CC BY
8
метры динамического процесса системы трубчатое тело-сплошная среда в зависимости от физико-механических характеристик системы и скорости движения сплошной среды.
Ключевые слова: трубчатое тело, колебание, сплошной поток однородной среды, волновое число, амплитуда, частота.
Sokil M.B., Verkhola I.I., Sokil B.I., Khytryak O.I. Nonlinear Vibrations of System Flexible Tubular Body-continuous Stream of Environment which oves along It
Dynamic processes in a tubular body along which the continuous stream of homogeneous environment moves with permanent speed on condition that a tubular body cooperates with resilient basis, are investigated. The mathematical model of nonlinear vibrations of the indicated system is built. It shows by itself nonlinear differential equalization of the second order with the derivatives of part, which contains the mixed derivative of linear and time variables. The presence of the last partly takes into account motion of continuous environment along a tubular body and to it basic difficulties are related at the construction of decision of mathematical model. In basis of researches the base results of dynamics of longitudinally mobile continuous environments and generalization on their base of asymptotic methods of nonlinear mechanics are fixed. In an aggregate the marked allowed to get correlations which describe the basic parameters of dynamic process of the system tubular body-continuous environment in dependence on physical-mechanical descriptions of the system and speed of movement of continuous environment.
Keywords: tubular body, vibration, continuous stream of homogeneous environment, wave-number, amplitude, frequency.
УДК 534.1
ВПЛИВ РУХОМОГО ВАНТАЖУ НА КОЛИВАННЯ ПОЗДОВЖНЬО-РУХОМО' СТР1ЧКИ О.1. Хитряк1
Дослщжено коливання гнучко! одновишрно! стрiчки, вздовж яко! рухаеться, зi ста-лою за величиною швидюстю, деяка точкова маса. Побудовано математичну модель динамжи вказано! системи, яка описуеться диференщальним рiвнянням iз частинними похщними другого порядку та однорщиими крайовими умовами. Особливютю зазначе-ного диференщального рiвняння е те, що воно мiстить мшану похщну лшшно! та часо-во! змiнних. Ця похiдна враховуе рух стрiчки та точково! маси (вантажу) i з нею пов'язанi основш труднощi побудови розв'язку диференцiального рiвняння руху.
Ключовi слова: поздовжньо-рухома стрiчка, рухомий вантаж, мшана похiдна, ампль туда, частота, методи збурень, хвильова теорiя руху.
Вступ. Дослiдження впливу рухомих вантажiв на динамiку основи, по якш цей вантаж перемщуеться, е одним iз важливих питань динам^ конструкцiй [1]. Такi мехашчш системи трапляються у рiзних сферах шженерно!' дiяльностi та машинобудування. Прикладами структурних елементш, якi призначенi для шдтримки рухомих тiл, е стрiчки конвеерних лiнiй чи транспортерiв, мости, рiз-ного роду крани, канати, рейки, мостовi та злiтно-посадковi смуги, трубопрово-ди [2]. Вивчення перелiчених механiчних систем отримало особливу увагу в продовж останнiх десятилiть [3-6]. Проте у зазначених працях дослвдження проведено в основному iз використанням чисельних методiв.
1 доц. О.1. Хитряк, канд. техн. наук - Нацюнальна академiя сухопутних вшськ iM. гетьмана Петра Сагайдачного
Особливiстю опису процешв i3 врахуванням рухомих вантажiв, на вiдмiну вiд статичних, е те що постiйно змшюеться точка ix контакту i3 несучою основою. Рух вантажу вздовж деякого тша впливае на основнi характеристики коли-вань останнього, а отже, i на динамiчнi зусилля та динамiчнi реакцп (у разi взаемодп гнучкого т1ла i3 зовнiшнiми об'ектами). Саме тому у низщ праць дос-лiджують проблему моделювання цього навантаження. Основними пiдxодами до зазначеного моделювання е опис рухомого вантажу у виглядi рухомо'1 сили, рухомо'1 маси чи осцилятора [7].
