CC BY
36
Shamrovskiy A., Kolesnik D., Minyaylo T. The improved method of successive approximations for beam structures calculation
Previously considered method of beam structures calculation has been improved in order to increase algorithm speed, reduce number of iterations and execution time. A new method offinding mobile nodes' intermediate positions has been developed and used.
Key words: beam structures, nonlinear system, the method of successive approximations, computer using, performance, algorithms.
УДК 539.3
Д-р фiз.-мат наук В. I. Пожуев, Д. В. Грищак Державна ¡нженерна академ1я, м. Запор1жжя
НАБЛИЖЕНИЙ АНАЛ1ТИЧНИЙ РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ1 ПРО ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН ОРТОТРОПНО1 ЦИЛ1НДРИЧНО1
ОБОЛОНКИ ЗМ1ННО1 ЗА ЧАСОМ МАСИ ПРИ КОМБ1НОВАНОМУ ТЕРМОСИЛОВОМУ НАВАНТАЖЕНН1
У роботi запропоновано наближений аналiтичний розв 'язок задачi про деформування оболонково'1 конструкцш 1з змтними за часом параметрами при термосиловому динамЫному зовнiшньому навантаженнi. Математична постановка задачi зводиться до необхiдностi iнтегрування диференцiального рiвняння четвертого порядку у частинних похiдних 1з змiнними за часом коефщентами.
Ключовi слова: наближений аналтичний метод, асимптотичний пiдхiд, ортотропна цилтдрична оболонка, термосилове та динамiчне навантаження, метод фазних iнтегралiв, диференцiальнi рiвняння 1з змiнними коефiцiентами, чисельний анал1з.
З останшх дослщжень оболонкових конструкцш при складному термосиловому навантаженш слад вадмиити роботи [1, 2], в яких наводиться основш рiвняння дано! проблеми i розглянуто випадки, коли параметри оболонки не залежать ввд часу, а чисельна реалiзацiя проводиться за умови максимально! вели-чини q тах у закош динамiчного зовшшнього тиску. Таким чином, автори робгт вщходять ввд необхщносп виршення проблеми штегрування диференщального рiвняння другого порядку iз коефщентами, залежни-ми ввд часу, тобто ввд урахування залежностi розв'яз-ку задачi вiд закону змiни маси за часом та зовшшнього навантаження д = д^), що е принциповим для да-ного дослiдження.
1 Постановка задачь Основнi залежност
У данш роботi розглядаеться деформування циль ндрично! оболонки iз композицiйного матерiалу зi змiнними за часом маси та зовшшнього тиску при ком -бшованому термосиловому динамiчному навантаженнi (рис. 1).
Математична постановка задачi зводиться до не-обхiдностi iнтегрування диференщального рiвняння четвертого порядку у частинних похщних за координатами та неоднорвдного диференцiйного рiвняння другого порядку за змшними за часом коефщентами.
На базi принципу Даламбера з урахуванням шерц-
iиних сил у напрямку нормальних перемiщень сере-динно! поверхш оболонки (напрямок Z) маемо
w
Fy h—— dxdy
(1)
g dt2
де j(t ) - питома вага матерiалу оболонки, g - прискорення сили ваги;
(при цьому обертання елементу hdxdy вiдносно напрямк1в X, Y не враховуеться) можна записати ос-новнi залежностi теорiï пружних ортотропних оболо-нок.
Рiвняння у проекцп на нормаль до серединно! по-верхнi оболонки записуеться у виглядг
dQx , dQ.
dx д
+ krNr + kyNy +—I Nx — + Nrv— 1 + ду xx yy dx l x dx xy ду J
dw dx
dw
д I dw dw] / ч d2w y((), d2 —I Nxy — + Ny— 1 + q(t)R^h —
= 0.(2)
dy l x dx y dy J Jy 7 dy2 g dt2
Враховуючи ввдсутшсть у рiвняннях моментiв членiв, пов'язаних i3 iнерцiею обертання та штегрую-чи члени вищого порядку малосп будемо мати залеж-ностi:
dM дМ.
