Нелінійні коливання системи гнучке трубчасте тіло-су- цільний потік середовища, що рухається вздовж нього Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сапронов А.А., Букетов А.В., Лещенко А.В., Нигалатий В.Д. Антикоррозийные покрытия на основе эпоксидного связующего для защиты оборудования морского и речного транспорта

Исследована коррозионная стойкость разработанных эпоксидных композитных защитных покрытий, наполненных двухкомпонентным бидисперсным наполнителем. Методом ИК-спектрального анализа и оптической микроскопии исследована структура защитных покрытий, что дает возможность выбрать материалы для коррозионной защиты оборудования морского и речного транспорта. Дополнительно проведено исследование коррозионной стойкости материалов путем анализа изменения сопротивления и емкости со временем материалов в среде морской воды. Установлено, что модифицированное бензол-1,3-диамином защитное покрытие с содержанием двухкомпонентного наполнителя ультрадисперсного алмаза и карбоната лития характеризуется незначительным изменением сопротивления AR = 2 кОм-см2 в интервале всего времени исследования (т = 30 суток). Это свидетельствует о повышенных антикоррозионных свойствах разработанного покрытия.

Ключевые слова: эпоксидный композит, коррозия, ИК-спектральный анализ, сопротивление, емкость.

Sapronov A.A., Buketov A.V., Leshchenko A.V., Nigalatiy V.D. Anticorrosion Coatings Based on Epoxy Binder to Protect the Equipment of Sea and River Transport

We have studied the corrosion resistance of the developed epoxy composite coatings, two-component filled bidisperse filler. By IR spectral analysis and optical microscopy we studied protective coatings structure that makes it possible to select the materials for corrosion protection of the equipment of sea and river transport. Additionally, in a study of corrosion resistance of materials by analyzing the changes in resistance and capacitance with time materials in seawater environment. It is found that the modified benzene-1,3-diamine protective coating containing a two-component filler ultrafine diamond and lithium carbonate is characterized by a slight change in resistance AR = 2 kOm-cm2 whole study period interval (т = 30 days). This demonstrates the high anti-corrosion properties of the developed coating.

Keywords: epoxy composite, corrosion, IR-spectral analysis, resistance, capacitance.

УДК 534.1

НЕЛ1Н1ЙН1 КОЛИВАННЯ СИСТЕМИ ГНУЧКЕ ТРУБЧАСТЕ Т1ЛО-СУ-ЦГЛЬНИЙ ПОТ1К СЕРЕДОВИЩА, ЩО РУХАбТЬСЯ ВЗДОВЖ НЬОГО М.Б. Сокгл1,1.1. Верхола2, Б.1. Сокт3, О.1. Хитряк4

Дослщжено динашчш процеси у трубчастому тш, вздовж котрого рухаеться зi ста-лою швидюстю суцшьний потш однородного середовища за умови, що трубчасте тшо взаемодiе iз пружною основою. Побудовано математичну модель нелшшних коливань вказано! системи. Вона е нелшшним диференщальним ршнянням другого порядку з частинними похщними, що мiстить мшану похщну лшшно! i часово! змшних. Наяв-шсть останньо! частково враховуе рух суцшьного середовища вздовж трубчастого тша i з нею пов'язаш основнi труднощi шд час побудови розв'язку математично! модели В основу дослiджень покладено базовi результати динамики поздовжньо-рухомих суцшьних середовищ та узагальнення на !х базi асимптотичних методiв нелiнiйно'í мехашки. Заз-начене, в сукупностi, дало змогу отримати спiввiдношення, якi описують основнi пара-

1 доц. М.Б. Соки, канд. техн. наук - НУ " Львгвська полггехнка"

2 доц. 1.1. Верхола, канд. техн. наук - Нацюнальна академш сухопутних вiйськ iм. гетьмана Петра Сагайдачного;

3 проф. Б.1. Сокiл, д-р техн. наук - Нацюнальна академш сухопутних вшськ iм. гетьмана Петра Сагайдачного;

4 доц. О.1. Хитряк, канд. техн. наук - Нацюнальна академш сухопутних вшськ iм. гетьмана Петра Сагайдачного

метри динашчного процесу системи трубчасте тiло-суцiльне середовище залежно вiд фiзико-механiчних характеристик системи та швидкост руху суцiльного середовища.

Ключов1 слова: трубчасте тiло, коливання, суцiльний потiк однорiдного середовища, хвильове число, амплггуда, частота.

