О периодической части группы Шункова, насыщенной l 2 (p n) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Экспериментальные результаты подтверждают работоспособность предлагаемого метода, быстродействие которого увеличивается на 20...25 % по сравнению с методом последовательного перебора, не ухудшая качества сопоставления точечных особенностей.

Библиографические ссылки

1. Bay H., Ess A., Tuytelaars T., Van Gool L. // Computer Vision and Image Understanding. 2008. Vol. 110. P. 346-359.

2. Фаворская М. Н., Шилов А. С. Алгоритмы реализации оценки движения в системах видеонаблюдения // Системы управления и информ. технологии /

ИПУ РАН ; ВГТУ. № 3.3(33). М. ; Воронеж, 2008. С. 408-412.

3. Гришин В. А. Оценка точности установления соответствия в системах технического зрения // Цифровая обработка сигналов. 2008. № 4. С. 2-6.

4. Форсайт Д. А., Понс Ж. Компьютерное зрение. Современный подход : пер. с англ. М. : Вильямс,

2004.

5. Konouchine A., Gaganov V., Vezhnevets V. AMLESAC: A New Maximum Likelihood Robust Estimator // Proc. of Graphicon-2005. Novosibirsk, 2005. P. 93-100.

6. Nister D., Stewenius H. Scalable recognition with a vocabulary tree // Proc. of CVPR. Washington, 2006. P. 2161-2168.

M. N. Favorskaya, I. V. Tupitsyn

HIERARCHICAL METHOD OF SEARCH OF CORRESPONDING POINTS AT STEREOIMAGES

The authors consider problems of search of corresponding points at stereoscopic pairs. Analysis of the basic algorithms of revelation ofpoint features, search and estimation of their match conditions, is presented. A new hierarchical method of search of corresponding points at stereoscopic images is considered in details. Experimental results confirm advantages of the proposed approach.

Keywords: stereoscopic image, point features, projection distortions, affine transformations.

© Фаворская М. Н., Тупицын И. В., 2012

УДК 512.54

К. А. Филиппов

О ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЧАСТИ ГРУППЫ ШУНКОВА, НАСЫЩЕННОЙ L2 (pn)

Пусть I - множество индексов, Ка - конечное поле для любого а е I, М = \Ь2 (Ка )|а е 1} и N = {5Х2 (Ка ) | а е 11. Доказано, что группа Шункова О, насыщенная группами из множества М (соответственно N), обладает периодической частью Т (О), изоморфной Ь2 (Р) (соответственно БЬ2 (Р) для подходящего локально конечного поля Р.

Ключевые слова: насыщенность, группа Шункова, периодическая часть.

Группа О насыщена группами из множества групп Ш, если любая конечная подгруппа из О содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из Ш[1].

Напомним определение группы Шункова. Группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе, включая единичную, любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу.

В данной работе I означает множество индексов, Ка - конечное поле для любого а е I,

М = {12 (К а )|а е I} И N = {Ж2 (Ка )|а е I} . О™е"

тим, что для различных а и в характеристики полей К а и Кр могут быть различными.

В [2] доказано, что произвольная периодическая группа О, насыщенная группами из множества М (соответственно N), изомофна Ь2 (Р) (соответственно 5Х2 (Р)) для подходящего локально конечного

поля Р. В данной работе этот результат переносится на группы Шункова без предположения о их периодичности.

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 1. Группа Шункова О, насыщенная группами из множества М , обладает периодической

частью Т (О), изоморфной простой группе Ь2 (Р)

над подходящим локально конечным полем Р .

Теорема 2. Группа Шункова О, насыщенная группами из множества N, обладает периодической частью Т (О), изоморфной группе БЬ2 (Р) над подходящим локально конечным полем Р.

Доказательство теоремы 1. Пусть О - контрпример к теореме 1. Обозначим через £ силовскую 2-подгруппу группы О .

Лемма 1. Если в периодической группе О некоторая силовская 2-подгруппа конечна, то все силовские 2-подгруппы из О конечны и сопряжены.