xy
dx
dy
- Qy = о,
dMxy dM
xy
dx
Qy = о. (3)
dy
2
w
+
© В. I. Пожуев, Д. В. Грищак, 2011
q(t)
Рис. 1. Геометричш параметри та схема зовшшнього навантаження оболонки iз композицiйного матерiалу
Враховуючи залежносп [3]:
= В11ех + в12е .у + с115 X + сп8 у; = в12е x + В22е у + с215 x + C225у ; Nxy = в33У ху + с33% ху;
Мх = С11е х + С12е у + £115 х + £125 у; Му = Спе х + С22£ у + ЗД х + £>225у;
Мху = С33У ху + £33Х ху;
(4)
(5)
5 х =
Ях =-
ди дх'
дЯх дх дМх
ду н>
е у =--1—;
у ду Я
У
5 у =
дЯ
у
ди + ду
ху ду дх
дЯх , дЯу
ду
X ху
ду дх
дМ
ху
дх
ду
ву =-
дМ ху дМ
ху
дх
+ -
у
дх
(6)
та виключаючи вх { ву р1вняння (2) за допомогою (4-6), здобуваемо без урахування пружних хвиль 1 ввдсутносп компоненпв штенсивносп зовшшнього навантаження Рх 1 Ру, залишаючи лише д(), р1вняння у виглядг
д 2 Мх д 2 М у
дх 2
ду2
+ 2-
д2М
ху
дхду
+ кхХх +
уу
дх
, ,г д ( дм дм ,
+ куЫу +—I Ых — + Ыху— 1 +
дх
ху
ду
д | ,, дм дм | /
+ ду | ^ *+Ту 1+^()Я
д 2 м
ду2'
у(), д2м =
-к-
Я д
= 0.
(7)
Для цилшдрично! оболонки кривизни кх = 0, ку = Я, де Я - рад1ус серединно! поверхш оболонки.
Враховуючи в (7) залежносп м1ж моментами М х, Му, Мху та нормальними перемщеннями точок серединно! поверхш [1-2] основне диференщальне р1вняння задач1 мае вигляд:
д м „ \ д м
£х д^-+2(2£+£ху)
„ д м ZlW 22
ху. „ „ + Бу—- +— + ху'дх2ду2 у ду4 Я2
Я
+ N.
дм
х дх 2
■ч()Я
2
д2м у((), д —-+к—
ду2 Я д
= 0,
(8)
де Nх - статичне осьове зусилля;
q(/) - динам1чне зовшшне навантаження;
£х = £11 =
Вцк
12
£у = £22 =-
В22к 12
£ху = £12 =
В12к 12
£ =
В33" 12
(9)
Ву - мембранш жорсткосп пакета шар1в, яш виз-
начаються через мембранш жорсткосп кожного /-го шару композита з урахуванням купв армування мате-р1алу фг-.
Величина параметру жорсткосп 21 визначаеться як [1]:
21 =
в
кЕх - кЕх В11_
1 - 2 В22
1
В11В22 В121В22 В11
кЕх +
в12
(10)
В11В22кЕх
Зовшшне температурне навантаження Т на оболон-ку задаеться параметром 2 2:
е х =
+
2
2
z2 =-
B n _ n _
--12 hExT S h,a xi + hEyT S h, а yi Bll ,=1 ,=1
1 - 2-^- + - — hEx + hE
B11B22 B2B2 Bu x BuB
B
B12
,(11)
11 22
де
B 2 B 2 Ex = B11 ; Ey = B22 -
B
22
B
11
Введемо безpозмipнi пapaметpи
wxy W = — ; t = — ; : = —, h l R
т=
де
*
t =
(
Y 0 h gDx
Л1/2
(12)
(1з)
, Y(( ) = Y оФ(т).
