Замкнутость базисных поверхностей, инвариантных относительно групп a3 и B3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2019, том 9(37), №1, 67-72 УДК 514.12

Замкнутость базисных поверхностей, инвариантных относительно групп A3 и B3

В. А. Терновский, М. С. Бичулова

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, E-mail: ternowskyva@mail.ru, masha.bichulova@yandex.ru

Аннотация. Одной из основных задач в теории инвариантов является построение образующих алгебры инвариантов некоторой группы. В настоящей статье изучается строение базисных поверхностей инвариантных относительно конечных групп, порожденных отражениями в вещественном пространстве. Получены достаточные условия замкнутости всех базисных поверхностей алгебр инвариантов для групп симметрии правильного симплекса и куба в трехмерном евклидовом пространстве.

Ключевые слова: инварианты, группы симметрий, базисные инварианты, алгебра инвариантов, группы порожденные отражениями.

Closedness of basis surfaces invariant with respect to the groups A3 and B3

V. A. Ternovskiy, M. S. Bichulova

V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol.

Abstract. In the real m-dimensional Euclidean space Em , the group G is generated by orthogonal reflections with respect to N(G) hyperplanes with common point O. In a rectangular coordinate system, we assign the algebraic hypersurface of order n to f (x) = 0 , where f (x) is a polynomial degrees n with respect to the coordinates of the vector x = (x\,... ,xm). The set of all hypersurfaces invariant with respect to the same group G corresponds to the set f (x), which forms the algebra IG. The description of the algebra IG is a fundamental problem in the theory of invariants. In this article, we study the structure of the basis surfaces invariant with respect to finite groups generated by reflections in real space. Sufficient conditions for the closure of all basis surfaces of the algebras of invariants for the symmetry groups of the regular simplex A3 and the cube B3 in three-dimensional Euclidean space are obtained.

Keywords: invariant, symmetry groups, basic invariant, algebra of invariants, groups generated by

reflections.

MSC 2010: 20B30

Введение

В вещественном m-мерном евклидовом пространстве Em группа G порождена ортогональными отражениями относительно N(G) гиперплоскостей с общей точкой . В прямоугольной системе координат алгебраическую гиперповерхность порядка n зададим уравнением ф(х) = 0, где ф(х) — многочлен степени n относительно координат вектора х = (х\,... , xm). Множеству всех гиперповерхностей,

© В. А. ТЕРНОВСКИЙ, М. С. БИЧУЛОВА

инвариантных относительно одной и той же группы О, соответствует множество ф(х), образующее алгебру IС.

Описание алгебры IС является фундаментальной проблемой теории инвариантов. Для конечных групп в 1890 году Д. Гильберт [1] доказал основную теорему теории инвариантов, утверждающую, что алгебра инвариантов имеет конечное число образующих. Для конечных групп отражений О К. Шевалье [2] получил фундаментальный результат, состоящий в том, что т алгебраически независимых однородных многочленов образуют базис инвариантов О. Как показали Шепард и Тодд [3], если базис инвариантов состоит из т однородных многочленов, то О — конечная группа отражений. Таким образом, алгебра IС порождается т алгебраически независимыми формами 1п.. Г. С. М. Коксетр [4] классифицировал все неприводимые группы О пространства Ет и нашел степени пг форм 1П1, г = 1,... ,т.

Известны различные методы нахождения в явном виде базиса IС для некоторых групп О [5]. В 1969-1970 годах Флатто и Винер [6, 7] впервые дали алгоритм нахождения Ini с помощью многочленов

Рг(Х,у) = ^(Х,°У)', * > 1, (1)

аео

где (х,у) = ^2(хг,уг) — скалярное произведение векторов х = (х1,...,хт) и

г=1

у = (у1,... ,ут). Модификация (1): х = у, а Е О — отражения, предложенная в работе [8] требует четности пг, но существенно уменьшает технические трудности, они становятся преодолимыми. Заведующим кафедрой геометрии Симферопольского государственного университета профессором Владимиром Федотовичем Иг-натенко в 1983 году [9] полностью решена задача построения в явном виде базисов IС всех алгебр с использованием многочленов Погорелова

N (С)

вк(х) = £ п?У),

3 = 1

где Пз (х) = 0 — нормированные уравнения гиперплоскостей отражения, и специальных дифференциальных операторов.

В. Ф. Игнатенко в работе [10] поставил задачу: получить уравнения всех базисных, отличных от сферы замкнутых поверхностей, инвариантных относительно конечных групп, порожденных ортогональными отражениями в евклидовом пространстве.

