Канонические системы базисных инвариантов для унитарных групп w(J3(m)),m = 4,5 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 514.7

MSC2010: 51F15, 14L24

КАНОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ УНИТАРНЫХ ГРУПП W(J3(m)),m = 4,5 © О. И. Рудницкий

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: [email protected]

Canonical systems of basic invariants for unitary groups W(J3(m)), m = 4, 5.

Rudnitskii O. I.

Abstract. Let G be a finite unitary reflection group acting on the n-dimensional unitary space Un. Then G acts on the polynomial ring R = C[x1r..,xn] in a natural manner and there exists n-tuple m1 ^ m2 ^ ■ ■ ■ ^ mn of positive integers, such that the algebra IG of all G-invariant polynomials is generated by n algebraically independent homogeneous polynomials f1(x1,..., xn),..., fn(x1,..., xn) £ IG with deg f = mj (a system of basic invariants of group

G) [1].

A system {f1,..., fn} of basic invariants of group G is said to be canonical if it satisfies the following system of partial differential equations:

fj(d)fj = 0, i,j = 1(i<j),

where a differential operator f ¿(d) is obtained from polynomial f if each coefficient of polynomial to replace by the complex conjugate and each variable x/ to replace by -J^pp [2 3].

In this paper, canonical systems of basic invariants were constructed in explicit form for unitary groups W(J3(m)), m = 4, 5, generated by reflections in space U3.

Keywords: Unitary space, reflection, reflection groups, algebra of invariants, basic invariant, canonical system of basic invariants.

Введение

Пусть G — конечная неприводимая группа, порожденная отражениями относительно гиперплоскостей с общей точкой O, действующая в n-мерном унитарном пространстве Un. Тогда G естественным образом действует в кольце многочленов R = C[x1r.. ,xn] и алгебра IG, всех G-инвариантных многочленов f (x) = f (x1,... ,xn) £ R, порождается n алгебраически независимыми однородными

многочленами /г е Я степеней шг (г = 1, п) [1]; не нарушая общности, будем считать, что Ш1 ^ ш2 ^ • • • ^ Шп. Система многочленов {/г(х), г = 1, п} называется системой базисных инвариантов группы С.

В работе [2] введено понятие «канонической системы базисных инвариантов» для невещественных групп С пространства ип, а также предложен метод построения канонических систем. Этот метод в [4] был реализован для построения канонической системы бесконечного семейства импримитивных групп С(ш,р,п).

В работе [3], автором реализован другой метод построения в явном виде канонических систем базисных инвариантов для групп симметрий многогранников Гессе трехмерного унитарного пространства и3.

В настоящей статье этим же методом построены в явном виде канонические системы базисных инвариантов для унитарных групп Ш(/3(ш)), ш = 4, 5, порожденных отражениями в пространстве и3. Таким образом, с учетом результатов статьи [3], построены в явном виде канонические системы базисных инвариантов всех примитивных групп С пространства и3.

1. Постановка задачи

Введем в пространстве ип ортонормированную систему координат с началом О и ортонормированным базисом ег (г = 1,п); вектор х = ^ хгег.

г

Система {/1,... , /п} базисных инвариантов группы С называется канонической системой, если она удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных [2, 3]:

/(д)/, = 0, г,^ = 1ГП (г < ]), (1)

где дифференциальный оператор /г(д) получается из многочлена /г, если коэффициенты многочлена заменить на комплексно сопряженные, а переменные хгр - на

др дх1~Р '

Цель настоящей работы - построить в явном виде канонические системы для унитарных групп Ш ((ш)), ш = 4, 5, порожденных отражениями в пространстве и3, и, таким образом, завершить построение канонических систем базисных инвариантов для всех примитивных групп С пространства и3 .

2. Канонические системы для групп Ш(73(ш)),ш = 4,5

В пространстве и3 существуют только следующие четыре невещественные примитивные группы С: Ш(£3), Ш(М3) и Ш(/3(ш)), ш = 4, 5 [5]. Для первых двух

групп (группы симметрий многогранников Гессе) канонические системы базисных инвариантов построены в работе [3]. Рассмотрим каждую из групп Ш (/3(т)).