x
З ypaxyвaнням (1з), (14) основне дифеpенцiaльне
piвняння зaдaчi бyде мати вигляд
Рiвняння (19) можна пpедстaвити y фоpмi
ф(т)/ "(х) + x Of (т)+A = 0, (20)
де
ф(т) = 14ф(т), A = 1"6 ~2,
п mn
x(t) = xi + Dt^l + ^5:Х'П - ^Х2т - ~(Т)Х2П + Zl. (21)
Тобто задача зводиться до штегрування неодноpi-дного сингyляpного дифеpенцiaльного piвняння зi змiнними коефiцiентaми:
s 2 f "(t ) + X (( )f = -
A
ф(т)Х'
(22)
2 1 и де s =—4--малии пapaметp;
д 4W д|4
+ D
д 4W
д 4W
+D:XT+ZlW+
ôt 2д:
д:4
~ ~ д2W чд2W / чд2W п _ +~2 + Nt—г+qO—Y+ф(т) y = о, (15) д|2 д:2 дт2
де
Dt: = •
2I- (2D+Dt:); D4 = L^ ; ф() = /4ф()
Dt
R4 Dt
N
zl ='
R 2 D;
-zi; z2 =■
t2
t
-z2; Nt= Dtl. (1б)
2 Розв'язок основного диференщального рiвняння
Вважаючи ^aï оболонки шapнipно опеpтими, фун-кцiя ^огину W (t, :, т) а^ок^^е^ся y фоpмi:
да
W (t, :, т)= f () S sin Х m t sin Х n:, (17)
m, n=1
де Х m = mn ;
x n = n ;
m - шльшсть пiвxвиль вздовж оболонки; n - шльшсть xвиль вздовж окpyжноï кооpдинaти. Пiдстaвляючи (17) y piвняння (15) здобуваемо:
S{x4m + D^XI + ■5лХ1 - NçX2„ - ~(т)Х2„ + ~ ]/(т) +
m , n =1
+ ф(т)/"(т)}sin Xm t sin X„: = -~2. ®
Пiсля pозклaдy ^аво'' частини (18) ~2 y pяд по sin X m t sin X n : одеpжимо:
£|x4m + D~t:X2mX2„ + А,Х4Л -T~tX2m -~()x2„ + ~l]/()+
m, m=1
2
n mn
(19)
X (t ) = -U> ф(т)
1 + D + D —^ - Ni
x 2 : x 4 N t x 2
I^VYI VY! И
1--
Xn + _zl x 2 x 4
Q()=-
A
ф(т)Х'
; (2з)
(24)
У загальному випадку piвняння (22) не допускае точного pозв'язкy. Тому для одеpжaння наближеного aнaлiтичного pозв'язкy сингyляpного дифеpенцiaльно-го piвняння зi змшними коефiцiентaми (2з) застосо-вуеться асимптотичний метод [5].
У ввдповвдносп до методу фазнм iнтегpaлiв pозв'я-зок од^^дного piвняння (22) без ^аю'' частини ^ед-ставляеться y виглядi
/о (t ) = exp |у(т)т
(25)
де
y(x) = s Vо + sVl +... = Zs V,H i=0
i залишаючи пеpший член pозклaдy (25) будемо мати: s0 : у 2 + X (т) = 0, (27)
у 0,1,2 (т)=±Х (т)12. (28)
Розв'язок одноpiдного piвняння (2з) таким чином буде мати вигляд
f0 (т) = Q sin K (т) + C2 cos K (т), (29)
де
K (x) = js"1 X12 (т)
(зо)
t
*
t
х
4
4
l
I
Для випадку неоднородного рiвняння (22) частин-ний розв'язок мае вигляд:
fp () = Сх (x)sin K () + С2 (x)cos K (), (31) де С1 (т), C 2 (т) виявляються Í3 залежностей:
C '()= У2 (t)q(t). C'()= У1(тМт) 4W = 2 / N . C2W= 2 t \ ' (32)
6 w()
6 2w
(т)
де yi (т) = sin K (т); У2 () = cos K (т);
w(t) = У1(т)у2(т)-У2(т)у1(т) - (33)
вiдповiдний Вронскиан.
Враховуючи (31-3), одержимо:
w(т) = - sin K ()sin K (т)-K '(т)- cos K(;)cos K(т)-K'(т) = = -K'(т)(2 K(t) + cos2 K(т))= -K'(x); (34)
С1(т) = -
cos K (ф(т) = Q(r) 6 2 [- K '(т)] 6 2 K '(т)
K (т),
C1 (т ) = -2 J Kqt^jcos K (т )dz + C1; (35)
,() = sinK(xQ(x) = Q() s.
