбора х,у как элементов группы £ получаем, что

[х,ху,ху ,...хуР ^

абелева р- подгруппа группы Так как

(х, ХУ,ХУ\.. ,ХуР 1 ^ (ху ,Ху2.. ,ХуР \х^,

то

у еК3 (х,ху,...хуР ^

и

(х,ху,...хуР1 ,у} конечная р- группа. По условию насыщенности

(х,ху,...хуР\у^ )|

поскольку

(х,ху,...хуР1 ,у}

р- группа, то она лежит в некоторой силовской р- подгруппе Б2 группы Ь2. По предложению 5, £2 -абелева группа, а значит элементы х и у перестановочны. В силу произвольности выбора элементов х,у из £ получаем, что £ абелева группа. Лемма доказана.

Лемма 2. Силовские р- подгруппы группы О - имеют тривиальные пересечения.

Доказате льство. Предположим противное и пусть 8,11 -две силовские р- подгруппы группы О, Т-БглИф 1. Пусть х <= Б,у е17. Для любого eФt^ETгруппа (х,ху')/конечна

(предложение 2), тогда (г, х, ху ^ - конечная абелева р- группа по предложению 5. Следовательно, конеч-

ной будет и группа (^,Х,ХУ,...ХуР более того, в силу вложимости в силовскую/7 — подгруппу, она будет

абелевой р- группой. Тогда и группа 1^,х,хухуР1^\ является конечной р- группой и, следовательно, содержится в некоторой силовскойр- подгруппе группы Но тогда (1,Х,у) -

абелева группа и ху = ух. В силу произвольности выбора элементов х и у получаем, что 577- снова силовская — подгруппа, а значит, Б -II. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть a элемент порядка p из G и A бесконечная локально конечная подгруппа из G, содержащая a. Тогда в G существует бесконечная силовская p - подгруппа £, содержащая a.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть £а силовская р подгруппа из А, содержащая элемент а. Если £ бесконечная группа, то все доказано. Пусть £ конечная группа. Так как А бесконечная группа, то мы можем выбрать в А цепочку конечных групп

Ку с= К2 е... с= К; с=...

Рассмотрим в G цепочку вложенных друг в друга конечных подгрупп

(^Л> <= {Яа’К2> <= (йД-) с ...

По условию насыщенности (£а,АГг) czG.cz 0\л О. - СЬ2{рщ ). Так как |(£а,АГг}| неограниченно возрастают, то и |^| — ОЬ2 (р"‘ )| также неограниченно возрастают. Следовательно, неограниченно возрастают и £аг|,где £аг-силовская/?-подгруппа из содержащая элемент а. Последнее означает, что £ j образует цепочку вложенных друг в друга подгрупп (лемма 2).

^ <=^,2 <=-

объединение которых

СО

Я=1К,

г-1 ■

Бесконечная абелева р- подгруппа в С. Без ограничения общности можно считать £ силовской р- подгруппой в О. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть £ конечная силовская р- подгруппа группы О \леФае8. Тогда:

1. 3 ( (а) ) бесконечное множество.

т

2.3( (а)) = У3г, где для любых двух и 1,7е 3., - NX(S(,)) = Ыг (£(0). Здесь 5'(0

г-1

силовская р - подгруппа для любого I е 3

Доказательство. Покажем вначале, что 3 ( (а)) бесконечное множество. Предположим противное. Тогда множество

т={(а,а?) |^еС}

также конечно и 10:Ыо( (а)) | (оо. Следовательно (лемма Дицмана), Ыа( (а)) бесконечная группа. По предложению 6 ((а)) содержит локально конечную В. Очевидно В (а) - бесконечная локально конеч-

ная группа в тогда (а) лежит в бесконечной силовской р- подгруппе (лемма 3), что невозможно. Итак, 3 ( (а)) бесконечно. Рассмотрим множество

Щ={Ба,х |ХеЗ}

всех р- подгрупп группы С таких, чтоае£аХ и^х <=8у1рХ. Покажем, что ЯК х- конечное множество. Действительно, в противном случае Ыа(<а>) бесконечная группа, что невозможно. Итак, ^-ко-нечное множество. Рассмотрим множество.