Вступ. Трубчаста тiла мають широке застосування у pi3Hnx галузях маши-нобудування: для транспортування рiдин, сипких середовищ. З ix допомогою забезпечуеться, зокрема, функщонування гiдравлiчних чи пневматичних приводив. Рух середовища вздовж трубчастого тала впливае на динамiчнi навантажен-ня останнього; у разi його взаемодп i3 зовнiшнiми тiлами - на динамiчнi реакцií, а в кшцевому результатi i на ресурс експлуатацп систем транспортування. Ура-хування динам^ середовища вздовж гнучкого трубчастого тала призводить до якiсно ново1 математично1 моделi динамiчного процесу [1]. Для не1 не вдаеться застосувати вiдомi класичнi методи iнтегрування крайових задач. Зважаючи на практичну значущiсть зазначено1 задачi, у роботi зроблено спробу розробити методику дослiдження впливу сущльного потоку середовища на коливання трубчастих тiл. Вона грунтуеться на поширенш основно1 iдеí дослiдження динамки одновимiрних систем, якi характеризуються сталою швидкiстю поз-довжнього руху [2-4] та асимптотичних методах нелiнiйноí мехашки на новi класи задач. Зазначене дозволило отримати залежностi, якi описують основнi параметри динамiчного процесу дослщжувано!' системи залежно вiд фiзико-ме-хашчних характеристик системи та кiнематичних параметров руху середовища.

Постановка задачi та математична модель динамiчноí системи трубчасте тшо-суцшьний потiк середовища, що рухаеться вздовж нього. За роз-рахункову модель об'екта дослiдження прийнято одновимiрне гнучке тiло, що взаемодiе iз пружною основою i вздовж нього рухаеться зi сталою швидкктю рiвномiрно розподiлений потiк середовища [1]. При цьому вважатимемо, що трубчасте тало е гнучким (згинна жорстккть е малою величиною i нею нех-туемо). Маса тма рiвномiрно розподiлена вздовж довжини, а тнщ - закрiпленi нерухомо. Величина сили натягу у трубчастому тiлi е сталою; сущльне середовище повшстю заповнюе тало i рухаеться вздовж нього зi сталою за величиною швидкктю.

Лшшну математичну модель до^джуваного об'екта отримано в [1], однак лiнiйна модель значною мiрою ввдображае спрощену картину динамiки процесу у зазначенш системi. Для точнiшого описання його у роботi прийнято, що в процес коливань дослiджуваноí системи максимальне значення нелiнiйних сил е малою величиною порiвняно iз максимальним значенням вiдновлювальноí сили. Незважаючи на малину нелiнiйних сил, з часом ефект íх дií зростае i навiть за скiнченний промiжок часу реальна картина, яка вiдповiдае уточненiй нель нiйнiй моделi, буде значною мiрою вiдрiзнятись вiд спрощено!' - лiнiйноí. Отже, предметом розгляду роботи е нелiнiйне диференцiальне ршняння вигляду

+ 1 (2тд\(^) V _Х2 д2и(у) + ku )^ = £f Г Mxj), ,

dt2 mc. + mm. ^ dxdt dx j [ dx dt

1 = VS _ mcV2 , (1)

де: u (x, t) - BiaxraeHHH ввд ршноважного положения поперечного nepepi3y труб-частого тала i3 координатою x в довiльиий момент часу t; тт та mc - вiдповiд-ио маса одинищ довжини трубчастого тiла та сущльного середовища; V - швид-кiсть руху сyцiльиого середовища вздовж трубчастого тала; S - сила попе-

du (x, t) du (x, t )| Эх dt

реднього натягу тала; ef <u

- нелшшна функщя, яка враховуе

всю множину реально 1снуючих нел1н1иних сил, параметр е вказуе на малу величину останшх. Беручи до уваги тоИ факт, що кшщ трубчастого тала закр1пле-ш нерухомо, краИов1 умови для диференщального ршняння (1) набувають виг-ляду

и ( 1 )|х=0 = и (1 )|х=1 = (2)

Отже, дослвдження динам1чних процесш системи трубчасте тшо-суцшьниИ потак рухомого середовища зв'язане 1з побудовою розв'язку краИово! задач1 (1), (2), що 1 е метою роботи.

Методика розв'язування. Для знаходження основних параметров динамь ки дослвджувано! системи використаемо основну щею хвильово!' теорп руху [2]. Вщповвдно до не! потр1бно побудувати розв'язок вщповвдно! незбурено! задачу тобто ршняння

d2u (x, t) _dt2

i

mc + m„

2m,

d2u (x, t) v d2u (x, t)

dxdt

dx2

+ ku (x, t) I = 0

(3)

за крайових умов (2). Як показано в [1], його одночастотний аналог мае вигляд

nP mcV де k = —+—— llX

u (x, t) = a cos (kx + att + f) + b cos (cx - cot + y)

\

(4)

(np) X2 + kl2(mc. + mm.) = nP mcV

2 , c =

(ma + mm.)X2 + (mV) l

lX

(np)2X2 + kl2 (mc. + mM.)

