CC BY
12
2019 Математика и механика № 58
УДК 514.7 М8С 5Ш5; 14Ь24
Б01 10.17223/19988621/58/3
О.И. Рудницкий
КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТОВ УНИТАРНОЙ ГРУППЫ ЩК5)
Продолжена работа по построению канонических систем базисных инвариантов для конечных унитарных примитивных групп, порождённых отражениями. А именно: построена в явном виде каноническая система базисных инвариантов для конечной унитарной примитивной группы Ш(К5), порождённой отражениями, в пятимерном унитарном пространстве.
Ключевые слова: унитарное пространство, отражение, группа отражений, алгебра инвариантов, базисный инвариант, каноническая система.
Пусть в п-мерном унитарном пространстве ип задана координатная система началом О и ортонормированным базисом е^ (/ = 1, п); вектор х = {л^,___, хп }. Отражением ст порядка I в пространстве ип называется унитарное преобразование порядка I, множество неподвижных точек которого является плоскостью размерности п - 1. Эту плоскость называют гиперплоскостью отражения или симметрии. Обозначим через О конечную неприводимую группу, порождённую отражениями ст относительно гиперплоскостей с общей точкой О. Классификация групп О впервые получена в работе [1].
Действие группы О в кольце Я = С[хь ... , хп] многочленов от п переменных над полем комплексных чисел определим с помощью равенства g ■ / = /(g_1х), где g е О и / = /(х) = /(х1, _, хп) е Я . Многочлен / е Я называется инвариантом группы О или О-инвариантом, если g ■ / = / для всех g е О.
Множество всех О-инвариантных многочленов / е Я образует алгебру 1О, которая порождается п алгебраически независимыми однородными многочленами Л степеней (/ = 1, п) [1]; не нарушая общности, будем считать, что т1 < т2 < _ < тп . Система многочленов {/[, ... ,/„} называется системой базисных инвариантов группы О.
Для заданной группы О система базисных инвариантов определяется неоднозначно, но их степени (числа т^) определяются однозначно и называются показателями группы. Выдвинув дополнительные условия, можно среди бесконечного множества систем базисных инвариантов выбрать особые базисы, удовлетворяющие ранее выдвинутым условиям.
Так, Л. Флатто (см., например, [2]) при изучении свойства среднего значения для непрерывных вещественных функций рассматривал специальные системы базисных инвариантов для конечных вещественных групп О , порожденных отражениями, в вещественном евклидовом пространстве. Такие системы базисных инвариантов в [3] были названы «каноническими системами базисных инвариан-
тов». В работе [4] понятие «канонической системы базисных инвариантов» было перенесено на группы О унитарного пространства ип, а также предложен метод построения канонических систем, который в [5] был реализован при построении канонической системы базисных инвариантов для бесконечного семейства им-примитивных групп О(т, р, п).
Ранее (см. [6 - 9]) автором был реализован другой метод построения в явном виде канонических систем базисных инвариантов для конечных унитарных примитивных групп, порождённых отражениями в пространствах ип размерности п = 2,3,4.
В настоящей статье приведен метод построения в явном виде канонической системы базисных инвариантов для группы №(К5) - единственной конечной унитарной примитивной невещественной группы, порождённой отражениями в пространстве и 5 .
Постановка задачи
Система {Л,...,/п} базисных инвариантов группы О называется канонической системой, если она удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных [4]:
Л (д) /} = 0,1, ] = Щ (/ < Л, (1)
где дифференциальный оператор Л (д) получается из многочлена Л заменой всех
его коэффициентов на комплексно сопряжённые, а переменных - на А.
дхк
Цель настоящей работы - построить в явном виде каноническую систему базисных инвариантов для унитарной группы №(К5), порождённой отражениями в пространстве и5, и, таким образом, с учётом результатов работ [6 - 9], завершить построение в явном виде канонических систем базисных инвариантов всех конечных унитарных примитивных групп О, порождённых отражениями, в пространствах ип размерности п < 5 .