Доказательство. Обозначим через £ конечную силовскую 2-подгруппу группы О и пусть |£| = 2к . Воспользуемся индукцией по к. При к = 1, |£| = 2 , £ = , где s2 = 1. Возьмем другую силов-

скую 2-подгруппу £1 из О со свойством £1 ф £. Для любой инволюции у е £1, группа

В = (у,^ = {(£) 5) = (М) у) - конечный диэдр. Так

как £ является силовской 2-подгруппой в О, то таковой она будет и в В , следовательно, М - подгруппа нечетного порядка и для некоторого х е 5 = ух е £1х . Последнее означает, что £ с £1у , а так как £ - силовская 2-подгруппа в О, то £ = £1у. Итак, для к = 1 утверждение леммы доказано. Рассмотрим случай к > 1. Пусть, как и выше, - некоторая си-

ловская 2-подгруппа в О и £1 ф £. Пусть 5 е 2 (£), |5 = 2 и х - произвольная инволюция из £1. Группа Р = (х,^ = М ^ - конечная группа диэдра и либо 5 = ху для некоторого х е(М) и £ п £1у ф 1, либо (М) содержит инволюцию и е СО (5) п СО (у). В фактор-группе СО (5) /(5) все силовские 2-подгруппы

конечны и сопряжены (индуктивное предположение),

и, следовательно, можно считать, что и е £, для некоторого у е О .

Пусть Б2 силовская 2-подгруппа, содержащая

х(х}. Очевидно, и е Б2 п £ . Если Б2 = (Бу)8 для

некоторого 8 е О, то, очевидно, и е £1 п £у8 ф 1. Если же для любого 8 е О выполняется неравенство £2 ф (£у)8 , то возьмем в качестве группу £2. Таким образом, можно считать, что в множестве всех несопряженных с £ силовских 2-подгрупп найдется такая, мы ее обозначим через £1, что £1 п £ ф 1. Более того, используя конечность £ , можно считать, что пересечение В = £1 п £ - максимально возможное по порядку для любой другой силовской 2-подгруппы X, несопряженной с £ |Х п £| < |в| .

Из всех пересечений указанного вида выберем максимальное по порядку, т. е. В = £ п £1у и для любого у е о|£п £1у | < |в|. Используя нормализаторное

условие в 2-группах, выбираем элементы х1 е £ (£ п £1) и у1 е £1 \ (£ п £1) со свойством

х12 е В , у12 е В (х1 ,у1) е N (В). Группа

Ь = {р, х1, у1) конечна и в ней силовские 2-подгруппы сопряжены. Пусть

(В, х^ с £2 с Ь,

(Д у^ с £з с £у/2ь.

Поскольку |(В, х^)| > |в|, то для некоторого В справедливо включение £2 8 с £ . Так как Ь конечна, то £2 = Б3к для некоторого к е Ь . Отсюда Б3к8 с £ и £3 с к , т. е. (В, у!) с к-1 п £1 или

(В, у!)к с £ п Б1к8 , но |(В, у^|ку > |в|. Последнее

означает, что £ и £1к8 сопряжены, а значит, £ и £1

также сопряжены. Противоречие с выбором £1 .

Лемма доказана.

Лемма 2. Группа Шункова, насыщенная группами диэдра, обладает периодической частью, которая является (локально) конечным диэдром.

Доказательство. Возьмем 1 ф Ь е О и |Ь| = р > 2,

где р простое число. Конечная группа (ъ, Ьх^ лежит

в конечном диэдре из О и Ь = (ьх). Следовательно,

все элементы из О, имеющие простой порядок ф 2, образуют в О нормальную (локально) циклическую подгруппу N . Фактор-группа О1 = О / N является группой Шункова и насыщена группами диэдра. Относительно группы О1 повторим рассуждения, проведенные выше для О . Подгруппу из О1 , порожденную всеми элементами простых порядков ф 2, обозначим N2. Она локально циклическая и нормальна в О1. Положим, что О2 = О1 / N2 - группа

Шункова и насыщена группами диэдра. Действуя индуктивно, строим цепочку подгрупп

N1 с N2 с ... с Nk с ..., где Nk - полный прообраз Nk в О. Положим N = иNk . Фактор-группа О = О / N является группой Шункова. Так как N локально конечна, то О насыщена группами диэдра и состоит из 2-элементов и элементов бесконечного порядка.

