CC BY
16
Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2000, Том 2, Выпуск 2
Юрию Леонидовичу Ершову к его шестидесятилетию
УДК 512.54
О ГРУППАХ ФРОБЕНИУСА, СОДЕРЖАЩИХ ЭЛЕМЕНТ ПОРЯДКА 3
А. X. Журтов
Доказывается, что группа Фробениуса G, порожденная двумя элементами порядка 3,
конечна. Ядро группы G абелево и число его порождающих не превышает числа 8, а
дополнение либо циклическое, либо изоморфно одной из групп SL2(3), SL2(5).
В работе продолжаются исследования начатые в [1] и [21. Часть результатов получены совместно с В. Д. Мазуровым.
Напомним, что группой Фробениуса с ядром F и дополнением II называется полупрямое произведение F • Н. удовлетворяющее следующим условиям:
а) Я - собственная подгруппа в G и ЯПЯ/ = 1 для любого неединичного элемента / (г /•'.
б) F\{l} = G\{Hf\f EF}.
Теорема 1. Группа Фробениуса G, порожденная двумя элементами порядка 3, конечна. Ядро группы G абелево и число его порождающих не превышает числа 8, а дополнение либо циклическое, либо изоморфно одной из групп SL2{3), SL2(5).
Доказательству предпошлем три леммы. В них под модулем для группы или кольца понимается любая аддитивно записанная абелева группа, на которой данная группа или кольцо действует. Для группы А А-модуль V называется фробениуеовым, если v(x — 1) Ф 0 и V(x — 1) = V для всех V Э v Ф О, 1 Ф х е А.
Лемма 1. Пусть m — натуральное число и V — ненулевой RA-модуль, где R — поле простого порядка или R = Z[1 /ш] и в этом случае V не имеет кручения, а А = (а) — циклическая группа. Если модуль V конечно порожден как RA-модуль, то существует натуральное число п такое, что \ '(u" — 1) фУ.
< Предположим вначале, что R = Z[1 /ш] и V — противоречащий пример с наименьшим числом s образующих Г|. г-_>.....vs. Поскольку \ '(ч — 1) = У,
© 2000 Журтов А. X.
то существует ненулевой полином /(.г) = а0 + а1х + • • • + п1-г' £ Щх] такой, что ив/(а) е УгБ + ... + где 5 = К{а). Выберем / наименьшей
«-1
степени ¿. Тогда «о ^ 0 ^ и ^«о^^1 £ X ^г^- Это означает,
¿=1
«-1 4-1
что V < X />'| {") + XI = V-! • где /|'| = 7//)////оцо,]. и V | являет-
¿=1 ,?=0
ся (а)-модулем над /|'|. Далее, У| ((/" — 1) = Ух для любого п Е N. Если
«-1
г'з(Ро + + • • • + е X Для некоторого ненулевого векто-
¿=1
ра (/?о + (Зг + ... + ^-1) ^ • то умножив на подходящее натуральное число, мы найдем нетривиальный полином д Е Ъ [ж] степени не больше в — 1,
«-1
для которого у3д(а) Е X Это противоречит выбору /. По выбору У,
1=1
1'| ф V п /|'| {(/) = У2, Уз = 1'| /1*2 — ненулевой конечномерный (а)-модуль без ¿=1
кручения над /|'| с одним порождающим и = юя + У2 и Уз(а"" — 1) = ^з Для всех п Е N. Теперь мы можем рассматривать /|'| как II. У3 как У и считать, что У — конечномерный однопорожденный Л'-модуль.
В этом случае У как /модуль изоморфен кольцу = 5/кегУ. Пусть р — простое число, не делящее т. Если рУ = У, то руд (а) = V для некоторого полинома д над К степени не больше в — 1, и у(рд — 1) = 0 вопреки выбору /. Поэтому рБо — собственный идеал в 5о и число |5о/р5о| = ¡V : рУ| конечно. Пусть М — максимальный идеал из ¿о содержащий р5о- Тогда а $ М, Иц/М — конечное поле и поэтому существует п 6 М, для которого ап + М = 1 + М. Другими словами, ав-1 £ Л/. 80(ап ^ 1) С М ф в0 ж У(ап — 1) Ф У. Это противоречие доказывает лемму для II = Е[1 /т]. Те же рассуждения (с некоторыми очевидными упрощениями) годятся и для поля простого порядка. Лемма доказана. >
Лемма 2. Пусть А — группа, порожденная двумя элементами х, у порядка 3 и У — однопорожденный фробеннусов А-модуль. Тогда У — конечная абелева группа.
