Канонические системы базисных инвариантов конечных примитивных групп отражений четырехмерного унитарного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2019, том 9(37), №1, 46-56 УДК 514.7

Канонические системы базисных инвариантов конечных примитивных групп отражений четырехмерного унитарного пространства

О. И.Рудницкий

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 295007. E-mail: oirud58@gmail.com

Аннотация. Для неприводимой конечной унитарной группы отражений G, действующей в n-мерном унитарном пространстве, любой G-инвариантный многочлен от n переменных над полем комплексных чисел может быть записан в виде многочлена от n алгебраически независимых однородных многочленов, называемых базисными инвариантами. Выбор базисных инвариантов неоднозначен. Задание дополнительных условий позволяет определить их однозначно. Так, доказано существование базисных инвариантов, удовлетворяющих некоторой системе дифференциальных уравнений (L. Flatto, N. Nakashima, H. Terao, S. Tsujie). Такие системы базисных инвариантов называются каноническими. В работе находятся в явном виде канонические системы для всех конечных примитивных групп отражений четырехмерного унитарного пространства. Ключевые слова: унитарное пространство, группа отражений, алгебра инвариантов, базисный инвариант, каноническая система.

Canonical system of basic invariants for primitive reflection groups of four-dimensional unitary space

O. I. Rudnitskii

V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol 295007.

Abstract. The irreducible finite group G, generated by reflections in the n-dimensional unitary space, acts on the polynomial ring in n variables over the field of complex numbers in a natural manner. It is well known that there exist n algebraically independent G-invariant homogeneous polynomials, called basic invariants, such that all G-invariant polynomials can be uniquely written as polynomials of the basic invariants. Given the group G, there are infinitely many possible choices of a basic invariants, but their degrees are well known and typical of the given group G. It is possible to select, among the infinitely many basic invariants, some basic invariants, by requiring some supplementary conditions to be satisfied. So, it has been proved (L. Flatto, N. Nakashima, H. Terao, S. Tsujie) that it is possible to choose basic invariants in such a way that they satisfy a certain system of differential equations. Basic invariants of this kind are called canonical system of basic invariants. In this article we consider a finite primitive groups G, generated by reflections in four-dimensional unitary space. For all groups G were constructed in explicit form canonical systems of basic invariants.

Keywords: Unitary space, reflection groups, algebra of invariants, basic invariant, canonical system

of basic invariants.

MSC 2010: 51F15, 14L24

© О. И. РУДНИЦКИЙ

1. Введение

Пусть в п-мерном унитарном пространстве ип задана координатная система началом О и ортонормированным базисом вг (г = 1,... ,п); вектор х = (хг). Конечная неприводимая группа О, порожденная отражениями относительно гиперплоскостей пространства ип, естественным образом действует в кольце многочленов Я = С[х1,... ,хп]. Множество всех многочленов f (х) = f (хг) £ Я, инвариантных относительно О, образует алгебру Iпорожденную п алгебраически независимыми однородными многочленами fi степеней тг (показатели группы О) [11]; не нарушая общности, можно считать, что т1 < ... < тп. Система образующих {f1,..., П называется также системой базисных инвариантов группы О.

Система {f1,..., ^} базисных инвариантов группы О называется канонической системой базисных инвариантов группы О, если она удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных [10]:

Мд)^ = 0, г)3 = 1,...,п (г<з), (1.1)

где дифференциальный оператор fi(д) получается из многочлена fi, если коэффициенты многочлена заменить на комплексно сопряженные, а переменные хгр -

др

на дХ^Р.

Впервые понятие канонической системы базисных инвариантов для конечных вещественных групп, порожденных отражениями в евклидовом пространстве, ввел Л. Флатто при изучении свойства «среднего значения» для непрерывных веще-ственнозначных функций (см., например, [9]). Он же доказал существование канонических систем для указанных групп. В [10] понятие канонической системы было обобщено для групп О, порожденных отражениями в унитарном пространстве ип, доказано существование канонических систем для конечных групп О, а также предложен метод построения канонических систем (в [12] этот метод был реализован для построения канонической системы базисных инвариантов бесконечного семейства импримитивных групп О(т,р,п)).

В работах [3, 4, 5, 6] автором предложен другой подход к построению в явном виде канонических систем базисных инвариантов для групп О.

