CC BY
8УДК: 514.7
MSC2010: 51F15, 14L24
О БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТАХ УНИТАРНОЙ ГРУППЫ W(J3(4))
© О. И. Рудницкий
Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация
e-mail: [email protected]
On basis invariants of unitary group W(J3(4)). Rudnitskii O. I.
Abstract. In this paper, some properties of basis invariants of the unitary group W(J3 (4)) of order 336 generated by reflections in 3-dimensional unitary space are studied. There is developed a new method of finding in explicit form the basic invariants of group W(J3(4)). This method is based on the following property of group W(J3(4)) - group W(J3(4)) contains group B3 of symmetries of the cube, and Pogorelov polynomials of the form
Jrrn (G) = £ (X,as)mi,
aeO
where G is a reflection group, a is reflection with respect to planes of symmetry, s is the unit normal vector (with origin O) of one of them, vector x is given by x = (xj), mj are degrees of the basic invariants of group G. In the present paper, using that method, the basis invariants of group W(J3(4)) in explicit form were constructed.
Keywords: Unitary space, reflection, reflection group, invariant, algebra of invariants.
Введение
Группа W(J3(4)) порядка 336, порожденная отражениями в трехмерном унитарном пространстве, и ее инварианты исследовались в большом числе работ, см., например, [1]-[7]. При этом особый интерес представляет алгебраическая кривая 7 четвертого порядка, которая на комплексной проективной плоскости задается уравнением J4 = 0, где J4 - базисный инвариант четвертой степени группы W(J3(4)).
В частности, кривая 7 имеет 28 двойных касательных [2], является единственной кривой рода три с группой автоморфизмов порядка 168, а сам этот порядок реализует оценку, даваемую теоремой Гурвица для максимального порядка группы автоморфизмов кривой рода три [3].
В рамках этой статьи рассматривается новый подход к построению в явном виде базисных инвариантов группы W(J3(4)).
1. Постановка задачи
Пусть в п-мерном унитарном пространстве ип задана координатная система началом О и ортонормированным базисом ег (г = 1, п); О - конечная невещественная и неприводимая группа, порожденная отражениями относительно гиперплоскостей с общей точкой О. Множество всех многочленов, инвариантных относительно О, образуют алгебру Iпорожденную п алгебраически независимыми многочленами степеней шг (показатели О) [8]. В. Ф. Игнатенко [4] поставил задачу нахождения в явном виде всех образующих алгебры I° на основе многочленов Погорелова
^(О) = £ (Х,а5Г, (1)
аес
где а - отражения относительно гиперплоскостей, в - единичный вектор нормали (с началом О) одной из них, вектор х = (хг). Эта задача была решена в работе [5].
Целью настоящей работы является построение новым способом (с использованием многочленов Погорелова) в явном виде образующих алгебры IW^з(4)).
2. Базисные инварианты группы Ш(Л(4))
Группа Ш(^з(4)) порядка 336 порождена в пространстве и3 отражениями второго порядка относительно плоскостей с уравнениями
х2 = 0, х\ + х2 — ах3 = 0 (2)
и
Х2 + хз = 0, (3)
где а = 1-2^, (корень уравнения г2 — г + 2 = 0), е = /—Г [9]. Все 21 плоскости отражения определяются уравнениями
хг = 0, хг ± х^ = 0, г,] = 1, 3, (г < ]),
(4)
хг ± х^ ± а хк = 0 ((г,], к) = (1, 2, 3) — циклически).
Множество их нормальных векторов а в (система корней группы Ш(^3(4))) состоит из 42 векторов
±ег, ± а^(вг ), ± ^(ег ±&з ± аек).
Оно инвариантно относительно группы Ш(/3(4)). Степени шг = 4,6,14 [8].
В работе [5] найдены все образующие алгебры ^№(4)) вида (1). Рассмотрим еще один способ нахождения базисных инвариантов группы Ш(/3(4)).