Вщомо, що для транспортування рiзниx об'екпв широко використовують поздовжньо-руxомi тiла. 1х математичними моделями е одновимiрнi поз-довжньо-руxомi одновимiрнi гнучкi елементи [8]. Урахування вказаного руху у поеднанш з рухомим осцилятором призводить до яюсно ново! математично! моделi динамки системи "гнучка поздовжньо-рухома стрiчка -рухомий вантаж". Задачi такого типу у лiтературi розглянуто частково. У зв'язку з наявшстю мшано'1 похщно! у математичнiй моделi зазначено! системи для i"i дослiдження, навiть за значних спрощень, не вдаеться застосувати вiдомi класичнi методи ш-тегрування [9]. У цш роботi для виршення поставлено'1 задачi побудовано мате-матичну модель, що описуе коливальш процеси у меxанiчнiй системi "гнучка поздовжньо-рухома стрiчка - рухомий вантаж" iз врахуванням нелiнiйниx сило-вих чинниюв. Для ii аналiзу використано щею описання коливального процесу поздовжньо-рухомих одновимiрниx тiл, у виглядi накладання хвиль рiзниx дов-жин [10, 11] та однакових частот. Зазначене у поеднанш iз основними щеями методiв збурень [12] дало змогу визначити основнi параметри динамiчного процесу залежно вiд базових характеристик поздовжньо-рухомого одновимiрного тiла, його швидкост та властивостей рухомого вантажу.
Рис. Розрахункова модель i розподЫ сил, ят дтть на систему "гнучка поздовжньо-рухома стрiчка - рухомий вантаж "
Постановка задачi та методика розв'язування. Розглянемо с^чку дов-жиною I, що рухаеться у поздовжньому напрямку iз сталою швидюстю V i характеризуемся силою попереднього натягу Т. По стрiчцi iз вiдносною швид-юстю с перемiщуеться осцилятор (вантаж) iз жорсткiстю К масою т (рис.). Стрiчка характеризуеться певними нелiнiйними силовими чинниками, а також на не! дiе зовнiшне розподiлене по довжиш збурення. Вони описуються фун-
кцieю F(x, t). Систему координат вибираемо таким чином, що ii початок збь гаеться i3 лiвим кiнцем рухомо! стрiчки, Bicb абсцис - i3 недеформованим (гори-зонтальним) положениям i ii додатний напрямок скерований за напрямком поз-довжнього руху стрiчки. Перемiщення u(x, t) центра перерiзу стрiчки з координатою x, у напрямку перпендикулярному до ii недеформованого положення в довшьний момент часу t, визначаеться iз рiвняння [1]
putt(x, t) - Tuxx(x, t) = F(x, t) + qc(t)d(x - xc), (1)
де: p - густина матерiалу стрiчки; 8(x - xc) - дельта функщя; qj(t) = Kb(t) - ре-акцiя зв'язку, яка характеризуе вплив рухомого осцилятора на збурену систему в точщ xc = (c + V)t контакту рухомо!' стрiчки та рухомого осцилятора, причому b(t) = y(t) - u(xc, t) - вщносне перемщення мiж збуреною системою та осцилято-ром; y(t) - перемщення точково!' вiдносно положення стацiонарноi ршноваги осцилятора у точцi xc. Перемщення y(t) i u(x, t) е абсолютними, !х вимiрюють у нерухомш системi координат.
