CC BY
6
5. Senashov V.I. Gruppy s usloviyem minimal'nosti dlya ne pochti sloyno konechnykh podgrupp // Ukrainskiy mat. zhurn. 1991. T. 43, № 7-8. S. 1002-1008.
6. Senashov V.I. Dostatochnyye usloviya pochti sloynoy konechnosti gruppy // Ukr. mat. zhurn. 1999. T. 51, № 4. S. 472-485.
7. Senashov V.I. O gruppakh s sil'no vlozhennoy podgruppoy, obladayushchey pochti sloyno konechnoy periodicheskoy chast'yu // Ukr. mat. zhurn. T. 64, № 3. 2012. S. 384-391.
8. Senashov V.I. Pochti sloyno konechnyye gruppy. LAP Lambert Academic Publishing, 2013. 106 s.
9. Senashov V.I. Pochti sloynaya konechnost' periodicheskoy gruppy bez involyutsiy // Ukr. mat. zhurn. 1999. T. 51, № 11. S. 1529-1533.
Юенашов Владимир Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, E-mail: [email protected]
2Белов Дмитрий Константинович - студент Института математики и фундаментальной информатики Сибирского Федерального Университета, Красноярск, E-mail: [email protected]
1Senashov Vladimir Ivanovich - doctor of physic and mathematic sciences, professor, leader researcher of Institute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, E-mail: [email protected]
2Belov Dmitriy Konstantinovich - student of Institute of mathematics and computer sciences of Siberian Federal University, E-mail: [email protected]
УДК 512.54
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРУППЫ ПО НИЖНЕМУ СЛОЮ
Сенашов В.И.,1 Паращук И.А.2 1 Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск Сибирский Федеральный университет, Красноярск
RESTORING THE GROUP BY THE BOTTOM LAYER
Senashov V.I.,1 Parashchuk I.A.2 11nstitute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, Krasnoyarsk 2 Siberian Federal University, Krasnoyarsk
В данной статье исследуется возможность восстановления группы по её нижнему слою.
Ключевые слова: группа, слой, нижний слой, порядок элемента, слойно конечная группа.
In this article we investigate the possibility of restoring a group by its bottom layer.
Key words: group, layer, bottom layer, order of element, layer-finite group.
Введение. Поставим задачу изучения группы с заданным нижним слоем и некоторыми дополнительными ограничениями. Например, если нижний слой состоит
из элементов порядка р и дополнительно задано число ее образующих, то А.И. Кострикиным в 1959 году доказана конечность числа конечных групп с такими условиями [1]. Если набор порядков элементов нижнего слоя группы мал по количеству составляющих его чисел, но не по их величине, то здесь примеры групп достаточно редки. По образному выражению Ю.И. Мерзлякова они сравнимы с «образцами лунного грунта». К таким примерам относятся монстры А.Ю. Ольшанского [2]. Среди групп, совпадающих со своим нижним слоем, для достаточно больших простых чисел p > 1010 кроме прямых произведений циклических групп порядка р можно назвать пока только серию групп Ольшанского.
Мы будем распознавать группу по ее нижнему слою. Нам будет удобно делать это в классе слойно конечных групп.
Основной результат. Обсуждается понятие нижнего слоя в группе и при помощи информации о нем восстанавливается строение группы. В некоторых группах нижний слой очень маленький, например, в квазициклической 2-группе он состоит из одного элемента, а монстр Ольшанского без единичного элемента совпадает со своим нижним слоем.
Группу G назовем распознаваемой по нижнему слою, если она однозначно восстанавливается по нижнему слою. Группу G назовем почти распознаваемой по нижнему слою, если существует конечное число попарно неизоморфных групп, с одинаковым нижним слоем таким же, как у группы G . Группу G назовем нераспознаваемой по нижнему слою, если существует бесконечное число попарно неизоморфных групп, с одинаковым нижним слоем таким же, как у группы G .