< Щсгъ щ порождающий Л-модуля У и Г - множество всех элементов конечного порядка из У. Тогда Г — А-подмодуль и У/Г — группа без кручения. Если Г = У и га — порядок элемента «о, то шУ = 0. Если га = рп, где р — простой делитель числа га. то Уо = {.г Е У п.г = ()}• — собственный ,1-модуль. Пусть Ух = У/У(|. Тогда У| — ненулевой однопорожденный фробеннусов ,1-модуль над полем порядка р. Если порядок группы Ух конечен, то и порядок У конечен. Таким образом, в этом случае достаточно доказать лемму для ,1-модул я над полем /•' порядка р.
Если Г ф У, то Ух = У/Г — фробениусов ,1-модуль без кручения и мы
можем считать, что V\ = V. Итак, можно предполагать V — /М-модуль, где R = F или R = Z и в этом последнем случае V не имеет кручения.
Обозначим а = ху и положим щ = »(,(/'. г,- = ща%х для iE Z. Тогда v = ({Ui,Vi\ieZ})
UiX = Vi, ViX = -Ui~Vi, щу = -Ui - Vi-1, Viy = Ui+1 (1)
для всех целых чисел г. Из (1) вытекает, что для любого целого i ща = щ+1, Via-l = Vi-i, ь^аГ1 = —щ-i,
г^а =-ui + ui+1 + Vi+1.
Это показывает, что v,q,vq — порождающие для Д(а)-модуля V. По лемме 1 существует n е N такой, что V(an — 1) Ф V. По условию ч" = 1. По [1] группа А конечна и V — конечно порожденная группа. Если R = /•'. то V конечна. Предположим, что R = Z. Тогда V = V(x — I)2 = V(^3x) = ЗУ, что невозможно. Лемма доказана. >
Лемма 3. Пусть А — конечная группа порожденная двумя элементами х, у порядков <4 и V — конечная абелева группа с s порождающими, которая является одиопорождеипым фробениусовым А-модулем. Тогда верно одно из следующих утверждений:
(1) группа А циклическая порядка 2, 3, 4, 6 или 12 и s не превосходит числа 1, 2, 2, 2 или 4 соответственно;
(2) группа А изоморфна SL2{3), GL2{3) или SL2(5) и s не превосходит числа 4, 4 или 8 соответственно;
(3) группа А изоморфна группе SQ2n = (х2п = у4 = l\xn = у2,хух = 1) порядка 4п и s < 4<р(п), где (р — функция Эйлера.
< Доказательство этой леммы, по существу, содержится в [1]. >
Теперь докажем теорему 1.
< Пусть G = {.г. z) = АР, где х3 = z3 = 1, F — ядро и Н — дополнение в G. Можно считать, что х 6 Н. Пусть z = fy, где / 6 F, у 6 Н. Тогда G = (/, ж, у), Н = (ж, у), /•' = (,["). Пусть М — максимальная абелева подгруппа в /•'. содержащая /. Если для всех h 6 Н выполнено равенство М1' = М, то F = М — абелева группа. Предположим, что М1' Ф М для некоторого элемента Ii Е //. Тогда либо Мх ф М, либо Му ф М. Из-за симметрии можно
считать, что Мх ф М. По выбору М,[МХ, М] ф 1. Пусть а. b е М. Тогда
2 2 2 2 2 2 1 = (axb)2(axb)x(axb) = abx аж bxaxb = abx (ax ax)(bxb) = abx =
[a^1, (Ь^1)® ] и поэтому [a,bx] = 1. Следовательно, [M,MX] = 1. Это противоречие показывает, что F = М — абелева группа. Теперь заключение теоремы вытекает из лемм 1, 2, 3. >
Следствие. Пусть (С. Н) — пара Фробенпуса п Н содержит элемент х порядка 3. Если для любого элемента ц Е С подгруппа (х,х9) — является группой Фробеппуса, го С = /•'•// для нормальной периодической подгруппы Р. При этом, либо подгруппа V = (хк\ Ь, Е //) изоморфна одной из групп 31/2(3), БЬ2(5) и подгруппа F — абелева, либо (х) — нормальная подгруппа в II п /г двуступеипо нильпотентиа.
По теореме 1 выполнены условия (теоремы 5 из [2]) {2, 3}-груипы регулярных автоморфизмов. Пусть Ср, — бесконечная, локально циклическая р-группа. Это означает, что
Сроо = (сч\а{ = 1, а|+1 = сц, г Е М).
