Вплив руху суцільного потоку середовища на вимушені коливання гнучких трубчастих тіл Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3 Викл. М.Б. Сокт, канд. техн. наук - НУ "Льв1вська полтехшка ";

Академия сухопутних вшськ ¡м. гетьмана Петра Сагайдачного

ВПЛИВ РУХУ СУЦГЛЬНОГО ПОТОКУ СЕРЕДОВИЩА НА ВИМУШЕН1 КОЛИВАННЯ ГНУЧКИХ ТРУБЧАСТИХ Т1Л

Розроблено методику дослщження вимушених коливань трубчастих тш мало! згин-но! жорсткосй, вздовж яких рухаеться зi сталою швидкiстю суцiльний потiк однорiдного середовища. Математичною моделлю коливань вказаних тш е краевi задачi для нель ншних диференцдальних рiвнянь з частинними похщними, якi мiстять мiшанi похвдш ль ншно! та часово! змшно!. Останне е перешкодою для застосування навiть для лшшних аналогiв вказаних задач класичних методш Фур'е та Д'Аламбера. Проте шляхом поеднан-ня хвильово! теори руху та асимптотичних методiв нелшшно! механiки вдалось отримати спiввiдношення, якi описують основнi параметри динамiчного процесу як для нерезонансного, так i резонансного випадкiв. Показано, що частота власних коливань та резонансна амшптуда гнучкого тша визначаються не тiльки зовнiшнiми силами, фiзико-механiчними властивостями тiла та потоку середовища, але й швидкiстю руху останнього.

Ключовi слова: нелiнiйнi коливання, дисперсшне спiввiдношення, хвильове число, частота, резонанс.

Вступ. Гнучкi трубчастi тша використовують для: вiбрацiйного транспор-тування сипких середовищ, перекачування рщин; забезпечення функцiонування пдро- та пневмоприводiв. Перемiщення середовища вздовж трубчастого тша спричиняе змiну основних параметров, якi описують його коливальний процес, а деяких випадках впливае навiть на стiйкiсть динамiчного процесу. Величини визначальних параметрiв його залежать як вiд швидкостi перемiщення середовища, так i вiд його погонно!' маси [1]. Рiзнi аспекти дослщження подiбного класу задач розглянуто у [2, 3]. Однак результати зазначених робiт мають обмежений характер - вони стосуються мало!' величини кшькосп руху середовища. Це пев-ною мiрою знижуе вагомiсть отриманих результатiв.

Метою роботи е розв'язання вказаного типу задач за ввдсутносп наведе-них обмежень щодо середовища.

Постановка задачi та методика розв'язування. Ввдомо, що математичною моделлю коливань трубчатого тша мало!' згинно!' жорсткосп, вздовж котро-го рухаеться iз сталою за величиною швидкктю суцшьний потiк однорiдного середовища, е диференщальне р1вняння

де: и (х, г) - вiдхилення ввд ршноважного положения поперечного перерiзу iз координатою х у довшьний момент часу г; т i в0 - вiдповiдио частота та початко-ва фаза зовнiшнього перiодичного збурення; т1 та т2 - вщповвдно маса одиницi довжини трубчастого тша та суцшьного середовища; V - швидккть руху середовища вздовж трубчастого тша; 5 - сила попереднього натягу тша; г/(и,их,иг,в) - 2я--перюдична по в функщя, що описуе реально iснуючi нель нiйнi сили системи та зовшшне перiодичне збурення.

Нижче вважатимемо, що: а) максимальне значення нелiнiйних сил е ма-

ии (х, г) +

1

(2тУих1 (х, г)-(5 - m2V2) и^ (х, г)) = е/ (и, их, щ,в), в = тг + в0, (1)

т1 + т2

2

т2Уихг (х, г) та тах (5 - т^2) ихх (х, г); б) у

лою величиною порiвняно iз тах

т1 + т2

недеформованому положенш трубчасте тiло прямолiнiйноí форми; в) перемь щення шнщв гнучкого тала ввдсутш, тобто

и (1 )|х=0 = и (1 )|х=1 = 0 (2)

Задача полягае у визначенi впливу основних зовшшшх та внутрiшнiх чинниюв системи трубчасте тало - сущльний потiк однорщного середовища на закони змiни визначальних параметров коливань тала.

