CC BY
9
Науковий вкпик НЛТУ Украши. - 2015. - Вип. 25.8
УДК 534.111 Доц. I.I. Верхола, канд. техн. наук - Национальна Академiя
сухопутних ешськ т. гетьмана Петра Сагайдачного, м. Львiв
ВПЛИВ ТОЧКОВИХ ЗБУРЕНЬ НА НЕЛ1Н1ЙН1 КОЛИВАННЯ ГНУЧКИХ ЕЛЕМЕНТ1В ПРИВ1ДНИХ СИСТЕМ
Дослщжено динашчш процеси гнучких елемен™ (ГЕ) привщних систем та систем транспортування пiд дieю сил, якi прикладеш у фжсованих точках. В основу досль джень покладено принцип одночастотност коливань у нелiнiйних системах iз багатьма ступенями вiльностi та розподшеними параметрами, а також основнi ще! методiв збу-рень. Отримано аналiтичнi залежностi для визначення впливу швидкост руху ГЕ, фiзи-ко-механiчних параметр1в системи, розподшено! нелшшно! та точково! сил на основнi параметри динамши ГЕ. Побудовано графiчнi залежностi частоти коливного процесу вiд часу за рiзних значень швидкостi поздовжнього руху ГЕ та точки прикладання зосе-реджено! сили.
Ключовi слова: гнучкий елемент, нелiнiйнi коливання, динамiчний процес, точко-ве збурення.
Актуальнiсть i огляд основних результат. Нелiнiйнi коливання ГЕ привщних систем, якД е важливою складовою частиною транспортних засобДв чи рiзного роду машин неперервно!' дц, дослiджено, наприклад, у [1-7]. У них використано рiзнi пДдходи для розв'язання такого типу задач, зокрема, застосу-вання методу КБМ для випадку малих величин поздовжньо!' складово!' швид-костi руху ГЕ [1, 2]; поеднання методДв Бубнова-ГальоркДна та Ван-дер-Поля для значних швидкостей його руху [3, 4]; поеднання хвильово!' теорií для незбу-реного руху та подальшого узагальнення асимптотичних методiв КБМ на новi класи задач [5, 6]. У наведених пiдходах припускаеться, що ГЕ завантажеш не-перервною вздовж довжини силою. Це певною мiрою обмежуе застосування вказаних дослiджень, адже iснуе щла низка вказаного типу систем, у яких зов-нiшнi сили прикладеш у точщ. Саме для таких гнучких систем у роботД розви-нено пiдхiд, в основу котрого покладено хвильову теорiю руху.
Постановка задачь Розглянемо поперечнi коливання ГЕ, який характеризуемся сталою складовою швидкостД поздовжнього руху i у фДксовашй ге-ометричнiй точцi шддаеться до зовнiшнього збурення. Щодо величини ос-таннього, то прийнято, що вона е малою порДвняно Дз силою натягу. До того ж пружнД властивостД матерДалу ГЕ незначною мДрою вДдрДзняються вДд лшшного закону. У такому разД математичну модель динамши ГЕ приводимо до такого вигляду:
де: u (x, t) - перемщення поперечного nepepi3y ГЕ з Ейлеровою координатою x у довшьний момент часу t; V - поздовжня складова швидкостi його руху,
Р
ометричнш точщ x = £; ef (u,ux,ut) - аналггичне представлення Bciei множини нелшшних сил, розподiлених вздовж ГЕ, e - малий параметр.
utt + 2Vuxt -(a2 - V 2) uxx = ef (u, ux, ut )+e( p(u, ux, ut)).
|x=X'
(1)
4. Гнформащйш технологи галузi
367
Нащональний лкотехшчний унiверситет УкраХни
Для рiвняння (1) розглянемо крайовi умови, яш узгоджуються Í3 умова-ми ввдсутносп у фiксованих геометричних точках x = 0, x = l поперечних пере-мiщень ГЕ, тобто
U (Х,t)|x=0 = U (x,t)|x=l = 0- (2)
Задача полягае у визначеннi впливу швидкостi руху ГЕ, фiзико-механiч-них параметров системи, розподшено1 нелiнiйноí та зосереджено1 сил на визна-чальш параметри динамiки ГЕ.