Алгоритм предлагаемого метода состоит в следующем (см. также [6]):

1. Возьмем известную систему {Рт1,... , Ртп} базисных инвариантов группы О (см., например, [2]).

2. Строим новую систему базисных О-инвариантных многочленов .]т1 (Ь = = 1,... ,п) в виде многочленов подходящей степени с неопределенными коэффициентами аа от базисных инвариантов Ртк. Так как многочлен ,1т1 должен быть базисным, то форма Рт должна обязательно присутствовать в записи этого многочлена.

3. Подставляя в формы .]т1 явные выражения базисных инвариантов Ртк, получим однородные многочлены степени т1 относительно переменных х1,... ,хп. При этом коэффициент у каждого одночлена этого однородного многочлена есть линейная комбинация неопределенных коэффициентов аа.

4. Обозначим /1 = .]т1 = Рт1 и последовательно применим условие (1.1) к формам .]т, Ь > 1.

5. На каждом шаге уравнения (1.1) приводят к системе линейных однородных уравнений относительно неопределенных коэффициентов аа. Находим общее решение полученной системы линейных уравнений и вводим обозначение / = найденных значений аа.

Построенная таким образом система базисных инвариантов {/1,..., /п} является канонической системой.

Используя данный метод, автор в работах [3, 4, 5, 6] построил в явном виде канонические системы базисных инвариантов для всех конечных примитивных групп О унитарных пространств ип, п = 2, 3 и 5.

Цель настоящей статьи - используя результаты работы [1], реализовать указанный метод для построения в явном виде канонических систем базисных инвариантов для всех конечных невещественных примитивных групп О четырехмерного унитарного пространства и4.

2. Канонические системы базисных инвариантов

В пространстве и4 существуют только такие группы О: Ш(N4), ЕШ(N4), Ш(Ь4) [7]. Рассмотрим каждую из них.

2.1. Группа Ш(N4) порядка 7680 порождена отражениями второго порядка относительно 3-мерных плоскостей с уравнениями х1 = 0, х2 + х4 = 0, х2 — х3 = 0, х1+1х2 +х3 +\х4 = 0, I2 = —1, и содержит отражения второго порядка относительно 40 3-мерных плоскостей. Множество их нормальных векторов (система корней группы) состоит из 160 векторов

h jh ei ± ej ) {%<] ), -

i ei, n( ei ± ej) (i < j), — ( ei ±ek ± iel ± iem), (2.1)

где п - первообразный корень восьмой степени из единицы, г,], к = 1, ',4, а индексы к,1,т = 2, 3, 4 (циклически) [7, 1]. Показатели группы тг = 4, 8,12, 20 [11].

Группа ЕШ(N4) 3 Ш(N4) и является ее «хорошим расширением» [7]. Она имеет порядок 64 • 6! и порождается отражениями второго порядка относительно 40 3-мерных плоскостей с нормальными векторами (2.1) и 20 3-мерных плоскостей с уравнениями

хг ± = 0, (г<]), х1 ± х2 ± х3 ± х4 = 0, г,] = 1,..., 4.

Система корней группы состоит из 240 векторов вида

^ ег, п(ег + ^^^) ^ < ]), ^ ± ^ е ± ет),

где 1,],Н,р = 1,..., 4, д = 1, 2; как и ранее, индексы к,1,т = 2, 3, 4 (циклически) [1]. Степени тг = 8,12, 20, 24 [11].

Используя многочлены Погорелова, автор (см. [1]) построил следующую систему базисных инвариантов группы ЕШ(N4):

Р8 = ^ Хг8 + 14 хгАх34 + 168 Д х\, (2.2)

г<з

Р12 = ^ хги - 33 ^ хг8х34 + 330 £ х\х]х\ + 792 ^ хг6х2хкх2, (2.3)

г<]<к ]<к<г

р20 = 127 Y^ xi20 -2413 Y1 4 - 62738 Y1 x12xJ + 34580 Y1 х12хК+

j<k

+244530 Y x®x8x4 + 13680 ^ x^x2x2kxj + 912912 ^ xfx6x2kxj+ (2 4

xj

i<j j<k<l k<l

+ 12780768 Y xj xj + 17117100 ^ x®x4xkx4, i<j<k j<k<l

P24 = 3075 Y xi24 + 31878 ^ x20xj4 + 2206413 ^ x16x®+

8112468 Y x12x12 + 301070 x16x4x4k + 7827820 x12x)x4k-i<j j<k

+55353870 Y x®x®x8 + 70840 ^ xfxjxkxj + 14451360^ x14x6xkxj+ i<j<k j<k<l k<l

+68884816 Y x10x10x2xj + 964387424 x10x6x6xj+

i<j j<k k<l

+547947400 ^ x12x4x\x4 + 3874770900 ^ x®x®xkx4+

j<k<l i<i

k<l

(2.5)

+13501423936

x6-i

здесь и далее в записи многочленов, индексы г^,к,1 = 1,..., 4 и удовлетворяют неравенствам, указанным под знаком суммы.