Схема предложенного и реализованного в [6 - 9] метода (см. также [10]) состоит в следующем:
1. Возьмём известную систему ^ ,...,Зт } базисных инвариантов группы О
(см., например, [11]).
2. Построим новую систему базисных О-инвариантных многочленов
1т (р = 1, п) в виде многочленов подходящей степени с неопределёнными коэф-
тр
фициентами аа от базисных инвариантов . Так как многочлен 1т должен быть базисным, то форма Jm должна обязательно присутствовать в записи этого многочлена.
3. Подставляя в многочлены 1т явные выражения базисных инвариантов Jщ , получим однородные многочлены 1т степени тр относительно перемен-
ных Xj,...,xn. При этом коэффициент у каждого одночлена формы Im есть линейная комбинация неопределённых коэффициентов aa.
4. Обозначим f = I = и последовательно применим условие (1) к форМаМ Imp , Р > j.
5. На каждом шаге уравнения (1) приводят к системе линейных однородных уравнений относительно неопределённых коэффициентов aa. Находим общее решение полученной системы линейных уравнений и вводим обозначение fp = 1щр, Р > 1, где Imp - форма Imp для найденных значениях aa.
Построенная таким образом система базисных инвариантов {f, ... , fn} является канонической системой.
Для вычислений может быть использован программный пакет, например система компьютерной алгебры Maple.
Каноническая система для группы W(K5)
В пространстве U5 существует только одна конечная невещественная примитивная группа G, порождённая отражениями. Это группа W(K5) порядка 72^6!, порождённая отражениями второго порядка относительно 45 4-мерных плоскостей [1].
Введём в пространстве U5 ортонормированную систему координат с началом
__5
O и ортонормированным базисом ei (i = 1,5); вектор x = £ xiei. Тогда группа
i=1
W(K5) порождается отражениями второго порядка относительно 4-плоскостей с уравнениями [12]
X -ю2x2 = 0, xt - x t+1 = 0 (t = 1,3), Xj + x2 +x3 + x4 + *Jlx5 = 0 ,
где ю = -1 + Л - первообразный корень третьей степени из единицы; е = V-Г .
Уравнения всех 45 4-мерных плоскостей, отражения относительно которых принадлежат группе W(K5), имеют вид
4
xi -юко x ■
i
i=1
4
= 0, £юк'х1 +Люк5 x5 = 0,
где ^^ + 2к5 = 0(шоа3), ¡, у = 1,4 (I < у); к0, ki, к5 = 1,3 .
¡=1
Множество их нормальных векторов (система корней группы) состоит из 270 векторов
г г 4
ЕЮ , к ч Ю к Л7 к ч
±-;=-(ег — ю еу), ±-= ei + л/2юк5е5), г = 1,3,
^2 л/б ¡=1
и инвариантно относительно группы ЩК5) [12]. Степени mi = 4, б, 10, 12, 18 [1].
