CC BY
12
Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 1, С. 40-52
УДК 512.542
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЦАССЕНХАУЗА1 В. Д. Мазуров
Дано новое доказательство теоремы Цассенхауза о строении конечной группы, действующей свободно на абелевой группе.
Ключевые слова: свободное действие, элемент порядка 3, группа Фробениуса.
Введение
Пусть группа А действует на нетривиальной группе В. Это действие называется свободным (а сама группа А действующей свободно, если Ьа = Ь для всех А Э а = 1 = Ь £ В. Характерным примером свободного действия является действие дополнительного множителя конечной группы Фробениуса на ее ядре. Более того, если группа А действует свободно на конечной группе В, то естественное полупрямое произведение О = АВ является группой Фробениуса, в которой В — ядро, а А — дополнение. Кроме того, А свободно действует при сопряжении в О на центре некоторой силовской подгруппы из В и, таким образом, изучение строения дополнений конечных групп Фробениуса эквивалентно изучению групп, действующих свободно на нетривиальных конечных абелевых группах. 70 лет назад Цассенхауз [1] классифицировал дополнения конечных групп Фробениуса. Разбор случая неразрешимых дополнений в этой работе был очень сложным и не свободным от пробелов в доказательстве. Позднее Цассенхауз внес исправления в доказательство, но содержащая их рукопись осталась неопубликованной. Впервые исправленное, но столь же длинное и сложное доказательство появилось в [2] в связи с классификацией полных связных римановых многообразий постоянной положительной кривизны, которая целиком основывается на классификации Цассенхауза. Следует добавить, что доказательства в [1, 2] в большой мере используют теорию характеров конечных групп, что делает невозможным их обобщения на бесконечные группы. В настоящей работе мы предлагаем другое доказательство классификации конечных неразрешимых групп, действующих свободно на абелевых группах, которое может быть обобщено на широкий класс бесконечных свободно действующих групп. Мы постарались при этом использовать лишь наиболее простые факты, которые изложены в большинстве учебников по теории групп.
Основным результатом настоящей работы является доказательство следующего результата.
© 2008 Мазуров В. Д.
1 Работа выполнена при поддержке Российским фондом фундаментальных исследований, проект № 06-01-39001.
Теорема 1. Пусть группа О действует свободно на нетривиальной абелевой группе. Если О порождена таким непустым инвариантным множеством X элементов порядка 3, что X = X-1 и для любых х,у £ X порядок ху конечен, то О конечна и изоморфна БЬ2 (5), 6X2(3) или циклической группе порядка 3.
Здесь БЬ2(д) обозначает группу всех двумерных матриц с определителем, равным единице, над полем порядка д.
Из теоремы 1 вытекает характеризация конечных групп, действующих свободно на абелевых группах, которая в большинстве случаев вполне заменяет исчерпывающую классификацию таких групп.
Теорема 2. Конечная группа О тогда и только тогда может действовать свободно на нетривиальной абелевой группе, когда ее подгруппа Оо, порожденная всеми элементами простых порядков, является прямым произведением циклической холловой подгруппы 2, порядок которой свободен от квадратов, и группы, изоморфной БЬ2(5), БЬ2(3) или тривиальной группе.
Другим следствием теоремы 1 является полученное в свое время Цассенхаузом описание неразрешимых дополнений групп Фробниуса.
Теорема 3. Пусть конечная неразрешимая группа О действует свободно на нетривиальной абелевой группе. Тогда в О содержится такая нормальная подгруппа Оо индекса 1 или 2, что Оо — М х БЬ2(5), где М — метациклическая группа, порядок которой взаимно прост с числом 30.
1. Обозначения и используемые результаты
Если Н — подгруппа группы О, х,у £ О, X, У — подмножества из О, то ху = у-1ху, Xу = {у-1ху|х £ X}, [х,у] = х-1ху, х¥ = {ху|у £ У}, Xу = {ху|х £ X, у £ У}, Ын(X) = {д £ НIX9 = X}, (X) — подгруппа, порожденная X, [X, У] = ([х,у]|х £ X, у £ У), Сн(X) = {К £ Н| [К, х] = 1 для всех х £ X}, 2(О) = Со(О).
Группа всех (внешних) автоморфизмов группы О обозначается через Аи1(О) (соответственно, через Ои1(О)). Для простого числа р подгруппа Ор(О) определяется как произведение всех нормальных р-подгрупп из О, Ат и Бт означают знакопеременную и, соответственно, симметрическую группу степени т. Если I — множество произвольной мощности, то А(1) обозначает знакопеременную группу множества I, т. е. (локально конечную) группу всех почти тождественных четных подстановок I.
Для группы всех невырожденных линейных преобразований векторного пространства V над полем К (с равным единице определителем) будет использоваться обозначение ОЬ(У) (соответственно, БЬ^)). Если размерность V равна п, то с помощью выбора базиса в V группа ОЬ(V) (БЬ^)) отождествляется с группой ОЬП(К) (соответственно, с группой БЬП(К)) всех невырожденных п-мерных матриц над К (с равным единице определителем). Если К — конечное поле порядка д, то вместо О(Б)ЬП(К) будем писать
О(Б)Ьп(д).
Символами N Ъ, ( и С обозначаются соответственно множество натуральных чисел, кольцо целых чисел и поля рациональных и комплексных чисел. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы А обозначается через Бпё(А).
Если М — конечное подмножество аддитивной коммутативной полугруппы, то через
М будем обозначать сумму всех элементов из М, т. е. М = т.
