CC BY
17
УДК 539.3
Д. В. Грищак Державна шженерна академiя, м. Запорiжжя
НОВИЙ НАБЛИЖЕНИЙ АНАЛ1ТИЧНИЙ РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ1 ПРО ВЛАСН1 КОЛИВАННЯ ТРИШАРОВО1 ПЛАСТИНИ З1 ЗМ1ННИМИ ЗА ЧАСОМ, МАСОЮ ТА КОЕФЩЮНТОМ
ДЕМПФ1РУВАННЯ
Дану статтю присвячено проблемI коливань багатошарових пластин з параметром маси, залежним вгд часу. Успгшно застосовано ггбридний метод для виргшення проблеми механгчних коливань, як описуються сингулярним диференцгальним ргвнянням. Показано залежнгсть амплгтуди I частоти коливань вгд характеру функцш параметру маси у часг.
У робот на базi пбридного асимптотичного тдхо-ду вперше запропоновано новий аналгшчний тдхвд до аналiзу коливань багатошарово! пластинчасто! сис-теми, маса i коефiцieнт демпфiрування яко! е функщя-ми часу. Здобутi основнi аналиичш залежностi для об-числення частот власних коливань для параметрiв асимптотичного розкладу, не залежних вiд !х величи-ни. Порiвняння здобутих результалв iз iснуючими шдходами та результатами обчислень прямими чисель-ними методами тдтверджують ефективнiсть запропо-нованого у робот пiдходу i можливiсть застосування здобутих залежностей в iнженернiй практищ при про-екIуваннi конструкцiй ново! техшки.
1 Постановка задачi
Як вщомо, коливання досить значно! шлькосп тех-нiчних систем описуються диференщальними рiвнян-нями зi змiнними коефщентами, як1 не допускають точного аналггачного розв'язку. Так, наприклад, у задачах динамши космiчних транспортних системах маса е функщею часу. Аналопчш проблеми виникають при дослiдженнi коливань тдводних кабелiв зi змiнною за часом довжиною та в шших машинах i апаратах. Роз-глянемо коливання прямокутно! тришарово! шаршр-
но оперто! пластини (а х Ь ), з товщиною И , врахову-
ючи змiннi за часом питому вагу матерiалу у(/) та ко-
ефiцiент демпфiрування е(/).
Для розглянуто! пластини (рис. 1), згiдно з роботою Амбарцумяна С. А. [1], розглядаеться випадок, коли
§1 = §2 =8, В\к = ВТЛ = ВА, а вiдповiднi жорсткостi мають вигляд:
(1)
К1к = 0, С1к = 2
§0 В° (§-§0—
3
¡к
§о В®к +(§3 -§0 В1к
(2)
У загальному випадку динамiчне навантаження зображуеться у формi
2
„ . . . пх . пу „ у(^) , _ ч ды у(^) , д ы .„.
г = —-2^-Ы(Г)--И——, (3)
а Ь g дt g дГ
де g - прискорення сили тяж1ння, t - час.
Зпдно з класичною теорiею багатошарових пластин, можна отримати таке рiвняння:
д4 ы
д4 ы
и и/ / \ и и/
Бп — + 2( + 2В66)—— + Б
дхн
дх 2ду 2
22"
д4 ы ду4
• пх . пу Y(t)
ды Y(t) д ы
= q(t )81п—81п— - 2-— къ^)----— И
Ь
g
дt
g дt
.(4)
Використовуючи апроксимащю, яка вдовiльняе гра-ничним умовам
пх пу w(t) = /(0 Б1П-81П —,
а Ь
Рис. 1. Ортотропна симетрично з1брана пластина
рiвняння (4) можна переписати у виглядi
а
х
И
© Д. В. Грищак, 2009
114
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
Чй4+2 (+^)+(п!
. пх . пу
X f (t) Б1П-81П — =
а Ь
q(t) - 2 М ) / '(t hf'(()
g g
Позначивши
. пх . пу
81П-81П-. (6)
аЬ
Б(() =
ay(t)'
~(() =
gq(t). ay(t)'
8(() =
йе(0
X2 = - (7)
та враховуючи, що
4
Б = Бц|-| + 2 ~2гт ((12 + 2Ббб )+ ^22
212 Ч~12 ■ --66/ ■ — 221 / I , рiBHЯH-
а У а Ь V Ь
ня (6) можна записати у формi
X2 f'(() + 28(() f'(() + Б(() f (() = ~(().