В работах [11, 12], используя многочлены Погорелова [11], автор построил следующую систему базисных инвариантов группы ЩК5):
= 12^ х + х54 - 2л/2х5 Е хг3 ; (2)
/ 6 = -Е х6 +10£ х33х3 + х6 + ^л/2х5 £ х3 + 90х2 П х ; (3)
;< ]
= 2(-Ех6 +Ех3х3 + 4х6-ЩЕх?)Пх -4х54£х3х3 + +18х52Пх2 ->/2х5(Ех6х3 -6 Е х3х;3х3);
хГ +
] 2 ]
;< ] <к
/12 = 61£ х12 - 4400£ х®х3 +18942£ х®х6 + 4620£ хг6х3хк + 92400П
+16 х12 + 880л/2х59 Е х3 + 47520х8 П х + 1848х56(£ хг6 + 20£ х3 х3) +
+166320Т2х55 (Е х3 )П х; + 1247400х54 П х2 +11^72х53 (^ х9 + 84£ х® х3 + +1680 Е х3х3х3) + 5940х52(4Ех® + 35Ех3х3)Пх + 124740лЯх5(Ех^П^2 ;
/18 = 820Е х18 - 223176Е хг15х3 + 5072613Е х^х6 - 13297570Е х9х9 -
2< ]
6 6 6 х2 х]хк
]<к 2<]<к
-46410Е х12х3х3 - 510510Е х29х6х3 - 2144142 Е х6х6х6 -
-2042040(5Е х6 + 21Е хг3х3 )Пх* - 64х^8 - 13056л/2х15 Е х? -
2< ]
-1175040х14Пх2 - 148512х12(Ех26 + 20Ех3х3)-26732160л/2х"(Ех3)Пхг -
;< ]
-441080640х5°Пх2 -9724^Т2х59(Ех9 + 84Ех26х3 +1680 Е х3х3х3)-
2< ]<к
-15752880х58(4Ех® + 35Ех3х3)Пх2 - 1323241920л/2х5(Ех^П^ "
;< ]
-18564х56(Е хг12 + 220Е х29х3 + 924Е х®х6 +18480Е х26х3х3 + 369600П*3) -
2< У ]<к
-367567^Т2х55(2Ех9 + 60Ех®х3 + 525 Е х3х3х3)Пх2 -82702620х54(5Е
х" +
2< ]<к
+28Ех3х3)Пх22 -204л/2х53(Ехг15 + 455Ех^х3 + 5005Ех9х6 + 100100Ех9х3х3 +
933 х2 х]хк '
2< ] ]<к
+420420 Е х26 х6х3 + 8408400(Е х3)П *3) - 90х52(1428Е х]2 + 102102Е х9 х3 +
] <к
+350064Ех6х6 + 3063060Е х®х3х3)Пх2 -2412159750х52Пх? -
2< ] ]< к
-25061^л/2х5(10Ех9 + 165Ех6х3 + 924 Е х3х3хк)Пх2 ;
2< ] < к
индексы /,у,к = 1,4 различны в каждом члене каждой суммы и удовлетворяют неравенствам, указанным под знаком суммы.
Используем эту систему базисных инвариантов для построения канонической системы {/1,/2,/3,/4,/5} базисных инвариантов группы Ж(Х5).
Пусть /1 = 14 = "4. Так как 16 = а"6, то соотношение (1) запишем в виде: /1 (д) "6 = 0. Оно выполняется тождественно, поэтому, с точностью до постоянного множителя, / = "6.
Совокупность всех базисных инвариантов десятой степени группы №(К5) можно записать в виде
Ло = а1 "ю + а2 " " 6 ,
где а1, а2 - неопределённые коэффициенты.
Соотношение (1), которое имеет вид
/1(5)/ш = 0, /2(д)/1о = 0,
приводит к уравнению 4а1+177а2 = 0 для неопределённых коэффициентов а1, а2.
Следовательно, а1 = 177с, а2 = - 4с, и, с точностью до постоянного множителя, форма /3 = /10 имеет вид
/3 = 18(]7£хг6 + 7£х3х3)Пх^ + 4x1° + 1272х57£х3 - 1008х56Пх -
'< У
-84Х54(ХХ6 -7£х3Х;3)- 12б72х3(£Х3)ПX +1134Х52Пхг2 + (4)
'< У
^л/2Х5(8^ Х9 +105£ Х6х;3 -1302 £ Х3Х3Х3).
г< у<к
Далее, семейство всех базисных инвариантов двенадцатой степени группы ЩК5) запишем в виде
/12 = а1 "12 + а2"6 + а3 "4 .
При этом форма 112 принадлежит искомой канонической системе базисных инвариантов, если удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений:
/1(5)/12 = 0, /2(5)/12 = 0, /3(5)/12 = 0.
Третье уравнение выполняется тождественно, а первые два приводят к линейной системе 12 уравнений относительно трёх неопределённых коэффициентов. Её общее решение:
а1 = - 1487с, а2 = 224532с, а3 = - 69300с.