(mc + mM.)X2 + (mV)

c=X l(npfl2 + kl2 (mm. + ma)

(5)

l \ (ma + mm.)X2 + (mV)

Наведене дае змогу розв'язок збуреного рiвияиия (1), за вказаних крайових умов (2), подати у виглядi [3, 4]

u(x, t) = a (cos (kx + cot + f) - cos (%x - cot - f)) + eU (a, x, j), (6)

де функщя U (a, x,j) - описуе збурення руху, зумовлене иелiиiйиими силовими чинниками. До того ж, вона задовольняе крайовi умови, якi випливають iз (2), а параметри a та f е змiииими в час величинами. Для знаходження сшввщно-шень, якi 1х визначають, шляхом диференщювання (6) отримуемо

du (X,t) = -aw2(cos(kx + j) - cos(cx + j)) + 2w—(sin(kx + j) + sin(cx - j)) -dt2 dt

d 2a , df . „„ —- + 2wa^- + al —L-dt2 dt i dt

(cos(kx + j) - cos(cx + j)) +

л

2

+e\ ^U (а, x,j) f da V + Э2U1 (a, x,j) í dj^2 + Э2U\ (a, x,j) da dj + I Эa2 1 dt) dj2 ^ dt) dadj dt dt

диэ(^ tj __a (k2 cos(kx + j) - cos(jx - j)j + + e2... (7)

Пiдставивши у píbmhm (1) на мiсце функцп и (x, t j та íí похiдних залежностi (6), (7), отримаемо рiвняння, яке зв'язуе параметри a, j та функщю U (a, x,j)

w Э Uj, j) +-1-Wj - (S - m.V 2 )Э = f (a, x, j) -

dj mT. + mc. dxdj 4 7 dx2

-2 [a1 sin (kx + j) + a2 sin (cx - j)] da - 2a [a1 cos (kx + j)-a2 cos (%x - j)] j, (8) 2mcVk

де a1 = w+-:-,a2 = w-

mm + mc mm + m,

2mcVc r, \ rt \ -:-, fi (a, x, j) = f (u, ux, u,)

(cos(kx+j)-cos(cx-j)), ux =-a(ksin(kx+j)-csin(cx-j)), ut =-aw(sin(kx+j)+sin(cx-j)).

Для однозначного визначення Í3 диференцiального рiвняння (8) невщомих функцiй a(t) та j(t) накладемо додатковi умови на U (a, x, j), а саме - вона не повинна мютити у сво'1'х розвиненнях першо'1' моди та íí похiдно'í. Наведене дае змогу отримати залежностi, якi описують основнi параметри хвиль у виглядi

l 2p

J J fi (a, x, j) [(a1 sin kx + a2 sin cx) sin j + (a1 cos kx - a2 coscx) cos j] djdx

da = e0_o_

dt 2pl (a2 + a2)

l 2p

J J f1 (a, x, j) [(a1 sin kx + a2 sin cx) sin j - (a1 cos kx - a2 cos cx) cos j] d jdx

j = w+e^°--r-.-^-.(11)

dt 2pl a2 + a2) a

Нижче, для випадку e f {u, ux, ut} = k1u3 + k2ut, подано закони змiни амплiтуди хвильового процесу за рiзних значень V та частоти коливань вiд швидкостi при S = 350Н, e = 0.1, mc = 5кг, mm = 5кг, l = 5м, k1 = k2 = 70.

Рис. ЗалежностХ амплшуди коливань eid часу за pi3Hux швидкостей руху суцтьного середовища (а) та власноХ частоти eid швидкостг його руху (б)

Висновки та перспективи подальших дослiджень. Розроблена у робота методика дослiдження коливних процеав трубчастого тала, вздовж якого ру-хаеться суцiльний потiк середовища, дае змогу отримати у зручнiй для аналь тичного дослiдження формi залежноста, якi описують вплив всiеí гами парамет-рiв системи на основш характеристики динамiчного процесу. Побудованi на 1х основi графiчнi залежностi показують: а) для бшьших значень швидкоста ввд-носного руху середовища та його погонно!' маси власна частота коливань системи е меншою; б) iснуе таке значения швидкоста вiдносного руху середовища вздовж трубчастого тала V = ^ЩГтс, за якого проходить зрив коливань системи;