Методика розв'язування. Виходячи iз обмежень щодо право! частини диференцiального ршняння (1), для дослвдження динамiчного процесу розгляду-вано! системи використаемо основнi iдеí методiв збурень, точнiше кажучи, асим-птотичного методу КБМ. Вiдповiдно до загального пiдходу побудови асимпто-тичних наближень, передуам необхiдно побудувати розв'язок незбурено! (е = 0) крайово! задач^ яка вiдповiдае сформульованiй вище. У [4] показано, що незбу-рений рух можна трактувати як накладання прямо! та вiдбитоí хвиль однакових частот, проте рiзних довжин, бшьше того у нiй визначено основш параметри цих хвиль. Беручи до уваги результати вказано! роботи, перше наближення асимпто-тичного розв'язку крайово! задачi (1), (2) будемо шукати у виглядi

и(х, г) = а (соз (кх + аг + ф) - соз (%х -аг -ф)) + еи (а, х,у,в), (3)

де: к = (1 + Ш2)Р, с = ^р(1 -тг)Р, а = (5 -Ш2У2)Ь, Ь = ((ш + -тшУ2р2,

функцiя и(а,х,у,в) е 2р-перюдичною по фазах у та в i задовольняе кра! умо-ви, якi випливають iз (2), тобто

и (а, х, у, в)х=0 = и (а, х, у, в)х= = 0. (4)

Параметри а та ф для збуреного випадку е невiдомими функцiями часу. Закони змши !'х iстотно залежать вiд спiввiдношення мiж частотами власних i вимушених коливань, тобто о та /. Якщо ра ф ц/, р, ц - взаемно простi числа (нерезонансний випадок), закони змши параметрiв а та ф будемо шукати у виг-лядi звичайних диференцiальних рiвнянь а = еА(а), ф = еВ(а). Якщо ж ра» ц/ (резонансний випадок), то динамiчний процес значною мiрою залежить вiд сшв-вiдношення мiж фазами власних i вимушених коливань, тобто спiввiдношення мiж параметрами у та в, точшше кажучи вiд рiзницi вказаних функцiй. Таким чином, у резонансному випадку закони змiни визначальних парамет^в динамiч-ного процесу трубчастого тала зв'язаш диференцiальними рiвняннями

а = еА (а,р), ср= а-—/и + еВ (а,р). Задача полягае у визначенш таких неввдомих

функцiй А(а), В(а) (для нерезонансного випадку) та вiдповiдно А(а,р) i В (а, р) (для резонансного випадку), ят з точшстю до величин порядку е включ-но задовольняють вихiдне рiвняння. Для нерезонансного випадку iз (1) отри-муемо диференцiальне ршняння, що зв'язуе невiдомi функцií:

2 д2и 2 д2и 1 „тг ,а2и д2и , /о - д2и, о2( + и в +-(2Уш2^тз-о+ТЗви)-(5-шУ2)-ат) = (5)

др2 дв2 ш1 + ш2 дхду дхдв 4 ' дх2

= f (a, x,y, в) - 2 [a sin (kx + y) + a2 sin (%x - y)] A (a)

-2a[«eos(kx + y)-a2eos(%x-y)\B(a),

2mV k 2m2V c ., де ai = w+--,a2 = w--—, f (a, x,y,e) = f (u, ux, щ,в)

mi + m2 mi + m2

u=a(eos(k:+y)-eos(cx-y)), ux=-a(ksin(kx+y)-csin(cx-y)), ut=-aw(sin(kx+y)+sin(jx-y)).