1. Группа Ш(/3(4)) порядка 336, порожденная отражения в пространстве и3, и ее инварианты исследовались в большом числе работ (обзор смотри, например, в [6]). Она порождается отражениями второго порядка относительно плоскостей с уравнениями

х2 = 0, х1 + х2 — ах3 = 0, х2 + х3 = 0,

где а = 1-, (корень уравнения г2 — г + 2 = 0) [5].

Все 21 плоскостей отражения определяются уравнениями

Хг = 0, Хг ± Xj = 0, г, ] = 1, 3 (г < ]), Хг ± Ху ± ахк = 0,

((г^к) = (1, 2, 3)—циклически).

Множество их нормальных векторов (система корней группы) состоит из 42 векторов

а1

±бг, ±-(бг ±бу ), ±-(бг ± б у ± абк )

:а(бг ± бу), ±

и инвариантно относительно группы Ш(/3(4)) [7]. Степени тг = 4, 6,14 [1].

Используя многочлены Погорелова, в [7] построена следующая система базисных инвариантов группы Ш(/3(4)):

= ^^ хг4 — 3а ^^ Хг2Ху2,

г<У

= 2 ^^ хг6 + 5а ^^ Хг4Ху2 + 20а2х12х22х32,

/14 = 382 ^ хг14 — 793а ^ хг12ху2 + 143(16 — 21а) ^ хг10ху4 —

10,

— 143(16 + 95а) ^ Хг8Ху6 + 572(21 + 9а) ^ Хг10Ху2хк —

У<к

—4290(19 — 5а) ^ х*8ху4Хк2 + 8008(13 — 11а) ^ Хг6Ху6Хк2+

г<У

+20020(5 + а) ^ хг6ху4хк4. у<к

(здесь и далее в записи многочленов, индексы г,^, к принимают значения 1, 2, 3 и удовлетворяют неравенствам, указанным под знаком суммы).

Воспользуемся этой системой базисных инвариантов для построения канонической системы {/1, /2, /3} базисных инвариантов группы Ш(/3(4)).

Введем обозначение /1 = /4. Так как соотношение /1(д)/6 = 0 выполняется тождественно, то /2 = /6.

Семейство всех инвариантов четырнадцатой степени группы W(J3(4)) можно записать в виде:

/14 = Й1J14 + Й2^42 Js, где а1, а2 - неопределенные коэффициенты.

Коэффициенты а1, а2, найдем из условия (1), которое запишем в виде

f1(d)/14 = 0,f2(d)/14 = 0. (4)

Соотношения (4) приводят к линейной однородной системе 9 уравнений относительно двух неизвестных а1, а2. Ее общее решение имеет вид: а1 = -9c и а2 = 1430c. Тогда f3 (многочлен /14 для найденных значений а1, а2), с точностью до постоянного множителя, имеет вид

f3 = 34 £ x14 + 169а £ x12x2 - 143(5 - а7) £ xfx4 + 143(1 +

+а6) е x8x6 + 572(6 + 13а2) е xfx2x2 - 4290а £ x^xjx2- (5)

j<k ^ '

-8008(1 - 2а) £ xfx6xk - 20020а £ xfx4x\. i<j j<k

Следовательно, каноническая система базисных инвариантов для группы W(J3(4)) состоит из форм (2), (3) и (5).

2. Группа W(J3(5)) имеет порядок 2160; степени mi = 6,12, 30 [1]. Она порождается отражениями второго порядка относительно 45 плоскостей с уравнениями

xj = 0,xj ± xj = 0 (i < j),i, j = 1, 3, (6)

xi ± (ш - Y)xj ± xk = 0, wxj ± 7^2xm ± rxt = 0,

где r = y-1 = Л~/5+1 = 2 cos 5, ш = -1+2/~3 есть первообразный корень третьей степени из единицы, индексы (i, j, k) = (1, 2, 3)-циклически; /, m, t = 1, 3.

