CC BY
12
Рис. 2. Залежностi амплШуди вимушених коливань канату вiд його натягу
Загальш висновки. 1з отриманих результатiв випливае:
• у першому наближент асимптотичного розв'язку вплив зовтшнього перь одичного збурення проявляеться тшьки у резонансному випадку;
• якщо нелшшт в'язко-пружт сили можна апроксимувати ствввдношення (10), то незалежно ввд початкових умов встановлюеться динам1чний процес
1з ампл1тудою аст = 4/>/3 . Частота стационарного процесу залежить ввд швидкост1 1 з1 зростанням останньо! - зменшуеться;
• що стосуеться проходження через резонанс, то зростання швидкост руху канату призводить до зменшення резонансно! ампл1туди.
Л1тература
1. Мартинщв М.П., Сок1л Б.1., Сок1л М.Б. Хвильов1 процеси в однорщних нелшшно пружних системах 1 методи !х дослвдження// Люове господарство, люова, паперова 1 дерево-обробна промисдовiсть. - Льв1в: УкрДЛТУ. - 2003, вип. 28. - С. 81-89.
2. Митропольский Ю.А. Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений частных производных. - К.: Вища шк., 1976. - 592 с.
УДК 621.9.048.6 Здобувач Н.О. Арсиненко; проф. Б.1. Сект, д-р техн. наук;
проф. З.А. Стоцько, д-р техн. наук; доц. В.Г. Топтьшцький, канд. техн. наук - НУ "Льв1вська пол1техшка"
МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 РОБОЧОГО СЕРЕДОВИЩА В1БРАЦ1ЙНИХ МАШИН I ЙОГО ДИНАМ1КА ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМУ ЗБУРЕНН1
Запропоновано моделi робочого середовища вiбрацiйних машин з вертикаль-ним збуренням та розглянуто динамшу його руху. Отримано залежностi для визна-чення впливу фiзико-механiчних властивостей середовища на динамшу процесу.
CompetitorN.O. Arsynenko;prof. B.I. Sokil;prof. Z.A. Stotsko; assist.prof. V.G. Topilnytskyj-NU "L'vivs'kaPolitekhnika"
The mathematical models work surroundings of vibrative machines and his dynamics by vertical perturbation
The new models of fluttering machines work surroundings with vertical perturbation were proposed and the dynamics of its movement was examined. It was received the dependence to determine the influence of physical and mechanical properties of the surroundings on the dynamics of process.
Актуальшсть. Сучасш технолопчш процеси багатьох галузей промисло-восп, зокрема харчово!, вимагають застосування обладнання з високою надшшс-тю роботи i порiвняно малими енерго- i матерiаловитратами. До такого обладнання можна вщнести вiбрацiйнi машини. Сфера !х застосування достатньо широка: вiбровплив на середовище, насипнi та дисперснi системи; деформування i руйнування; адгезiя; подрiбнення матерiалiв; роздiлення гранульованого середо-вища за !х геометричними та шшими параметрами (сепарацiя) тощо.
Фiзичнi явища, пов,язанi з вiбрацiйними процесами, е досить складни-ми i рiзноманiтними - це удар, абразивне зношування, багаторазова взаемодiя оброблюваних предметiв, адгезшш явища та iн. Через широкий спектр оброб-лювальних середовищ i рiзноманiтнiсть !х фiзико-механiчних i хiмiчних влас-тивостей, неоднорiднiсть !х структури, на сьогоднiшнiй час не юнуе единого пiдходу до дослiдження i опису складних явищ, якi мають мiсце у середовищi.
Актуальним е створення методики шженерних розрахункiв i вибору параметрiв технологiчних режимiв оброблення середовища при здiйсненнi конкретно! технолопчно! операци.
Аналiз принципових схем машин з вертикальним збуренням. Пер-шi спроби математично моделювати рух робочого середовища проведет в [1], де розглянуто рух його окремо! частинки на основ^ що вiбруе. За тако! постановки залишаеться проблематичним описати мехашзми взаемоди окре-мих частинок. Для вщносно однорiдного складу середовища в [2] запропоно-вано бшьш складну модель. У цiй робот середовище моделюеться як плоска однорщна лiнiйно-пружна балка, що здiйснюе поперечш коливання. Такий пiдхiд до моделювання руху середовища узагальнено в [3-6] на бшьш широкий спектр матерiалiв, за умови, що середовище також однорщне, а зовшшне збурення спричиняе у ньому горизон-тальш коливання. У [7] середовище моделюеться слабонеоднорщними структурами за умов зовшшнього збурення, що спричиняють !х горизонтальний рух.