Методика дослщження. Базою для описания динамiки дослщжуваного об'екта е: принцип одночастотностi коливань у нелiнiйних системах iз багатьма ступенями вшьносп та розподшеними параметрами, основш iдеí методов збу-рень, зокрема, !'х адаптация для поздовжньо-рухомих суцiльних середовищ. У су-купност наведене дае змогу розв'язок сформульовано!' задачi iитерпретувати як накладання прямо!' та зворотно!' хвиль рiзноí довжини. Водночас, треба зазначи-ти, що малi сили спричиняють повшьну змшу в часi визначальних параметрiв динамжи ГЕ. Отже, розв'язок крайово! задачi (1), (2), що описуе динамiчний процес дослiджуваного об'екта для першого наближення, представимо у виглядi
u (x, t) = a (cos (kx + —)- cos (%x -jj) + eU1 (a, x,j), (3)
де (p = at + f, U1(a,x,j) - невiдома 2.^-перюдична та j-функщя, яка задоволь-няе крайовим умовам, що випливають iз (2), тобто
Ui (a, x,() x=0 = Ui (a, x,() x=l = 0. (4)
Вважають, що параметр l е обмеженою величиною, тодi основш параметри коливань ГЕ не залежать ввд лiнiйноí змiнноí x. Це дае змогу представи-ти вплив розподшених та зосереджених нелiнiйних сил на нього за допомогою сшввщношень [7]:
— = eA1 (a); — = rn+eB1(a), (5)
dt dt
у яких невiдомi функцií A (a), B1( a) знаходяться таким чином, щоб сшвввдно-шення (3) задовольняло з необхiдним ступенем точностi вихiдне рiвияния (1), якщо у нього на мкце параметрiв a та — шдставити функцп часу, визначеш диференцiальними рiвияниями (5).
Пiсля нескладних математичних операпiй для зв'язку шуканих величин отримуемо залежнiсть
L (Ui) = wW dU (a2x,()+ 2VwdUl(a,x— -(a? - V 2 )Э 2Ul(af() = (7) —2 dxd— v ' dx2
= f1 (a, x,() +2 [(w+ kV) sin (kx + —) + (w-%V) sin (%x —)] A1 (a) + +2a \jyrn+kV) cos (kx + —)-(w-%V) cos (%x —)] B1 (a) + p1(a,X,()\x=x, де f1(a, x,j) i p1(u,ux,ut)x=x - значення вiдповiдних функпiй за умов, що u та íí похiднi визначаються ввдповвдно до головно1 частини у представленш (3), тобто
Науковий вкник НЛТУ Украши. - 2015. - Вип. 25.8
fx (a, x, j) = f (u, ux, ut)
u=a(cos(kx+j)-cos(cx-j)), ux=-a(rsm(rx+j)-csm (cx-lf •=-aw(sin(rx+j)+sin(cx -j))
, px (a, X, j) = p (u, ux, ut)
u=a(cos(r£+j)-cos(c£-j)), ux=-a(ksin(kX+j)-csin (cX-j ut =-aw(sm(sX+j)+sin(ci-j)).
Для однозначного визначення i3 (7) невщомих функцiй Ax (a), Bx (a) нак-ладемо на Ux(a, x, j) додаткову умову - вона у своему розвитку по гармошках j не мютить першо'1 гармонiки, тобто виконуються умови
2p fcosj]
\ Ux(a, x,j) г \dj = 0. (8)
0 lsinjJ
Наведене у сукупносп дае змогу визначити невiдомi функцií Ax (a), Bx(a) у виглядi
e l 2p _ Ax(a) = ^-—-^i i f (^x,X j)x
2pl (w+kV)2 + (w-cV)2 x{[(w+ kV) sin kx + (w-cV) sin cx ] cos j + - [(w+ kV) cos kx - (w - cV) cos cx] sin j} djdx
Bx (a ) =
(w+kV )2 + (w-cV )2
l 2p _ !!f (a x,X,j)x
о 0
(8)
a2pl
x{[(w+kV) sin kx + (w-cV) sin cx ] sin j- [(w+kV) cos kx -(w-cV) cos cx ] cos j} djdx
де f (a x x j)=f (a x j) +px(a, X, j)| x=x.
Як приклад, розглянемо вплив точково'1 сили на коливання ГЕ за умови, що 11 величина визначаеться залежшстю (рис. x, 2)
pe (p(u, ux, ut)),x=X = pfbu3(x, t)x=x, ef (u, ux, ut) = duf(x, t).
Рис. 1. Залежшсть частоти коливань W вiд часу t за рiзних значень швидкостi поздовжнього руху ГЕ:
1) V = 5м / с, 2) V = 10м / с, 3) V = 15м / с, 4) V = 20м / с
Рис. 2. Залежшсть частоти коливань W eid часу t за рiзних значень параметра X: 1) X = 0 5, 2) % = 1,
3) X = 1.5
Висновки та перспективи подальших дослщжень. Розроблена методика дае змогу визначити вплив точкових збурень на нелшшш коливання ГЕ.
