Резонансні коливання двовимірних гнучких елементів систем привода та транспортування, що взаємодіють із зовнішнім середовищем Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

1 2

УДК 681.847.2 Викл. О.1. Хитряк ; доц. М.Б. Сект , канд. техн. наук;

студ. Ю.А. Сеник2

ре3онансн1 коливання двовим1рних гнучких елемент1в систем привода та транспортування, що взасмод1ють 13 3овн1шн1м середовищем

Дослiджено вплив перiодичного збурення на динамiчнi процеси рухомих нель ншно-пружних двовимiрних систем привода та транспортування, що взаeмодiють iз зовнiшнiм середовищем. 1х математичними моделями е рiвняння типу Клейна-Гордона. Розглянуто резонансний i нерезонансний випадки. Проаналiзовано вплив ф1зи-ко-механiчних характеристик матерiалу привода та швидкост поздовжнього руху на резонансне значения амплггуди.

Ключов1 слова: ампштуда, метод збурень, малий параметр, резонанс.

Актуальшсть та огляд основних результа^в. Дииамiчиi процеси, яю вщбуваються у гнучких елементах систем привода та транспортування за-лежать вщ багатьох чиииикiв: фiзико-мехаиiчиих властивостей матерiалу, ю-нематичних параметрiв руху (швидкосл, пришвидшеиия), иаваитажеиия иа повiдиому та ведеиому барабанах, характеристик середовищ, яю перемща-ються стрiчкою, зовиiшиього збуреиия, зокрема i перiодичиого. Дослiдити 1х вплив иа дииамiку можиа тшьки иа осиовi вiдповiдиих математичиих моделей та 1х розв,язкiв. Найбшьш адекватиими й одиочасио складиими у досль джеииi е иелiиiйиi. Таю задачi частково вивчались для одновимiрних моделей систем [1-2]. Одиак воии ие достатньою мiрою описують реальиi процеси, адже ширина гнучкого елемента привода чи транспортування значною мь рою впливае на динамжу процесу. До того ж, цшу низку явищ не вдаеться пояснити на основi одновимiрноl модель

Для двовимiрноl моделi систем привода ми розробили методику аналь тичного дослщження, яка базуеться на поширенш методу Ван-дер-Поля на новi класи динамiчних систем. Вона вiдносно нескладна для використання в шженерних дослщженнях, i водночас дае змогу оцшити вплив вЫе! низки на-ведених вище параметрiв на амплiтудно-частотну характеристику коливань. В основу методики покладено концепщю хвильово! теорп руху [3], яка уза-гальнена на системи, що характеризуються сталою складовою поздовжнього

руху [2].

Постановка задачi та методика розв'язування. Нелшшт коливання гнучких елементiв систем привода, що перебувають тд дiею зовшшнього збурення, описують двохмiрним рiвнянням типу Клейна-Гордона [4]

ып + 2Уых( - (а2 - V2) п^ - /2Ыуу + /Зи = е;[ (и, ии пх, п^, Ыу, птв), (1)

де: а, у - сташ, яю виражають через фiзико-механiчнi характеристики

матерiалу, в - константа пружних характеристик зовшшнього середовища,

1 Академ1я сухопутних вшськ 1м. гетьмана П. Сагайдачного;

2 НУ "Льв1вська полггехшка"

Нащональний лкотехшчний унiверситет УкраТни

V - швидюсть поздовжнього руху, f (u, ut, ux, uxx, uy, Uyy,0) - 2п перюдична за 0

функцiя, що описуе нелiнiйнi та перiодичнi сили, як дiють на гнучке тiло, ^ -частота перiодичного збурення, е - малий параметр. До piBMHM (1) долучають крайовi умови

^ С0 = u(X' x==, = 0, (2 а)

ux (t, x,y)|x=0 = ux (t, x, y)|x=l = 0, l = const. (2 б)