В данной статье получены достаточные условия замкнутости всех базисных поверхностей алгебр инвариантов для групп симметрии правильного трехмерного симплекса и куба.

1. Постановка задачи и основной результат

Зададим в вещественном трехмерном пространстве Е3 прямоугольную систему координат Охг, г = 1, 2, 3. Пусть О — конечная группа симметрий, порожденная

ортогональными отражениями относительно плоскостей симметрии с общей точкой O. Если Ij(G), j = 1, 2, 3, — образующие алгебры всех инвариантов группы G, то уравнение двумерной базисной алгебраической поверхности можно задать так

Ij (G) = с, (2)

где с = const.

Предположим, что поверхность (2) не замкнута, тогда существует действительный асимптотический конус этой поверхности, то есть, существует, по крайней мере, одна действительная точка, отличная от 0, удовлетворяющая уравнению

Ij (G) = 0.

Отметим, что для любой группы G поверхность, заданная уравнением Ii = с замкнута.

1.1.

Приведем достаточные условия замкнутости базисных алгебраических поверхностей конечной группы симметрии A3. Итак, пусть G = A3.

Возьмем следующие базисные инварианты [9]

3 3 3

Ii = ^ x2, I2 = Ж1Ж2Ж3, I3 = ^ х4 - 2^2 х2х2.

i=1 i=1 i<j

Очевидно, что поверхность I2 = с не замкнута. Базисная поверхность четвертого порядка общего вида задается уравнением

I3 + aIi; = с,

где a — произвольная константа. Имеем

33

I3 + aI2 = (1 + a) х4г + 2(a - 1) ^ х2 • х2.

i=1 i<j

Положим yi = х2 (i = 1, 2, 3), тогда приведенное выше выражение, приравняв к нулю, запишем так

boy2 + bi yi + b2 = 0, (3)

где bo = 1 + a, bi = 2(a - 1)(y2 + У3), b2 = (1 + a)(y2 + yD + 2(a - 1)y2y3.

Положим y2 = y3 = 0, тогда при a = - 1 y1 может быть любым действительным числом. Теперь предположим, что y2 и y3 неотрицательные действительные числа, одновременно не равные нулю. Найдем значение a, при которых уравнение (4) не имеет положительных корней. Если a < — 1 (a > 1), то при любых y2, y3, удовлетворяющих нашему предположению, bi < 0 (bi > 0), i = 0,1, 2. Следовательно,

по правилу знаков Декарта уравнение (2) при а < —1, а > 1 положительных корней не имеет. Но это правило не утверждает, что при —1 < а < 1 всегда есть положительные корни. Поэтому найдено только достаточное условие: базисная поверхность четвертого порядка замкнута при а < — 1, а > 1.

Таким образом, для группы А3 мы получили следующий результат: базисная поверхность второго порядка замкнута; базисная поверхность третьего порядка не замкнута; базисная поверхность четвертого порядка замкнута при а < —1, а > 1.

1.2.

Теперь пусть О = В3.

Алгебра всех инвариантов группы симметрий В3 имеет следующие образующие [1]:

II = Е X2, 12 = ¿ 13 = ¿ XI

г=1 г=1 г=1

Базисная поверхность четвертого порядка задается уравнениями

3 3

I2 + a/j2 = (1 + a) ^^ x4 + 2a ^^ x2x2 = C i=1 i<j

Положив x2 = yi, i = 1, 2, 3 и C = 0, получим уравнение

boy2 + biyi + b2 = 0, (4)

где bo = 1 + a, bi = 2a(y2 + уз), b2 = (1 + a)(y| + y|) + 2ay2yз. Так как y2, уз неотрицательные действительные числа одновременно не равные нулю, то при a < — 1 (a > 0) все bi < 0 (bi > 0), i = 0,1, 2. Пусть, тогда y1 будет положительным числом только при a = —1. Следовательно, при a < —1 и a > 0 базисная поверхность четвертого порядка замкнута.