Положим О = О . Пусть Ь е О , |Ь| = 4 , а е (Ь^ и

а2 = 1. Для произвольной инволюции х е О(х,а} = =м ч х) = (М) а) - конечный диэдр. Если

|(М) > 2, то (рМ) - конечна, ( е(М),Щ = 4) и яв-

ляется подгруппой конечного диэдра из О, что невозможно, так как = 4. Итак, |М| = 2 , что означа-

ет перестановочность а и х , в частности, перестановочны а и а8 для любого 8 е О . Из последнего вытекает конечность ^Ь,ЬО^ (свойство группы Шункова). По условию насыщенности (ь,Ь0^ лежит в конечном диэдре из О , что возможно только в случае Ь = (ь8^ . Таким образом, Ь < О . Пусть теперь (Ь1> ф (Ь2> и |Ь^ = |Ь2| = 4 . По только что доказанному Ь) < О и (Ь2) < О . Следовательно, (Ь^ (Ь2) - конечная нормальная подгруппа в О , которая по условию насыщенности является подгруппой конечного диэдра из О, т. е. (Ь^ = (Ь2), что противоречит нашему предположению. Итак, О содержит единственную подгруппу порядка 4 .

Возьмем инволюцию / е О / N . Пусть х е О и

^ ф / и группа Т = ^,^ - конечный диэдр. Группа М = локально конечна и насыщена группами диэдра. Следовательно, М = Ы (/) = Ь^. Последнее

означает, что в фактор-группе О = О / N инволюции / и /х перестановочны. Этим доказано, что О обладает периодической частью Т , которая является 2-группой. По теореме Шмидта ее полный прообраз Т является периодической частью группы О . Лемма доказана.

Лемма 3. Все инволюции из О сопряжены.

Доказательство. Пусть х, у - две различные инволюции из О . По условию насыщенности (х,у) с Ь с О , где Ь = Ь2 (Ка). Хорошо известно, что

в Ь2 (Ка) все инволюции сопряжены [2]. Следовательно, для некоторого 8 е Ь, х = у8 . Лемма доказана.

Лемма 4. Если £ - конечная группа, то все силовские 2-подгруппы из О сопряжены и £ - одного из следующих типов:

1) £ - группа диэдра;

2) £ - элементарная абелева группа и £ > 4.

Доказательство. То, что все силовские 2-подгруппы группы О конечны и сопряжены, вытекает из [4]. По условию насыщенности £ с Ь с О и Ь = Ь2 (Ка). По [3, с. 9-10], £ либо типа 1, либо

типа 2. Лемма доказана.

Лемма 5. Если £ - бесконечная группа, то все си-ловские 2-подгруппы из О сопряжены и £ - одного из следующих типов:

1) £ = ^ , где £ - квазициклическая 2-группа,

/2 = 1 и = 5 1 для любого 5 е £ ;

2) £ - бесконечная элементарная абелева группа.

Доказательство. Предположим вначале, что в О нет элементов порядка 4. Тогда в О любая 2-подгруппа, в частности £ , элементарная абелева. Пусть £1 - другая силовская 2-подгруппа группы О . Возьмем инволюцию х е £ и инволюцию у е £1. По условию насыщенности {х, у) с Я = Ь2 (Ка ) . Следовательно, х = у8 для некоторого 8 е Я и х е £ п £18 . Пусть £ ф £18 . Возьмем инволюцию

V е £ \ £ п £18 и инволюцию £ е £18 \ £ п 518 . По условию насыщенности конечная группа (х, V, w) с Ь = Ь2 (Кр) и (х, V, w) с СЬ (х). Рассмотрим случай, когда Кр - конечное поле нечетной характеристики.

Тогда К1 = (х} х(^ и К2 = (х} х(^ являются си-ловскими 2-подгруппами группы Ь и сопряжены в ней при помощи некоторого элемента Ь е Ь, К1Ь = К2.