Нелшшш та перюдичш сили, як випливае i3 (1), е малими порiвняно з вiдновлювальними силами. Тому найбшьш ефективно для дослiдження вказано-го типу рiвнянь використовувати основну щею теори збурень [5, 6]. Однак уже на першому кроцi li застосування виникають проблеми знаходження розв'язку незбурено!' задачi (е=0). Подолати ix вдаеться шляхом використання концепци хвильового руху. Легко переконатись, що процес у лшшнш моделi середовища можна описати за допомогою накладання двох хвиль рiзниx довжин [7]

u0 (t, x, y ) = a cos (kx + Sy + at + p) + b cos (xx-Sy-at +/). (3)

У (3) ю - частота, a, b - амплггуди вщбито!' та прямо!' хвиль, к, х - !х xвильовi числа, ф, ^ - початковi фази хвиль. 1з (1) випливае, що параметри к, х , ю пов'язаш дисперсiйними спiввiдношеннями

со2 + 2VaK-(a2 - V2)k2-y1S1 -р = 0, со2 -2Va>x-(a2 - V2)x2-y1S1 -р = 0. (4)

Вони разом iз крайовими умовами визначають основнi параметри про-

цесу:

k = nkl-> + Ve[al4a^, x = nkl-1 - V®{aiaV> ,

a = (al)-1 ©л/а2 - V2 , (5)

де: 0 = l2(y2S2 + в) + ж2к2(a2 - V2); a=-b, ф=-у - для крайових умов (2 а)

Ь=акх'1, Ф=-у - для (2 б); 8=тжЬ'1 (b - ширина стрiчки, т=1,2...) визначають як i у [7].

Трактуючи, вщповщно до [7], сшввщношення (3) як розв'язок i збуре-но! задачi, для яко!' a i ф е невiдомими функщями часу, маемо з точнiстю до величин першого наближення

atO[- sin (kI + Sy + at + p) - sin (xl -Sy -at - p)] + aa>(pt[- cos (kI + Sy + at + p) + cos (xl -Sy -at - p)] + +Vat[-K sin (kI + Sy + at + p) + x sin (xl -Sy -at - p)] + +Vapt[-K cos (kI + Sy + at + p)-x cos (xl -Sy -at - p)] -

= 0,5s f (a, x, y,at + p,0), (6 а)

atO[- sin (kI + Sy + at + p) + kx"1 sin (xl -Sy -at - p)]

-VKat[sm (к1 + Sy + ct + p) + sin (xl -Sy -a>t - p)] + +aa>pt[- cos (kI + Sy + ct + p) - kx- cos (xl -Sy -Ю - p)] + +Vfcapt[- cos (kI + Sy + ct + p) + cos (xl -Sy -a>t - p)]

= 0,5sf (a, x, y,ct + p,0). (6 б)

Примаки: а) тут i нижче формули Í3 лiтерою "а" вiдповiдають крайовим умо-

вам (2 а), а Í3 лiтерою "б" - крайовим умовам (2 б); б) функщя f (a, x, y,ct + p,0) -

вiдповiдаe значенню право! частини рiвняння (1) за умови, що u та """ похщш визна-чають вiдповiдно до розв'язку незбурено" задачi. Неавтономнi диференцiальнi рiв-няння (6 а) та (6 б) екгавадентш спiввiдношенню

cos(C + р) [at£(x) + apn(x)] + sin(c + р) [anq(x) - apt£(x)] = 0,5sf(a, x, y, coi + p, в), (7) де: £(x) = - sin(Kx + Sy) • [c + kV] - sin(xx - Sy) • [c - xV],

• для крайових умов

r/(x) = - cos(kx + Sy) • [c + kV] + cos(xx - Sy) • [c - xV], (2 а)

£(x) = - sin(Kx + Sy) • [c + kV] + sin(xx - Sy) • [c - xV] • kx-1 ,

a u

• для крайових умов

r/(x) = -cos(kx + Sy) [c + kV ]-cos(xx -Sy) [c-xV ]kx_1. (2 б).

