Канонические системы базисных инвариантов для групп симметрий многогранников Гессе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 514.7

MSC2010: 51F15, 14L24

КАНОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ БАЗИСНЫХ ИНВАРИАНТОВ ДЛЯ ГРУПП СИММЕТРИЙ МНОГОГРАННИКОВ ГЕССЕ

© О. И. Рудницкий

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: [email protected]

Canonical systems of basic invariants for symmetry groups of Hessian polyhedrons.

Rudnitskii O. I.

Abstract. Let G be a finite unitary reflection group acting on the n-dimensional unitary space Un. The algebra IG of G-invariant polynomials is generated by n algebraically independent homogeneous polynomials f1(x1,..., xn),..., fn(x 1,..., xn) of degrees m1 ^ m2 ^ ■ ■ ■ ^ mn (a system of basic invariants of group G) [1]. According to [4] (cf. [2]) a system {f1,..., fn} of basic invariants is said to be canonical if it satisfies the following system of partial differential equations:

fi(d)fj = 0

where a differential operator fi(d) is obtained from polynomial fi if coefficients of polynomial to substitute by the complex conjugate and variables xi to substitute by д^г.

In this paper, canonical systems of basic invariants were constructed in explicit form for symmetry groups of Hessian polyhedrons — groups W(L3), W(M3) generated by reflections in unitary space U3.

Keywords: unitary space, reflection, reflection groups, algebra of invariants, basic invariant, canonical system of basic invariants.

Введение

Пусть Un есть n-мерное унитарное пространство, G — конечная неприводимая группа, порожденная отражениями относительно гиперплоскостей с общей точкой O. Группа G естественным образом действует в кольце многочленов R = C[x1r .. ,xn]. Множество всех многочленов f (x) = f (x1,... ,xn) E R, инвариантных относительно G, образует алгебру IG, порожденную n алгебраически независимыми однородными

многочленами /. степеней ш. (показатели О) [1]; не нарушая общности, будем считать, что Ш1 ^ ш2 ^ • • • ^ шп. Такая система образующих называется системой базисных инвариантов группы О.

Л. Флатто (см., например, [2]), при решении «проблемы среднего значения» для вещественных многогранников, ввел понятие и доказал существование «канонической системы базисных инвариантов» для вещественных групп О. Позднее, в работе [3], было дано новое определение канонической системы. В работе [4] это понятие было перенесено на невещественные группы О пространства ип, а также предложен метод построения канонических систем, который в [5] был реализован для построения канонической системы бесконечного семейства импримитивных групп О(ш,р, п).

В настоящей статье другим способом построены в явном виде канонические системы базисных инвариантов для групп симметрий многогранников Гессе пространства

и3.

1. Постановка задачи

Пусть в п-мерном унитарном пространстве ип задана координатная система началом О и ортонормированным базисом е.. (г = 1, п); вектор х = (х.).

Определим в Я = С[х1,... ,хп] внутреннее произведение (•, •) : Я х Я ^ С формулой [4]

(/,9) = /(д )д ^

где /,д Е Я, дифференциальный оператор / (д) получается из многочлена /, если коэффициенты многочлена заменить на комплексно сопряженные, а переменных х. на .

ОХН

Система {/1,... , /п} базисных инвариантов группы О называется канонической системой, если она удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных [4]:

//(д)/ = (// )5гз, (1)

где Ь.у — символ Кронекера, г,] = 1,п (г ^ ]).

Отметим, что каноническую систему можно в определенном смысле рассматривать как ортогональную систему относительно введенного внутреннего произведения.

Целью настоящей работы является построение в явном виде канонических систем для примитивных групп Ш(Ь3) и Ш(М3), порожденных отражениями в пространстве и3 (групп симметрий многогранников Гессе).

2. Канонические системы для групп W(L3) и W(M3)

В пространстве U3 существуют три различных типа правильных комплексных многогранников, отличных от обобщенного куба и взаимного ему многогранника [6]. Это многогранник Гессе 3(3)3(3)3 с группой симметрий W(L3), а также «двойной» многогранник Гессе 2(4)3(3)3 и двойственный к нему многогранник 3(3)3(4)2 с общей группой симметрий W(M3). Рассмотрим каждый из них.

1. Правильный комплексный многогранник 3(3)3(3)3 имеет 27 вершин, 72 ребра и 27 граней. Каждая грань содержит 8 вершин, образующих правильный комплексный многоугольник 3(3)3 [6]. Зададим вершины многогранника следующими векторами [6]:

ш1(в1 - шкв2),ш1(в2 - шкв3),ш1(-шкв1 + e3), (2)

где ш = -2--первообразный корень третьей степени из единицы, k,l = 1, 3.

Отметим, что координаты векторов (2) при l = 3 определяют в однородных координатах на проективной плоскости конфигурацию Гессе: девять точек расположены по три на двенадцати различных прямых таким образом, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит третью из данных девяти [6]. Конфигурация Гессе интересна тем, что показывает нарушение известной теоремы Сильвестра на комплексной проективной плоскости.

Многогранник 3(3)3(3)3 имеет 12 плоскостей симметрии, которые зададим уравнениями [7]

Xi = 0, x\ + ujX2 + шкx3 = 0, i, j, k = 1, 3. (3)

Отражения третьего порядка относительно плоскостей (3) порождают группу W(L3) симметрий многогранника Гессе. Она имеет порядок 648, степени mi = 6, 9,12 [1]. Используя многочлены Погорелова, в [7] построена следующая система базисных инвариантов группы W(L3):

Je = ^ Xi6 - 10 ^ Xi3Xj3, (4)

i<j

J9 = (X13 - X23)(X13 - X33)(X23 - X33), (5)

J12 = ^ Xi12 - 110 ^ Xi9Xj3 + 462 ^ Xi6Xj6 (6)

i<j

(здесь и далее в записи многочленов индексы i, j, k принимают значения 1, 2, 3 и удовлетворяют неравенствам, указанным под знаком суммы).