(8)
Розв'язок цього рiвняння, яке описуе вимушенi коливання дослщжувано! системи, можна навести як суму однорщного та часткового розв'язку неоднорщ-ного рiвняння. Якщо отримати однорщний розв'язок, то отримання часткового не становить значних труд-нощiв. Основна теоретична проблема полягае в одержали розв'язку однорiдного диференцiального рiвнян-ня, яке вiдповiдае за дослiдження власних коливань системи
X2f "(t) + 28(() f '(t) + Б(() f (t) = 0, (9)
де X - безрозмiрний параметр при старшш похiднiй.
2 Пбридний ВКБ-Гальоркiн розв'зок задачi про власш коливання тришаровоТ пластини iз змш-ною за часом масою i коефiцieнтом демпфiрування
Згiдно з пбридним ВКБ-Гальорк1н методом [2], ВКБ-розв'язок будемо шукати у формi двочленно! ап-роксимацп
f ((, X) = ехр
| У0(() + Ж() V
(10)
Пiдставляючи (10) у рiвняння (9), отримуемо
1 1 2 2 1 V У0 + Я+-Т Л2 + Л2 + 2 - Л fl
X X2 X
+ 28(()
X у + У 1
+ Б(() = 0.
(11)
Прирiвнюючи коефiцiенти при однакових ступенях
параметру, отримаемо систему рiвнянь:
| у2 + 28(() У + Б(() = 0, 1 У0 + 2 УУ = 0,
або
У 1 А1 У Л =- 2 А 1П^
(12)
8(()У0 - Л3 - Б(/)У0 = 0.
(13)
Друге рiвняння системи (13) можна розв'язати, за-стосовуючи пiдстановку
У0 = и (()¥ (t).
(14)
Тд з рiвняння
Щ)(и'у + ик' )-и V3 - Бик = 0, (15)
знаходимо
1
Э(()Л
V = е 8 (() та и = ±/
г V2 2|"—— с!( J 8 (t)
-1/2
. (16)
Зпдно з (14) розв'язок системи рiвнянь (13) можна записати, як
/■ 1 А л г
У = - 7 А1п ^
Л = ±
21 б(( А 8(()
21 --Л
8(()
—I—1/2
, Б(( )Л 1 8(()
(17)
Таким чином, отримано ВКБ-розв'язок, наведений у (10) з урахуванням (17).
Другий крок розв'язку за гiбридним ВКБ-Гальорк1н методом використаемо перший доданок ВКБ-розв'яз-ку (У0). Тобто розв'язок будемо шукати у формi
У ((, X)
ехр
/[^01 (X) + /5о2(X)l/b^)
А(. (18)
Беручи до уваги (18), рiвняння (9) можна перепи-сати у виглядi
А.2 [(501 + /502 )у0 +(§21 + 2/501502 -§22 )у02 ]+
+ 28(( )[501 + /502 1/0 + Б(() = 0.
(19)
х
а
а
-
2
X
+
1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2009
115
За умови, що R та N+1 координатш функцп з штер-валу [a, b] повиннi бути ортогональнi,
Jr(Sq,...,5N, fo,..., fN, fo,..., fN"-1), t, Xf (t)dt = 0.
Тодi отримаемо
X2 [(-5 01 - '5o2 )fo fo +(— 5 2 ii + 25oi5o2 + ¿502 f± fo3)]+ + 2s(t)[— 5oi — i5o217o2 + D(t)(± fo ) = o. (2°)
Де fo = ±ifo, тобто fo =
2j D(Qdf
J B(f)
2J ^
E(t)
-dt
-1/2
J
E(f )
Прирiвнюючи коефiцiенги дiйсних та уявних членiв отриманого рiвняння, приходимо до тако! системи рiвнянь:
J A5o2 — 552i + + W = o, I A5oi + 2B5oi5o2 = o,
(21)
де
3 Чисельний експеримент
Для отримання чисельних даних та графiчно! штер-претацп розв'язку, задамо значения загальних пара-метрiв дослвджувано! конструкцп. Розглянемо пластину (a = b = 2 м), складену з трансверсально iзотроп-них шарiв, площини iзотроm! яких паралельт площинi
z = o.
Для крайшх шарiв маемо
Bii = B77 =
E
22
1 — V2
B12 =■
vE
i—V
B66 =
E
для середнього шару -
Bo = Bo = Eo B11 = B22 =-
1 — vo
Bo = VoEo Bo
B12 =-2, B66 =
1 — V o2
2(1 +vf
Eo
(24)
2(1 + vo ),(25)
де E,v та Eo,Vo - модул пружиостi та коефiцiенти Пуассона вщповщно крайнiх та середнього шарiв. Надалi для простоти, будемо вважати, що
o3 E v = vo = o,3 , -= n.