Для багатьох технологiчних процешв е бiльш характерним вертикальнi чи складно! форми рухи частинок середовища. Нижче розглянута динамiка середовища iз вертикальним збуренням його руху. Вiбрацiйнi машини iз вертикальним збуренням (рис. 1) менш енергозатратнi, прост^ в експлуатацi! i можуть вико-ристовуватись для багатьох технологiчний процешв харчово! промисловостi.
На рис. 1, а, б, в зображено схеми вiбромашин, як мають дебалансний привщ (вал з неврiвноваженою масою кршиться до робочого контейнера, а !! обертання зумовлюе коливний рух контейнера у вертикальному напрямку). На рис. 1, г представлено схему вiбромашини, контейнер яко! коливаеться верти-
кально за рахунок кулачкового приводу. У вiбромашинi, що зображено на рис. 1, а, коливання тiльки вздовж вертикально! ос контейнера досягаються об-межувачем руху 5 та його напрямними 4 ^зного конструктивного виконання).
а) б) в) г)
Рис. 1. Схеми вiбромашин для ущтьнення або сепараци середовища:
1 -робочий контейнер, 2 - прив1дш дебаланси, 3 - пружинна п1дв1ска, 4 - напрямш горизонтального обмежувачаруху, 5 - горизонтальний обмежувач руху зроликами,
6 - прив{дний ексцентрик (кулачок)
Така конструкщя вилучае повшстю коливання контейнера вздовж його горизонтально! ось У вiбромашинi, що зображено на рис. 1, б, шдвюка складаеться з вертикальних i горизонтальних пружин, до того ж жорстюсть горизонтальних пружин набагато бшьша за жорстюсть вертикальних, що зу-мовлюе домiнуючi вертикальш коливання порiвняно з незначними горизон-тальними. У вiбромашинi зображенiй на рис. 1, в, наявшсть двох дебалан-сних приводiв незалежних мiж собою i прикрiплених не до днища контейнера (рис. 1, а-б), а до його бокових стшок зумовлюе ушверсальшсть застосу-вання машини: при обертанш дебалансiв в одному напрямi - контейнер здiйснюе плоский рух у вертикальны площинi i машину можна використову-вати для вiбрацiйного об'емного оброблення виробiв; при обертанш дебалан-сiв однаково! маси з однаковим ексцентриситетом та кутовою швидюстю у протилежних напрямах горизонтальш складовi збурень вiд лiвого та правого дебаланшв взаемно компенсуються - контейнер рухаеться тшьки вертикально. О^м цього, наявнiсть двох незалежних дебаланЫв за рахунок перероз-подiлу ампл^уди коливань контейнера дае змогу проводити сепаращю скла-дових завантаження вiбромашини не тiльки вздовж вертикально! ос симетри контейнера, але i вздовж горизонтально! [6]. Щодо вiбромашини, схему яко! зображено на рис. 1, г, то вона може мати обмежувач горизонтальних коливань як i у вiбромашини зображенiй на схемi 1 а. Окрiм цього, замють пружинно! пiдвiски у вiбромашинах, схеми яких зображено на рис. 1, може бути й шший тип шдвюки, зокрема пневматичний.
Метою роботи е дослщження динамiчних процесiв, що мають мiсце у робочому середовишд контейнера i встановлення впливу фiзико-механiчних властивостей середовища, його структури на технолопчш фактори, що виз-начають продуктивнiсть процесу.
Моделювання руху робочого середовища. Схема вiбромашини з вертикальним збуренням представлено на рис. 2. Привщ та пружинна шдвю-ка контейнера зумовлюють коливання контейнера, а вщповщно i штенсивний рух середовища. Вважаемо середовище нашарування однорiдних пружних балок (рис. 3).
■Л7У77Т
Рис. 2. Схема вiбромашини: 1 - однорiдне оброблювальне середовище; 2 - неоднорiднi включення р1зних розмiрiв; 3 - контейнер вiбромашини; 4 - привiднi дебаланси; 5 - пружинна тдвкка
м У
х
х
с!х
X,
Рис. 3. Розрахункова модель шару середовища
Для виведення диференщального рiвняння поперечних коливань зап-ропоновано! моделi середовища розглянемо Mдинамiчну рiвновагум умовно видшеного елементу (однорщно! пружно! балки) довжиною ёх. Розподiл сил, як дiють на нього зображено на рис. 4.
Рис. 4. Схема сил, яш дтть на елемент середовища при його поперечних коливаннях:
де: Q = - поперечна сила у перер1з1 з абсцисою х; N - повздовжня "розтягуваль-
ёх
г ди ди д3и л ' д/' дх' ' дх3'
- функщя, яка ха-
на" сила; М - згинаючий момент перер1зу; q
\ ил ил у
рактеризуе сили внутр1шнього тертя, дисипативш сили, штенсившсть зовшшнього
д 2и
навантаження та ш., ёФ = т-ёХ - сила шерцп елементу умовно! балки.