Следовательно, /4 (форма /12), с точностью до постоянного множителя, имеет вид
/4 = 505£х]2 + 7744£ Х9Х3 -]9866£Х6Х6 +126588£ хг6х3хк -
'<У У<к
-462000Пх3 + 496Х]2 + 5]04л/2Х59£Х3 -123552Х58ПХ +
+1848х56 (13Ех26 -64Е х3х3) - 13305672х55 (Е х3)Пх, - (5)
2< ]
-249480х54Пх2 -2272х53(223Ех29 - 1680Ех®х3 + 34440 Е х3х3х3к) -
,< ]<к
-1188х52(304Ех6 - 175Ех3х3)Пх2 -474012л/2х5(Ех3)Пх2 .
2< ]
Множество всех базисных инвариантов группы ЩК5) восемнадцатой степени запишем так:
/18 = + а2 /6 + а3 /6 + а4 /6 /12 + а5 .
Тогда /8 принадлежит искомой канонической системе базисных инвариантов, если, согласно (1), удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений:
7(5)/18 = 0, /2(5)/18 = 0, /3(5)/18 = 0, /4(5)/18 = 0.
Она приводит к линейной системе 53 уравнений относительно пяти неопределённых коэффициентов а1,1 = 1,5 . Её общее решение:
а1 = - 1465797839с, а2 = 10312822362843с, а3 = - 6931667257515с, а4 = - 150080820435с, а5 = 193212438408990с.
Следовательно, форму /5 = /18, с точностью до постоянного множителя, можно записать так:
/5 = 588128Е х18 + 28757676Е х^х3 + 275308761Е х^х6 - 168006410Е
99 х, х; -
2 < ]
-1993448730Е х^х3х3 + 649879230Ех29х6х3 -10817196390 Е х6х6х6 -
666 х2 х]хк
]<к 2<] <к
-2042040(3355Ех® -6321Ех3х3)Пх23 -267584х18 -9142464л/2х55Ех3 +
2 < ]
+540518400х14 П х2 - 297024х12(331Е х® - 670Е х3 х3)-
2< ]
+2131889760л/2х11(Ех3)Пxi -20730790080xJ°Пх2 --38896^Т2х59(242Ех9 -5187Ех®х3 +100380 Е х3х3х3к) +
2< ] < к
+78764400х58(116Ех6 - 119Ех3х3)Пх2 + 6285399120Т2х57(Ех3)Пх2 +
2 < ]
+37128х56(740Ех12 - 37675Ех9х3 + 234696Ех®х6 - 919380Е х®х3х3 + (6)
2<] ]<к
+4065600П х3) + 1837836л/2х55 (1894Е х9 - 11220Е
х6 х) -
-13125 Е х3х;3х3)Пх +1654052400х54(4Ех® -91Ех3х3)Пх2 -
2< ]<к 2< ]
-102V2x53(36208£xl5 + 2211755£xj2x3 - 26751725£ xfx6 +
+158208050£ xfx3x3 -254984730£xfx6x3k +1030029000(£xfyQ*3)-
У <k i < у
-9180x52(125419£x12 + 332332£xfx3 -6227364£xfx6 +
i< У
+1456455£ x6x3x3)nxi -214682217750x52Пxf -
У <k
-275675^V2x5(3160£xf -7395£x®x3 + 6216 £ xfx;3xk)Hxf .
i< У <k
Таким образом, каноническая система базисных инвариантов для группы W(K5) состоит из форм (2) - (6).
Заключение
В статье построена в явном виде каноническая система базисных инвариантов для унитарной группы W(K5), порождённой отражениями в пространстве U5. Таким образом, с учётом результатов, полученных автором ранее, завершена работа по построению в явном виде канонических систем базисных инвариантов всех невещественных примитивных групп G пространств Un для n < 5 .
Отметим, что среди конечных примитивных невещественных групп G осталась не рассмотренной единственная группа - группа Митчелла W(K6) порядка 108• 9!, порождённая в пространстве U6 отражениями второго порядка относительно 126 5-мерных плоскостей; степени mt = 6, 12, 18, 24, 30, 42 [1]. Система базисных инвариантов группы W(K6) в явном виде приведена автором в работе [13]. Методом, используемым в данной статье, автором построены в явном виде базисные инварианты канонической системы группы W(K6) степеней 6, 12 и 18. Задача построения в явном виде оставшихся базисных инвариантов канонической системы этой группы пока не решена, что обусловлено трудностями вычислительного характера.