Eo
(26)
Розглядаючи цей окремий випадок, задамо так параметри:
g = io, Y(t) = io41, Y(t) = iot, s(t) = iijt> E = o,15 •107H/м2,
A = J [— X2.7o fo — 2s(t) fo2 ]lt;
a
b _ b ~ _ в = Jx2fo3dt; w = J D(t) fodt.
(22)
Розв'язуючи систему алгебра1чних рiвнянь (21), знайдемо
5oi =
4 BW — A
2
2B
5o2 = +
A
(23)
2B
Таким чином, розв'язок, отриманий за пбридним ВКБ-Гальоршн методом може бути записаний у формi (18), враховуючи (17) та (23).
Слвд вiдзначити, що отриманий пбридний розв'язок е однорщним розв'язком рiвияния (8). Для отримання часткового розв'язку зазвичай застосовують метод варiацi! параметрiв.
h
■ = o,1, h = o,2 м, 5 = 25o = - = 0,1м
2
(27)
Для графiчно! штерпретацп та отримання чисельних результатiв, використовуеться програмний комплекс MAPLE. При цьому початковi умови беруться у формi f (0,1) = 0,1, f'(0,1) = 0,1.
Згiдно з (5), побудуемо графiк характеристично! функцп f (t) розв'язку w(t), варiюючи змiннi у чай коефщент демпфiрувания та питомо! ваги матерiалу (27).
Вплив змiнно! за часом питомо! ваги матерiалу на амплитуду i частоту власних коливань зображено на рис. 2.
Таким чином, матерiал, маса якого збшьшуеться у бшьшш мiрi (Y(t) = 1041), здшснюе коливания з мен-
шою частотою шж бiльш легкий матерiал (Y(t) = 10t).
Для подальшого дослiджения ефективностi запро-понованого розв'зку задачi проведено порiвияния здо-бутих даних iз результатами обчислень за прямим чи-сельним методом Рунге-Кутта.
e
h
a
МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГИ ТА МАШИНОБУДУВАНН1
Таблиця 1 - Спiввiдношення отриманого пбрид-
ного (18) та чисельного розв'язшв при е(/) = —
10/
та у(/) = 1041
Висновки
На 6a3i пбридного асимптотичного пiдходу у робот запропоновано новий розв'язок задач про коливання тришарових трансверсально iзотропних пластин iз змiнними за часом масою та коефщентом дем-пфiрування, який може бути застосовано у iнженерну практику при проектуванш конструкцiй ново! техш-ки. У подальшому найбiльш актуальними е дослщжен-ня вимушених коливань конструкцiй на базi запропо-нованих у робот залежностей, що описуються сингу-лярними диференщальними рiвняннями iз перiодичними i неперiодичними коефiцiентами.
Перелiк посилань
1. Амбарцумян С. А., Теория анизотропных пластин / С. А. Амбарцумян. - М. : Наука, 1987. - 346 с.
2. Gristchak V. Z. A hybrid WKB-Galerkin method applied to a piezoelectric sandwich plate vibration problem considering shear force effects / V. Z. Gristchak, O. A. Ganilova // Journal of Sound and Vibration. - 2008. -Vol. 317. - Р. 366-377.
Одержано 17.12.2008
t Розв'язок за методом Рунге-Кутта Пбридний розв'язок
0,1 0,1 0,1
0,15 0,0199 0,0163
0,2 -0,1024 -0,0859
0,25 0,1141 0,0911
0,3 -0,1143 -0,0869
0,35 0,1196 0,0868
0,4 -0,1207 -0,0837
0,45 0,0963 0,0637
0,5 -0,0297 -0,0180
Данная статья посвящена проблеме колебаний многослойных пластин с параметром массы, зависящим от времени. Успешно применен гибридный метод при решении проблемы механических колебаний, описываемой сингулярными дифференциальными уравнениями. Показана зависимость амплитуды и частоты колебаний от характера функций параметра массы во времени.
This paper is devoted to the multilayered plate vibration problem with time dependent mass parameter. The hybrid method was successfully applied in solution of mechanical vibration problem described by singular differential equations. Dependencies of amplitude and frequency of vibration from the character of functions in time ofmass parameter is shown.
ISSN 1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2009
117