Таким образом, | £ п £18Ь > 4 . Предположим,

что £ ф £18Ь1. Для любых инволюций / е £ \ £ п £18Ь

и г е £18Ь \ £ п £18Ь группа (К1, /, ^ конечна и по условию насыщенности группа (К1, /, ^ с N = Ь2 (Ку). Так как К1 х (- элементарная абелева группа порядка 8, то Ку - конечное поле характеристики 2. Но тогда (К1, /, ^ с М е Бу/2N, М - элементарная абелева группа и инволюции /,г перестановочны. Последнее означает поэлементную перестановочность групп £ и £18Ь . Так как обе они являются силовскими 2-подгруппами из О , то £ = ££18Ь = £18Ь . Рассмотрим случай, когда Кр имеет характеристику 2. Здесь, рассуждая, как и для группы N, снова получаем поэлементную перестановочность групп £ и £18 , что влечет равенство £ = £18 . Итак, если О не содержит элементов порядка 4, то £ типа 4 и все силовские 2-подгруппы из О сопряжены.

Предположим теперь, что О содержит элемент порядка 4. Покажем, что в этом случае £ так же содержит элемент порядка 4. Предположим обратное. Пусть а - фиксированная инволюция из £ и а е (М) £ , где | М|= 4 (лемма 3). По условию на-

сыщенности, конечная группа (М, ^ , где г - произвольная инволюция из £ , отличная от а , лежит в некоторой Ь = Ь2 (Ка), где Ка - конечное поле

нечетной характеристики (|М| = 4). По [3] (а) - конечная группа диэдра. Но тогда М = М 1 и группа является 2-группой. Так как £ - силовская 2-подгруппа группы О, то = £, т. е. (М) с £. Противоречие с выбором М .

Итак, без ограничения общности можно считать, что М с £. В этом случае £ насыщена группами

диэдра, 2(£) = (а) и, по [5, лемма 15], £ = ^,

где £ - квазициклическая 2-группа, /2 = 1 и для любого 5 е £ , ^ = 5_1.

Докажем сопряженность силовских 2-подгрупп для нашего случая. Пусть £1, £2 е £у/2О. По доказанному выше, £1 = ^ , £2 = ^, где £1, £2 - ква-

зициклические 2-группы, V2 = м>2 = 1 и £11' = £11, £\ = ^ для любых £1 е £ и £2 е £2. Пусть /,] -инволюции из £1 и £2 соответственно. Так как (/,у) с К с О и К = Ь2 (Ка), то для некоторого х е К , I = ]х и, следовательно, 1 ф / е £ п £2 . Но тогда £ п £2. Положим Я = £ п £2 . Тогда £1 = ЯХ( ^^, силовская 2-подгруппа в N = NО (Я)/Я конечна и имеет порядок 2. Следовательно, для некоторого 8 е N , (т^Я)8 = /Я . Пусть

8 = 8Я , тогда очевидно ^1 = £1 и лемма доказана.

Лемма 6. Если СО (а) содержит конечное число элементов конечного порядка, теорема 1 верна.

Доказательство. Если СО (а) содержит конечное число элементов конечного порядка, то, по теореме Дицмана, СО (а) обладает периодической частью

Т (СО (а))= Та и Либо Та = (Ь) I (?) , Либо Та = £о -

элементарная абелева группа, где £0 типа 2 из леммы 4. В этой ситуации О так же содержит конечное число элементов конечного порядка. Так как в противном случае, по теореме А. К. Шлёпкина, в О есть бесконечная локально конечная подгруппа М такая, что |Ь| > т, где т - произвольное число. Ясно, что

в этом случае |Та| так же может быть сколь угодно большим, чем |Ь х(и |£0|. Лемма доказана.

Лемма 7. Если СО (а) содержит бесконечное число элементов конечного порядка, теорема 1 верна.

Доказательство. Пусть К - конечная подгруппа из С . По условию насыщенности, К с Ь ^ Ь2 (Ка ) и

К с СЬ (а). В данном случае либо все СЬ (К) - конечные группы диэдра, либо элементарные абелевы 2-группы (леммы 4, 5). В этом случае периодическая часть Та является либо локально конечным диэдром,

либо бесконечной элементарной абелевой 2-группой. Обе эти структуры не могут существовать одновременно и О обладает периодической частью, изо-

морфной Ь2 (2) для подходящего локально конечного поля 2 . Лемма доказана.