Приведем примеры, описывающие свойства групп с заданным нижним слоем. Н. Д. Гупта и В. Д. Мазуров доказали, что для группы G , которая без единичного элемента совпадает со своим нижним слоем, состоящим из элементов порядков 3, 5, одно из утверждений верно: 1) G = FT ; где F - нормальная нильпотентная класса не более двух 5-подгруппа и | T |= 3 ; 2) G содержит нормальную нильпотентную
класса не больше трех 3-подгруппу T такую, что G / T - 5-группа [3]. В этой же работе показано, что группа, которая без единичного элемента совпадает со своим нижним слоем, состоящим из элементов порядков 2, 5, либо содержит элементарную абелеву 5-подгруппу индекса 2, либо элементарную абелеву нормальную силовскую 2-подгруппу.
Докажем, что если G - полная группа, в которой существует слойно конечная подгруппа S в центре G такая, что G/S - слойно конечная группа и на нижнем слое группы G pn-1 элемент порядка p, то G - прямое произведение n квазициклических р-групп (в этом случае группа G распознаваема по нижнему слою).
Действительно, пусть группа G удовлетворяет заданным условиям. Так как в центре G существует слойно конечная подгруппа S такая, что G/S - слойно конечная группа, то по предложению 1 группа G слойно конечна. Поскольку по предложению 2 каждая полная подгруппа слойно конечной группы G содержится в центре группы G , то т.к. G - полная, то она является абелевой. По предложению 3 полная абелева
группа О разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклическим группам, быть может, по различным простым числам. В этом разложении групп рациональных чисел быть не может, поскольку О - слойно конечная группа и поэтому в ней нет элементов бесконечного порядка. Т.к. на нижнем слое группы в только элементы порядка р, то квазициклические группы Смогут быть только по одному числу р. У прямого
произведения п квазициклических р-групп рп-1 элемент порядка р. Т.к. на нижнем слое группы О рп-1 элемент порядка р, то этих множителей п штук. Таким образом мы доказали, что группа О распознаваема по нижнему слою.
Даже в классе слойно конечных групп нижний слой не обязан быть конечным. Примером слойно конечной группы с бесконечным нижним может служить прямое произведение циклических групп различных простых порядков.
Докажем, что если в локально разрешимой группе О без инволюций с
к 1
условием минимальности и нижним слоем, состоящим из р -1 элемента порядка р , и д1 -1 элемента порядка д, в которой имеются элементы порядков ртдп, при т = 0,1,2,..., п = 0,1,2,..., и нет элементов других порядков, то группа О распознаваема по нижнему слою (группа О совпадает с прямым произведением к квазициклических р -подгрупп и I квазициклических д -подгрупп).
Действительно, по предложению 4 локально разрешимая группа О с условием минимальности является расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп при помощи конечной группы. Ввиду строения ее нижнего слоя, группа О содержит по крайней мере одну квазициклическую р -группу
и одну квазициклическую д -группу. Так как в группе О рк -1 элемент порядка р , то в ней единственная подгруппа порядка р. Тогда по предложению 5 любая конечная р -подгруппа группы О циклическая. По предложению 6 группа О
должна быть циклической или квазициклической. Теперь, учитывая, что в группе О присутствуют элементы со всеми степенями р , заключаем, что силовская р -подгруппа группы О квазициклическая. Аналогично получаем, что силовская д -подгруппа группы О также квазициклическая. Тогда, учитывая строение группы О , заключаем, что все силовские подгруппы группы О содержатся в прямом произведении квазициклических групп, и сама группа О совпадает с прямым произведением двух своих силовских р - и д - подгрупп.
При доказательстве результатов статьи мы использовали следующие теоремы, на которые ссылались как на предложения с соответствующим номером.
Предложение 1. ([4], см. также теорему 5.10 из [9]). Следующие свойства эквивалентны;
а) в - слойно конечная группа;
б) Z(G) слойно конечен и G/Z(G) - периодическая группа, содержащая для каждого простого р только конечное число р-элементов;
в) существует подгруппа S в центре G такая, что S и G/S - слойно конечные группы.