Рассмотрим базисную поверхность шестого порядка, которая задается следующим уравнением

1з + aiIi¡2 + a2/3 = У^ x6 + ai Y^ x2 У^ x4 + a2 Y^ x2 =

/ y -i 1 I E Xí II E Xí I + a2 I E xí I

i=l V i=l J \i=l / \i=l /

3 /3 3\/3 3 \

— ^ ^ x 6 ++ a i I ^ ^ x 6 ^^ ^ x í x j J ++ a2 \ У ^ x^ ++ 3 ^ ^ Xí x^ ++ 6X2X2X3 J i=1 \i=1 i,j=1 / \i=1 i,j=1 /

33

= (1 + a1 + a2) ^^ x66 + (a1 + a2) ^^ x4xj + 6a2xj xjx3 = C

Положив x2 = yi, i =1, 2, 3, и C = 0, получим

y + y3 + y3) + (ai + a2)(y2y2 + У2Уз + y2yi + У2Уз + y|yi + У^Ы + ^УШУз = 0 (1 + ai + a2y + (ai + a2)(y2 + уз)у2 + ((ai + a2)(y2 + yf) + 6a2У2Уз)Уl + Ьз) = 0

boy3i + ЬУ + b2Vi + Ьз = 0,

где bo = 1 + ai + a2, bi = (ai + 3a2)(y2 + Уз), = (ai + 3a2)(y| + y2) + 6)a2y2y3, Ьз = (1 + ai + a2)(y3 + У3) + (ai + 3a2)(y|y3 + У2У2)-

Рис. 1.

Считая у2, Уз неотрицательными действительными числами одновременно не равными нулю, находим, что при а2 < — 6а1, а1 < — 6, а2 < —а1 — 1, а1 > — |, все Ъ < 0, а при а2 > —а1 — 1, а1 < — 3, а2 > — 1 а1, — 3 < а1 < 0, а2 > — 6а1, а1 > 0, все Ъъ > 0.

Если у2 = у3 = 0, то уравнение (5) имеет положительные решения только при а2 + а1 + 1 = 0.

Таким образом, базисная поверхность шестого порядка замкнута, если а1 и а2

удовлетворяют следующим неравенствам (Рис. 1)

1 3

a2 > —ai — 1, a2 < —-ai, ai < — -

6 2

1 13 6

a2 > —ai, a2 < —ait — < ai < — 3 1'2- 6 2 5

16 a2 > — ai; a2 < —ai — 1, — < ai < 0 35

1

a2 > — ai; a2 < —ai — 1, ai > 0. 6

Список цитируемых источников

1. Hilbert, D. Über die Theorie der algebraischen Formen. Math. Ann. 36, 473-534 (1890).

2. Chevalley, Claude Invariants of finite groups generated by reflections. Am. J. Math. 77, 778-782 (1955).

3. Shephard, G. C., Todd, J. A. Finite unitary reflection groups. Canad. J. Math. 6, 274-304 (1954).

4. Coxeter, H. S. M. Discrete groups generated by reflections. Ann. Math. 35, 588-621 (1934).

5. Игнатенко, В. Ф. Геометрия алгебраических поверхностей с симметриями. Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. 11, М.: ВИНИТИ, 203-240 (1980).

Ignatenko, V. F. Geometry of algebraic surfaces with symmetries. J. Soviet Math. 17, No.1, 1689-1711 (1981).

6. Flatto, Leopold; Weiner, Margaret M. Invariants of finite reflection groups and mean value problems. Am. J. Math. 91, 591-598 (1969).

7. Flatto, Leopold Invariants of finite reflection groups and mean value problems. II. Am. J. Math. 92, 552-561 (1970).

8. Игнатенко, В. Ф. К проблеме нахождения полных базисов алгебр многочленов, инвариантных относительно групп симметрий пространства En. Тез. докл. Всесоюзного симпозиума по теории симметрии и ее обобщениям (стр. 50-51). Кишенев, 1980.

Ignatenko, V. F. On the problem of finding complete bases of algebras of polynomials that are invariant with respect to the symmetry groups of the space En. Tez. dokl. Vsesoyuznogo simpoziuma po teorii simmetrii i yeye obobshcheniyam (Tez. report All-Ünion Symposium on Theory of Symmetry and Its Generalizations) (pp. 50-51) Kishineyv, 1980. (in Russian)

9. Игнатенко, В. Ф. Об инвариантах конечных групп, порожденных отражениями. Мат. сб. 120(162), No.4, 556-568 (1983).

Ignatenko, V. F. On invariants of finite groups generated by reflections, Math. USSR-Sb. 48, No.2, 551-563 (1984).

10. Игнатенко, В. Ф. Об алгебраических поверхностях с группами симметрии An, Bn, Dn. Украинский геометрический сборник 24, 33-39 (1981).

Ignatenko, V. F. On algebraic surfaces with the symmetry groups An, Bn, Dn. Ukr. Geom. Sb. 24, 33-39 (1981). (in Russian)

Получена 21.01.2019