Для однозначного визначення Í3 (5) неввдомих функцiй а( a) та B (a), накладемо додатковi умови на функщю U (a, x,y,0), а саме - вона не повинна мктити у сво-1х розкладах ряд Фур'е доданкiв пропорщйних sin y та cosy. Наведена умова ек-вшалентна вибору за амплиуду хвильового процесу трубчастого тша амплiтуду головно! 11 моди. Одночасно вона дасть змогу отримати звичайш диференцiальнi рiвняння, якi описують закони змши в часi параметрiв а та f: 1 2p2p

J J J fi(a,x,y, в) [«sin kx + a2sin%x)smy + (aieoskx-a2eoscx)eosy]dydedx

= e0 о о_ (6)

dt 4p21 («2 + a¡2)

l 2p2p

J J J fi(a,x,y,e)[(aisinkx + a2sincx)siny-(aieoskx- a2eoscx)eosy]dydedx

dj = e о о о_

dt 4p21 (a2 + a2) a

Невiдому ж функщю U (a, x,y,0) легко знайти шляхом представления íi у кратнi ряди Фур'е iз наступним прирiвнюваниям коефщкипв при однакових гармонiках my, пв (m ^ i), тобто

U(a,x,y,q) = Y,Y,Y,Umns(a)expiI my + пв + sp-x I. (7)

m n s V 1 J

Коефщкнти Umn (a) вказаного представлення, виходячи iз диференщаль-ного рiвияння (5), приймають значення:

тт Í \ = _fmns (a)_ (О)

Umns ( a ) =----J-----ТТ^Т (8)

m^J^s^ 2 2 2 2 i

m2w2 + n m +-

mi + m2

2

ч smp snp „ ¡ _ ( sp i

(2Vm2)(— «+ —m)-(S -miV2)| — I

де fmns (a )= J Jj fi( a, x,y,e) exp- i | my + ne + sPx ^xdedy. о о о V 1 у

Треба вiдзначити, що представлення функцй' U (a,x,y,e) залежнктю (8) не дае змогу визначити коефщкнти Uom (a). Його величина визначаеться, виходячи iз (8) та крайових умов (2).

Набагато складшшим у дослiдженнi й одночасно важливiшим iз практичного боку е резонансний випадок. Нижче розглянемо тшьки випадок головного резонансу. Поступаючи подiбним чином як i для нерезонансного випадку з ткю тшьки рiзницею, що у резонансному основш параметри динамiки трубчастого ri-ла описуються складнiшими залежностями, для визначення невщомих функцiй A (a,j) i B (a,j) отримуемо диференцiальне рiвияния

2 d2U 2 d2U 1 „тг d2U d2U , /о d2U

+-(2УШ2(—- co+-—m)-( s - mV2)—)

dj2 дв2 Ш\ + Ш2 axay дхдв у ' dx2

= fi( a, х,у,в)-

(9)

-2 [« sin (kx + y) + a2 sin (%x - y)] A (a, j) - 2а [« cos (kx + y)-a2 cos(%x - y)] Б (a, j). Диференцiaльне р1вняння (9), Í3 урахуванням накладених вище на U(a,x,y,e) умов, дае змогу отримати спiввiдношення, якi зв'язують шуканi функци:

aiA (a,j) + aa2B (a,j)+1 bdAíaiji + afi2 dB (a, j) | (w-m) =

V dj dj I

e 1 2, ^ (j0) =—J J fi(a,x,y,y-j)cosydydx, 2,0 0

a2A(a,j)-aaiB(a,jj-[ b^íí^fl-abdBiaijl |(w-m) =

V dj dj )

£ 1 2,

=-J J fi(a,x,y,y-j)sinydydx,

2,1 0 0

_ i 1 _ i 1 де: a1 =—J«sinkx + a2sincx)dx, a2 = — J(aicoskx-a2cos%x)dx, 2 0 2 0 - i 1 - i 1 b = —J(coskx-coscx)dx, Д> = — J(sinkx + sin%x)dx. 2 0 2 0

Нижче наведемо тальки прикiнцевi залежностi, яю стосуються нелiнiйних резонансних коливань системи трубчате тало - потiк суцшьного середовища пiд дiею гармонiчноí сили, тобто для випадку

f (u,ux,ut,q)= F(u,ux,ut)+ F0sinmt, F0 - const. (11)

