CC BY
10
Владикавказский математический журнал 2009, Том 11, выпуск 4, С. 11-15
УДК 512.542
ЛОКАЛЬНАЯ КОНЕЧНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ГРУПП С ЗАДАННЫМИ ПОРЯДКАМИ ЭЛЕМЕНТОВ1
А. Х. Журтов, В. Д. Мазуров
Найдены достаточные условия, при которых группа с элементарными абелевыми централизаторами
элементов порядка 2 является локально конечной.
Ключевые слова: локально конечная группа, спектр, централизатор инволюции.
Спектром периодической группы О называется множество ш(О) порядков ее элементов. В работе дается обзор результатов, связанных с доказательством локальной конечности периодических групп, имеющих определенный спектр, устанавливается, что любая группа О, для которой 2 £ ш(О) С {1, 2, 3, 5, 9,15}, локально конечна и описывается ее строение.
Теорема 1. Пусть О — группа, для которой
2 £ ш(О) С {1, 2, 3, 5, 9,15}.
Тогда верно одно из следующих утверждений.
1. Группа О — расширение абелевой группы периода 3, 5, 9 или 15 посредством группы (Ь) порядка 2, и а* = а-1 для любого элемента а £ А.
2. Группа О — расширение элементарной абелевой 2-группы А посредством циклической группы В порядка 1, 3, 5, 9 или 15, действующей свободно на А.
3. ш(О) = {1, 2, 3, 5} и О ~ А5.
В частности, О локально конечна.
Здесь действие группы В на группе А называется свободным действием, если А нетривиальна и аь = а для неединичных а £ А и Ь £ В.
Доказательство теоремы 1 основано на результатах работ [1—3]. Аналогично доказываются и следующие факты.
Теорема 2. Пусть О — группа, для которой ш(О) = {2, 3} и ш, где каждый элемент из ш либо взаимно прост с числом 6, либо равен 9. Тогда верно одно из следующих утверждений.
1. Группа О — расширение абелевой группы периода 3 или 9 посредством группы (Ь) порядка 2, и а* = а-1 для любого элемента а £ А.
© 2009 Журтов А. Х., Мазуров В. Д.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 08-01-00322-а, № 10-01-00026-а, Программы государственной поддержки ведущих научных школ, проект НШ-344.2008.1, и АВЦП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1.419.
2. Группа О — расширение элементарной абелевой 2-группы А посредством циклической группы В порядка 1, 3 или 9, действующей свободно на А.
3. ш(О) = {1, 2,3,5} и О ~ А5.
4. ^(О) = {2, 7, 9} и О ~ ¿2(8).
В частности, О локально конечна.
Теорема 3. Пусть О — группа, для которой ш(О) = {2, 3} и ш, где каждое число из
ш нечетно. Если ш(О) содержит такое простое число р ^ 5, что 3р £ ш(О), то О локально
конечна и изоморфна простой группе ¿2^) для некоторого локально конечного поля Q характеристики 2.
Отметим, что группа ¿2^) удовлетворяет условию теоремы 3 для любого локально конечного поля Q характеристики 2.
Основные определения и обозначения
Спектр периодической группы О — это множество ш(О) порядков элементов группы О: натуральное число п содержится в ш(О) тогда и только тогда, когда в О есть элемент порядка п. Если множество ш(О) конечно, то оно однозначно определяется множеством ^(О) своих максимальных по делимости элементов.
Пусть группа В действует на группе А. Будем говорить, что В действует свободно, а само действие называть свободным действием, если А = 1 и равенство аь = а для а £ А, Ь £ В выполняется только при а = 1 или Ь = 1.
Известные результаты
На перечисленные ниже известные факты будем в дальнейшем ссылаться, как на предложения с соответствующими номерами.
1. Вопрос о локальной конечности групп периода п решен положительно только для небольших п.
Группы периода 2 абелевы: из равенств х2 = у2 = (ху)2 = 1 с очевидностью вытекает, что ху = ух.