Вважаемо, що в точках дотикання стрiчки до шкшв, обертання яких забез-печують ii рух у поздовжньому напрямку, вщсутш поперечнi перемiщення. Це дае змогу долучити до р1вняння (1) крайовi умови
u(0, t) = u(0, l) = 0. (2)
Вважаемо, що рух осцилятора задовольняе сшвввдношення
my(t) = -qc(t) - mg = -Kftf) - mg , (4)
де g - прискорення вшьного падiния. Пiдставляючи (4) в (1), отримуемо
put(x, t) - Tuxx(x, t) = F(x, t) - (my(t) + mg)d(x - xc). (5)
Враховуючи, що y(t) = b(t) + u(xc, t), отримуемо
y(t) = b(t) + uxx + ut, y(t) = fi(t) + (x)2 uxx + 2xuxt + utt + uxx. (6)
У випадку x = xc то x = c + V i x = 0 (6) набувае вигляду
y(t) = b(t) + ((c + V )2 uxx + 2(c + V)uxt + utt) . (7)
Шдставляючи (7) у (5), отримуемо putt(x, t) - Tuxx(x, t) = F(x, t) - m(fi(t) + ((c + V )2 uxx + 2(c + V )uxt + utt)\ + g)S(x - xc).(8)
Ршняння (8) та (5) е еквшалентш, оскшьки вони описують коливання сис-теми " гнучка поздовжньо-рухома стрiчка - рухомий вантаж". Проте останне е бшьш прийнятне для вивчення задачi про рухомий осцилятор. Хоча, з шшого боку, р1вняння (5) е простшим для побудови розв'язку, оскiльки у його правш частинi явно не зв'язаш просторовi та часовi координати типу.
Якщо коефiцiент жорсткостi K прямуе до безмежностi, тодi вщносне змi-щення b(t) стае нульовим, а це означае, що fi(t) = 0 у будь-який момент часу i рiвияння (8) набувае вигляду
putt(x, t) - TuxJyX, t) = F(x, t) - m(((c + V)2uxx + 2(c + V) ■ uxt + utt)x=x + g)d(x - xc). (9)
n0Tpi6H0 зазначити, що добуток Kß(t) мае бути сюнченним, незважаючи на те, що K ® ß(t) ® 0.
Р1вняння (9) описуе коливання поздовжньо-рухомо! стрiчки для випадку, коли по шй безвiдривно рухаеться вантаж. Воно записано у змiнних Лагранжа. Зважаючи на наявнiсть поздовжнього руху стрiчки, бшьш доцiльно використа-ти координати Ейлера [11] i подати (9) у виглядi
utt + 2Vuxt - (a2 - V2)uxx = ef(u,ux,uhuxx,...)--eM (((c + V )2uxx + 2(c + V )uxt + utt)\^ x + g)d(x - xc), (10)
де a2 = Tp-1, p-1F(x,t) = ef(u,ux,ut,uxx,...), mp-1 =eM, e - малий параметр.
Визначимо розв'язок рiвняння (10) за крайових умов (2). Наявнiсть малого параметра у правш частинi дае змогу, ввдповщно до методу Крилова-Боголюбо-ва-Митропольського [12] разом iз поеднанням хвильово! теорй' руху [10-13] i! розв'язок у першому наближеннi подати у виглядi
u (x, t) = a (cos (kx + at + f)- cos (%x -at -f))+eU1 (a, xy), (11)
де: y=at + f; f - початкова фаза коливань; a - амплиуда; U1(a,xy) - неввдо-ма функщя з перiодом 2р по y, яка узгоджуеться iз (4). Вважаемо, що функщя Ui (a, xy) та ii частиннi похiднi по y та x до другого порядку включно, не мк-тять у розкладах доданюв пропорцшних головним гармонiкам. Хвильовi числа к й % та частота a обчислюються за формулами [10-12]:
к = кяотЧ-1(a + V), %= кяогЧ-1(a- V), a= kpa-1!-1 (a2 - V2), к = 1,2,....
Для систем iз обмеженими геометричними розмiрами вважаеться [11], що нелшшш сили впливають тальки на закони змiни в часi амплиуди i частоти ди-намiчного процесу. Цi закони у першому наближенш будемо задавати за допо-могою звичайних диференцiальних р1внянь [11, 13]:
a = eL(a), y =a+eX(a). (12)
Функцц L(a), x(a) визначаемо, виходячи з того, що спiввiдношення (11) повинно задовольняти з необхщним ступенем точностi рiвняння (10), якщо у нього на мiсце парамет^в a та y пiдставити функцц, визначеш iз системи (12).