В [9] доказано, что при п > 3 каждая примитивная группа С, порожденная отражениями второго порядка, содержит неприводимую вещественную подгруппу, порожденную отражениями. В частности, Ш(^з(4)) содержит группу В3 симметрий куба.
Выберем среди плоскостей (4) три плоскости, определяющие фундаментальную область группы В3. Они имеют уравнения (2) и х — х2 = 0. При этом система корней группы В3 (множество а 5) состоит из векторов ±¿1, ±¿2, ±"^¿з, ±—(¿1 ±¿2), ± 1 (е1 ± е2 ± а е3). Степени образующих алгебры IВз равны 2, 4, 6.
Введем обозначения Рт = (В3). Тогда, используя (1), с точностью до постоянного множителя, имеем:
Р2 = 2(х12 + Х22) + а2Х32, Р4 = 7(х14 + Х24) + 2а4Х34 + 18Ж12Ж22 + 6а2Ж32(ж12 + Х22),
Р6 = 7(х16 + х26) + а6х36 + 25х12 ж22(ж12 + х22) + 5а2 ж32(ж14 + х24) +
+5а4х34 (х12 + х22) + 30а2ж12ж22ж32.
Поскольку Ш(^3(4)) 3 В3, алгебра /^№(4)) с 1Вз. Таким образом, многочлен / € IВз, если / € I^(Jз(4)). При этом, в силу выбора фундаментальной области группы В3, элемент / алгебры IВз принадлежит алгебре I^№(4)) тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию
¿(/) = /, (5)
где $ - отражение второго порядка относительно плоскости с уравнением х2 + х3 = 0.
Так как любой элемент / алгебры IВз представим в виде / = ^¿(Рш,;), где ^¿(Рш,;) -некоторый многочлен подходящей степени от образующих Рт, то
/ € I^№(4)), если
многочлен ) инвариантен относительно отражения
Получим теперь явный вид многочленов ) и найдем образующие алгебры
1№№(4)). Так как степени базисных инвариантов группы Ш(^3(4)) равны 4, 6, 14, нас будут интересовать только многочлены фДР^) степеней £ = 2, 3, 7. 1. Пусть £ = 2. Тогда
^4 = ф2(Р2, Р4) = «1Р4 + «2Р22,
где а1, а2 - неопределенные коэффициенты.
Если удовлетворяет условию (5), то он должен оставаться неизменным при следующей замене переменных х1 = ж'1, х2 = —я'3, х3 = —ж'2. Отсюда для коэффициентов а1, а2 получим следующую систему линейных уравнений
7а 1 + 4а2 = 2а4а1 + а4 а2, 9а1 + 4а2 = 3а2а1 + 2а2а2.
Ее решения а1 = с, а2 = а 2-53 с. Обозначим через 14 многочлен при найденных значениях коэффициентов а1, а2. Имеем
_ Щ2с (^ 4 _ О - 2 2
14 — /— I / хг за / хг х^ /7 ^
Здесь и далее в записи многочленов индексы г,], к принимают значения 1, 2, 3 и удовлетворяют неравенствам, указанным под знаком суммы.
Многочлен 14, определяемый однозначно с точностью до постоянного множителя, является образующей четвертой степени алгебры IW№(4)). Отметим, что он совпадает с базисным инвариантом четвертой степени группы Ш(/3(4)), полученным в работе [5] (смотри также [2, 3]).
2. Если £ = 3, то многочлен
Я, = ф3(Р2, Р4, Рб) = а1Рб + а2Р2^4 + а3РД
Как и в случае £ = 2, из соотношения (5), получаем линейную систему из трех уравнений
7а1 + 14а2 + 8а3 = аба1 + 2аба2 + аба3, 25а1 + 50а2 + 24а3 = 5а2а1 + 19а2а2 + 12а2а3, 25а1 + 50а2 + 24а3 = 5а4а1 + 10а4а2 + 6а4а3.
