CC BY
18
Рис. 3. Амплтудно-частотна характеристика поведтки системи при збтьшент амплтуди пульсуючо'1 зовтшньоХ сили
Висновки: Аналiз отримано! ампл^удно-частотно! характеристики системи при проходженш через резонансш значення частот зовшшньо! збу-рювально! сили показуе: при збiльшеннi маси пасивного поглинача (додатко-во! маси) вщбуваеться зменшення значення амплiтуди коливань; зростання величини збурювально! сили приводить до незначного збшьшення амплiтуди коливань; змша фiзико механiчних властивостей матерiалу валу незначним чином впливае на величину резонансного значення амплгтуди.
Лггература
1. Данилевич Т.С., Сеник А.П. Нелшшш коливання одновим1рних пружних систем 1 пасивш 1х поглинач1// Вюник НУ "Льв1вська полгтехтка": Автоматизащя виробничих проце-с1в у машинобудуванш та приладобудуванш. - Льв1в: НУ "Льв1вська пол1техшка". - 2006, вип. 40. - С. 43-48.
2. Агафонов С.А., Георгиевский Д.В. Потеря устойчивости нелинейного вязкоупруго-го стержня под действием следящей силы. - К. Вища шк., 2004. - 13 с.
3. Стеванович К.Р. Поперечные колебания балки лежащей на упругом основании, находящейся под воздействием возмущающей силы с несколькими гармониками, с частотой близкими к первой собственной// Математическая физика. - К.: Наук. думка. - 1973, вип. 13. - С. 236-245.
УДК 517.9 Проф. П.М. Гащук, д-р техн. наук;
астр. 1.1. Назар - НУ "Льв1вська полтехшка"
ВИМУШЕН1 КОЛИВАННЯ РУХОМИХ ОДНОВИМ1РНИХ НЕЛШШНО-ПРУЖНИХ СИСТЕМ I МЕТОД ВАН-ДЕР-ПОЛЯ В IX
ДОСЛ1ДЖЕНН1
Розроблено методику дослщження впливу перюдичних збурень на динам1чш процеси рухомих нелшшно-пружних одновим1рних систем. Розглядаеться резонан-сний 1 нерезонансний випадки.
Науковий вк'ник, 2007, вип. 17.1
Prof. P.M. Hashchuk; post-graduate I.I. Nazar - NU "L'vivs'ka Politekhnika"
Oscillation of mobile one dimensional nonlinear-resilient systems and Van-der-Pol method is forced in their
The method of research of influencing of periodic indignations is developed on the dynamic processes of the mobile nonlinear-resilient one-dimensional systems. Examined resonance and unresonance cases.
Розглядаеться задача про вплив поздовжньо! швидкост руху та перь одичних сил на поперечш коливання одновимipних гнучких пружних систем обмежено! довжини. До них можна вщнести канатш дороги, пасовi чи ремш-ш пepeдачi i ш. Математичною моделлю динамiчних пpоцeсiв цих систем мо-же служити, за певних крайових умов, узагальнене нелшшне неавтономне хвильове piвняння
Utt + ipuxt - a1uxx = sf (u, ux, Ut,ff), (1)
в якому u(x, t) - поперечне вiдхилeння вiд piвноважного стану системи, a i в - сташ, якi визначаються через фiзико-мeханiчнi i кiнeматичнi характеристики дослщжуваних систем; s - малий параметр; sf(u,ux,ut0) - аналогична функцiя, яка враховуе нелшшно пpужнi властивостi систем, вплив сил опору, дисипативних сил та зовшштх перюдичних сил тощо.
В [1] показано, що одночастотш розв'язки piвняння (1) при найпрость ших крайових умовах
u(x, t)| x=0 = u(x, t)| x=l = 0, (2)
можна записати у виглядi
a
u(x,t) = —(cos(kx + at + p)- cos(xx-at- (p)), (3)
де: a i p - сталц к,x - вiдповiдно хвильовi числа прямо! i вщбито! хвиль; a - !х частота.
В основу дослiджeння збуреного piвняння покладено, модифiкованe за д'Аламбером, представлення розв'язку незбурено! крайово! задачi з подаль-шим узагальненням методу Ван-дер-Поля [2] для збурено! задачi. Отримано матeматичнi залeжностi, як визначають вплив пружних i кшематичних характеристик систем на основш характеристики руху. Розглядаються резонан-сний i нерезонансний випадки.
Методика розв'язування. Маючи опис одночастотного процесу для незбуреного piвняння, вiдповiдно до методу Ван-дер-Поля, представлення (3) можна також вважати i розв'язком збуреного piвняння (1), тiльки для ос-таннього випадку параметри a i p будуть вже деякими невщомим функщ-ями незалежно! змшно! t, тобто
u(x, t) = Op (cos(kx + at + p(t)) - cos(xx -at - p(t))). (4)
Для зручност математичних викладок розв'язок у фоpмi (3) предста-вимо у виглядi
u(x, t) = _a (t) sin щ sin щ2, (5)
К — — к_X
де Щ = —XWl = —x + ®t + (pit).
Щоб знайти закон змши амплiтуди i фази одночастотного динамiчно-го процесу Í3 (\) з врахуванням (5) шсля нескладних перетворень отримано
= -as f\(a, щ, у2, в) sin щ cos щ at = ■ ,
А (6) = —f\(—, щ, Щ, в) sin Щ sin щ
pt = Л '
А
де f\(a, щ, щ2, в) - значення функцй f (u, ux, ut, в), яке вщповщае u = _a sin щ sin щ2, А = a sin2 щ(( + 2p — — ).