Лемма 8. О обладает локально конечной простой подгруппой Ь такой, что СО (а) с Ь и Ь = Ь2 (Р),

где Р - локально конечное поле нечетной характеристики р .

Доказательство. Как следует из леммы 6, СО (а)

представима в виде объединения возрастающей цепочки конечных подгрупп диэдра

В с... сВп с..., (1)

причем без ограничения общности можно считать, что |Вn|> 4 и каждая из подгрупп Вп совпадает с централизатором инволюции а в некоторой простой подгруппе Ьп из О, где Ьп = Ь2 (Ка) , причем Ка -конечное поле нечетной характеристики. Таким образом, Вп с Ьп , Вп с СЬп (а) и цепочке (1) поставлена

в соответствие последовательность

А,..., Ьп,... (2)

конечных простых подгрупп из О .

Далее, Вп = СпX (/), где Сп - циклическая группа. По [3, с. 9-10], инволюции а и / сопряжены в Ьп, в частности, подгруппа СЬп (а) = Вп сопряжена в Ьп с подгруппой Тп = СЬп (/). По лемме 6, подгруппа Сп в СО (а) однозначно определена своим порядком тп =|Cn|; то же самое верно для подгруппы ¥п, где ¥п - однозначно определяемая циклическая подгруппа порядка тп > 2 из Тп = УпЦа) с Со (/). Ввиду сопряженности инволюций а и / в О и однозначной определимости циклической подгруппы Уп в О своим порядком М п (лемма 6), подгруппы Тп так же, как и подгруппы Вп , составляют цепочку

Т с ...Тп с.... (3)

В силу [3, с. 9-10], имеем Ьп = (Тп,Вп). Из (1), (3)

вытекает, что последовательность (2) на самом деле составляет цепочку

Ь1 с ...Ьп с.... (4)

а

Пусть Ь = и Ьп . По построению СО (а)с Ь .

п=1

По [6], Ь - локально конечная простая группа, изоморфная Ь2 (Р), где Р - локально конечное поле характеристики р . Лемма доказана.

Лемма 9. Пусть Ь - подгруппа из формулировки предыдущей леммы 5. Тогда периодическая часть Т (О) = Ь.

Доказательство. Предположим, что Ь ф О . Покажем, что Ь - сильно вложенная подгруппа в О .

Для этого достаточно показать, что для любого 8 є а\Ь подгруппа ЬпЬ8 не содержит инволюций.

Пусть V - инволюция из Ь п Ь8 , где V = V8 , причем V є Ь. Все инволюции в Ь сопряжены [3, с. 9-10], поэтому V81, = V для некоторого элемента Ь є Ь . Тогда 8^ є Са (V), и так как по леммам 5, 6 Са (V) с Ь , то и 8 є Ь , вопреки выбору элемента 8 . Значит, для любого элемента 8 є а\Ь подгруппа ЬпЬ8 не содержит инволюций, Ыа (Ь) = Ь, Ь сильно вложена в а.

По [1], а - простая группа. Следовательно, в а\Ь найдется инволюция V. Пусть V - произвольная инволюция из Ь . Так как а - периодическая группа, то группа К = (у, ^ конечна и по условию

насыщенности К с М с а, где М = Ь2 (Ка) и Ка -

конечное поле нечетной характеристики. Положим Н = М п Ь и пусть г - произвольная инволюция из Н , а 8 є М . Как показано выше, из г следует, что

8 є Н . Следовательно, подгруппа Н сильно вложена в М. Тогда, по теореме Бендера (4.24, [7]), М -простая группа Шевалле характеристики 2 лиева ранга 1. Что возможно только в случае

М = Ь2 (22) = Ь2 (5), Н совпадает с нормализатором

силовской 2-подгруппы из М и имеет порядок 12. Другими словами Н = А4.

Пусть теперь ё - элемент порядка три из Н , х -инволюция из М\Н, инвертирующая ё,у - инволюция из Ь\М, инвертирующая ё [3, с. 9-10]. Так как а - периодическая группа, то группа Я = (ё, х, у^ конечна и по условию насыщенности

Я с М1 с а , где М1 = Ь2 (Ка) и Ка - конечное поле нечетной характеристики. Положим Н1 = М1 п Ь . Так как у є Н1, то Н1 - сильно вложенная подгруппа

в М1 = Ь2 (5) = Ь2 (22) и Н1 = А4. Последнее невозможно, так как в этом случае А4 содержит инволюцию, инвертирующую элемент порядка три. Противоречие со строением А4 .