теМ
Через <^(п) обозначается значение функции Эйлера на натуральном числе п. По определению, 1) = 1, а если п > 1, то р(п) равно количеству натуральных чисел, меньших
п и взаимно простых с п. Хорошо известно, что
р(П)= р?1-1(Р1 -1) ••• ра°-1 р -1),
если п = р^1 ■ ■ ■ р"а, где р1,... ,р8 — различные простые делители числа п.
Если т и п — целые числа, то (т, п) означает их наибольший общий делитель.
Лемма 1. Пусть Р — силовская р-подгруппа конечной группы О.
1) (Гёльдер [4, теорема 9.4.3]). Если Р является циклической группой для каждого простого числа р, делящего |О|, то О — метациклическая.
2) (Бернсайд [4, теорема 14.3.1]). Если Р содержится в центре ), то О обладает нормальным р-дополнением.
3) (Известное следствие теоремы Фробениуса [4, теорема 14.4.7]). Если р = 2, Р — метациклическая группа и порядок О взаимно прост с 3, то О обладает нормальным р-дополнением.
4) (Бернсайд [4, теорема 12.5.2]). Если каждая абелева подгруппа из Р циклическая, то при р > 2 группа Р является циклической, а при р = 2 — либо циклической, либо обобщенной группой кватернионов.
Элементарное доказательство следующего результата (не использующее теорию ко-гомологий) можно найти, например, в [5, гл. 7, § 2, теорема Шура].
Лемма 2. Пусть N — нормальная р-подгруппа конечной группы Н, индекс которой не делится на р. Тогда в О существует такая подгруппа С, что Н = N0 и N П С = 1.
Лемма 3 (формула обращения Мебиуса [6, параграф 1, глава 9]). Пусть / и д — комплекснозначные функции натурального аргумента. Если /(п) = ^ {д(()\ ( — натуральный делитель числа п}, то д(п) = ^ {^(п/()/(()\ ( — натуральный делитель числа п}, где ^ — функция Мёбиуса, т. е. ^(1) = 1,^(р1р2 ■ ■ ■ рк) = ( — 1)к, если р1,...,рк — различные простые числа, Ц.(п) = 0, если п делится на квадрат простого числа.
2. Предварительные леммы
Лемма 4. 1) Пусть х, у — элементы порядка 3, порождающие А4. Тогда (ху)2 = 1 или (ху-1)2 = 1.
2) Пусть I — непустое множество, не содержащее 1 и 2, и К = {1,2} и I. Тогда отображение хг ^ (1,2, г), г £ I, можно продолжить до изоморфизма группы О = (хг, г £ I\ х3 = (хгх^)2 = 1, ¿,3 £ I, г = ]) на А(К).
3) Пусть х, у — элементы порядка 3, порождающие А5. Тогда (ху)5 = (хху)2 =
(уух)2 = 1.
4) А5 ~ (х, у\ х3 = у3 = (уух)2 = (хху)2 = 1) ~ (х, у\ х3 = у3 = (ху)5 = (хху)2 = 1).
5) Если х, у — такие элементы порядка 3 из А5, что (х) = (у) и (ху)2 = 1, то существует г £ А5 порядка 3, для которого (хг)2 = (уг)2 = 1.
< 1) Два 3-цикла (¿1,22,23) и (31,32,33) тогда и только тогда порождают А4, когда \{г1,г2,г3,31,32,33}\ = 4, поэтому без потери общности можно считать, что х = (1, 2, 3), у = (1, 2, 4)±1, после чего все соотношения проверяются непосредственными вычислениями.
2) Предположим вначале, что I конечно, т. е. К = {1, 2,...,п} для некоторого натурального числа п ^ 3. В этой части наши рассуждения повторяют доказательство Кармайкла [7, с. 172]. Если п = 3, то, очевидно, О ~ А3, поэтому предположим, что п > 3, и используем индукцию по п. Положим Н — (х1,... ,хп-1 ), С1 = Н, С2 = Нхп,
Сг = Нхпх_ 1, г = 3,... ,п — 1, Сп = Нхп1 и покажем, что С\,..., Сп исчерпывают все смежные классы по Н в О. Отметим, что
2 = -1 = -1 -1 =22 • • = з • = ■ /1)
хг — хг , хгх у — ху хг — х ухг, г, ] — 3,..., гп, г ]. /1)
Далее, очевидно, что
С1 х П1 = С1, г = 3,...,п — 1;
С1 хп = С2;
С2хп = Сг, г = 3,... ,п — 1;
С2 хп = Сп.
Теперь по (1) для г] = 3,... ,п — 1, г = ] справедливы равенства
Сгх - — Н хпх г — Нх - х — — Сп;
Спх- — Нх п хП — Нхгхп — Нхп — С2;
С. гр 1 - Т-Т гр гр 1 гр 1 - Т-Т гр гр . гр . --1 <~р 1 <~Р ■ --<~р 1 <~р ■ -
у — .ц-л/п^г у — ^п^у— у п г — ил/п ^г — = Спх г = Спх _ х _ = С2х _ = Сг.
Таким образом, множество О = С\ и ... и Сп инвариантно относительно умножения справа на х..., хп—1, хп. Поскольку порядки этих элементов конечны, О = О и |О : Н| ^ п. По индуктивному предположению Н — гомоморфный образ группы Ап_1, поэтому |О| ^ |Ап|. С другой стороны, Ап порождается подстановками уг = (1,2, г), г = 3,... ,п, удовлетворяющими соотношениям у3 = (угуу)2 для ] = г, поэтому отображение р : хг ^ уг, г = 3,... ,п, можно продолжить до гомоморфизма О на Ап. Поэтому |О| ^ |Ап| и следовательно О — Ап.