^2= I ^ X е 3 ( (а))

всех нормализаторов силовских р- подгрупп групп изЗ ( (а)). Покажем, что 9Л2- конечное множество. Действительно, в противном случае, бесконечная группа для некоторой £аХ, а так как £аХ

конечная группа, содержащая элемент а, то ((а) ) также бесконечная группа. Этот случай, как показано выше, невозможен. Таким образом,ЯК2- конечное множество. Положим Ш2={М1,...Ыт}

3;={Х|ХеЗ((а)) Л^(5в) = Л^ .

т

Тогда 3 ( (а)) = 3,.( (а)) Лемма доказана.

г-1

Лемма 5. Если О содержит конечную силовскую р- подгруппу, то бесконечная в группе С существует подгруппа вида (А х В) X (и), где А-локально циклическая группа, А° =В, и и2 =е.

Доказательство. Возьмем 3 {из леммы 4 такую, что 13 ; | = оо. В силу конечности Ш12 и бесконечности 3 ( (а) ) это можно сделать. По предложению 5 для любого X еЗг

^(и=^=^хфхх^

где Бх и Ях соответствуют Б и К из предложения 5. Рассмотрим х хКах) -М. Поскольку

для любого X е 3

Ыгт хЛ ) = № хЛ )\ (со ) ,

XV а,х а,ху V а,х а,хУ \ х / 1

где сох соответствует инволюция со из предложения 5 и число таких инволюций бесконечно (в противном случае3 ).конечное множество, что не так), то М бесконечная группа, удовлетворяющая предложению 1. Следовательно, М = (Ах В)\ (о), где А - локально циклическая группа А0 = В и со1 = е. Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть £ бесконечно силовская р-подгруппа группы С . ТогдаОс(£) = £хД где Б-бесконечная локально циклическая группа и п(Б) п тг(£) = 0.

Доказательство. Пусть а - элемент простого порядка д Ф р из Сс(£), Ь - произвольный элемент из Сс (£). Тогда группа ^, а, аь} является конечной подгруппой и содержится в некоторой конечной подгруппе 12ёЗ ({8х,а,аь^), причем (а,аь^ содержится в централизаторе некоторой силовской /^-подгруппы группы Ц Следовательно, по предложению 5 («,«*) - циклическая группа порядкар, т.е. {а) = (аь^ = {а,аь^ и ЬеЫ0({сф. Тогда мы можем рассмотреть конечную подгруппу (а,Ь) - (а)Х(й) группыСс(£). Пусть конечная подгруппа из £. По предложению Ьа^2(Ь2).

Таким образом, все элементы простого порядка из С0(£) перестановочны, лежат в 2(Сс(£))и

порождают локально циклическую группу.

Далее рассуждаем по индукции. Предположим, что для всех аеС0(£)\£, таких, что \а\<

т,(т,р) группа (а,Ь)-циклическая подгруппа в 2(Сс(£)) (индуктивное предположение). Пусть теперь а и Ъ- два элемента из Сс(£) и \а\ = ракг =т, где р Ф ц- простое число. Докажем, что (а,Ь)~ циклическая. Определим элемент ах следующим образом:^ =ар т.е. \а^\ = аа~хкх,Ъ. Тогда, как следует из индуктивного предположения, {а1Ь')<{а,Ь'). Рассмотрим фактор-группу = (а,Ь}I(а,Ь). В этой группе \а\ - \а(а1,Ь) - простое число. Тогда (а,а^ конечная группа по предложению 2. Следовательно, конечной будет и группа (а, Ь По условиям теоремы конечная группа (а, аь£^ (здесь £ конечная подгруппа из £) вкладывается в централизатор силовской р - подгруппы некоторой конечной группы. Но тогда (а,аь^ циклическая группа и (а) = (аь^ = (а,аь^ и Ь &Ы0{(а)).Тогда мы можем рассмотреть конечную подгруппу группы Се(£). По предложе-

нию 5 она циклическая, т.е. аЬ - Ьа. Но тогда группа (а,Ь) конечна. По условиям теоремы конечная группа (здесь £1 - снова конечная подгруппа из £) вкладывается в централизатор силовской р-

подгруппы некоторой конечной группы Ь е Но тогда (а,Ь}~ циклическая группа. В силу про-

извольности выбора элементов а и Ъ изСс(£)\£ заключаем, что все р - элементы из Се(£) порождают локально циклическую группу Б и Се(£) - £х Б.