4. Тнформацшш технолога галузi
369
e
Нащональний лкотехшчний унiверситет Украши
На li 6a3i встановлено, що T04K0Bi збурення спричиняють 3MiHy як амплиуди, так i частоти коливань, причому вплив ocTaHHix збiльшyeться у випадку до точ-кового збурення ближче до середини вiтки ГЕ. Сама методика може бути уза-гальнена на випадок миттевого збурення коливань у якшсь точцi до^джувано-го об'екта. Останне може бути предметом окремих до^джень.
Лiтература
1. Слшчук А.М. Нелшшш поперечш коливання дружного рухомого канату i методи i'x дос-лщження / А.М. Слшчук // Жсове господарство, люова, паперова i деревообробна промисловiсть : мiжвiдомч. наук.-техн. зб. - Львгв : Вид-во УкрДЛТУ. - 2003. - Вип. 28. - С. 89-94.
2. Слшчук А.М. Нелшшш поперечш коливання пружно! рухомоi балки / А.М. Слшчук // Оптишзащя виробничих процеив i технiчний контроль у машинобудуванш та приладобудуван-ш. - Львш. - 2004. - № 515. - С. 47-51.
3. Гащук П.М. Вплив шпульсних сил на нелiнiйнi коливання гнучких робочих елеменпв приводу у резонансному випадку / П.М. Гащук, I.I. Назар // Науковий вiсник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Львш : РВВ НЛТУ Украши. - 2007. - Вип. 17.7. - С. 136-141.
4. Гащук П.М. Нелшшш коливання гнучкого робочого елемента приводу пд дieю ш-пульсних сил / П.М. Гащук, I.I. Назар // Вюник Нацiонального унiверситету "Л^вська полиех-нка". - Сер.: Динамша, мiцнiсть та проектування машин i приладив. - Львш : Вид-во НУ "Львiвськаполiтехнiка". - 2007. - № 588. - С. 20-24.
5. Соки Б.1. Хвильова теорш руху у дослiдженнi нелiнiйних коливань двовимрних об'екйв, як характеризуються сталою швидюстю поздовжнього руху / Б.1. Сокiл, О.1. Хитряк, М.Б. Соки // Вiсник Львгвського державного университету безпеки життeдiяльностi : зб. наук. праць. - Львш : Вид-во Львшського Ду БЖД. - 2010. - № 4. - С. 55-60.
6. Chen L.Q. Analysis and control of transverse vibrations of axially moving strings / L.Q. Chen // Appl. Mech. Rev. - 2005. - Vol. 58.2. - Pp. 91-116.
7. Митропольский Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных / Ю.А. Митропольский., Б.И. Мосеенков. - К. : Изд-во "Вища шк.", 1976. - 84 с.
Верхола И.И. Влияние точечных возмущений на нелинейные колебания гибкого элемента приводных систем
Исследованы динамические процессы гибких элементов (ГЭ) приводных систем и систем транспортировки под действием сил, которые приложены в фиксированных точках. В основу исследований положен принцип одночастотности колебаний в нелинейных системах со многими степенями свободы и распределенными параметрами, а также основные идеи методов возмущений. Получены аналитические зависимости для определения влияния скорости движения ГЭ, физико-механических параметров системы, распределенной нелинейной и точечной сил на основные параметры динамики ГЭ. Построены графические зависимости частоты колеблющегося процесса от времени при разных значениях скорости продольного движения ГЭ и точки приложения сосредоточенной силы.
Ключевые слова: гибкий элемент, нелинейные колебания, динамический процесс, точечное возмущение.
Verkhola I.I. The Influence of Point Perturbations on Nonlinear Vibrations of Flexible Elements of Drive Systems
The dynamic processes of flexible elements (FE) of drive systems and systems of transporting are investigated under the action of forces which are applied in the fixed points. The principle of one-frequency vibrations in the nonlinear systems with many degrees of freedom and distributed parameters and also basic ideas of methods of perturbations are fixed on the basis of researches. Analytical dependences are got for determination of influence of speed of movement of FE, physical and mechanical parameters of system, distributed nonlinear and point forces on basic parameters of the dynamics of FE.
Keywords: flexible element, nonlinear vibrations, dynamic process, point perturbation.