В общем случае отображение р : хг ^ (1, 2, г), г £ I, можно продолжить до гомоморфизма О = (хг, г £ 1\ х3 = (хгху)2 = 1, г,] £ I, г = ]) на А(К). Предположим, что ядро этого гомоморфизма содержит нетривиальный элемент у. Тогда у — некоторое слово от порождающих хг. Пусть хг1,..., хгь — все порождающие из записи этого слова. По предыдущим рассуждениям ограничение р на (хг1,..., хгг) является изоморфизмом на А({1, 2,г1,..., г¿}) и поэтому у = 1.
3) Подобно рассуждениям в доказательстве 1) можно считать, что х = (1, 2, 3), у = (3,4, 5), после чего все соотношения проверяются непосредственно.
4) Дополнительное соотношение [х, у] = 1 превращает О в тривиальную группу, поэтому О = [О, О]. Пусть Н = (х, ху, ху ). Так как (у) переставляет при сопряжении порождающие Н, то Н является (у)-инвариантной. Так как Н содержит , то Н и ( )-инвариантна. Поэтому Н < О. Очевидно, что О/Н абелева, следовательно Н = О. Поскольку (хуху )2 = ((хху)2)у = 1 и (ху х)2 = ((хху)2)у = 1, из 2) вытекает, что Н — гомоморфный образ А5. По 1) Н — А5.
5) Без потери общности можно предполагать, что х = (1, 2, 3), у = (1, 2, 4). Теперь подстановку (1, 2, 5) можно взять в качестве г. >
Лемма 5. (1) БЬ2(5) - X = <х, у\х3 = у3 = (хху)4 = (уух)4 = (хху)2(уух)2 = [х, (хху)2] = [у, (хху)2< = 1).
(2) БЬ2(3) - У = (х, у\х3 = у3 = (ху)4 = [х, (ху)2] = [у, (ху)2] = 1).
< Если к соотношениям группы добавить равенство (хху)2 = 1, то получившаяся группа будет удовлетворять соотношениям для X из леммы 4, 4). Кроме того, порядок элемента (хху )2 в X не превосходит числа 2 и этот элемент лежит в центре X. Таким образом, |Х| ^ 120. В группе Н = БЬ2(5) (ее порядок равен 120) положим х = ^ ^ ^ 1,
у = ^^ ' Тогда порядки элементов х, у, ху равны, соответственно, 3, 3 и 10. Следо-
вательно, порядок группы X = (х, у) делится на 30, т. е. ее индекс в Н делит 4. Отсюда X = Н. Непосредственно проверяется, что для х и у выполняются все соотношения группы X. Поэтому Н ~ X.
Аналогично, порядок центрального элемента (ху)2 из группы У не превосходит числа два, а тривиализация этого элемента превращает соотношения для У в соотношения для
БЬ2(3) из леммы 4, 2). Взяв х = ^ , у = £ (3), получим пункт (2)
леммы. >
Лемма 6. Пусть V — двумерное векторное пространство над С. Пусть х,у £ БЬ(У) такие элементы порядка 3, что ху = ух и порядок ху равен п. Тогда в V существует база, в которой х, у представимы матрицами
—0 • у=(-1 Т) • (д)
где X — примитивный корень п-ой степени из единицы. Если п = 4, то Н = (х, у) ~ БЬ2(3); если п = 10, то Н ~ ^(б).
< Пусть V £ V собственный вектор для ху. Поскольку ху подобна диагональной матрице, характеристические корни которой взаимно обратны, vxy = XV, где X — примитивный корень п-ой степени из единицы. Отметим также, что х, у подобны диагональной матрице с диагональными элементами е, 1/е, где е = ( — 1 + %\[3)/2 и поэтому х2 + х + 1 = у2 + у + 1 = 0, т. е. х-1 = х2 = —1 — х, у-1 = —1 — у. Если V является собственным вектором и для х, то Н = (х, у) диагонализируема и поэтому ху = ух вопреки предположению. Следовательно, VI = V, V2 = vx образуют базу в V и
v1x = v2, v2x = vx2 = —V — vx = — v1 — v2. (2)
Далее, vxy = XV, так что vx = Xvy-1 = —Х^у + V), vy = —V — X-1vx и поэтому
v1y = — v1 — X-lv2, v2y = XV],. (3)
Равенства (2), (3) показывают, что V!, V2 — искомая база в V.
Непосредственно проверяется, что при п = 10, 4 элементы х, у удовлетворяют соотношениям леммы 5. >
Лемма 7. Пусть А — прямая сумма аддитивных циклических групп (а¿), I = 1,... ,п, одного и того же порядка рг, где р — простое число, г £ N и Е — группа автоморфизов подгруппы В = {а £ А| ра = 0}, порядок которой не делится на р. Тогда в АШ;(А) существует подгруппа, изоморфная Е, действие которой на В совпадает с действием Е.
< Очевидно, элементы Ъг = рг-1аг, I = 1,... ,п составляют базис элементарной абе-левой подгруппы В и для любого / £ Е в интервале [1, р — 1] существуют однозначно определенные целые числа ¿¿3(/), 1,3 = 1,... ,п, для которых
п
Ъг/ = ^ (/)Ъ3
3 = 1
и поэтому существует единственный эндоморфизм / группы А, для которого
п
аг/ = ^ ¿¿3(/)аз.