При этом в работе [2] доказано, что формы (2.2), (2.3), (2.4) и форма

P4 = xi4 - 6 xi2x32 (2.6)

г<з

задают систему базисных инвариантов группы Ш(N4).

Используем приведенные выше системы базисных инвариантов для построения канонических систем {f 1, f2, fз, f4 } базисных инвариантов для групп Ш (N4) и ЕШ (N4).

2.1.1. Группа Ш(N4). Пусть = Р4. Форму Д2 канонической системы будем искать среди всех инвариантов восьмой степени группы Ш (N4). Их можно задать следующим образом

.8 = а^4 + а2Рв,

где а1 , а2 - неопределенные коэффициенты.

Тогда соотношение (1.1) имеет вид

ия. + . + . + _ 6( д4.8 + +

/1(д).8 " 5х14 + дх24 + 5хэ4 + 5х44 6(дхх2дх\ + <9х12<9х3 +

+ д 4.8 + дА.8 + д4.8 + д4.8 = 0 дх22дх3 дх22дх4 дх32дх4 ' и приводит к линейной однородной системе двух уравнений относительно неизвестных а1,а2. Ее общее решение: а1 = —7с,а2 = 34с. Следовательно, с точностью до постоянного множителя, форма /2 (многочлен . 8 при найденных значениях а1,а2) имеет следующий развернутый вид

f2 = 9 xi + 28 xi6xj 2 + 70 x4xj 4 - 140 xtxj xl + 1400 Ц x2. (2.7)

i<j j<k

Далее, любой инвариант двенадцатой степени группы Ш(N4) представим в виде .112 = а1Р12 + а2Р4Р8 + а3Р43. Поэтому форму /3 находим из условий

/1(д).12 = 0/2(д ).12 = 0.

Они приводят к линейной однородной системе шести уравнений относительно трех неизвестных а1, а2, а3. Ее общее решение: а1 = —3182с, а2 = 2442с, а3 = —781с. Поэтому, с точностью до постоянного множителя,

f3 = 169 Y^ xi12 + 66 xi10xj2 - 6105 £ x^x4 + 924 x^x^

i<j

+ 18810 x®x2x2k - 17820 x!x4x2k + 21450 xfx4x4k+

12 , 6^ х 10 ^2 — 610^ х8х4 + 924^] х6х[6

г<3

4хк + 21450 ^ ^ х4х4хк"I (2 8)

3<к г<з<к

+ 178200 ^ х^х2хкх2 + 49500^ х4х4х2кх?.

3<к<1 <

к<1

Инварианты двадцатой степени группы Ш(N4) можно задать следующим образом:

.20 = а1Р^ + а]Р'3Р8 + азР2Р12 + а4Р4Р88 + а$Р8 Р12 + а^Р20.

Следовательно, форма /4 совпадает с 320 для тех значениях а1,Ь = 1,..., 6, при которых форма 320 является решением системы (1.1), то есть системы вида

Ш.20 = 0, ¡2(0).20 = 0, /з(д).20 = 0.

Это приводит к линейной однородной системе 29 уравнений относительно переменных а1,Ь = 1, 6. Общее решение системы:

а1 = —5118284805447с, а2 = 29206693567700с, а3 = —14697884190660с,

а4 = -42971969015250с, а5 = -131671242738776с, а6 = 1356920320698с. Таким образом, с точностью до постоянного множителя,