Бесконечной обобщенной группой кватернионов назовем группу
<2°° = (С2=о, ¿1^ = 01, 4 = а;1).
Легко проверить, что каждая подгруппа €¿1 = (аг,£) изоморфна обобщенной группе кватернионов порядка 2'+| и С^)00 = (Д-е ; (}-,. Заметим, что N = г Е М) единственная собственная, бесконечная подгруппа из С^)00 и любой элемент из 00, порядок которого больше четырех, лежит в N.
Группа С^)00 порождается элементами порядка 4.
Любая собственная подгруппа из С^)00 отлична от своего нормализатора и либо конечна и является циклической или обобщенной кватернионной группой, либо совпадает с N.
"Утверждение. Пусть С — группа, в которой любые два элемента х,у со свойством ху = хГ1 порождают 2-подгруппу с единственной инволюцией. Любая 2-группа с единственной инволюцией либо является локально циклической, либо обобщенной группой кватернионов (возможно, бесконечной).
Если в С нет нетривиальных 2-элементов, то доказывать нечего. В противном случае С обладает единственной инволюцией г. Если в С нет элементов поряди 4. То снова добывать :„,„,„. ПуСТь в С элемСПТ порядка 4. Нам потребуется следующая лемма.
Лемма 4. Если у — элемент порядка 4 из С, то 2-элемепты из Са(у) составляют локально циклическую подгруппу Со, а в Д'с;((//)) 2-элемепты составляют нормальную 2-подгруппу, в которой Со — подгруппа индекса < 2.
< Пусть Со — максимальная, нормальная локально циклическая 2-по,(.группа из С = ('а(у). Если не все 2-элемепты из С содержатся в Со, то найдется такой 2-элемент / из С, что К'о — инволюция в С /Со.
Если Г'С'о ф К'о для некоторого элемента с Е С, то (/. Г', у) — конечная не локально циклическая 2-группа с одной инволюцией и центральной подгруппой порядка 4. Поскольку в конечной обобщенной группе кватернионов порядок
центра равен двум, эта ситуация невозможна и (í, Со) — нормальная локально конечная подгруппа из С, содержащая центральную подгруппу порядка 4. Поэтому (í, Со) — локально циклическая группа, вопреки выбору подгруппы Со-Итак Со содержит все 2-элементы из С. Если N = Д'с; ((//) Ф С, то найдется элемент ж из N \ С, что ух = у^1, поэтому ж — 2-элемент.
Если х не централизует С/Со, т0 поскольку (Со,ж) — неабелева группа, она обобщенная группа кватернионов, ж элемент порядка 4 и ж2 централизует Со- Пусть сС /Си Ф с''С/Си. для некоторого элемента с Е С. Тогда (с~1сх)х = (с-1?*)-1, сГгсf ^ Со и поэтому не является 2-элементом. Это противоречит условию. Поэтому ж централизует С/Со и (Со, ж) обобщенная группа кватернионов, нормальная в N.
Если в G нет элементов порядка 8, то любые два элемента порядка 4 из G перестановочны по модулю (z) и поэтому все 2-элементы порождают группу кватернионов порядка 8.
Пусть ж — элемент из G порядка 8 и у = ж2. Тогда у2 = z. Положим С = Ca(ji). N = AV; ((//)). По лемме 4 в С существует локально циклическая нормальная силовская 2-подгруппа С„. а в N — нормальная силовская 2-подгруппа Д'о и \Nq : Си < 2. Если Д'о ф Со, то Д'о — обобщенная группа кватернионов (возможно, бесконечная). Если все элементы порядка 4 из G содержатся и /V. то и случае N = С подгруппа С совпадает с G, а в случае N Ф С подгруппа Д'о порождается элементами порядка 4 и, следовательно, нормальна в G. Но тогда (//)С и N = G.