Система корней группы (W(/3(5))-инвариантная совокупность нормальных векторов плоскостей (6)) состоит из 270 векторов

шр шР шР

±ufej, ±~2 (y - ш)(е ±ej), ± (ш2 - Y)ej ± ek), ± Yш2em ± rwet).

Отметим, что здесь, для задания группы W(J3(5)), используется более удобная, чем в [7], система координат. Для перехода к системе координат, используемой в [7], необходимо осуществить следующую замену переменных: x1 = ш2у1, x2 = шу2, x3 = У3.

Используя многочлены Погорелова (см. [7]), построим следующую систему базисных инвариантов группы W(J3(5)):

Jf = 4 ^ xj6 - 3(5 + 5) ^ xj4xj2 + 12(5 - 5)x12x22x32, (7)

= 148 ^ х,12 - 66(5 + У-15) ^ х,10хЗ2 - 165(7 - 5У-15) ^ х,8хЗ 4+

+308(7 + 3У-15)^ хг6х5 + 660(19 + У-15) ^ х8х2х2-

„^6 , ^п^щ , . ГГ^ ^ г8х2х2_

и , 3 к

г<З З<к

-18480^ х6х4х\ - 4620(3 + у-15)х4х4х3, = 24195204 ^ хг30 - 3603975(5 + у-15) ^ х28х2 - 9135(39147 -15281у-15) ^ х26х4 + 13195(461197+ 13953у-^)х24х6--130065(44261 + 23105у-15) ^ х22х8 + 10015005(821+ + 1745у-15) ^ х20х]0 + 5766215(21871 + 4587у-15) ^ хг18х]2+

+3231615(32539 + 12479у-15) ^ хг16х14 + 109620(27493+ +279у-15) ^ х26х2хк - 791700(31441 + 5358у-15) ^ х24х4хк-

З<к

-101970960(1343 - 342У-15) ^ х22х6хк + 60090030(13927-

-299У-15) ^ х20х8х2к - 1522280760(243 + 130У-15) ^ хг18х]0х2-

-1176307860(601 - 202у-15)хг16х^хк + 775587600(791-

7У-15) ^ х14х14хк + 18209100(21651 - 991^-5) ^ х22х4хк-

г<3 З<к

-1682520840(233 + 152У-15) ^ хг20х6х£ - 3805701900(91

-248У-15) ^ х18х8хк + 6469693230(547 + 113У-15) ^ х16х10хк-

-23526157200(219 + 40У-15) ^ х14х12х4к + 3551988440(2051+ + 177У-5) ^ хг18х6хк - 116454478140(65 - 16У-15) ^ х16х8хк-

З<к

-13560477010080^ хг14х10хк + 214088030520(17 - 21У-15)^ хг12х12х6-—83181770100(141 - У-15) ^ хг14х8х8 + 336424047960(29-

З<к

- 16У-15) ^ х12х10хк + 3700664527560(13 - У-15)х10х20х10 (см. результаты работы [7], с учетом перехода к новой системе координат).

Как ив п.1, введем обозначение /1 = Совокупность всех инвариантов группы Ш(/3(5)) двенадцатой степени можно записать в виде

^12 = «1^12 + «2 ^62.

Тогда условие (1) имеет вид /(д)/12 = 0 и приводит к линейной однородной системе 3 уравнений относительно коэффициентов а^,а2. Ее общее решение: а1 = -47с, а2 = 308с.

Следовательно, с точностью до постоянного множителя,

/2 = 52 £ хг12 + 110(5 + v—15) е хг10Х-2 - 11(105 - 43^=15) £ х8х^-4+

+308(3 - у=Т5) £ хг6ж6 + 132(75 + ^=15) е х8х2х2- (8)

-1232^-15 £ хг6х4х| - 1540(21 - v-15)х1х2х3.

Множество всех инвариантов группы Ш(/3(5)) тридцатой степени запишем в виде

1зо = Я1 ^б5 + «2 ^63 ^12 + аз /б^122 + «4/30.

При этом, /30 принадлежит искомой канонической системе базисных инвариантов, если удовлетворяет следующей системе /(5)/30 = 0, /2(д)/30 = 0.