3=1
Поскольку / индуцирует автоморфизм группы А/рА, где рА = {рх\х £ А}, эндоморфизм / является автоморфизмом. Пусть Р = (/ \ / £ Р). Если и — подгруппа из Р, состоящая из тех автоморфизмов, которые индуцируют тождественный автоморфизм в А/рА, то и < Р и Р/и — Р. Так как и является р-группой, то по лемме 2 Р = иРо, где Ро П и = 1.
Для каждого / £ Р существует ровно один элемент /о из Ро такой, что /о = и/ для подходящего и £ и. Очевидно, что отображение ф : Ро ^ Р, определенное правилом /оф = /, является изоморфизмом Ро на Р. Более того, если /оф = /, то для щ = аг + рА, г = 1,... ,п, имеет место равенство
п
Щ/о = ^2 Ьз(/)а1.
3 = 1
Так как для каждого элемента аг + а из смежного класса аг + рА выполнено равенство рГп1(аг + а) = Ьг, то
п
Ьг/о = ^ (/)Ьу. > у=1
Следующая лемма хорошо известна. Мы дадим ее элементарное доказательство, использующее только самые начальные результаты теории групп.
Лемма 8. Пусть Р — конечная группа, действующая свободно на нетривиальной абелевой группе А. Тогда Р изоморфна такой подгруппе Р1 ^ ОЬ(У) для некоторого конечномерного векторного пространства V над полем комплексных чисел, что Р1 действует свободно на V, иными словами, любой характеристический корень любого нетривиального элемента из Р1 не равен единице.
< Будем использовать аддитивную запись в А и записывать результат действия элемента / £ Р на а £ А как а/. Пусть а — ненулевой элемент из А. Группа В = (а/ \ / £ Р) является конечно порожденной абелевой группой, содержащей а.
Пусть вначале а — элемент бесконечного порядка и С — множество всех элементов конечного порядка из В. Тогда В является Р-инвариантной подгруппой, и О = В/С — нетривиальная конечно порожденная группа без кручения, на которой Р действует свободно. Другими словами, Р содержится в ОЬп(Х) ^ ОЬп(0), где п — число свободных порождающих группы О, и й/ = (I для любой ненулевой целочисленной п-ки й и любого нетривиального элемента / из Р. Но тогда I/ = I и для любой рациональнозначной п-ки I. Таким образом, 1 не является собственным значением для /. Вкладывая ОЬп(0) в ОЬп(С), получим для этого случая справедливость заключения.
Можно, следовательно, считать, что А — конечная группа. Заметим, что в качестве а можно взять теперь элемент некоторого простого порядка р. В этом случае В — элементарная абелева р-группа. Очевидно можно считать, что А = В. Пусть |А| = рп и Аг — прямая сумма п циклических групп порядка рг. Отождествим А с подгруппой {а £ Аг \ ра = 0} из Аг. По лемме 7 действие Р можно продолжить на Аг и, следовательно, на прямую сумму 5 всех Аг, г £ N. Очевидно, это действие Р на 5 является свободным. Пусть Е = Епё(5). Группа Р действует свободно на аддитивной группе кольца Е и поскольку период Б не ограничен, аддитивный порядок тождественного автоморфизма Б (единицы кольца Е) бесконечен. В частности, аддитивная группа Е содержит элемент бесконечного порядка, и мы возвращаемся к уже рассмотренному случаю. >
Лемма 9. Пусть Р — группа, действующая свободно на нетривиальной (аддитивной) абелевой группе А.
(1) Если / — инволюция из Е, то а/ = —а для любого а £ А. В частности, / — единственная инволюция в Е и / £ 2 (Е).
(2) Если С — периодическая коммутативная подгруппа из Е, то Е — локально циклическая.
(3) Если С — конечная подгруппа из Е, порядок которой свободен от квадратов, то С — цклическая.
(4) Если Р — конечная примарная подгруппа из Е, то Р — либо циклическая, либо обобщенная группа кватернионов.
< Пусть / — инволюция из Е. Тогда (а + а/)/ = а + а/ для любого а £ А и пункт (1) доказан.
Для доказательства (2) достаточно показать, что подгруппа О = (х, у) является циклической для любых коммутирующих элементов х,у £ С. Но в этом случае О — конечная группа, действующая свободно на А, и по лемме 8 можно считать, что А является конечномерным векторным пространством над С. Отсюда следует, что для О существует общий собственный вектор а. Теперь отображение р, для которого р((1) = X(d) £ С, где d £ О и ad = X(d)a, является гомоморфизмом О в С*, ядро которого тривиально в силу свободы действия О на А, и поэтому О изоморфна конечной, а следовательно циклической подгруппе из С. Это доказывает (2).
Докажем (3). По лемме 1 С — метациклическая группа, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда 1С| = рд, где р,д — различные простые числа, р < д и значит С = (и^), где и" = и*, Ь £ N 1 ^ Ь < р, — 1 делится на р. По пункту (2) можно считать, что С неабелева и, значит, Ь = 1. Лемма 8 позволяет предполагать, что А — конечномерное пространство над С. Пусть а £ А — собственный вектор для и. Тогда аи = Xu, где X — отличный от единицы корень полинома хр — 1. Так как и" = и? для 2 £ N то а^-гтг) = аир = X*1 а, откуда (av-г)u = X*1 (av-г)' Поскольку все числа X*1, 2 = 1, 2,... ,д — 1, различны, векторы (av-г, 2 = 0,1,... ,д — 1 линейно независимы и, следовательно, Ъ = ^{a,av-1,..., av-q+1} = 0. Но теперь Ъv-1 = Ъ, что противоречит свободе действия Е на А.