ЛИТЕРАТУРА
1. Shephard G.C., Todd J.A. Finite unitary reflection groups // Can. J. Math. 1954. V. 6. No. 2. P. 274-304. DOI: 10.4135/CJM-1954-028-3.
2. Flatto L. Basic sets of invariants for finite reflection groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1968. V. 74. P. 730-734. DOI: 10.1090/S0002-9904-1968-12017-8.
3. Iwasaki K. Basic invariants of finite reflection groups // J. Algebra. 1997. V. 195. No. 2. P. 538-547. DOI: 10.1006/jabr.1997.7066.
4. Nakashima N., Terao H., Tsuyie S. Canonical systems of basic invariants for unitary reflection groups // Canad. Math. Bull. 2016. V. 59. No. 3. P. 617-623. DOI: 10.4153/CMB-2016-031-7.
5. Tsuyie S. Construction of canonical systems of basic invariants for finite reflection groups. The thesis (doctoral). Hokkaido. 2014. 40 p. DOI: 10.14943/doctoral.k11536.
6. Рудницкий О.И. Канонические системы базисных инвариантов для групп симметрий многогранников Гессе // Таврический вестник информатики и математики. 2017. № 3 (36). С. 73-78.
7. Рудницкий О.И. Канонические системы базисных инвариантов для унитарных групп W(J3(m)), m = 4, 5 // Таврический вестник информатики и математики. 2018. № 1 (38). С. 89-96.
8. Рудницкий О.И., Бочко А.Ю., Рольская Е.Н. Канонические системы базисных инвариантов для примитивных групп, порождённых отражениями, на унитарной плоскости // Математика, информатика, компьютерные науки, моделирование, образование: сб. научных трудов МИКМО-2018. Симферополь. 2018. С. 59-71.
9. Рудницкий О.И. Канонические системы базисных инвариантов конечных примитивных групп отражений четырёхмерного унитарного пространства // Динамические системы. 2019. Т. 9(37). № 1.
10. Talamini V. Canonical bases of invariant polynomials for the irreducible reflection groups of types E6, E7 and E8 // J. Algebra. 2018. V. 503. P. 590-603. DOI: 10.1016/j.jalgebra. 2018.01.017.
11. Рудницкий О.И. Алгебраические поверхности с конечными группами симметрий в унитарном пространстве: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Минск, 1990. 115 с.
12. Rudnitskii O.I. Some properties of the basis invariants of the unitary group W(K5) // Journal of Mathematical Sciences. 1990. 51. No. 5. P. 2570-2574. DOI: https://doi.org/10.1007/ BF01104176.
13. Rudnitskii O.I. Basis invariants of the Mitchell group generated by reflections in six-dimensional unitary space // J. Soviet Mathematics. 1990. V. 65. No. 1. P. 1479-1482. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01105303.
Статья поступила 04.12.2018 г.
Rudnitskii O.I. (2019) CANONICAL SYSTEM OF BASIC INVARIANTS FOR UNITARY GROUP W(K5). Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 58. pp. 32-40
DOI 10.17223/19988621/58/3
Keywords: Unitary space, reflection, reflection groups, algebra of invariants, basic invariant, canonical system of basic invariants.
For a finite group G generated by reflections in the n-dimensional unitary space Un, the algebra IG of all G-invariant polynomialsf(xl, ... , xn) is generated by n algebraically independent homogeneous polynomials f e IG with deg f = mt (i = 1,n); m1 < m2 < ... < mn (Shephard G.C., Todd J.A.).
According to Nakashima N., Terao H., and Tsujie S., system {/1, ...,fn} of basic invariants of the group G is said to be canonical if it satisfies the following system of partial differential equations:
fi (д)fj = 0, i, j = й(i < j),
where the differential operator / (д) is obtained from polynomial f if each its coefficient is re-
д
placed by the complex conjugate and each variable xk is replaced by -.
dxk
In the previous works, the author obtained in an explicit form canonical systems of basic invariants for all finite primitive unitary groups G generated by reflections in unitary spaces of dimensional 2, 3, and 4.