Поэтому пусть существует элемент t порядка 4 из G, который не содержится в N. Подгруппа (у, ж) — обобщенная группа кватернионов и yt — элемент, порядок которого больше четырех. Пусть z = (yt)2 — элемент порядка 8. Тогда (ж, г) нормализует Н = {у, г2) и жН,гН — инволюция в (ж,г)/Н. Таким образом (ж, г) — конечная 2-подгруппа из G содержащая две различные циклические подгруппы порядка 8. Это невозможно. >
Теорема 2. Пусть G — нетривиальная {2, 3}-группа регулярных автоморфизмов абелевой группы. Если G конечна, то верно одно из следующих утверждений:
(1) G — циклическая группа;
(2) G = (ж,у|ж3< = ц1 = 1, // 1= ж^1) для некоторых натуральных чисел t и s, s > 2;
(3) G = (ж, ж2 3 = у4 = 1, у2 = ж2 3 , ху = ж^1) для некоторых натуральных чисел t и s, s > 2;
(4) G = (x,y,z\x4 = z3 = 1, ж2 = у2, yx = y-1, xz = y, yz = xy^1), t — натуральное число; другими словами, G — расширение группы кватернионов Q порядка 8 посредством циклической 3-группы, индуцирующей в Q
нетривиальный автоморфизм;
(5) G = (.г. у, z, с). где (х, у, z) —группа типа 3, v2 = х2, zv = zxv = ¡Г1 • yv = x^1;
(6) G изоморфна SL2(5);
(7) G содержит подгруппу индекса 2, изоморфную SL2(5), и силовская 2-подгруппа из G — обобщенная группа кватернионов.
Если G бесконечна, то подгруппа из G порожденная всеми элементами порядка 3, является циклической, и верно одно из следующих утверждений:
(8) G — расширение локально циклической 2-груипы или (возможно, бесконечной) обобщенной группы кватернионов посредством 3-группы с единственной подгруппой порядка 3;
(9) G — полупрямое произведение локально циклической 3-подгруппы R и циклической 2-подгруппы (s) порядка > 4, гя = г^1 для любого элемента г е R;
(10) G = (U х V)(/). где U — локально циклическая 2-грушт или конечная группа кватернионов, V — локально циклическая 3-груипа, t — элемент порядка 4, U (t) — (возможно, бесконечная) обобщенная группа кватернионов и v1 = с^1 для любого элемента г (г V.
Отметим, что только в случае 8 группа G может не быть локально конечной (см. примеры 1 и 2 в [3]).
< Если G конечна, то её строение известно (см. [4, 5, 6]). Пусть G — бесконечна и Л-подгруппа из С. порожденная всеми элементами порядка 3. По [2] А — циклическая группа или группа изоморфная одной из групп ЯЬ-ДЗ). SL2(5). Во втором случае Cq(A) < /1 и поэтому G = Nq{A) — конечная группа. Итак А — циклическая группа.
Если = 1, то G — 2-группа и по предложению 1 G удовлетворяет условию 8. Поэтому пусть = 3. Если В = Ca(.1). то по предложению 1 В удовлетворяет условиям пункта 8 и при В = G теорема доказана.
Если И ф С. то С : И = 2. Пусть S = 02{G). Тогда G/S — расширение 3-группы R с помощью подгруппы (а) порядка 2, индуцирующей в R регулярную группу автоморфизмов. Пусть г (г R. Тогда [г, а] = ara — элемент нечетного порядка и поэтому в (аг, а) существует инволюция L для которой чг' = а. Это означает, что ri = а, г = ai и г° = г^1. Таким образом, а инвертирует каждый элемент из R. поэтому R абелева и, следовательно, локально циклическая. Пусть t — элемент из G\B. Тогда /•' = г^1 для любого элемента г (г R.
Пусть R — силовская 3-подгруппа из С. тогда R локально циклическая группа и SR = В. Действительно, если SR ф В, то SR/S собственная подгруппа в локально циклической 3-группе B/S. Поэтому R = (г) — циклическая группа конечного порядка 3° и существует элемент г\ и П порядка
Поскольку В локально конечна, подгруппа (г\) сопряжена с подгруппой из (г) в конечной группе (г, г\) и мы получаем противоречие. Если R не централизует S. то S — группа кватернионов порядка 8, a R — циклическая группа. В этом случае G — конечная группа вопреки предположению. Если же R централизует S, то R — нормальная подгруппа в G и выполнены условия пункта 9. >
Литература
1. Журтов А. X. Квадратичные автоморфизмы абелевых групп // Алгебра и логика (в печати).
2. Журтов А. X. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса // Сиб. мат. журн.—2000.—Т. 51, № 2.
3. Созутов А. П. О строении неквариантного множителя в некоторых группах Фробениуса // Сиб. мат. журн,—1994,—Т. 35, № 4,—С. 893-901.
4. Zassenyjuse Н. Kennzeichnung endlichen linearen Gruppen als Permutationsgruppen // Abhandl. Math. Semin., Hamburg.—1936.—V. 11.—P. 17-40.
5. Буссарии В. А/.. Горчанов ДО. М. Конечные расщепляемые группы.—М.: Наука, 1969.
6. Huppert В., Blackburn N. Finite groups 3.—Berlin: Springer Verlag, 1982.
г. Нальчик
Статья поступила 30 марта 2000 г.