Система звичайних диференцiальних рiвнянь (6) визначае закони змь ни амплiтуди i початково!' фази динамiчного процесу, який по формi близь-кий до одте! iз форм "динамiчноi рiвновагим незбурено! системи. Отриманi рiвняння можна дещо спростити, враховуючи, що за одне коливання ампл^у-да i частота процесу збурено! системи змiнюеться незначним чином. Вказане вище дае змогу для системи рiвнянь (6) застосувати апарат методу усеред-нення [2] i замшити li у нерезонансному випадку наступною
2п 2п l i i
a =-—-j j jf—,—-—x,——x + 3,0)ún^—^xcosK^x + ^dxctedS,
4( + 2p———)ln2 0 0 0 2 2 2 2
2 (7)
2n 2n l i i
p =-—-j j j f (a,x, x +19, в) sin x sin—x + ,9)dxded.
4—( + 2p—_—)ln2ooo 2 2 2 2
У випадку ж головного резонансу (( ~ ¡¡) динамiчний процес ютотно
залежить вiд рiзницi фаз власних i вимушених коливань у = в_(( + p(.
Ввiвши для вказаного випадку у систему рiвнянь (6) цей параметр, легко спростити ii до вигляду
a =--—-\\f{a,—-—x,—_——x + в_у,в)sin —-—xcos{—_—x + в_у)Мв, (8)
(( + 2p—_—)nl оо 2 2 2 2
Y = ¡_(--S—-jj f (a,——x,—_—x + в_ y, в) sin ——xsin(—-—x + в _ Y)dxdв.
a( + 2j3K——)nl o o 2 2 2 2
Таким чином, динамiчний процес розглядуваних систем описуеться в нерезонансному випадку залежшстю (4) або (5), в якш амплгтуда i фаза коливань як функцй часу визначаються диференщальними рiвняннями (7), у резонансному ж випадку - залежшстю
u(x, t) = —(~(cos(kx + в _ y) _ cos(—x _ (в _ y))) . (9)
Науковий ¡¡¡сник, 2007, вип. 17.1
Як приклад розглянемо нелiнiйнi коливання рухомого канату з враху-ванням в'язко-пружно! сили i гармонiйного перiодичного збурення, тобто у випадку, коли права частина рiвняння (1) мае вигляд
sf (u, ux, ut,в) = sut(1 - u2) + E cose. (10)
Тодi амплiтудно-частотна характеристика коливань канату в нерезонансному випадку описуеться диференщальними рiвняннями
3
-sa®(1 - a2 —)
á =--—, ф = 0. (11)
4/п(а + 2вК-Х)
У випадку головного резонансу (а = ц) диференцiальнi рiвняння (8) ма-ють вигляд
-saa(1 -a 2136) sEnA . sEnB a =----cos у----sin y--—,
4п/(а + 2вK—Х) 212п2(а + 2рКкХ) 212п2(а + 20 ^Х
sEnC . sEnD Y = ц-а-cosy--sin y-, (12)
' ' ' _ у ' _ v 4 у
2/ 2п2(а + 2вK—Х) 212п2(а + 20
D \ . к + х к-х d B C \ . к + х . к-х де A = D =1 sin-xcos-xdx,B = C = I sin-xsin-xdx .
J 2 2 J 2 2
o ^ ^ 0
Нижче, на графiках, показано залежностi ампл^уди вимушених коливань вiд натягу канату i швидкост його руху.
Рис. 1. 3aMeM!Hocmi амплтуди вимушених коливань канату eid meudKocmi його руху (v = 50 м/с, v1 = 10 м/с)
Рис. 2. Залежностi амплШуди вимушених коливань канату вiд його натягу
Загальш висновки. 1з отриманих результатiв випливае:
• у першому наближент асимптотичного розв'язку вплив зовтшнього перь одичного збурення проявляеться тшьки у резонансному випадку;
• якщо нелшшт в'язко-пружт сили можна апроксимувати ствввдношення (10), то незалежно ввд початкових умов встановлюеться динам1чний процес
1з ампл1тудою аст = 4/>/3 . Частота стационарного процесу залежить ввд швидкост1 1 з1 зростанням останньо! - зменшуеться;
• що стосуеться проходження через резонанс, то зростання швидкост руху канату призводить до зменшення резонансно! ампл1туди.
Л1тература
1. Мартинщв М.П., Сок1л Б.1., Сок1л М.Б. Хвильов1 процеси в однорщних нелшшно пружних системах 1 методи !х дослвдження// Люове господарство, люова, паперова 1 дерево-обробна промисдовiсть. - Льв1в: УкрДЛТУ. - 2003, вип. 28. - С. 81-89.
2. Митропольский Ю.А. Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений частных производных. - К.: Вища шк., 1976. - 592 с.
УДК 621.9.048.6 Здобувач Н.О. Арсиненко; проф. Б.1. СокЫ, д-р техн. наук;
проф. З.А. Стоцько, д-р техн. наук; доц. В.Г. Топтьницький, канд. техн. наук - НУ "Льв1вська пол1техшка"
МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 РОБОЧОГО СЕРЕДОВИЩА В1БРАЦ1ЙНИХ МАШИН I ЙОГО ДИНАМ1КА ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМУ ЗБУРЕНН1
Запропоновано моделi робочого середовища вiбрацiйних машин з вертикаль-ним збуренням та розглянуто динамшу його руху. Отримано залежносп для визна-чення впливу фiзико-механiчних властивостей середовища на динамшу процесу.