ч (пр)2Л2 + к12 (тс + тт) 1 . _ в) за умови л—-^—:-> пр- вiдбуваеться явище самозахоп-

у (тс+ тт )12 + (таV )2 тV

лення вiдбитоí хвилi (динамiчний процес е накладанням двох хвиль, якi поши-рюються в одному напрямку); г) для бшьших швидкостей руху суцiльного середовища швидккть зникання амплiтуди коливань системи е бшьшою. Викладенi у робота результати можуть слугувати базою для розв'язання складнiшоí зада-чi - до^дження впливу перiодичного збурення на динамiчний процес трубчастого тала, вздовж котрого рухаеться зi сталою швидкiстю суцiльний потiк сере-довища.

Лггература

1. Сокiл М.Б. Вплив суцшьного середовища на коливання трубчастих тш, якi взаемодшть 1з пружною основою / М.Б. Сокiл, 1.1. Верхола, О.1. Хитряк // Науковий в1сник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Львш : РВВ НЛТУ Украши. - 2016. - Вип. 26.1. - С. 377-381.

2. Соки М.Б. Згинш коливання гнучких елементш систем приводш 1 структура розв'язку !х математичних моделей / М.Б. Сокш // Науковий в1сник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. -Львш : РВВ НЛТУ Украши. - 2012. - Вип. 22.1. - С. 144-147.

3. Хитряк О.1. Асимптотичний метод у дослщженш впливу перюдичних сил на нелшшш коливання гнучких елементш приводу / О. Хитряк, М. Сокш // Вюник Нацюнального унiверситету "Львшська полiтехнiка". - Сер.: Динамша, мщшсть та проектування машин 1 приладш. - Львш : Вид-во НУ "Льв1вська шштехнжа". - 2011. - Вип. 45. - С. 57-61.

4. Харченко С.В. Вимушеш коливання рухомих середовищ 1 асимптотичний метод у !х дослщженш / С.В. Харченко, М.Б. Соки // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Львш : РВВ НЛТУ Украши. - 2006. - Вип. 16.1. - С. 134-139.

Надтшла до редакцп 09.09.2016р.

Сокил М.Б., Верхола И.И., Сокил М.Б., Хитряк О.И. Нелинейные колебания системы гибкое трубчатое тело-сплошной поток среды, которая двигается вдоль него

Исследованы динамические процессы в трубчатом теле, вдоль которого двигается с постоянной скоростью сплошной поток однородной среды при условии, что трубчатое тело взаимодействует с упругим основанием. Построена математическая модель нелинейных колебаний указанной системы. Она представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, что содержит смешанную производную линейной и временной переменных. Наличие последней частично учитывает движение сплошной среды вдоль трубчатого тела и с ней связаны основные трудности при построении решения математической модели. В основу исследований положены базовые результаты динамики продольно подвижных сплошных сред и обобщения на их базе асимптотических методов нелинейной механики. Отмеченное, в совокупности, дало возможность получить соотношения, которые описывают основные пара-

метры динамического процесса системы трубчатое тело-сплошная среда в зависимости от физико-механических характеристик системы и скорости движения сплошной среды.

Ключевые слова: трубчатое тело, колебание, сплошной поток однородной среды, волновое число, амплитуда, частота.

Sokil M.B., Verkhola I.I., Sokil B.I., Khytryak O.I. Nonlinear Vibrations of System Flexible Tubular Body-continuous Stream of Environment which oves along It

Dynamic processes in a tubular body along which the continuous stream of homogeneous environment moves with permanent speed on condition that a tubular body cooperates with resilient basis, are investigated. The mathematical model of nonlinear vibrations of the indicated system is built. It shows by itself nonlinear differential equalization of the second order with the derivatives of part, which contains the mixed derivative of linear and time variables. The presence of the last partly takes into account motion of continuous environment along a tubular body and to it basic difficulties are related at the construction of decision of mathematical model. In basis of researches the base results of dynamics of longitudinally mobile continuous environments and generalization on their base of asymptotic methods of nonlinear mechanics are fixed. In an aggregate the marked allowed to get correlations which describe the basic parameters of dynamic process of the system tubular body-continuous environment in dependence on physical-mechanical descriptions of the system and speed of movement of continuous environment.

Keywords: tubular body, vibration, continuous stream of homogeneous environment, wave-number, amplitude, frequency.