Пункт (4) следует из (2) и леммы 11). >
Лемма 10. Пусть п — натуральное число и а — примитивный корень степени п из единицы в С. Тогда для любого целого г £{0,1,... ,п — 1}
агк 1 1 < к<п, (к, п) = 1}
где d = (г, п).
< Пусть вначале г = 1. Для каждого натурального Ь обозначим через д(Ь) сумму примитивных корней степени Ь из единицы. Очевидно,
/(п) = {аг| 2 = 0,1,... ,п — 1} = ^^{д(^Ж — натуральный делитель п}.
С другой стороны, /(п) — сумма всех корней полинома хп — 1, поэтому /(1) = 1 и /(п) = 0, если п > 1. По формуле обращения Мебиуса (лемма 3) д(п) = ^(п).
Пусть г любое. Тогда аг — примитивный корень степени n/d из единицы, агк = ат1, где I — остаток от деления к на d, и если (к,п) = 1, то (1,п) = 1. По предыдущему абзацу
^ [агк^ 1 < к< 1, (к,п) = 1}
= Е ^агкI 1 < к< п/й, (к,п/д) = 1})
р(п)/р(п/(1) = ^(п/(1)р(п)/р(п/(1). >
Лемма 11. Пусть ß — примитивный корень степени u из единицы, y — примитивный корень степени v из единицы в C, X + Х-1 + y + Y-1 = 1 и 1 < u ^ v. Тогда либо u = 4, v = 6, либо u = v = 10.
< Пусть n — наименьшее общее кратное чисел u и v, а — примитивный корень степени n из единицы. Тогда ß = ar, y = as для некоторых натуральных r и s, и
ar + a-r + as + a-s = 1.
Отображение а ^ ак, где (n,k) = 1, продолжается до автоморфизма поля C, поэтому для таких k
ark + a-rk + ask + a-sk = 1. Суммируя эти равенства по k, меньшим n, получим с учетом леммы 10
2p(n)ß(u)/p(u) + 2p(n)ß(v)/p(v) = ip(n),
откуда
ß(u)/p(u)+ ß(v)/p(v) = 1/2.
Так как lß(u)l ^ 1, то p(u) ^ 4, поэтому u € {2, 3,4, 5, 6, 8,10,12}.
Если u = 2, то p(u) = 1, ß(u) = —1 и ß(v)/p(v) = 3/2, что невозможно. Аналогично исключаются остальные возможности для u, кроме 4 и 10, для которых v равно 6 и 10, соответственно. >
Лемма 12. Пусть K — конечная группа, H — ее нетривиальная нормальная подгруппа и x € K — такой элемент порядка 3, что Ch (x) = 1. Если h € H, то подгруппа Ho = (h,hx) является x-инвариантной и Ho = (h) х (hx). Кроме того, (Hq,x) = (h,x) = (x, xh)
< Централизатор x в H(x) равен (x), и все подгруппы порядка 3 сопряжены в H(x). Если h € H, то (xh) — абелева подгруппа, порядок которой делится на 3. Поэтому (xh)3 = 1. Отсюда следует, что 1 = (xh)3 = xhx-1x-1hxh, т. е.
(h-1'f = hhx. (1)
Аналогично, 1 = (hx-1)3 = hhxhx2, т. е.
(h-1'f = hxh. (2)
Теперь из (1) и (2) вытекает, что (h, hx) — абелева подгруппа, инвариантная относительно x. >
Лемма 13. Пусть H — конечная группа, x — элемент порядка 3 в H. Предположим, что H = (xH) и для любого h € H подгруппа (x,xh) либо циклическая, либо изоморфна одной из групп A4, A5.
1) Если lH/O2(H)| = 3, то O2(H) — элементарная абелева группа и Co2(H)(x) = 1.
2) Если H/O2(H) ~ A5, то O2(H) = 1.
< Предположим противное. Пусть H — противоречащий пример наименьшего порядка и N — минимальная нормальная подгруппа группы H, содержащаяся в O2(H). Предположим вначале, что неверен пункт 1. По предположению E = O2(H)/N — элементарная абелева группа и Ce(x) = 1. Пусть h — элемент порядка 4 в O2(H). Если Co2(H)(x) = 1, то по лемме 12 h принадлежит подгруппе (x,xh), которая по условию не содержит элементов порядка 4. Итак, N ^ C(x) и поэтому N = (t), где t2 = 1. По лемме 12 элемент Nh фактор-группы H/N содержится в подгруппе (Nx, Nxh) порядка 4 и значит h € (x,xh,N) = (x,xh). Это по условию невозможно.