C2() =
6 2 [- K '(т)] 6 2 K '(т)
sin
K (),
C2 (т) = -^12 J Kf)^ K ( )d^ + C2. (36)
З урахуванням (35), (36) загальний розв'язок нео-днорiдного диференцiального рiвняння задачi мае виг-ляд:
f (т) = sinK(т)[[(т)+ d1 ] + cosK(т )[2(т) + d2], (37)
де
d1 = C1 + C1, d2 = C2 + C2,
^1(т ) = 3 J f|cos K (т)^
(38)
cos K d ,
12 () = 4 J jQ^í^sin K (x). (39)
Початковi умови беруться у формi
f (0) = f '(0)= 0. (40)
З урахуванням (40) розв'язок (37), отримаемо
f (0)= sin K (0)[[(0)+d1]+cos K (0) 2 (0) + d2 ]= 0, d1 sinK(0)+d2 cosK(0) = -I1(0)sinK(0)-12 cosK(0). (41)
Звщки залежнiсть мiж константами даеться вира-
зом
d1 =-d2^osíg-/1(0)-12 (0)^. (42)
sin
K (0)
sin
K (0)'
За другою початковою умовою одержимо
f '(т ) = K '(т )cos K (т )[/1(т )+d1] + sin K (т [т )]-- K '(т )sin K (т )[/ 2 (т ) + d2 ] + cos K (т )[ 2 (т )];
f '(0) = K '(0)cos K (0)[/1 (0)+d1] + sin K (0)1 (0) -- K '(0)sin K (0)[/ 2 (0) + d2 ] + cos K (0)/ 2 (0)= 0;
- d 2
K'(0) = si
sin K (0)
= - sin K (0)/1(0)-
- cos
K (0)/ 2(0)+12 (0)¡KK|r
(43)
= + sin2 K(0),,(0)+ sinK(0)cosK(0) ,,,
d2/1(0)+sinK /2(0)-/2(0);(44)
d1=-sin K K;;K (0) /1(0)-cK« / 2(0)-/1(0). (45)
Загальний розв'язок рiвняння (23) таким чином отримаемо у формг
f (т) = sin K (т)
_L J Q^cos K (x)dx-
cos
K ( ;K (0)
k '(0)
tgK (0)
1 ОМ
62 K'(0)
cos
K (0)-
1_ sinK(0)-/1 (0)
:2 K'(0) w 1W 1 г О(т)
+ cos
K (т)
cos K (т))т + ~2¡ K'() V Г
sin2
k (0) ± Q(b) K'(0) 62 K'(0)
cos
K (0)-
sinK(0M0)^ Л sin K (0)-/ 2 (0)1;
K'(0) 62 K'(0) w 2V
f (т) = sin K (т)[/1 (т) - /1 (0)] + cos K (т)/2 (т) - / 2 (0)] (46)
Необхщно зауважити, що початковi умови при цьо-му виконуються
f (0)= sin K (0)/1 (0)-/1(0)] +
+ cos K (0)[ 2 (0)-/ 2 (0)] = 0;
f '(0)= K '(0)cos K (0)-0 +
+ sin K (0)/1 (0)- 0 + cos K (0)/ 2 (0) = 0. (47)
+
+
У прийнятих позначеннях i початкових умовах параметр функцп нормального прогину набувае вигля-ДУ:
, ч ism K(т)[(т)- I (0)1-+ ] W ( П,т) = |+ cos К(т)[/ 2 (тДЫsln * ^ sln * "П(48)
Розв'язок (48) надае можливiсть обчислити функ-цш прогину оболонки в залежностi вщ параметрiв
X (т) та ~2, як1 включають вплив жорстк1сних пара-метрiв оболонки, статичного осьового зусилля N^, зовнiшнього динамiчного навантаження ~(т) та тем-ператури Т.
Для оболонки з незалежними вiд часу параметрами та зовшшнього навантаження розв'язок (46) мае вигляд:
W
f (т) = sinKr +cosKr
= 1 Q
e2 К2
-2-QrsinKT+di
.e2 K2
-1 -Mr cosKT+d2
e2 K2
+di sinKr+d2 cosKr.
(49)
При початкових умовах (40) одержимо
di = 0, d 2 = -
Q
A
k 2 Xxm
(50)
Загальний розв'язок у цьому випадку мае вигляд:
W (, т) = —— (cos Кт-1) sin X mE sin X nT\. (51)
Xkm
Необхiдно зауважити, що розв'язок (51), що задо-вольняе основному диференцiальному рiвнянню та початковим умовам, вiдрiзняеться, вiд розв'язку, на-даному у роботi [1].
3 Чисельна реaлiзaщя. Пор1вмяммя основних залежностей вiд napaMeTpiB оболонки та зовшшнього навантаження, не залежних ввд часу
З урахуванням (42)
W (, t, t) = -A- (cos Кт - 1)sin XmE sin Xn\
маемо при
К
1 = 1 E 2, T 2.
(52)
Характерш залежностi для параметру нормального прогину у даному випадку наведеш на рис. 2-5.