Резонансш коливання розглядувано! системи описуються головною частиною залежноста (3), в якш a та j визначаються системою диференщальних рiвнянь:

— = eA( a) +--££F—-у «cos j-a2sin j),

dt 1 ' 2,1 (a2 + a22)1 V

— = w-m + £B (a)+--t~£F~—тг- «cos j + a2sin j), (12)

dt 2,1 (a12 + a2) a

1 2,

J J F1(a,x,y)[(a1sinkx + a2sincx)siny + (a1coskx- a2cos cx)cosy]dydx

де: A( a) =

00

2,1 (a + a2)

1 2,

J J F1(a,x,y)[(a1sinkx + a2sincx)siny-(a1coskx-a2coscx)cosy]dydx

B (a) = ^--^-.

2,1 («2 + af)

Для випадку f (u,ux,ut,6) = aut + ßuXuxx (рис.) наведенi залежностi амплггу-ди коливань трубчастого тта при переходi через головний резонанс за pi3HKx швидкостей (V = 5м / с, V2 = 7 м / с, V3 = 9м / с) руху суцiльного середовища.

Рис. Закони змти амплЫуди коливань трубчастого тта при перехоЫ через

головний резонанс

Загальш висновки. Розроблена у pоботi методика дае змогу дослщжува-ти нелiнiйнi коливання трубчастих тт, вздовж котрих рухаеться зi сталою швид-кiстю суцiльний потж одноpiдного середовища. Отpиманi на '11 базi pозpахунковi залежностi показують: а) для суцтьних середовищ бтьшо!* погонно'1 маси, якi рухаються вздовж трубчастого тта, власна частота коливань останнього е мен-шою; б) рух суцтьного середовища вздовж трубчастого тта спричиняе змен-шення частоти власних коливань тта; в) за швидкосп руху середовища

\{т\ + m2)S [ проходить зрив коливань трубчастого тта; г) резонан-

1 т2 т\т2 J

сна амплiтуда iз зростанням швидкостi середовища зростае за умови, що остання менша за порогове '11 значення.

Лiтература

1. Горошко О.О. Вимушенi коливання гнучкого трубопроводу з потоком рщини та нульо-вим початковим натягом при силовому збудженш / О.О. Горошко, СВ. Кикоть // Вкник Ки1всь-кого ушверситету : зб. наук. праць. - Сер.: Фiзико-математичнi науки. - 2012. - № 3. - С. 67-70.

2. Пукач П.Я. Вплив руху рщини та кутово! швидкоста обертання колони при бурiннi свер-дловин на 11 нелiнiйнi згиннi коливання / П.Я. Пукач, 1.В. Кузьо // Прикарпатський вiсник НТШ : зб. наук. праць. - 2012. - Число 1(17). - С. 60-66.

3. Пукач П.Я. Нелшшш згинш коливання колони для буршня свердловин / П.Я. Пукач, 1.В. Кузьо // Сучасш проблеми механiки та математики : зб. наук. праць. - В 3-х т. / за ред. Р.М. Куштра, Б.Й. Пташника. - Львiв : Вид-во 1н-ту прикладних проблем механiки та математики iм. Я.С. Пiдстригача НАН Укра1ни, 2013. - Т. 2. - С. 167-169.

4. Сокш МБ. Нелшшш коливання гнучких трубчастих тш вздовж яких рухаеться суцшьний потiк середовища / МБ. Сокш // Науковий вiсник НЛТУ Укра!ни : зб. наук.-техн. праць. - Львш : РВВ НЛТУ Украши. - 2014. - Вип. 24.10. - С. 351- 356.