1з урахуванням неавтономност р1вняння (7) для нього розглядатиме-мо два випадки: нерезонансний (юф pqта резонансний (ю» pq"V). У нерезонансному випадку основш характеристики динам1чного процесу не зале-жать ютотним чином вщ частоти зовшшнього перюдичного збурення. Це дае змогу р1вняння (7) усереднити [8] за фазою зовшшнього перюдичного збурення та параметрами x i y. Отже, у нерезонансному випадку динам1чний процес у гнучких елементах описують залежшстю

s

-5-

a 2n2lbA

lb f 2ж2ж__2ж2ж_

И £(x) J J f(a,x,y,у,в)cosydydG + n(x) J J f(a,x,y, y,e)sin ydyde

00V 0 0 0 0

s

dydx;

p 2n2albA

l b ¡ 2ж2ж 2ж2ж Л , (8)

00

JJ £(x)J J f(a,x,y,w,0)sinwdwd0-n(x)J J f(a,x,y, y,e)cos ydyde

V 00 00

dydx

i2 г тл2 , г тл2 г тгп2 К2

де: A = -[ + kV] -[c-xV] - для (2а) та A = -[ + kV] -[c-xV] — - для (2б).

x

Що стосуеться бшьш важливого, резонансного випадку, то, вв1вши у (7) р1зницю фаз 3 = у - в, шсля нескладних перетворень 1з (7), отримуемо

Нащональний лкотехшчний ушверситет УкраТни

St = ф-pq j +

s

2nalbA

l b

00

2п

2п

j j g(x) J f (a, x, y,3 + в, в) sin(5 + 0)d0 - rj(x) J f (a, x, y,3 + в, в) cos(3 + 0)d0

dydx;

at =

s

l b

2n

2nlbA

2n

Л (9)

dydx;

j j £(x) j f(a, x, y,3 + в, в) cos{3 + e)de + n(x) j f(a, x, y,3 + в, в) sin(5 + e)de

00V о о J

Зокрема, для випадку f (u, ut, ux, uxx, uy, uyy,в) = S[Ut + kulu^ + h sin jut та

крайових умов (2 а) на рис. показано резонансш значення амплiтуди за pÍ3Hrn швидкостей поздовжнього руху та piзних значень параметра в.

V — 4 ж'1

V -1 исГ1 \ v = 0-v/c"1 а, м 0.26

V = \Q.uc V = \Zмс~1

0,22

а, м 0,25

0,2

0,15

0,1

V = UMC

V«4мс V = 1мс

-i

V = 16.ИС-1 V = 18.víc-t

(3 = 100с"

У = 20лte

0,1 ft

0,12

0,08

/л с

а)

15 17 19 21 23 25 27 29

V = Оме"

V = 20мс'

б)

13

15 17 19 21 23 28 27

Рис. Залежшсть резонансное амплтуди вiд швидкост1 поздовжнього руху за таких значень параметрiв: а = 15мс-1, Ь = l /10 м, l = 2 м, у = 20.мс-1,

a0 = 0,1 м, h = 0,002 м, <51 = 0,01см-2, k = 100м2с"2.

Висновки та практичнi рекомендаций Розроблена методика дае змо-гу дослщити вплив рiзно! природи нелшшних сил та перiодичного збурення на динамiчний процес. Шляхом аналiзу отриманих залежностей встановлено: а) для бшьших значень параметра в резонансне значення ампл^уди характер-не для бшьшо! частоти перiодичного збурення; б) резонансне значення ампль туди для бшьших значень параметра в е бшьшим; в) для бшьших значень параметра Ь (ширини гнучкого елемента) за вЫх iнших однакових умов частота коливань, за яко! вщбуваеться резонанс i резонансна амплiтуда е бшьшими; г) найбiльше значення резонансно! амплггуди (за порогового значення швид-костi) е на 6 % бшьшим за в = 100с "2, шж за в = 0с "2 (без урахування взаемо-ди iз зовнiшнiм середовищем); д) величина резонансно! амплiтуди за швид-