Теперь предположим, что неверен пункт 2. Тогда N = 02(Н) и H = NA, где A ~ A5 ~ SL2 (4). Поскольку N — неприводимый А5-модуль над полем порядка 2, INI = 16 и N либо естественный SL2 (4)-модуль, либо N можно получить из естественного 5-мерного подстановочного модуля группы А5 над полем порядка 2 факторизацией по одномерному подмодулю. Так как в первом случае x действует при сопряжении без неподвижных точек на некоторой силовской 2-подгруппе из H, которая по пункту 1 должна быть элементарной абелевой, то этот случай невозможен и, следовательно, N — фактор-модуль подстановочного модуля. В этом случае порождающие элементы v\,..., V4 группы N могут быть выбраны так, что для каждого элемента a из группы А, которую мы отождествляем с А5, выполнено равенство v? = Via, i = 1,..., 5, где V5 = V1V2V3V4. Без ограничения общности можно считать, что x = (1, 2, 3) Е А. Положим y = (1, 2, 4) Е А, V = V1V3. Тогда (x,y) ~ А4. Далее, (vx)3 = vxvxvx = vvx Vх = v1v3v3v2v2v1 = 1 и Vxy = V3V4 = v, поэтому (vxy)2 = vvxy = 1 и, следовательно, vxy — элемент порядка 4. С другой стороны, все элементы порядка 3 сопряжены с x и поэтому в силу предположения (vx, y) не может содержать элементов порядка 4. Это противоречие доказывает лемму. >
Лемма 14. Если группа G с некоммутирующими порождающими x, y порядка 3 действует свободно на нетривиальной (аддитивной) абелевой группе и порядки n, m элементов xy, xy-1 конечны, то G конечна и изоморфна SL2(5) или SL2(3).
< Заменив при необходимости y на y-1 можно считать, что n ^ m. Понятно, что G действует свободно, а следовательно и точно, на каждой нетривиальной G-инвариантной подгруппе из V. Пусть u — элемент из V. Поскольку (ux2 + ux + u)x = ux2 + ux + u и G действует свободно на V, ux2 + ux + u = 0 и
ux-1 = ux2 = —u — ux для любого u Е V. (4)
Точно так же,
uy-1 = —u — uy для любого u Е V. (5)
Пусть теперь v Е V — нетривиальный элемент. Определим щ = v(xy)i, Vi = v(xy)ix, i = 0,1,... ,n — 1. Тогда, очевидно,
u-ix = Vi, i = 0,1,...,n — 1 (6)
и по (4), (6)
Vj,x = ux2 = —u-i — u-ix = —u-i — v-i, i = 0,1,... ,n — 1. (7)
С другой стороны, по (6),
Viy = u-xy = ui+1 для i <n — 1, Vn-1y = v(xy)n = V = uo. (8)
Теперь (5) и (8) дают vi = ui+1y-1 = —ui+1 — ui+1y для i < n — 1 и vn-1 = u0y-1 = —u0 — u0y, поэтому
uoy = —uo — Vn-1, uj y = —uj — Vj-1, j = 1,...,n — 1. (9)
По (6)—(9) подгруппа U = (u-,v-\ i = 0,1,...,n — 1) является G-инвариантной. Если порядок элемента v конечен, то U и, следовательно, G конечны. В этом случае по лемме 8 U можно заменить на векторное пространство над полем комплексных чисел. Поэтому можно считать, что V без кручения, откуда следует, что U — конечномерный ZG-модуль.
Очевидно, О действует свободно на и 2 С, и без потери общности можно предполагать, что этот СО-модуль совпадает с V. Пусть и £ V — собственный вектор для ху, т. е.
и(ху) = \и, (10)
где А £ С. По (5) и (10),
их = Аиу-1 = А(-и — иу). (11)
Положим У)\ = и, Ш2 = их. Тогда (4), (5) и (11) показывают, что
ю1х = ю2, ш2х = —ю1 — ю2, ш\у = —ю1 — А-1т2, ш2у = Аю1. (12)
Отсюда следует, что подпространство Ш, порожденное элементами У)\, Ш2, является О-инвариантным. Если Ш одномерно, то О абелева вопреки предположению. Если Ш двумерно, то У)2 составляют базу в Ш и (12) показывает, что О изоморфна подгруппе в БЬ2(С), порожденной матрицами
х = (_°1 Л), у = ("а1 — Г) . (13)
( А 0 ) -1
где А — примитивный корень п-ой степени из единицы. Тогда ху = I 1 а а^ I ' ху
АА 1 11) , где А — примитивный корень п-ой степени из единицы. Если 7, 1—
характеристические корни элемента ху-1, то след ху-1 равен 7 + 7-1 = 1 — А — А-1, т. е. _1 + А + А-1 = 1. По лемме 11 число п равно 4 или 10, и лемма следует из леммы 6. >
3. Доказательство основных результатов
Доказательство теоремы 1. Если все элементы их X перестановочны, то |О| = 3 по лемме 9 и в этом случае заключение теоремы 1 верно. Поэтому в дальнейшем будем считать, что в X есть пара некоммутирующих элементов и значит в О по лемме 14 есть элемент г порядка 2. По лемме 9 г является единственной инволюцией в О. По леммам 1, 9, 14 для О = О/(г) и образа X множества X в группе О выполнены следующие условия: любые два неперестановочных элемента из X порождают подгруппу, изоморфную РБЬ2(3) ~ А4 или РБЬ2(Ъ) ~ А5, и любая конечная р-подгруппа из О является циклической группой или 2-группой диэдра. Таким образом, теорема 1 вытекает из следующего утверждения.
Предложение. Пусть О — некоммутативная группа, порожденная таким инвариантным множеством X элементов порядка 3, что любые два неперестановочных элемента из X порождают подгруппу, изоморфную А4 или А5, и любая конечная 3-подгруппа из О является циклической, а любая конечная 2-подгруппа — двупорожденной. Тогда О изоморфна А4 или А5.
< Скажем, что упорядоченная тройка (х, у, г) элементов х,у,г £ О удовлетворяет условию Т, если х,у,г £ X, х = у = г = х и (ху)2 = (хг)2 = 1.
Лемма 15. Пусть Н = (х, у, г), где (х, у, г) удовлетворяет условию Т.