0.4 0.3 0.2 0.1
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 2. Залежнють параметру нормального прогину оболонки в заданш точщ серединно! поверхш при A = 1, K = 1,2,3,5
Рис. 3. Залежшсть деформацп оболонки вiд пара-метрiв К i часу
Рис. 4. Залежнють деформацй оболонки вщ ампл^уди A i параметру K при т = 1
W
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
t
0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 5. Првняння запропонованого аналiтичного та прямого чисельного розв'язюв для параметрiв A =1, К =1, q00 = 0,1 для випадюв: 1) qmax, т = 2 ; 2) q = q0T, т = 2 ; 3) q = q0x, т = 3
W
W
У випадку, коли на оболонку д1е зовшшнш тиск, залежний в1д часу, наприклад, за законом q(t) = qot, основний розв'язок задач1 береться у вигляд1 (48). З урахуванням початкових умов (40) константи а \ а^ знаходяться вщповвдним чином у вигляд1 формул (44), (45). У цьому конкретному випадку р1зниця м1ж розв'яз-ком, наданим у роботах [1-2] для qmax 1 запропонова-ними у данш робот розв'язками полягае у принципо-во р1зних залежностях для функцп К ((), що суттево впливае на характер деформування оболонки. Як видно з пор1вняльного анал1зу (рис. 5), розрахунок за методикою qmax дае похибку у 34,5 % при т = 2 , у по-р1внянш з шдходом, запропонованим у данш робота
Висновки
У данш робот запропоновано наближений аналь тичний розв'язок задач1 про поведшку ортотропно! цил1ндрично! оболонки з параметрами маси, залежни-ми в1д часу, при комбшованому термосиловому дина-м1чному зовшшньому навантаженш. На баз1 комп'ю-терно! алгебри 1з застосуванням програмного комплексу «МаШетайса» надано у чисельний анал1з впливу параметр1в оболонки та зовшшнього навантаження на характер деформування ортотропно! конструкций
Список лiтератури
1. Ларичев Е. А. Определение критической динамической нагрузки композиционной оболочки при сложном термосиловом нагружении [Электронный ресурс] / Е. А. Ларичев, В. С. Сафронов, И. К. Туркин // «Труды МАИ», Московский авиационный институт (государственный технический университет). - 25.04.2007. -Вып. 27. - С. 1-11.
2. Ларичев Е. А. Исследование несущей способности композиционной оболочки при действии статического и динамического внешнего давления, неравномерного нагрева и осевого сжатия / Е. А. Ларичев, В. С. Сафро-нов , И. К. Туркин : материалы 17 научно-технической конференции / Конструкции и технологии получения изделий из не металлических материалов. - Обниск, 2004. - С. 140-141.
3. Амбаруцмян С. А. Теория анизотропных оболочек / С. А. Амбарцумян. - М. : Наука, 1961. - 384 с.
4. Пожуев В. И. Приближенный аналитический метод анализа колебаний конструкций с массой, не периодически зависящей от времени / В. И. Пожуев, Д. В. Гри -щак // Методи розв'язування прикладних задач меха-шки деформiвного твердого тша. - 2009. - Вип. 10. -С. 240-246.
Одержано 20.01.2011
Пожуев В.И., Грищак Д.В. Приближенное аналитическое решение задачи деформирования ортотропной цилиндрической оболочки переменной во времени массы при комбинированном термосиловом нагружении
В работе предложено приближенное аналитическое решение задачи деформирования оболочечной конструкции переменной во времени параметрами при термическом и силовом динамическом внешнем нагружении. Математическая постановка задачи сводится к необходимости интегрирования дифференциального уравнения четвертого порядка в частных производных с переменными во времени коэффициентами.
Ключевые слова: приближенный аналитический метод, асимптотический подход, ортотропная цилиндрическая оболочка, термосиловое и динамическое нагружение, метод фазовых интегралов, дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, численный анализ.
Pozhuyev V., Gristchak D. An approximate analytical solution of deformabale state problem of the orthotropic cylindrical shell with variable on time mass under combined thermoforced loading
The approximate analytical solution of deformation problem of shell structure with variable on time parameters under the thermal and forced dynamic external loading is offered. Mathematical problem connected with the necessity of partial differential fourth order equation with variable on time coefficients integration. Key words: Approximate analytical method, assymptotic approach, orthotropic cylindrical shell, thermoforced and dynamic loading, phase integral method, differential equations with variable coefficients, numerical analysis.