костей, бшьших за порогову, е значно меншою, нiж для випадку коливань системи без урахування швидкост поздовжнього руху. Таким чином, якщо гнучкi елементи систем привода тдлягають ди перюдичного збурення, i не вдаеться уникнути резонансних режимiв експлуатаци, то найбшьш сприятли-вими, з погляду динамiчних навантажень у них, е ri, якi характернi для швид-костей, найбшьш вщдалених вiд порогового значення.

Лггература

1. Гащук П.М. Параметричне збурення гнучкого робочого елемента мехашчного приводу / П.М. Гащук, I.I. Назар // Автоматизацiя виробничих процесiв у машинобудуваннi та приладобудуванш : Укра1нський Мiжвiдомч. наук.-техн. зб. - Львiв, 2008. - № 42. - С. 65-69.

2. Мартинщв М.П. Хвильовi процеси в однорщних нелiнiйно-пружних системах i ме-тоди 1'х дослiдження / М.П. Мартинщв, Б.1. Сокiл, М.Б. Сокш // Лiсове господарство, лiсова, паперова i деревообробна промисловiсть : мiжвiдомч. наук.-техн. зб. - Львiв : Вид-во НЛТУ Украши. - 2003. - Вип. 28. - С. 81-89.

3. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М. : Изд-во "Мир", 1977. -

622 с.

4. Митропольский Ю.А. О построении асимптотического решения возмущенного уравнения Клейна - Гордона / Ю.А. Митропольский // Украинский математический журнал -1995. - 47, № 9. - С. 1209-1216.

5. Найфэ А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найфэ. - М. : Изд-во "Мир", 1976. - 456 с.

6. Wan der Pol. A Teory of the Amplitude of Free and Forced Triode Vibrations / Wan der Pol. // Radio Review. - 1920. - № 1. - P. 124-129.

7. Хитряк O.I. Хвильова теорiя в дослщженш процеав у двовимiрних системах, яю характеризуются сталою складовою швидкосп поздовжного руху // Люове господарство, люо-ва, паперова i деревообробна промисловють : мiжвiдомч. наук.-техн. зб. - Львiв : Вид-во НЛТУ Украши. - 2010. - Вип. 20.14. - С. 340-345.

8. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю.А. Митропольский. - К. : Вид-во "Наук. думка", 1971. - 440 с.

Хитряк О.И., Сокил М.Б., Сенык Ю.А. Резонансные колебания двумерных гибких элементов систем привода и транспортировки, взаимодействующих с внешней средой

Исследовано влияние периодического возмущения на динамические процессы подвижных нелинейно-упругих двумерных систем привода и транспортировки, взаимодействующих с внешней средой. Их математическими моделями являются уравнения типа Клейна-Гордона. Рассмотрены резонансный и нерезонансный случаи. Проанализировано влияние физико-механических характеристик материала привода и скорости продольного движения на резонансное значение амплитуды.

Ключевые слова: амплитуда, метод возмущений, малый параметр, резонанс.

Khytriak O.I., Sokil M.B., Senyk Yu.A. Resonant oscillations of two-dimensional flexible elements of drive systems and transportation which interact with the environment

The influence of periodic perturbation on the dynamic processes of two-dimensional movable nonlinear elastic flexible elements of drive systems and transportation, which interact with the environment, is investigated. Their mathematical models are the equation of Klein-Gordon equation. Resonance and no resonant cases are considered. Analyzed the influence of physical and mechanical characteristics of the material of the flexible element and the longitudinal velocity of movement on the resonant amplitude value.

Keywords: amplitude, the method of perturbation, small parameter, resonance.