Общее решение этой системы: а1 = 91+14890£Л,/7с, а2 = — 2ел97а с, а3 = с. Таким образом, многочлен , при найденных значениях коэффициентов аг, имеет вид
7
1б = ¿б = — 20с (2 £ хгб + 5а £ х*4х^2 + 20а2х12х22х32) .
Форма 1б является образующей шестой степени алгебры IW№(4)) и, с точностью до постоянного множителя, совпадает с базисным инвариантом шестой степени группы Ш(73(4)), полученным в работе [5].
3. Пусть £ = 7. Тогда
¿14 = Ф7(Р2, Р4, Рб) = а1Р27 + а2Р25Р4 + а3Р24Рб + а4Р23Р42 + а5Р22Р4Рб +
+абР2Рб2 + а7Р2^43 + а8РбР42. Как и ранее, соотношение (5) приводит к линейной системе 15 уравнений относительно 8 неизвестных коэффициентов а^, которую мы не приводим здесь вследствие
ее громоздкости. Общее решение этой системы имеет вид:
«1 = (-329459886 + 6528438^)^ + (-177558885 + 6627825е^7)с2,
«2 = (587493144 - 504504е^7)с1 + (229020120 + 5733000е^7)с2, «з = (-120121344 - 12644352е^7)с1 + (97969032 - 24008040е^7)в2, «4 = (-320663840 - 3742816е^7)с1 + (-74389840 - 8165360е^7)с2, «5 = (89739776 + 14576128е^7)с1 + (-137090240 + 24081344е^7)в2, «6 = (-20590976 - 7068544е^7)с1 + (-6146560 - 9658880е^7)в2,
«7 = 49787136с1, «8 = 49787136С2,
где с1, с2 - произвольные числа.
Тогда многочлен ^14, при найденных значениях неопределенных коэффициентов аг, может быть приведен к следующему виду
114 = ^14 = 3427а2(с1(-224а2 ^ ж,14 - 784(14 + а) ^ ж,12ж,2+
10 ' - — 8 6
+ (48216 + 21560ел/7)^ ж, ж,4 - (26656 + 10976ел/7)^ ж,8ж, -(354956 + 70364ел/7)^ ж/°ж,2ж*.2 - (219912 + 36456ел/7) ^ ж, ж, жк +
+ (554680 + 67032е^7) ^ ж/ж,6ж*2 - (648368 - 276752е^7) ^ ж,6ж,4ж*.4) +
+С2((1743 - 461е^7) ^ ж,14 - (5243 - 497е^7) ^ ж,12ж,2+ + (28959 + 23443е^7)^ ж/°ж,4 + (10045 + 26201е^7) ^ ж,8ж,6--(135142 + 107758ел/7) ^ ж,10ж,2жк2 - (463197 + 7833е^) ^
+ (870044 + 200844е^7) ^ ж/ж,6ж*.2 - (272146 + 56042е^7) ^ ж/ж,4жк4)).
Эта форма при любых значениях с1, с2 есть инвариант 14-й степени группы W(/3(4)). Если с1 = 40 и с2 = -35 + 9ел/7, то 114, с точностью до постоянного множителя, совпадает с 14216. Следовательно, 114 - образующая алгебры 1W№(4)), только для значений с1, с2, удовлетворяющих условию ^ = -35+°9£Л,/7. Отметим, что при значениях
С1 = -182973 + 290537е^7 и С2 = -213528 - 427336е^7
форма 114 , с точностью до постоянного множителя с = 2^3274, совпадает с базисным инвариантом четырнадцатой степени группы Ш(/3(4)), полученным в работе [5].
Заключение
В статье предложен и реализован новый метод построения в явном виде, на основе многочленов Погорелова, базисных инвариантов группы Ш(/3(4)), порожденной отражениями в трехмерном унитарном пространстве. Преимущество предложенного метода состоит в возможности при проведении вычислений рассматривать не все множество плоскостей отражения (их 21), а только его подмножество, состоящее из 9 плоскостей.