Шдставляючи (11) у р1вняння (10), враховуючи (12), пiсля прирiвнювання коефiцiентiв за однакових степенiв e, отримуемо диференцiальне рiвняння пер-шого наближення, яке зв'язуе невiдомi функцй' U1 (a, xy), A(a), x(a) iз вiдомими величинами
L (U1) = a2 (U1( a, x,y))y 2Va(U (a, x,y))y-(a2 - V 2 )(U (a, xy)^ =
= f (a, xy) + 2 Y(x)A(a) + 2a0(x)S(a), (13)
Y(x) = [^a+kV) sin (kx) +(a-%V) sin (%x)]; Q(x) = [(a+ kV ) cos (kx )-(a-%V) cos (%x)];
f (a, x,y) = f (a, x,y) - M {g + a cos(kx + y) (-k2(c + V)2 --IkoXc + V) - w2) + a cos(cx - y) (c2(c + V )2 - 2cw(c + V) + w2)} d(x - xc); f(a,x,y) = f(u,ux,Ut,Uxx,-)\„=„ ■
W—Uo
Зважаючи на те, що U (a, x,y) та ii частинш пох1дш не мiстять у розкладах доданюв прoпoрцiйниx головним гармoнiкам, отримуемо i3 (13) систему алгеб-раиних ршнянь вiднoснo A(a) та 5(a).
Тж
-1 2ж -
Y(x)A(a) + Q(x)5(a) = — f f(a, x,y)cos ydy
O-iT- J
1 2p
Q(x)A(a) - aY(x)5(a) = — f f (a, x, y)sin ydy. (14)
2p 0
З (14), шсля усереднення по лшшнш змiннiй, визначаемо:
A(a) = —— J J f (a,x,y)(Y(x)cosy+ Q(x)siny)dydx-MapAl sin((c + V)(k+c)t);
2p/A o o 2/A
1 / 2ж
5(a) =-if f (a, x, y) (Y(x) sin y - Q(x) cos y) d ydx -
2apA 0 0 (15)
- 2a(A2 "Аз) cos ((c + V )(k+c)t),
де: A = (w+kV )2 + (w-cV )2; A1 = (w+kV )(w-c(c + V ))2 - (w-cV )(w+k(c + V ))2;
A2 = (w+ kV )(w+ k(c + V ))2 - (w-cV )(w- c(c + V ))2;
A3 = (w-cV )(w+ k(c + V ))2 + (w+ kV )(w-c(c + V ))2.
Висновки. Отриманi аналiтичнi залежносп визначають вплив рухомого вантажу на поздовжньо-рухому основу. Результати цих дослщжень можуть бути основою для проектування динамiчниx систем, що мають своею задачею тран-спортування вантажш. 1х часткoвi випадки дають змогу дослщити як вплив рухомого об'екта на нерухому основу, так i нерухомого вантажу на рухому основу.
Показано, що хвильова теoрiя руху може бути ефективно адаптована до поздовжньо-рухомих oднoвимiрниx систем iз рухомою масою. Отримано аналь тичнi залежносп для визначення амплiтуди та частоти коливань системи "гнуч-ка поздовжньо-рухома стрiчка - рухомий вантаж". Вiдпoвiднo до цих сшввщно-шень, вага вантажу, у першому наближенш, не пливае на частоту та амплиуду коливань несно! стрiчки.
Лггература
1. Yang B. On the problem of a distributed parameter system carrying a moving oscillator / B. Yang, C.A. Tan, L.A. Bergman // Dynamic and control of distributed systems. - Cambridge university press. - 1998. - Pp. 69-94.
2. Zrnic, N.B., Hoffmann, K. and Bosnjak, S.M.: Modelling of dynamic interaction between structure and trolley for mega container cranes, Mathematical.