In this paper, canonical systems of basic invariants were constructed in an explicit form for unitary groups W(K5) generated by reflections in space U5.
AMS Mathematical Subject Classification: 51F15; 14L24
RUDNITSKII Oleg Ivanovich (Candidate of Physics and Mathematics, Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol, Russian Federation). E-mail: oirud58@gmail.com
REFERENCES
1. Shephard G.C., Todd J.A. (1954) Finite unitary reflection groups. Can. J. Math. 6(2). pp. 274-304. DOI: 10.4135/CJM-1954-028-3
2. Flatto L. (1968) Basic sets of invariants for finite reflection groups. Bull. Amer. Math. Soc. 74. pp. 730-734. DOI: 10.1090/S0002-9904-1968-12017-8.
3. Iwasaki K. (1997) Basic invariants of finite reflection groups. J. Algebra. 195(2). pp. 538547. DOI: 10.1006/jabr.1997.7066.
4. Nakashima N., Terao H., Tsujie S. (2016) Canonical systems of basic invariants for unitary reflection groups. Canad. Math. Bull. 59(3). pp. 617-623. DOI: 10.4153/CMB-2016-031-7.
5. Tsujie S. (2014) Construction of canonical systems of basic invariants for finite reflection groups. The thesis (doctoral). Hokkaido. 40 p. DOI: 10.14943/doctoral.k11536.
6. Rudnitskii O.I. (2017) Kanonicheskie sistemy bazisnykh invariantov dlya grupp simmetrii mnogogrannikov Gesse [Canonical systems of basic invariants for symmetry groups of Hessian polyhedrons] // Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 3(36). pp. 73-78.
7. Rudnitskii O.I. (2018) Kanonicheskie sistemy bazisnykh invariantov dlya unitarnykh grupp W(J3(m)), m = 4, 5 [Canonical systems of basic invariants for unitary groups W(J3(m)), m = 4, 5]. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 1(38). pp. 89-96.
8. Rudnitskii O.I., Bochko A. Yu., Rolskaya E. N. (2018) Kanonicheskie sistemy bazisnykh in-variantov dlya primitivnykh grupp, porozhdennykh otrazheniyami, na unitarnoy ploskosti [Canonical systems of basic invariants for primitive groups generated by reflections on the unitary plane] // Mathematics, informatics, computer science, modeling, education: Collection of papersMICMO-2018. Simferopol. P. 59-71.
9. Rudnitskii O.I. (2019) Kanonicheskie sistemy bazisnykh invariantov konechnykh primitiv-nykh grupp otrazheniy chetyrekhmernogo unitarnogo prostranstva [Canonical system of basic invariants for finite primitive reflection groups of four-dimensional unitary space] // Di-namicheskie Sistemy - Dynamical Systems. 37(1).
10. Talamini V. (2018) Canonical bases of invariant polynomials for the irreducible reflection groups of types E6, E7 and E8. Journal of Algebra. 503. pp. 590-603. DOI: 10.1016/ j.jalgebra.2018.01.017.
11. Rudnitskii O.I. (1990) Algebraicheskie poverkhnosti s konechnymi gruppami simmetrii v unitarnom prostranstve [Algebraic surfaces with finite symmetry groups in unitary space]. Thesis for the degree of Candidate of Physico-Mathematical Sciences. Minsk. 115 p.
12. Rudnitskii O.I. (1990) Some properties of the basis invariants of the unitary group W(K5). Journal of Mathematical Sciences. 51(5). pp. 2570-2574. DOI: https://doi.org/10.1007/ BF01104176.
13. Rudnitskii O.I. (1990) Basis invariants of the Mitchell group generated by reflections in six-dimensional unitary space. Journal of Soviet Mathematics. 65(1). pp. 1479-1482. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01105303.
Received: December 4, 2018