Лемма 7. А^0(£) -Сс(£)Х7?, где Я- локально циклическая группа.

Доказательство. Рассмотрим фактор-группу N = (£)/£. Очевидно, что N - группа, не

содержащая элементов порядка р. Возьмем элемент Ь е 7У0(£)\С0(£) простого порядка ЦФр, произвольный элемент* е 7У0(£)\С0(£). Тогда Ьх = (Ь,ЬХ^~ конечная группа, Ьх -Сс(5) - локально конечная группа. Пусть С* - конечная подгруппа из С0(£), такая, чтоС* п£ Ф е,С* сх£, Тогда группа Гх =(Ъ,ЪХС*) вложима в некоторую конечную простую неабелеву подгруппу М1 е 3((Ь,ЬХ,С*') группы. Обозначим через £1 силовскую р- подгруппу группы Мг. Из предложения 5 и леммы 2 следует, что £1 с: £. Тогда из способа выбора элементов Ь их вытекает, что Ъ , Ъх е ЫМ1 ^ \ См „ и

(с -и) = (Ьх)для некоторого с е См Это значит, что Са £ Х(й) Х(х)-группа и, более того, по предложению 2 это локально конечная группа. Последнее означает, что группа (Ь,х) конечна. Теперь

повторим рассуждения для конечной группы Ь = ф,х,С), вложимой в некоторую конечную простую неабелеву подгруппу М2 еЗ(&,х,С’> группы О. Обозначим через ^ силовскую р- подгруппу группы М2 . Из предложения 5 и леммы 2 следует, что а Б. Тогда из способа выбора элементов Ь их вытекает, ЧТО Ь,Х <Е ЫМ1 С2 3 См2 $2 более того, Ъуха е (И) для некоторых V, СО е См С2 ^ гДе О1) -группа Им ^ =СМг ^ \(И). Положим х = хСа О ы,ь = ьса о N. Тогда получаем, что

Ь, х е (й). Итак, мы доказали, что элемент простого порядка и элемент произвольного порядка из N порождают циклическую группу.

Пусть теперь Ь - элемент непростого порядка из N - А^0 (£) \ Са (£), xeNG (Б) \ Са (Б) -

произвольный элемент и некоторое простое число. Обозначим Ьу =ЬР. Пусть (ф^х)-конечная

группа (индуктивное предположение). Тогда, рассуждая как выше, получаем, что (С0()5,)Х(й1))Х(х)-

локально конечная группа и (с • Ъх) = (Ьх ^ для некоторого с е Далее,

хс-1 е ^((Ь^ХЬ е ^((Ь1)).

Рассмотрим фактор-группу N. ((Ь))/(Ь)• Тогда по доказанному выше подгруппа из этой факторгруппы (ъ,Ьхс 1 ^ конечна (как группа Шункова). Следовательно, конечной будет и группа (ъ,Ьхс 1 лежащая в ^ (*).

Пусть теперь к А и выше, С* - конечная подгруппа из Се(5') такая, что С* Ф 1,С* <£ 8. Тогда группа ГХ=(Ь,ЬХС ,Свложима в некоторую конечную простую неабелеву подгруппу

Мр еЗ((ъ,Ьхс ,С*^ группы О. Обозначим через 8р силовскую р— подгруппу группы Мр. Из предложения 5 и леммы 2 следует, что 5” с5. Тогда из способа выбора элементов Ь,с их вытекает, что Ь,ЬХС <ENM (8р)\См (8р)\л{с1-Ь) = Ьхс для некоторого сх е Бр. Это значит, что Са 8 Х(й)Х(х)-локально конечная группа. Последнее означает, что группа (Ь, х) конечна.