1) (у-1г)х = уг-1 и [у, г] = 1.
2.1) Если (хгу)2 = 1, то (угу)х = г-1 у.
2.2) Если (х-1гу)2 = 1, то (у-1 гу-1)х = у-1г-1.
2.3) Если (zyzyx)2 = 1, то (zy-1z-1)x G (y,z).
3) Если x G B = (y, z), то B ~ A4, (yz)2 = 1 и H ~ A5.
< По предположению yx = x-1y-1, zx = x-1z-1 и поэтому (y-lz)x = (x-1y-1)(zx) = (yx)(x-1 z-1) = yz-1. Если [y, z] = 1, то (y-1z)x = (y-1z)-1. Поскольку порядок x равен 3, y-1z = (y-1z)-1 и поэтому y2 = z2, т. е. y = z, что противоречит предположению. Это доказывает 1).
Пусть (xzy)2 = 1. Тогда 1 = (zyx)2 = y-1 z(yx)y-1 zyx = y-1 zx-1)y-1y-1 zyx = y-1z(yzy)x, что доказывает 2.1). Доказательство 2.2) подобным же образом вытекает из равенств 1 = (zyx-1)2 = y-1 zyx-1 y-1 zyx-1 = y-1 zy-1xzyx-1.
Если (zyzyx)2 = 1, то использование 1) дает zyzyx = y-1 zyx-1 y-1 zyx = y-1zy(y-1z)xx-1yx = y-1zyyz-1 x-1(yx) = y-1 zy2 z-1 xy-1, и поэтому 1 = (zy zyx)2 = y-1zy2z-1x(y-1y-1)zy2z-1xy-1 = y-1zy2 z-1 (xy) zy2 z-1 xy-1 = y-1zy2z-1y-1(x-1zy2z-1x)y-1, откуда вытекает, что (zy-1z-1)x = x-1(zy2z-1)x G (y,z). Это доказывает 2.3).
Пусть x G B. Докажем вначале, что x G Nh(B). Предположим противное. Тогда B нормальна в H и поэтому yH С B. Так как (xy)2 = x3 = 1, то xy-1 = yx G B, т. е. x G B.
По 1) [y, z] = 1. Если (yz)2 = 1, то по пункту 2) леммы 4 B ~ A4 и H ~ A5. Таким образом, по пунктам 1) и 3) леммы 4 можно считать, что либо (y-lz)2 = 1 и B ~ A4, либо B ~ A5 и (y-1 z)5 = 1. Кроме того, либо [x,zy] = 1, либо (xzy)2 = 1, либо (x-1zy)2 = 1,
либо (zyzyx)2 = 1.
Если [x,zy] = 1, то по 1) (zy,y-1z)x ^ B. Однако (zy,y-1z) = (y-1zy,y-1 z) = B, поэтому x G Nh (B), что противоречит условию.
Если (x-lzy)2 = 1, то по 1) и 2.2) Bx = (y-1z,y-1 zy-1)x ^ B, что невозможно.
Если (zyzyx)2 = 1, то по 1) и 2.3) Wx ^ B, где W = (y-1z, zy-1z-1) и поэтому W = B. В случае, когда (y-1z)2 = 1, это невозможно, поскольку порядок элемента zy-1z-1 равен 3 и (y,z) ~ A4. В случае, когда (y,z) ~ A5, это также невозможно, поскольку при таких обстоятельствах порядок первого порождающего элемента группы W равен пяти, а второго — трем.
Итак, (xzy)2 = 1, и по 1) и 2.1) (y-1 z,yzy)x ^ B. Следовательно W = (y-1 z,yzy) = (y-1z, (y-1z)y) = B. Если B ~ A5, то порядок y-1z равен 5 и, поскольку (y-1z) = ((y-1z)y), подгруппа W совпадает с B. Отсюда B ~ A4 и неравенство W = B возможно только если y-1z порядка 2. В этом случае W = Ü2(B) и поэтому W нормальна в H. Поскольку образы элементов y и z в H/W совпадают, H/W изоморфна фактору (x, y) ~ A4. Таким образом, H содержит нормальную 2-подгруппу индекса 3, и теперь 3) следует из леммы 13. >
Рассмотрим вначале случай, когда любые два неперестановочных элемента из X порождают подгруппу, изоморфную A4. Пусть x,y G X такие, что A = (x,y) ~ A4. Если A = G, то существует такой элемент z G X, что z G A и [x, z] = 1. Тогда (x,z) ~ A4 и без потери общности (xy)2 = (xz)2 = 1. По пункту 2) леммы 15 D ~ A5. Однако все элементы порядка 3 в A5 сопряжены и два из них порождают A5. Это противоречит условию. Таким образом, X содержит пару элементов, порождающих подгруппу H, изоморфную A5. Поскольку все элементы порядка 3 в A5 сопряжены, любой элемент из X сопряжен в G со своим обратным элементом. Кроме того, H содержит такие различные элементы b, c, d из X, что (bc)2 = (bd)2 = (cd)2 = 1. Наша цель — показать, что H = G. В противном случае существует такой элемент x из X, что с точностью до переобозначений выполнены условия следующей леммы, доказательство которой завершает доказательство предложения и теоремы 1, поскольку в A§ силовская 3-подгруппа не является циклической. >
Лемма 16. Пусть x, b, c, d —различные элементы из X, для которых (xb)2 = (bc)2 = (bd)2 = (cd)2 = 1 и x G A = (b,c,d).
1) Если (xc)2 = 1, то (xd)2 = 1.