Используем эту систему базисных инвариантов для построения канонической системы {f1, f2, f3} базисных инвариантов группы W(L3).

«Таврический вестник информатики и математики», № 3 (36)' 2017

Введем обозначение / = J6. Тогда базисный инвариант /2 определяется условием /1(5)J9 = 0, которое выполняется тождественно. Следовательно, /2 = J9.

Далее, семейство всех инвариантов двенадцатой степени группы Ш(Ь3) можно записать в виде:

712 = а1J12 + а2 где а1, а2 - неопределенные коэффициенты.

Для нахождения коэффициентов а1, а2, воспользуемся условием (1), которое запишем в виде

Л(д)/12 = 0,/2(5)712 = 0.

Второе соотношение выполняется тождественно, а первое приводит к уравнению 616а1 + 151а2 = 0. Таким образом, а1 = 151с и а2 = -616с, а /3, с точностью до постоянного множителя, имеет вид

/з = 31 ^ х12 + 286 ^ жг9ж3 - 462 ^ хг6х6 + 7392 ^ . (7)

г<3 3<к

Следовательно, каноническая система базисных инвариантов для группы Ш(Ь3) состоит из форм (4), (5) и (7).

2. «Двойной» многогранник Гессе 2(4)3(3)3 имеет 54 вершины, 216 ребер и 72 грани; взаимный ему многогранник 3(3)3(4)2 имеет соответственно 72, 216 и 54 вершин, ребер и граней, каждая из которых правильный комплексный многоугольник 3(3)3 [6]. Вершины многогранника 2(4)3(3)3 задаются векторами (2), умноженными на ±1, а вершины многогранника 3(3)3(4)2 — векторами

±^1 у!_з . .

---(е1 + + ^¿3), г, к, I = 1, 3.

3

Тогда плоскости симметрии многогранников определяются уравнениями (3) и уравнениями

х, _ шкху = 0, г, к = 173 (г < ]). (8)

Группа Ш (М3) симметрий этих многогранников порождается отражениями третьего порядка относительно двенадцати плоскостей (3) и отражениями второго порядка относительно девяти плоскостей (8). Ее порядок 1296, показатели т = 6,12,18 [1].

Система базисных инвариантов группы Ш(М3) найдена в [7]. Она задается формами (4), (6) и формой

J18 = ^ х,18 _ 408 ^ х,15ху3 + 9282 ^ х,12ху6 _ 24310 ^ хг9х9.

Построим каноническую систему для группы Ш(М3). Как и ранее, введем обозначение ¡! = 36. Используя ранее полученные результаты (см. п.1), имеем: форма ¡2 совпадает с (7).

Совокупность всех инвариантов восемнадцатой степени группы Ш(М3) запишем в виде

1\8 = + а2-Зб3 +

При этом 1!8 принадлежит канонической системе, если удовлетворяет следующей системе

¡г(д)118 = 0,Мд)118 = 0.

Эта система приводит к системе 6 линейных однородных уравнений, которую можно привести к виду

' 24752а! + 3615а2 + 8355а3 = 0,

272272аг + 10515а2 + ЫП1а3 = 0, < 1905904а! + 83355а2 + 375375а3 = 0, 24752а! + 365а2 + 3889а3 = 0, 3625а2 + 2233аз = 0.

Ее решение а! = —1?)76145ю, а2 = -13817804с, а! = 10055500с. Поэтому, с точностью до постоянного множителя,

¡з = 4181 Е Х!8 + 18780 Е Хг!5 Х33 + 1011738 Е ^Г^з 6+

+461890 Е х!х9 - 11509680 Е х!2х3х3 + (9)

%<з 3<3

+2042040 Е х\х]х{ - 68612544x6x6x3.

Таким образом, найдена каноническая система базисных инвариантов для группы Ш(М3). Она состоит из форм (4), (7) и (9).

Заключение

В статье, используя полученные ранее автором системы базисных инвариантов для групп Ш(Ь3) и Ш(М3), порожденных отражениями в трехмерном унитарном пространстве, построены в явном виде канонические системы базисных инвариантов для этих групп.

Таврический вестник информатики и математики», № 3 (36)' 2017

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. SHEPHARD, G. C. (1954) Finite unitary reflection groups. Can. J. Mathe. 6 (2). p. 274-304.

2. FLATTO, L. (1978) Invariants of finite reflection groups. Enseign. Math. 24 (3-4). p. 237-292.

3. IWASAKI, K. (1997) Basic invariants of finite reflection groups. J. Algebra. 195 (2). p. 538-547.

4. NAKASHIMA, N., TERAO, N. and TSUJIE, S. (2016) Canonical systems of basic invariants for unitary reflection groups. Canad. Math. Bull. 59 (3). p. 617-623.

5. TSUJIE, S. (2014) Construction of canonical systems of basic invariants for finite reflection groups. The thesis (doctoral). Hokkaido.

6. COXETER, H. S. M. (1974) Regular complex polytopes. London Cambridge Univ. Press.

7. Рудницкий, О. И. Алгебраические поверхности с конечными группами симметрий в унитарном пространстве // Диса на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. — Минск, 1990. — 115 с. RUDNITSKY, O. I. (1990) Algebraic surfaces with finite symmetry groups in unitary space. The thesis for the degree of Candidate of Physico-Mathematical Sciences. Minsk.