В силу произвольности X £N(1 «з Со*; получаем, что N - локально циклическая группа. Тогда по предложению локально конечная группа. Теперь, используя результат предыдущей

леммы, получаем А^ £ = £х!) X Л, где К - локально циклическая группа. Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть группа О содержит бесконечную силовскую р- подгруппу £. Тогда С Ь2 содержит подгруппу Ах В где А01 = В,со2 =е и А -локально циклическая группа.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Группа Б из леммы 8 локально циклическая, следовательно, счетна:

£>= ..Д.,... . (1)

Пусть 5- неединичный элемент из £ Очевидно, что <5,с(1>с11еЗ (5,4) д Обозначим через силовскую р- подгруппу группы Ьи содержащую элемента, и рассмотрим А^ По предложению 5

Ыь ^ = ^хД хд1;

где Ди Д - циклические группы из предложения 5. Ясно, что Д х лежит Ма

Пусть теперь di - следующий в последовательности (1) элемент с таким свойством, что й?. е!)\Д,й?. . Рассмотрим конечную подгруппу X - Д,<ДД). По условию насыщенности

1с12 еЗ^^и Д^С12 р"2 . Обозначим через ^ силовскую р- подгруппу группы Д содержащую группу * . По предложению 5

= Я2хД ХД,

где Д и й2- циклические группы из предложения 5. Кроме того, ДсДсДи^с^сй по построению.

Действуя таким образом по всем / из (1), получим следующие цепочки вложенных групп:

^ <д <...,

Д < Д <...< Д <...,

Д < Д <..Я1 <...,

и как следствие цепочку

которой соответствует последовательность групп

Ьу, Д,„Ьг. ,••• ^

изоморфных группам СД .

По построению, что Б = 1/сг^=пБ1 - группа из леммы. Обозначим

5 = и 5,

;=я

со

# = 0#А - ЯхЯ ХЛ

Пусть tt е Lt,,t2 = 1 и элементу ti соответствует матрица со из предложения 5 при изоморфизме Lt =^GL2 pn<i . Так как t4 <е NQxR^to DxR Х(/.)-подгруппа в G. Положим, что

tf = со,А = R,B = Ra. Тогда (Ах В) Х(<г>)требуемая группа. Лемма доказана.

Завершим доказательство теоремы. Пункт 1 доказан в лемме 1. Пункт 2 доказан в лемме 2. Пункт 3 доказан в лемме 3. Пункт 4 доказан в леммах 4,8,9. Пункт 5 доказан лемме 5, для случая когда в G есть конечные силовские р - подгруппы и в лемме 10, когда в G есть бесконечная силовская р- подгруппа. Пункт 6 доказан в леммах 6-7. Теорема доказана.

Литература

1. Шлепкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // Сб. тез. 3-й междунар. конф. по алгебре. - Красноярск, 1993. - С. 363.

2. Панюшкин Д.Н. Группы Шункова, насыщенные прямыми произведениями различных групп: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 2010. - 66 с.

3. Shlyopkin A.A. Periodic groups saturated by the groups GL2 3n // Book of abstracts of the international

conference on algebra. - Kyiv, 2012. - P. 144.

4. Шлепкин А.А. Группы насыщенные GL2(q) // Вестн. СибГАУ. - 2013. - № 1. - С. 100-108.

5. Шунков В.П. Об одном классе групп // Алгебра и логика. - 1970. - № 9. - С. 484-496.

6. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1977.

7. Dickson L. Linear groups - Leipzig B.C. - Neubner, 1901.

8. Каргаполов М. О проблеме О.Ю. Шмидта // Сиб. мат. журн. - 1963. - Т. 4. - № 1. - С. 232-235.

9. Шлепкин А.К. Группы Шункова с дополнительными ограничениями: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. -

Красноярск 1998. - 163 с.

10. Шлепкин А.А., Дуж А.А. О группах Шункова, насыщенных прямыми произведениями групп // Владикавказ. мат. журн. - 2012. - Вып. 2. - С. 123-126.