2) Существует такой элемент a G X, что (ab)2 = 1 и либо a G (x, b, c) и (ac)2 = 1, либо a G (x, b, d) и (ad)2 = 1. В частности, (x, b, c, d) = (a, b, c, d) ф A6.
< По пункту 2) леммы 4 A ф A5.
1) Отметим, что (b,x,c) и (b,x,d) satisfy the condition T. Если (x, d) ф A5, то по п. 3) леммы 15 b,c G (x, d). Отсюда (x,b,c,d) = (x,d) ф A5 ф A и поэтому x G A, что противоречит условию. Следовательно, (x,d) ф A5 и по п. 1) леммы 15 (x,d) ф A4. Если (xd)3 = 1, то по п. 3) леммы 15 b, c нормализуют B = Û2((b,d)) и поэтому A ф A5 нормализует B. Отсюда A централизует B, что неверно. Таким образом, (xd)2 = 1.
2) Если x, b, c порождают подгруппу, изоморфную A5, то по п. 5) леммы 4 существует такой элемент a G (x, b, c) ПX, что (a, b, c) = (x, b, c) и (ab)2 = (ac)2 = 1. По п. 1) (ad)2 = 1, и лемма в этом случае верна.
Итак, можно считать, что (x,b,c) ф A5, а из-за симметрии между c и d, что также (x, b, d) ф A5. По п. 3) леммы 15 b, c нормализуют Û2((x, d)), и противоречие получается так же, как в доказательстве п. 1).
Доказательство теоремы 2. Пусть G — конечная группа, порожденная элементами простых порядков и действующая свободно на абелевой группе.
Пусть вначале C = (x G G| x3 = 1) — циклическая группа.
Лемма 17. G — циклическая группа, порядок которой свободен от квадратов.
< Индукция по порядку группы. Покажем вначале, что G обладает нормальным
2-дополнением. В противном случае по лемме 1. 3) в G силовская 3-подгруппа нетривиальна и |C| =3. Если Ng(C) = Cg(C), то по лемме 1, 2) G обладает нормальным
3-дополнением и, следовательно, силовская 3-подгруппа имеет порядок 3 и лежит в центре G. Но тогда G обладает нормальным 2-дополнением. Если же Ng(C) = Cg(C), то в Ng (C) \ Cg(C) все элементы имеют непростые порядки, что невозможно. Понятно теперь, что порядок силовской 2-подгруппы не превосходит числа 2, поэтому все силовские подгруппы из G являются циклическими и G — метациклическая группа по лемме 1, 1). Если p — наменьшее простое число, делящее |G|, то по лемме 1, 2) G обладает нормальным p-дополнением Q. Понятно, что индекс этого дополнения равен p и элемент x порядка p по лемме 9 централизует любую силовскую подгруппу из G, которую он нормализует. Поэтому x лежит в центре G и G = Q x (x). Теперь утверждение леммы вытекает из индукционного предположения. >
Пусть C — нециклическая группа. По теореме 1 G изоморфна SL2(3) или SL2(5). В любом случае |G : Cg(C)C| ^ 2. Если |G : Cg(C)C| = 2, то G не может быть порождена элементами простых порядков, поэтому G = Cg(C)C и по лемме 9 (|C|, |Cg(C)|) ^ 2. Понятно теперь, что порядок Cg(C) свободен от квадратов и что строение G соответствует заключению теоремы.
Пусть теперь подгруппа Go нетривиальной группы G, порожденная всеми элементами простых порядков, является прямым произведением циклической холловой подгруппы Z = (z), порядок которой свободен от квадратов, и группы, изоморфной SL2(5), SL2(3) или тривиальной группе. Пусть ( G C— примитивный корень степени |Z| из единицы. Если Z = 1, то она действует свободно на двумерном векторном пространстве V на C умножением каждого v G V на соответствующую степень (. Легко проверить, что действие S = SL2(p), p = 2, 3, на V, описанное в доказательстве леммы 14, является свободным. Кроме того, оно продолжается до свободного действия группы Z x S, если
(|S|, IZ|) = 1. Очевидно, действие группы G на VG, индуцированное описанным действием Go на V, является свободным.
Доказательство теоремы 3. По теореме 1 C = (x £ G| x3 = 1) изоморфна SL2(5). Так как | Out(C)| =2 и Cg(C) по леммам 9 и 1, п. 1) — метациклическая группа, порядок которой взаимно прост с числом 15, а силовская 2-подгруппа имеет порядок 2, то заключение теоремы справедливо.
Литература
1. Zassenhaus H. Uber endliche Fastkorper // Abh. Math. Semin. Univ. Hambburg.—1935.—V. 11.—P. 187220.
2. Wolf J. A. Spaces of constant curvature.—Berkley: Univ. of California press, 1972.—408 p.—(Пер. на рус. яз: Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны.—М.: Наука, 1982.—480 c.)
3. Мазуров В. Д. Характеризация знакопеременных групп // Алгебра и логика.—2005.—Т. 44, № 1.— C. 54-69.
4. Холл М. Теория групп.—М.: ИЛ, 1962.—468 c.
5. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.—М.: Наука, 1972.—240 c.
6. Кострикин А. И. Введение в алгебру.—М.: Наука, 1977.—495 c.
7. Carmichael R. D. Introduction to the theory of groups of finite order.—Boston, 1937.—447 p.
Статья поступила 24 января 2008 г.
Мазуров Виктор Дднилович Институт математики СО РАН Новосибирск, 630090, РОССИЯ E-mail: [email protected]