/4 = 807473 ^ хг20 + 7078830 ^ хг18х32 - 35318435 ^ хг1%х34-

-168334680^ хг14х36 - 112071310^ хг12х® - 211176108^ хг10х310+

г<з

+ 185689470 ^ хг16х2хк + 1093613400 ^ хг14х4хк - 701904840 ^ х12х6х2+

]<к

+1227703620 ^ хг10х8х2 + 5887417900 ^ х]2х4х4к - 1513151640 ^ х^хЦ-

]<к

-18228488850^ х8х8х4к + 17187850680^ х8х6хк -г<з ]<к

-10936134000 ^ хг14х2хкхг2 - 8553363000^ хг12х4хкхг2+ ]<к<1 к<1

+ 15131516400 ^ хг10х6хк хг2 + 59237392500 ^ х8х8хкхг2-

к<1 <

к<1

-969969000 ^ хг10х4х4кх2 - 49468419000 ^ х8х6х4х2+ ]<к

+211841229600 ^ хг6х6хкх2 - 65472907500 ^ х8х4х4кх4-г<]<к ]<к<г

-13579566000 ^ хбхбхкх4

к<1

(2.9)

и каноническая система базисных инвариантов группы Ш(N4) состоит из форм (2.6), (2.7), (2.8) и (2.9).

2.1.2. Для построения канонической системы базисных инвариантов группы ЕШ(N4) в качестве возьмем форму (2.2). Тогда Д2 совпадает с формой (2.3), так как уравнение (1.1) обращается в тождество для = Р8 и Д2 = Р12.

Так как все инварианты двадцатой степени группы ЕШ(N4) можно записать в виде .20 = а1Р2о + а2Р8Р12, то систему (1.1) запишем следующим образом

Н(д ).20 = 0,;2(д).2о = 0.

Получим систему семи линейных однородных уравнений относительно двух неизвестных, с общим решением а1 = -3413с, а2 = 414960с. Следовательно, форма /з , с точностью до постоянного множителя, имеет вид

/з = 41 ^ хг20 - 779 ^ хг16х34 - 20254 ^ хг12х® + 795340 ^ х]2х4х4к -

]<к

1489410 Y - 779760 ^ x^jlX + 1078896 ^ хГх6х1 х2+ (2-10)

i<j j<k<l k<l

+15104544 Y x^xXxl - 4668300 ^ x®x4xfxf. i<j<k j<k<l

Далее, семейство всех инвариантов 24-й степени группы ЕШ(N4) запишем в виде /24 = ар24 + «2^1 + азРеформа J24 принадлежит канонической системе, если является решением следующей системы дифференциальных уравнений

Л (0)724 = 0,Ь(0)324 = 0, ]з(8)324 = 0.

Третье уравнение выполняется тождественно, а первые два приводят к линейной однородной системе 11 уравнений относительно трех неизвестных. Ее решение: «1 = 4448817с, «2 = -10032581416с, аз = -3235878464с.

Следовательно, форма /4, с точностью до постоянного множителя, имеет следующий развернутый вид

/4 = 995 ^ х24 - 159482 ^ хг20х3 4 + 1393133 ^ ж!6ж®+

+ 1606228 Y x12x12 - 48495730 ^ xt16x4xk + 7827820 ^ x12x8xk-i<j j<k

749793330 ^ x®x®xk - 23849160 ^ x18x2xkxl+

i<j<k j<k<l

+209638560^ x14x6xkx2 - 861507504^ xfxfx2kxl + (2-11)

k<l <j

k<l

+ 1966348384^ x10x6xkxl - 1046081400 ^ xfxfxfxf+ j<k j<k<l

+654182100 Y x®x8xkxf - 526029504 Д x6

i<j k<l

а каноническая система базисных инвариантов группы ЕШ(N4) состоит из форм (2.2), (2.3), (2.10) и (2.11) .

2.2. Группа Ш(Ь4) симметрий правильного комплексного многоугольника Вит-тинга 3(3)3(3)3(3)3 имеет порядок 216 • 6!; степени шг = 12,18, 24, 30 [8, 11]. Она порождается отражениями третьего порядка относительно 40 его 3-мерных плоскостей симметрии с уравнениями

хг = 0, х1 + шр х2 + шд х3 = 0, х1 — шрх2 — шд х4 = 0,

х1 — шрх3 + шд х4 = 0, х2 — шрх3 — шд х4 = 0,

(г = 1,... , 4, = 1,... , 3; ш - первообразный корень третьей степени из единицы). При этом система корней группы Ш(Ь4) состоит из 120 векторов

щЬ щЬ

шег, ( е1 + шре2 + шде3), ( е1 — шре2 — шде4), 33

^н _

( е1 — шре3 + е4), ( е2 — шре3 — е4), (к = 1, 3). 33

В работе [1] на основе многочленов Погорелова построена следующая система базисных инвариантов группы Ш(Ь4):