Отметим также, что возможна модификация указанного метода, основанная на следующем свойстве группы В3 симметрий куба.
Так как В3 3 А3, где А3 - группа симметрий правильного тетраэдра, то Ш(^3(4)) 3 А3 и с 1Аз. Плоскости, определяющие фундаментальную об-
ласть группы А3, можно задать уравнениями (2) и х1 = 0. Следовательно, элемент / алгебры 1Аз принадлежит алгебре IW(Jз(4)) тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию (5).
Поскольку степени шг базисных инвариантов группы А3 равны 2, 3, 4, то для нахождения базисных инвариантов удобнее использовать многочлены вида
итг = £ (х,ОЙ Г,
г
где О1/Т - радиус-векторы 4 вершин правильного тетраэдра.
Метод нахождения вершин правильного тетраэдра по его плоскостям симметрии приведен в работе [10]. Используя этот метод, получим: для выбранной фундаментальной области вершины тетраэдра определяются векторами ±¿1 + ае3, ±¿2 — ^¿3.
Тогда базисные инварианты группы А3 имеют вид:
И2 = 2(х12 + х22) + а2х32, И3 = х12х3 — х22 х3,
И4 = 8(х14 + х24) + а4х34 + 12а2(х12х32 + х22х32).
Реализуя рассмотренный в данной статье метод для форм Ит., можно построить все базисные инварианты группы Ш(/3(4)), при этом будет использоваться еще меньшее число плоскостей, а базисные инварианты четвертой и шестой степеней будут, с точностью до постоянного множителя, совпадать с полученными ранее базисными инвариантами.
Описок литературы
1. KLEIN, F. (1879) Ueber die Trasformationen siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen. Math. Ann.. Vol. 14. p. 428-471.
2. COXETER, H. S. M. (1983) My graph. Proc. London Math. Soc.. Vol. 46 (3). p. 117-136.
3. COXETER, H. S. M., EDGE W. L. (1983) My graph. Math. Repts. Acad. Sci. Can.. Vol.5. p. 201-206.
4. Игнатенко, В. Ф. О геометрической теории инвариантов групп, порожденных отражениями / В. Ф. Игнатенко // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. — 1989. — Т. 21. — C. 155-208. IGNATENKO, V. F. (1989) Geometric theory of invariants of groups generated by reflections. Itogi Nauki I Tekhniki. Ser. Probl. Geom.. Vol. 21. p. 155-208.
5. Рудницкий, О. И. Алгебраические поверхности с конечными группами симметрий в унитарном пространстве / О. И. Рудницкий // Дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. — 1990. — C. 115.
RUDNITSKII, O. I. (1990) Algebraic surfaces with finite symmetry groups in unitary space. The thesis for the degree of Candidate of Physico-Mathematical Sciences.
6. Спрингер, Т. Теория инвариантов / Т. Спрингер. — М.: Мир, 1981. — 191 c. SPRINGER, T. (1981) Invariant theory. Moscow: Mir.
7. KATO, M. (2004) Differential equations for invariant curves under Klein's simple groups of order 168. Kyushu J. Math.. Vol. 58. p. 323-336.
8. SHEPHARD, G. C. (1954) Finite unitary reflection groups. Can. J. Math.. Vol. 6 (2). p. 274-304.
9. COHEN, A. M. (1976) Finite complex reflection groups. Ann. scient. Ec. Norm. Sup.. Vol. 4. p. 379-436.
10. Игнатенко, В. Ф. Геометрия алгебраических поверхностей с симметриями / В. Ф. Игнатенко // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. — 1980. — Т. 11. — C. 203-240.
IGNATENKO, V. F. (1980) The geometry of algebraic surfaces with symmetries. Itogi Nauki I Tekhniki. Ser. Probl. Geom.. Vol. 11. p. 203-240.