Итак, а\Ь не содержит инволюций, что эквивалентно (при условии Ь Ф а) существованию нетривиального нормального делителя группы а . Однако а, как отмечалось выше, простая группа. Противоречие. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Если К содержит только БЬ2 (Ка) и Ка - конечное поле характеристики 2, то все доказано в силу теоремы 1, так как в этом случае БЬ2 (Ка) = Ь2 (Ка). Следовательно, Я содержит £Ь2 (Кр), Кр - конечное поле нечетной характеристики и | Ка |> 5 . Обозначим через г инволюцию

из БЬ2 (Кр). Для любого 8 е Б группа Б^х, х8^ конечна. По условию насыщенности Б с К с О, и либо К = 5Х2 (Ку ) и Ку - конечное поле нечетной характеристики, либо К = Ж2 (К5) и К5 - конечное поле характеристики 2. Покажем, что ситуация К = БЬ2 (К5) невозможна. Действительно, в этом случае в К найдется инволюция V ф х и VI = IV . Так как О - группа Шункова, то подгруппа {И, V) конечна, здесь И - такой элемент из БЬ2 (Кр), что И2 = I и {к, ^ е СО (I). По условию насыщенности, {к, V) с СК (I) с К е Я, что невозможно по [3, с. 9-10]. Итак, О содержит единственную инволюцию I и 2 (О) = (х) . Нетрудно видеть, что фактор-группа

О = О/(I) - группа Шункова и удовлетворяет всем требованиям теоремы 1. Следовательно Т(О) — Ь2 (Р) для подходящего локально конечного поля Р . Пусть Р1 с... с Рп с... - цепочка вложенных друг в друга конечных подполей из Р таких, что

а

Р = У Рп; Т(О1) с... с Т(Оп) с... - цепочка вло-

п=1

женных друг в друга конечных подгрупп групп О таких, что Т(Оп) — Ь2 (Рп), где п = 1, 2, .... Обозначим через Т(Оп) полный прообраз Т(Оп) в О . Из условия насыщенности вытекает, что Т (Оп) — БЬ2 (Рп).

а

Так как Т(О1) с... с Т(Оп) с... и Т(О) = У Т(Оп), то

п=1

Т(О) — БЬ2 (Р). Теорема доказана.

Библиографические ссылки

1. Шлёпкин А. К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // III Междунар. конф. по алгебре ; 23-28 авг. 1993 г. : сб. тез. Красноярск, 1993. С. 369.

2. Рубашкин А. Г., Филиппов К. А. О периодических группах, насыщенных Ь2(р") // Сиб. мат. журн.

2005. № 6. С. 1388-1392.

3. Бусаркин В. М., Горчаков Ю. М. Конечные расщепляемые группы. М. : Наука, 1968.

4. Шунков В. П. Об абелевых подгруппах в би-примитивно конечных группах // Алгебра и логика. 1973. Т. 12. № 5. С. 603-614.

5. Шлёпкин А. К., Рубашкин А. Г. Об одном классе периодических групп // Алгебра и логика. 2005. Т. 44. № 1. С. 65-71.

6. Беляев В. В. Локально конечные группы Шевалле // Исследования по теории групп / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1984. С. 39-50.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы. М. : Мир, 1985.

K. A. Philippov

ABOUT THE PERIODIC PART OF THE SHUNKOV’S GROUP, SATURATED WITH L2( pn)

Let I be a set of indices, Ka — a finite field for any a e I, M = |Z2 (Ka ) | a e IJ and N = {Sl2 (Ka) | aeI}. The

authors established that the Shunkov’s group, saturated with groups from the set M (consequently N), has a periodic part T (G), isomorphic part L2 (P) (consequently SL2 (P)), for a suitable local finite field P.

Keywords: saturated, the Shunkov’s group, periodic part.

© Филиппов К. А., 2012