3. Ogunyebi S.N. On The Response of a Non -Uniform Beam Transvered by Mobile Distributed Loads / S.N. Ogunyebi, J. Sunday // Global Journal of Science Frontier Research Mathematics & Decision Sciences. - 2012. - Vol. 12, Issue 3. - Pp. 145-149.
4. Nguyen X.T. Bending vibration of beam elements under moving loads with considering vehicle braking forces / X.T. Nguyen // Vietnam Journal of Mechanics. - VAST. - 2011. - Vol. 33, Issue 1. -Pp. 27-40.
5. Volkan Kahya Dynamic Analysis Of Composite Sandwich Beams Under Moving Mass / Volkan Kahya, Ayman S. Mosallam // Journal of Engineering Sciences. - KSU. - 2011. - Vol. 14(1). -Pp. 18-25.
6. Alba Sofi Dynamic analysis of suspended cables carrying moving oscillators / Sofi Alba, Muscolino Giuseppe // International Journal of Solids and Structures. - 2007. - Vol. 44. - Pp. 6725-6743.
7. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками / А.И. Весницкий. - М. : Изд-во "Прима", 2001. - С. 320-326.
8. Sandilo S. H. On Aspects of Asymptotics for Axially Moving Continua / S.H. Sandilo -Pakistan. - 2013. - Pp. 100-123.
9. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. - М. : Изд-во "Высш. шк.", 1970. - 710 с.
10. Мартинщв М.П. Хвильовi процеси в однорщних нелшшно-пружннх системах i методи 1х дослщження / М.П. Мартинщв, Б.1. Сокш, М.Б. Сокш // Люове господарство, люова, паперова i деревообробна промиакгасть : мiжвiдомч. наук.-техн. зб. - Львгв : Вид-во УкрДЛТУ. - 2003. -Вип. 28. - С. 81-89.
11. Сокш М.Б. Згпнш коливання гнучких елеменпв систем приводив i структура розв'язку 1х математичних моделей / М.Б. Сокш // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Лы^в : РВВ НЛТУ Украши. - 2012. - Вип. 22.1. - С. 144-147.
12. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М. : Изд-во "Наука". - 1974. - 501 с.
13. Хитряк О. Асимптотичний метод у дослщженш впливу перюдичних сил на нелшшш коливання гнучких елеменпв приводу / О. Хитряк, М. Сокш // Вюник Нащонального университету "Львгвська полггехшка". - Сер.: Динамша, мщшсть та проектування машин i приладив. - Львгв : Вид-во НУ "Лывiвська полггехнжа". - 2011. - Вип. 45. - С. 57-61.
Надтшла до редакцп 29.06.2016р.
Хытряк О.И. Влияние подвижного груза на колебания продольно-подвижной ленты
Исследованы колебания гибкой одномерной ленты, вдоль которой движется, с постоянной по величине скоростью, некоторая точечная масса. Построена математическая модель динамики указанной системы, которая описывается дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка и однородными краевыми условиями. Особенностью указанного дифференциального уравнения является то, что оно содержит смешанную производную линейной и временной переменных. Эта производная учитывает движение ленты и точечной массы (груза) и с ней связаны основные трудности построения решения дифференциального уравнения движения.
Ключевые слова: продольно-подвижная лента, подвижный груз, смешанная производная, амплитуда, частота, методы возмущений, волновая теория движения.
Khytriak O.I. The Influence of Moving Load on Oscillation of Axially-moving String
The vibrations of flexible one-dimensional axially moving string, along with some point mass moves with constant size of speed, are investigated. The mathematical model of the dynamics of this system, which is described by the differential equation of second order partial derivatives and homogeneous boundary conditions, is built. The feature of the indicated differential equalization is that it contains the mixed derivative of linear and time variables. The indicated derivative partly takes into account motion of one- dimensional string and point mass (load) and difficulties of differential equations of motion solutions construction connected with it.
Keywords: axially moving string, boundary conditions, differential equation, motion.