Сокил М.Б. Влияние движения сплошного потока среды на вынужденные колебания гибких трубчатых тел

Разработана методика исследования вынужденных колебаний трубчатых тел малой сгибающей жесткости, вдоль которых движется с постоянной скоростью сплошной поток однородной среды. Математической моделью колебаний указанных тел являются краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих смешанные производные линейной и временной переменной. Последнее является препятствием для применения даже для линейных аналогов указанных задач классических методов Фурье и Д'Аламбера. Однако путем объединения волновой теории движения и асимптотических методов нелинейной механики удалось получить со-

отношения, описывающие основные параметры динамического процесса как для нерезонансного, так и резонансного случаев. Показано, что частота собственных колебаний и резонансная амплитуда гибкого тела определяются не только внешними силами, физико-механическими свойствами тела и потока среды, но и скоростью движения последнего.

Ключевые слова: нелинейные колебания, дисперсионная соотношение, волновое число, частота, резонанс.

Sokil M.B. Forced Oscillations of Flexible Tubular Bodies with a Continuous Environment Flow Moving Along

The method study of forced oscillations of small tubular bodies bending stiffness along which a constant speed continuous flow of homogeneous medium moves. The mathematical model of these bodies is fluctuations boundary value problem for nonlinear differential equations with partial derivatives containing mixed derivatives of linear and time-variable. The latter is a barrier to use even for linear analogues mentioned problems of classical methods of Fourier and d'Alembert. Despite specified, by combining the wave theory of motion and asymptotic methods of nonlinear mechanics could value obtained describing the basic parameters of the dynamic process for non-resonant and resonant cases. The frequency of oscillation amplitude and resonance flexible body are shown to be determined not only by external forces, physical -mechanical properties of the body and flow, but also the speed of the latter.

Key words: nonlinear vibrations, dispersion relation, wave number, frequency, resonance.

УДК 658.7 Астр. О.Б. Телшевська1 - Львiвський НУ ветеринарног медицини

та бютехнологт т. С.З. Гжицького

ШТЕГРАЛЬНИЙ МЕТОД АНАЛ1ЗУ ЛОГ1СТИЧНО-ПОСТАЧАЛЬНИЦЬКИХ ВИТРАТ П1ДПРИ6МСТВА

Лопстична концепцш управлшня сьогодш отримала досить широке застосування в теорп i практищ господарсько! дiяльностi шдприемств. Досвщ використання лопстично-го шдходу доводить, що вш дае змогу значно скоротити запаси продукцп у виробництв^ постачанш та збуй, знизити витрати, шдвищити продуктившсть, забезпечити повшше задоволення потреб споживачiв як товарiв i послуг, а отже, отримати конкуренты переваги. Висок темпи розвитку лопстики значною мiрою можна пояснити необхщшстю своечасно! реакцп пiдприемств на конкурендiю i кон'юнктуру ринку, прагненням адап-туватися до сучасних обставин i мшливих умов зовшшнъого середовища.

Вивчення досвщу розвинених кра!н пiдтверджуе, що концепщя логiстичного шдхо-ду е найбшьш конструктивною при управлшш потоками i процесами у будь-якш сферi економiчноl дiяльностi та дае змогу шдвищити ефектившсть ще! дiяльностi на основi чпко1 оргашзацп та iнтегрованостi управлшня матерiальними та супутнiми фшансови-ми, шформацшними та сервюними потоками.

Ключовi слова: лопстика, лопстично-постачальницью витрати, собiвартiсть, опе-радiйна дiяльнiсть, швестицшна дшльшсть, лопстичний ланцюг, лопстичний центр, ш-новацшна дiяльнiсть, факторна монiторинг, штегральний аналiз.

Постановка проблеми. Логiстичнi процеси тiсно пов'язанi з функщону-ванням шдприемства, вони не формують самостшну сферу дiяльностi, але по-винш пiдкорятися основним цшям пiдприeмства i забезпечувати 1х досягнення. Для створення ефективно1 мережi та успiшного здшснення логiстичноí д1яльнос-тi, необхiдне проведения ретельного проектування побудови логiстичних систем на промислових пiдприeмствах.

1 Наук. кергвник: проф. О.€. Кузьмш, д-р екон. наук - НУ " Льв1вська полггехнка"