Это приводит к системе из 31 линейного однородного уравнения относительно четырех неизвестных а1, а2, а3, а4, общее решение которой можно записать в виде

«1 = 343253007718159с, «2 = 618823210059208с,

аз = -132560631461468с, «4 = 233373442224с. Поэтому, с точностью до постоянного множителя,

/з = 39635380 ^ ж30 + 179231397(5 + v-15) ^ х28х2 + 609(26506335+

+ 1773619^-15) ^ х26х4 + 197925(218451 + 39055^-15) ^ х?4х6+ +390195(116725 + 83729 ^-5) ^ х22х8 + 14021007(14275--5049^-15) ^ ж20ж10 - 86493225(1487 - 1221^-15) ^ хг18х12+ +3231615(66495 + 17683^-5) ^ хг16х]4 - 7308(11040225--1326133^-15) ^ ж26ж2ж2 - 791700(314640 + 23873^-5) ^ х24х4х\-

j<k

-43701840(44365 - 2752^-15) ^ xfx^k - 420630210(3975-403^-15) x20x®xk - 7611403800(1166 + 365^-15)

+ 1176307860(6480 + 2719^-15^ xfxfxk + 1551175200(12600- (9)

-3593 v-5) ^ + 54627300(45005 - 13601v-5) ^ жг22ж4ж4+

i<j j<k

+2804201400(1140 + 439^-15) ^ x20x6xk + 3805701900(1470--67v-15^ x18x8xk - 19409079690(2455 - 283 v-5)

x1 x! xk

+23526157200(435 - 934^-5) ^ x!4xfxk + 586078092600(57+

+7v-15) ^ xfjk + 194090796900(150 - 23v-5) ^ x!6 x8xk -j<k j<k

-51757545840(1605 - 433 v-5) ^ x!4x!0x6k - 1070440152600(141 +

+ 19v-15) ^ x!2xfx6 + 1247726551500(25 + 3v-5) ^ x!4x8xk+

i<j j<k

+336424047960(120 + 71v-5) ^ x!2x!0x\+ +8141461960632(25 - v-15)x1°x!0x3°. Таким образом, каноническая система базисных инвариантов для группы W(J3(5)) состоит из форм (7), (8) и (9).

Заключение

В статье построены в явном виде канонические системы базисных инвариантов для групп W(J3(m)),m = 4, 5. Таким образом, с учетом результатов работы [3], построены в явном виде канонические системы базисных инвариантов для всех примитивных групп, порожденных отражениями в трехмерном унитарном пространстве.

Описок литературы

1. SHEPHARD, G. C. & TODD J. A. (1954) Finite unitary reflection groups. Can. J. Math. 6 (2). p. 274-304.

2. NAKASHIMA, N., TERAO, H. & TSUJIE, S. (2016) Canonical systems of basic invariants for unitary reflection groups. Canad. Math. Bull. 59 (3). p. 617-623.

3. Рудницкий, О. И. Канонические системы базисных инвариантов для групп симметрий многогранников Гессе // Таврический вестник информатики и математики. — 2017. — №3 (36). — С. 73-78.

RUDNITSKII, O. I. (2017) Canonical system of basic invariants for symmetry groups of Hessian polyhedrons. TVIM. No 3 (36). — p. 73-78.

4. TSUJIE, S. (2014) Construction of canonical systems of basic invariants for finite reflection groups. The thesis (doctoral). Hokkaido.

5. COHEN, A. M. (1976) Finite complex reflection groups. Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 4. p. 379-436.

6. Рудницкий, О. И. О базисных инвариантах унитарной группы W(J3(4)) // Таврический вестник информатики и математики. — 2017. — № 2 (35). — С. 97-103.

RUDNITSKII, O. I. (2017) On basic invariants of unitary group W(Js(4)). TVIM. 2 (35). p. 97-103.

7. Рудницкий, О. И. Алгебраические поверхности с конечными группами симметрий в унитарном пространстве // Диса на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. - Минск, 1990. - 115 с. RUDNITSKII, O. I. (1990) Algebraic surfaces with finite symmetry groups in unitary space. The thesis for the degree of Candidate of Physico-Mathematical Sciences. Minsk.