Локальная конечность групп периода 2 и 3 была известна еще Бернсайду. Позднее Леви и Ван-дер-Варден [4, 5] показали, что любая группа периода 3 трехступенно ниль-потентна.
Как показал Санов [6], группы периода 4 локально конечны. С ростом числа образующих ступень разрешимости конечных групп периода 4 неограниченно растет [7].
Локально конечны и группы периода 6 [8]. Их 2-длина и 3-длина не превосходит единицы. В частности, все они разрешимы ступени разрешимости, не большей четырех.
До сих пор ничего не известно о локальной конечности групп периода 5.
Группа, период которой достаточно большое натуральное число, может не быть локально конечной [9-12]. В частности, в [9] доказывается существование группы периода п, не являющейся локально конечной, для любого нечетного п ^ 665, а в [12] — для любого п ^ 8000.
2. Пусть О — группа, для которой ^(О) = {2, 3}. Тогда О — расширение элементарной абелевой р-группы А посредством циклической ^-группы, действующей свободно на А. Здесь {р,д} = {2, 3} [13].
3. Если ^(О) = {3,4}, то О локально конечна [6] и выполнено одно из следующих утверждений:
(3.1) О = где V — нетривиальная нормальная элементарная абелева 3-подгруппа, Q является 2-группой, которая действует свободно на V и изоморфна либо циклической группе порядка 4, либо группе кватернионов порядка 8;
(3.2) О = Т(а), где Т — нормальная нильпотентная 2-подгруппа ступени нильпотентности 2, а порядок а равен 3;
(3.3) О = ТБ, где Т — элементарная нормальная 2-подгруппа, а Б изоморфна симметрической группе степени 3.
В частности, О разрешима и ее ступень разрешимости не больше, чем 3 [14].
4. Если группа Р периода 5 действует свободно на абелевой {2,3}-группе, то |РI =5 [15].
5. Пусть ^(О) = {2, 5}. Тогда О — либо расширение элементарной абелевой 2-группы А посредством группы Р периода 5, действующей свободно на А, либо расширение элементарной абелевой 5-группы посредством группы порядка 2 [16]. В первом случае по предложению 4 | Р| = 5, поэтому О во всех случаях локально конечна.
6. Пусть ^(О) = {2, 2т + 1, 2т — 1}, где т ^ 2. Тогда О ~ ¥2(2т) [17].
7. Пусть ш(О) = {2} и ш', где ш' состоит из нечетных чисел. Тогда верно одно из утверждений:
(7.1) О — расширение абелевой группы А посредством группы (Ь) порядка 2 и оО = а-1 для любого а £ А.
(7.2) О — расширение элементарной абелевой 2-группы А посредством группы без инволюций, действующей свободно на А при сопряжении в О.
(7.3) О ~ ¿2^) для подходящего локально конечного поля Q характеристики 2 [1].
Группы из пунктов (7.1) и (7.3) локально конечны. Существуют группы из пункта (7.2), не являющиеся локально конечными [18].
8. Если ^(О) = {3, 5}, то либо О = ¥Т, где ¥ — двуступенно нильпотентная нормальная 5-подгруппа, а | Т| = 3, либо О — расширение трехступенно нильпотентной 3-группы посредством группы порядка 5 ([19] с учетом предложения 4). В частности, О локально конечна.
9. Если ^(О) = {4, 5}, то выполняется одно из следующих утверждений:
(9.1) О = ТО, где Т — нормальная элементарная абелева 2-группа, а О — неабелева группа порядка 10.
(9.2) О = ¥Т, где ¥ — элементарная абелева нормальная 5-подгруппа, а Т изоморфна подгруппе группы кватернионов порядка 8.
(9.3) О = Т¥, где Т — нильпотентная ступени 6 нормальная 2-подгруппа, а ¥ — группа порядка 5 ([19] с учетом предложения 4). В частности, О локально конечна.