112 = ^ хг12 + 22^ хг6х36 + 220 ^2—1)ах3гх63х3к, (2.12)

г<3 г<к

hs = J2 xi18 - xl12x36 - 170 ^ (-1)ax3x12x3k-

i<k

-1870^2 (-1)axgix6jx3k - 7854 ^ xjxjxj,

i<j<k

I24 = 111 x24 + 506 Y xfxj + 10166 Y xi2xi2+

i<j

+5060 ^(-1)ax3xfxk + 206448 J^(-1)ax15xjx3k+ i<k

(2.13)

+ 1118260 ^(-1)axix12x3k + 4696692^ x]2xjxk+

(2.14)

+ 12300860 ^(-1)axi xjx9

j<k xi ,

j xk,

i<k

I30 = 584 x3° - 435 x24xj - 63365 x]8x]2 - 4350 ^(-1)ax3x24xk-

i<k

440220 J2(-1)ax21 xjx3k - 6970150 J2(-1)axix18x3k-

25852920 ^(-1)ax]5x]2x3k - 29274630^ xfxjxk-

j<k

84382120 ^(-1)ax]5xjxgk - 588153930^ x]2x]2x&k-

i<j

— 1540403150 1)ахг9х]2х9к

г<к

(2.15)

Здесь и далее г,], к = 1,..., 4 и удовлетворяют неравенствам, указанным под знаком суммы; при этом а = 2, если г,], к принимают соответствующие значения троек чисел (2,1, 4), (4,1, 2), (1, 3, 4), (4, 3,1), (3, 2, 4), (4, 2, 3) или любые перестановки чисел (1, 2, 3); а = 1, если г,], к принимают значения оставшихся перестановок троек чисел (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4).

Как в п.2.1, для построения канонической возьмем /1 = Д2. Тогда /2 = 118, так как в этом случае соотношение (1.1) выполняется тождественно. Далее, совокупность всех инвариантов 24-й степени группы Ш(Ь4) запишем в виде

.24 = а1!22 + а2124,

и форму /3 будем искать из условий /1(д)J24 = 0,/2(d)J24 = 0. Второе условие выполняется тождественно, а первое приводит к совместной системе линейных однородных уравнений относительно двух неизвестных с общим решением:

a1 = 13449618с,a2 = -132941c.

Таким образом,

/з = 597 ^ x24 - 239614 ^ xfx6 - 2368678 ^ xfx12+

i<j

-2396140^2(-1)ax3xfxl + 9834432 ^(-1)axi5xfxk+ i<k

+8437780 ^(-1)ax?xfxk - 18359796^ xfxfxf + (2.16)

j<k

+92815580 ^(-1)ax9x6xk - 537984720 Ц xz3 ^-1)ßx?x3+ i<k

+3550699152Д xf,

где i,j,k,a принимают те же значения, что и ранее, [3 = 2, если (i,j) = (1, 2), (2, 3), (3,1), (4,1), (4, 3), (4, 2) и ß =1 - в остальных случаях; l = 1,..., 4.

Для нахождения формы /4, все инварианты 30-й степени группы W(L4) представим в виде J3o = a1/12/18 + a2I30. Как и ранее, форма J30 принадлежит канонической системе, если является решением следующей системы:

fi(d) J30 = 0, /2 (д )J3o = 0,/(д )J3o = 0.

Третье уравнение выполняется тождественно, а первые два приводят к линейной однородной системе восьми уравнений относительно двух неизвестных. Ее решение: a1 = 145308618с, a2 = -249517с. Следовательно, с точностью до постоянного множителя,

/4 = 122 Y x30 - 248907 ^ xfxf + 12178753 ^ x^xf-

-2489070 J^(-1)ax3x24x3 + 38723352 J^(-1)ax21 xfxk-i<k

-113423350 ^(-1)ax9xfxk + 2843821^ ^(-1)ax15xj2xk -

-185760834^ x18xfxk + 312820332 ^(-1)ax15xfxk- (2 17)

j<k

-588153930^ xfx12x6k - 364095290 ^(-1)ax9x12x9k+

i<j i<k

+ 1453086180 П x?(^(-1)ß x15x3 + 17j](-1)7 x?xfxk )--88928874216 Д xf ^ xf;

здесь y =2, если индексы (i,j,k) принимают соответствующие значения троек чисел (1, 2, 4), (2, 3, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2,1,4),(2, 4,1),(3,1, 4),(3,2, 4),(3, 4, 2) или циклические перестановки тройки чисел (1, 2, 3), и y = 1 - в остальных случаях.