УДК 534.1

ВПЛИВ РУХОМОГО ВАНТАЖУ НА КОЛИВАННЯ ПОЗДОВЖНЬО-РУХОМО' СТР1ЧКИ О.1. Хитряк1

Дослщжено коливання гнучко! одновишрно! стрiчки, вздовж яко! рухаеться, зi ста-лою за величиною швидюстю, деяка точкова маса. Побудовано математичну модель динамжи вказано! системи, яка описуеться диференщальним рiвнянням iз частинними похщними другого порядку та однорщними крайовими умовами. Особливютю зазначе-ного диференщального рiвняння е те, що воно мiстить мшану похщну лшшно! та часо-во! змiнних. Ця похiдна враховуе рух стрiчки та точково! маси (вантажу) i з нею пов'язанi основш труднощi побудови розв'язку диференцiального рiвняння руху.

Ключовi слова: поздовжньо-рухома стрiчка, рухомий вантаж, мшана похiдна, ампль туда, частота, методи збурень, хвильова теорiя руху.

Вступ. Дослiдження впливу рухомих вантажiв на динамiку основи, по якш цей вантаж перемщуеться, е одним iз важливих питань динам^ конструкцiй [1]. Такi мехашчш системи трапляються у рiзних сферах шженерно!' дiяльностi та машинобудування. Прикладами структурних елементш, якi призначенi для шдтримки рухомих тiл, е стрiчки конвеерних лiнiй чи транспортерiв, мости, рiз-ного роду крани, канати, рейки, мостовi та злiтно-посадковi смуги, трубопрово-ди [2]. Вивчення перелiчених механiчних систем отримало особливу увагу в продовж останнiх десятилiть [3-6]. Проте у зазначених працях дослвдження проведено в основному iз використанням чисельних методiв.

1 доц. О.1. Хитряк, канд. техн. наук - Нацюнальна академiя сухопутних вшськ iM. гетьмана Петра Сагайдачного

Особливiстю опису процешв i3 врахуванням рухомих вантажiв, на вiдмiну вiд статичних, е те що постiйно змшюеться точка ix контакту i3 несучою основою. Рух вантажу вздовж деякого тша впливае на основнi характеристики коли-вань останнього, а отже, i на динамiчнi зусилля та динамiчнi реакцп (у разi взаемодп гнучкого т1ла i3 зовнiшнiми об'ектами). Саме тому у низщ праць дос-лiджують проблему моделювання цього навантаження. Основними пiдxодами до зазначеного моделювання е опис рухомого вантажу у виглядi рухомо'1 сили, рухомо'1 маси чи осцилятора [7].

Вщомо, що для транспортування рiзниx об'екпв широко використовують поздовжньо-руxомi тiла. 1х математичними моделями е одновимiрнi поз-довжньо-руxомi одновимiрнi гнучкi елементи [8]. Урахування вказаного руху у поеднанш з рухомим осцилятором призводить до яюсно ново! математично! моделi динамки системи "гнучка поздовжньо-рухома стрiчка -рухомий вантаж". Задачi такого типу у лiтературi розглянуто частково. У зв'язку з наявшстю мшано1 похщно! у математичнiй моделi зазначено! системи для i"i дослiдження, навiть за значних спрощень, не вдаеться застосувати вiдомi класичнi методи ш-тегрування [9]. У цш роботi для виршення поставлено']" задачi побудовано мате-матичну модель, що описуе коливальш процеси у меxанiчнiй системi "гнучка поздовжньо-рухома стрiчка - рухомий вантаж" iз врахуванням нелiнiйниx сило-вих чинниюв. Для ii аналiзу використано щею описання коливального процесу поздовжньо-рухомих одновимiрниx тiл, у виглядi накладання хвиль рiзниx дов-жин [10, 11] та однакових частот. Зазначене у поеднанш iз основними щеями методiв збурень [12] дало змогу визначити основнi параметри динамiчного процесу залежно вiд базових характеристик поздовжньо-рухомого одновимiрного тiла, його швидкост та властивостей рухомого вантажу.

Рис. Розрахункова модель i розподЫ сил, ят дтть на систему "гнучка поздовжньо-рухома стрiчка - рухомий вантаж "

Постановка задачi та методика розв'язування. Розглянемо с^чку дов-жиною I, що рухаеться у поздовжньому напрямку iз сталою швидюстю V i характеризуемся силою попереднього натягу Т. По стрiчцi iз вiдносною швид-юстю с перемiщуеться осцилятор (вантаж) iз жорсткiстю К масою т (рис.). Стрiчка характеризуеться певними нелiнiйними силовими чинниками, а також на не! дiе зовнiшне розподiлене по довжиш збурення. Вони описуються фун-