10. Если ^(О) = {3,4, 5}, то О локально конечна и либо изоморфна Аб, либо О = УС, где V — нетривиальная элементарная абелева нормальная 2-подгруппа, а С ~ А5 [20].
11. Если {1, 5} = ш(О) С {1, 2, 3, 4, 5}, то О локально конечна. Это вытекает из предложений 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 и 10 [20].
12. Если периодическая группа О, действующая свободно на абелевой группе, содержит неинвариантную подгруппу X порядка 3, то (X°) изоморфна 6X2(3) или £¿2(5) [2, 3].
13. Пусть ^(О) = {5, 6}. Тогда О — разрешимая локально конечная группа и справедливо одно из следующих утверждений:
(13.1) О — расширение элементарной абелевой 5-группы посредством циклической группы порядка 6;
(13.2) О — расширение трехступенно нильпотентной 3-группы посредством группы диэдра порядка 10;
(13.3) О — расширение прямого произведения трехступенно нильпотентной 3-группы и элементарной абелевой 2-группы посредством группы порядка 5 [21].
14. Если ^(О) = {3, 4, 7}, то О ~ ¿2(7) [22].
Доказательство теорем
Пусть О — группа, удовлетворяющая условиям одной из теорем 1-3. Тогда для нее выполнены условия предложения 7. Если О изоморфна ¿2 ^) для локально конечного поля Q характеристики 2, то при условиях теоремы 1 или 2 Q конечно порядка 2т для некоторого т и ^(О) = {2, 2т — 1, 2т + 1}, откуда либо т = 2 и О ~ А5, либо выполнены условия теоремы 2, т = 3 и О ~ ¿2(8). Так как пункт (7.1) предложения 7 в условиях теорем 1 и 2 совпадает с пунктом 1 этих теорем и несовместим с условием теоремы 3, то можно считать, что О — расширение элементарной абелевой 2-группы V посредством группы Н = О^ нечетного периода, действующей свободно на V при сопряжении в О.
Если выполнены условия теоремы 1 и Н не содержит элементов порядка 3, то ^(О) = {2, 5} и пункт 2 теоремы 1 выполнен по предложению 4. Поэтому можно считать, что Н содержит элемент г порядка 3. Так как Н не содержит инволюций, то по предложению 12 г принадлежит центру Н. В условиях теоремы 3 это невозможно и, таким образом, теорема 3 доказана. Если же выполнены условия теоремы 2, то Н является 3-группой.
Если К — конечная 3-подгруппа из Н, порожденная элементами п V,..., rmV, то ¥ = (г1,..., гт) — конечная группа, силовская 3-подгруппа К которой изоморфна К. Если V — нетривиальный элемент из V, то (К, V) — конечная группа Фробениуса с дополнением К, поэтому К — циклическая группа. Отсюда следует, что (г) содержит все элементы порядка 3 из Н, поэтому в Н/(г) нет элементов порядка 9.
По предложению 1 силовская 3-подгруппа из Н локально конечна и, поскольку любая ее конечная подгруппа является циклической, она сама обязана быть циклической. Это, в частности, заканчивает доказательство теоремы 2, поэтому в дальнейшем считаем, что выполнены условия теоремы 1.
По предложению 4 любая силовская 5-подгруппа из Н также является циклической. Поэтому, если ^(Н/(г) = {3, 5}, то выполнено заключение теоремы 1.
Предположим, что ^(Н/(г) = {3, 5}. По предложению 8 Н локально конечна. Поскольку Н является {3, 5}-группой и ее силовские подгруппы циклические, она сама — циклическая группа. Так как минимальный период Н равен 45, она содержит элемент порядка 45, что по предположению не верно. Это противоречие заканчивает доказательство теоремы 1.
Открытые вопросы
1. Пусть ^(О) = {5, 6,11}. Верно ли, что О ~ ¿2(11)?
2. Пусть ^(О) = {6, 7,13}. Верно ли, что О ~ ¿2(13)?