Таким образом, каноническая система базисных инвариантов группы W(L4) состоит из форм (2.12), (2.13), (2.16) и (2.17)

3. Заключение

В статье продолжена, начатая в [3, 4, 5, 6], работа по построению канонических систем базисных инвариантов для конечных примитивных групп G, порожденных отражениями, в унитарном пространстве Un. Построены в явном виде канонические системы базисных инвариантов для конечных примитивных групп G, порожденных отражениями, в пространстве U4, а именно: каноническая система базисных инвариантов для группы W(N4) состоит из форм (2.6), (2.7), (2.8), (2.9), группы EW(N4) - из форм (2.2), (2.3), (2.10), (2.11) и группы W(L4) - из форм (2.12), (2.13), (2.16) и (2.17).

Список цитируемых источников

1. Rudnitskii, O. I. Basis invariants of finite primitive groups generated by reflections in four-dimensional unitary space. Journal of Mathematical Sciences, V. 48, N 1, 95-99 (1990).

2. Рудницкий, О. И. Алгебраические поверхности с конечными группами симметрий в унитарном пространстве. Дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук: 01.01.04. Минск, 1990.

Rudnitskii, O. I. Algebraic surfaces with finite symmetry groups in unitary space. The thesis for the degree of Candidate of Physico-Mathematical Sciences: 01.01.04. Minsk, 1990.

3. Рудницкий, О. И. Канонические системы базисных инвариантов для групп симметрий многогранников Гессе. Таврический вестник информатики и математики. № 3(36), 73-78 (2017).

Rudnitskii, O. I. Canonical system of basic invariants for symmetry groups of Hessian polyhedrons. № 3(36), 73-78 (2017).

4. Рудницкий, О. И. Канонические системы базисных инвариантов для унитарных групп W(J3(m)), m = 4,5. Таврический вестник информатики и математики. № 1(38), 89-96 (2018).

Rudnitskii, O. I. Canonical systems of basic invariants for unitary groups W(J3(m)), m = 4, 5. № 1(38), 89-96 (2018).

5. Рудницкий, О. И., Бочко, А. Ю. Рольская, Е. Н. Канонические системы базисных инвариантов для примитивных групп, порожденных отражениями, на унитарной плоскости. В кн. В.А.Лукьяненко (Ред.). Математика, информатика, компьютерные науки, моделирование, образование: сборник научных трудов Всероссийской научно-практической конференции МИКМ0-2018 и Таврической научной школы-конференции студентов и молодых специалистов по математике и информатике (стр. 59-71). Симферополь: ИП А.А.Корниенко, 2018. Вып. 1.

Rudnitskii, O. I., Bochko, A. Yu., Rolskaya, E. N. Canonical systems of basic invariants for primitive groups generated by reflections on the unitary plane. Mathematics, informatics, computer science, modeling, education (pp. 59-71). Simferopol, (2018), № 1.

6. Рудницкий, О. И. Каноническая система базисных инвариантов унитарной группы W(K5). Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. № 58, 32-40 (2019). DOI 10.17223/19988621/58/3

Rudnitskii, O. I. Canonical system of basic invariants for unitary group W(K5). № 58, 32-40 (2019).

7. Cohen, A. M. Finite complex reflection groups. Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 4, 379-436 (1976).

8. Coxeter, H. S. M. Regular complex polytopes. London Cambridge Univ. Press, 1974.

9. Flatto, L. Invariants of finite reflection group. Enseign. Math. Vol.24, № 3-4, 237-292 (1978).

10. Nakashima, N., Terao, H, Tsujie, S. Canonical systems of basic invariants for unitary reflection groups. Canad. Math. Bull. Vol.59, № 3, 617-623 (2016) (arXiv:1310.0570 (2017)).

11. Shephard, G. C, Todd, J. A. Finite reflection groups. Can. J. Math. Vol.6, № 2, 274-304 (1954).

12. Tsujie, S. Construction of canonical systems of basic invariants for finite reflection groups. The thesis (doctoral). Hokkaido, 2014.

Получена 21.03.19