Предложение 2. (Лемма 3.1. из [5]). Каждая полная подгруппа локально нормальной (в частности, слойно конечной) группы G содержится в центре группы G .
Предложение 3. (Теорема 9.1.6. из [6]). Ненулевая полная абелева группа G разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклическим группам, быть может по различным простым числам.
Предложение 4. (Теорема 1.1 из [7]). Бесконечная локально разрешимая группа G с условием минимальности является расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп при помощи конечной группы.
Предложение 5. (Теорема 12.5.2 из [8]). Конечная p -группа, содержащая только одну подгруппу порядка p, является циклической или обобщенной группой кватернионов.
Предложение 6. (Теорема 4.2 из [9]). Силовские p -подгруппы периодической локально циклической группы G циклические или квазициклические.
Заключение. Доказано однозначное восстановление полной группы с дополнительными условиями по нижнему слою. Доказано однозначное восстановление локально разрешимой группы с условием минимальности по заданному нижнему слою, состоящего из элементов фиксированного простого порядка.
Благодарности. Работа выполнена при поддержке гранта Сибирского федерального университета (проект — алгебро-логические структуры и комплексный анализ).
Acknowledgment. This work was supported by the grant of the Siberian Federal University (Project - Algebra-logical structures and complex analysis).
Библиографический список
1. Кострикин А. И. О проблеме Бернсайда // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23, № 1. С. 3-34.
2. Ольшанский А. Ю. Бесконечная группа с подгруппами простых порядков // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, № 2. С. 309-321.
3. Gupta N. D., Mazurov V. D. On groups with small orders of elements // Bull. Austral. Math. Soc. -1999. - № 60. - P. 197-205.
4. Baer R. Finiteness properties of groups // Duke Math. J. 1948. - V.15, №4. - P. 1021-1032.
5. Черников С. Н. О слойно конечных группах // Мат. сб. - 1958. - Т. 45, №3. - С. 415-416.
6. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. - Изд. 3-е. - Москва: Наука, 1982. - 288 с
7. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. - Москва: 1980. - 384 с.
8. Холл М. Теория групп. - Москва: Издательство иностранной литературы, 1962. - 467 с.
9. Сенашов В. И. Слойно конечные группы. - Новосибирск: ВО Наука, 1993. - 158 с. Bibliograficheskiy spisok
1. Kostrikin A. I. O probleme Bernsayda // Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1959. T. 23, № 1. S. 3-34.
2. Ol'shanskiy A. YU. Beskonechnaya gruppa s podgruppami prostykh poryadkov // Izv. AN SSSR. Ser. matem. 1980. T. 44, № 2. S. 309-321.
3. Gupta N. D., Mazurov V. D. On groups with small orders of elements // Bull. Austral. Math. Soc. -1999. - № 60. - P. 197-205.
4. Baer R. Finiteness properties of groups // Duke Math. J. 1948. - V.15, №4. - P. 1021-1032.
5. Chernikov S. N. O sloyno konechnykh gruppakh // Mat. sb. - 1958. - T. 45, №3.- S. 415-416.
6. Kargapolov M. I., Merzlyakov YU. I. Osnovy teorii grupp. - Izd. 3-ye. - Moskva: Nauka, 1982. -288 s.
7. Chernikov S. N. Gruppy s zadannymi svoystvami sistemy podgrupp. - Moskva:. -1980. - 384 s
8. Kholl M. Teoriya grupp. - Moskva: Izdatel'stvo inostrannoy literatury, 1962. - 467 s.
9. Senashov V. I. Sloyno konechnyye gruppy. - Novosibirsk: VO Nauka, 1993. - 158 s.
Сенашов Владимир Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, E-mail: [email protected]
Паращук Иван Александрович - студент Сибирского Федерального университета, Красноярск, E-mail: [email protected]
Senashov Vladimir Ivanovich - doctor of physic and mathematic sciences, professor, leader researcher of Institute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, Krasnoyarsk, E-mail: [email protected]
Parashchuk Ivan Alexandrovich - student of Siberian Federal University, Krasnoyarsk, E-mail: [email protected]