3. Пусть ^(О) = {8, 9,17}. Верно ли, что О ~ ¿2(17)?
4. Пусть ^(О) = {6,р}, где р — простое число. Верно ли, что О локально конечна?
Литература
1. Мазуров В. Д. О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций // Алгебра и логика.—2000.—Т. 39, № 1.—С. 74-86.
2. Журтов А. Х. О регулярных автоморфизмах порядка 3 и парах Фробениуса // Сиб. мат. журн.— 2000.—Т. 41, № 2.—С. 329-338.
3. Журтов А. Х. О квадратичных автоморфизмах абелевых групп // Алгебра и логика.—2000.—T. 39, № 3.—C. 320-328.
4. Levi F., van der Waerden B. L. Über eine besondere Klasse von Gruppen // Abh. Math. Semin. Hamburg Univ.—1932.—Vol. 9.—P. 154-158.
5. Levi F. V. Groups in which the commutator operations satisfy certain algebraical conditions // J. Indian Math. Soc.—1942.—Vol. 6.—P. 87-97.
6. Санов И. Н. Решение проблемы Бернсайда для экспоненты 4 // Уч. зап. Ленингр. гос. ун-та. Мат. сер.—1940.—T. 10.—C. 166-170.
7. Размыслов Ю. П. Проблема Холла — Хигмана // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1978.—T. 42, № 4.— C. 833-847.
8. Hall Jr. M. Solution of the Burnside problem for exponent six // Illinois J. Math.—1958.—Vol. 2.— P. 764-786.
9. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.—М.: Наука, 1975.—336 c.
10. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.—М.: Наука, 1989.—448 с.
11. Ivanov S. V. The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Internat. J. Algebra Comput.— 1994.—Vol. 4.—P. 3-308.
12. Лысёнок И. Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. мат.—1996.— T. 60, № 1.—C. 3-224.
13. Neumann B. H. Groups whose elements have bounded orders // J. London Math. Soc.—1937.—Vol. 12.— P. 195-198.
14. Лыткина Д. В. Строение группы, порядки элементов которой не превосходят числа 4 // Сиб. мат. журн.—2007.—T. 48, № 2.—C. 353-358.
15. Jabara E. Fixed point free action of groups of exponent 5 // J. Austral. Math. Soc.—2004.—Vol. 77.— P. 297-304.
16. Newman M. F. Groups of exponent dividing seventy // Math. Scientist.—1979.—Vol. 4.—P. 149-157.
17. Журтов А. Х., Мазуров В. Д. О распознавании конечных простых групп L2(2m) в классе всех групп // Сиб. мат. журн.—1999.—T. 40, № 1.—C. 75-78.
18. Созутов А. И. О строении неинвариантного множителя в некоторых группах Фробениуса // Сиб. мат. журн.—1994.—T. 35, № 4.—P. 893-901.
19. Gupta N. D., Mazurov V. D. On groups with small orders of elements // Bull. Austral. Math. Soc.—
1999.—Vol. 60.—P. 197-205.
20. Мазуров В. Д. О группах периода 60 с заданными порядками элементов // Алгебра и логика.—
2000.—T. 39, № 3.—C. 329-346.
21. Мазуров В. Д., Мамонтов А. С. О периодических группах с элементами малых порядков // Сиб. мат. журн.—2009.—T. 50, № 2.—C. 397-404.
22. Lytkina D. V., Kuznetsov A. A. Recognizability by spectrum of the group L2(7) in the class of all groups // Siberian Electronic Math. Rep.—2007.—Vol. 4.—P. 136-140.
Статья поступила 5 ноября 2009 г.
Журтов Арчил Хазешович Кабардино-Балкарский госуниверситет, заведующий кафедрой
РОССИЯ, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 175 E-mail: [email protected]
Мазуров Виктор Данилович
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, заведующий отделом;
РОССИЯ, 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4 Новосибирский государственный университет, заведующий кафедрой
РОССИЯ, 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2 E-mail: [email protected]