д/2
Позначимо и(х, t) - вiдхилення перерiзу з координатою х вщ рiвноваж-ного положення у довшьний момент часу ^ Тодi вiдповiдно iз принципом д'Аламбера для зображеного елементу середовища маемо:
г <53,- Л
дQ
-N 6\ —— dx + N Бт62 + q дх
и,
ди ди
дt дх дх
д 3и
(х - d Ф = 0.
(1)
у
де: [ - частота зовшшнього перiодичного збурення; т - маса одинищ довжи-ни умовно!' балки.
Якщо сили опору i дисипативш сили вiдповiдають закону Болотiна, то
функщя q
ди ди д 3и
дt дх дх
q
приймае вигляд ди ди д3и
' дt ' дх ' ' дх3'^
= щ (В + В0и2 ),
у
у випадку моделi Фойгта q
и ди ди д и t
' дt ' дх ' ' дх3'
В— + Во ^
(х дxдt
(2)
(3)
Моделi нелiнiйного в'язкого тертя вдаовщае наступний вигляд указано!'
функци
q
и.
ди ди
д?' дх ' ' дх3
д3и л , ¡г
В
ди
У У д2и ^
ди \дх у
+ Во
удхдг у
(4)
У залежностях (2)-(4) В, В0 - сташ, якi носять рiзний фiзичний змiст. У випадку тшьки кiнематичного збурення (впливу руху контейнера на середовище) функцiя q (...) з достатньою точнiстю представляеться у виглядi
суми Фур'е з гармошками к^г (к = 1,2,...).
Враховуючи, що для малих коливань 6] \ 62 будуть також малими величи-
ЛМ .
ршняння (1) матиме вигляд:
. . _ ди . _ (и д2и , _
нами i бш 61 = —, бш 62 =--I--- (х, а Q
дх (х дх
д 2и д2 ^ , т д 2и т—- + —г М - N—г = q
г
дг2 дх2
дх2
ди ди
(х д 3и
, дг , дх , , дх3, Л
+ т\д (х - х1)
д 2и
~дг2
(5)
V ^ ^ у де: т] - маса одиничного неоднорщного включення, яка характеризуеться у точщ з координатою х]; 0(_) - дельта функщя Дiрака.
Якщо включень е скшченна кiлькiсть, то врахувати неоднорщшсть такого середовища можна шляхом представлення !х у виглядi скшченно! суми
^ о( ) д 2и й
^тго(х - хде т1 - маса 1-го включення; XI - координата його положен-
г=1
дг2
ня; п - кiлькiсть включень•
Для бшьшост сипких матерiалiв поздовжня розтягувальна сила вщ-сутня, тому N=0, а властивост середовища з достатньою точшстю можна ап-роксимувати нелшшним технiчним законом пружностi [8] З врахуванням вказаного вище, диференцiальне рiвняння (5) можна записати у вигляд^
д2и
дг7
д4u д4
т 1q
дu дu д3u дt дх дх3
~|2 ^ Л3 д2 д2u
дх:
дх7
+ 2 Л£(х-х1)
г=1 V
д2u д2
(6)
де: а2 = т 1Е1 (I - момент шерци умовного перерiзу, вiдносно осi, яка проходить через його центр мас; Е - модуль пружностц т - маса одинищ довжини
умовно! балки); Л = тт-1 •
Для дослiдження динамiки середовища розглянемо загальний випадок нелшшних сил, рiвняння його поперечних коливань у цьому випадку можна привести до вигляду
д 2и
дг7
д 4и
~дХ4
/
ди ди
и' д' аХ'"""" ^
+ 2 Я,3(х - Х1)
г=1
д 2ил
э2
(7)
Права частина цього рiвняння враховуе нелшшш i перiодичнi сили, а також наявшсть неоднорiдного включення. Зауважимо, принципового значен-ня для випадку декшькох неоднорiдних включень рiвняння (7) немае. Прове-демо аналiз руху середовища за припущення, що нелiнiйнi та перюдичш сили е малими порiвняно iз пружною (вiдновлювальною) силою, а маса неоднорщ-ного включення неютотно вiдрiзняеться вiд маси однорiдних частин середовища. Останне дае змогу для аналiзу руху середовища використати наближенш аналггичш методи [9], зпдно iз якими необхiдно насамперед описати рух у незбуреному (лiнiйному) середовишд, тобто побудувати розв'язок рiвняння
д2и 2 д4и
—т + а —- = 0. (8)
дг2 дх4 ^ 7
З врахуванням виду контакту завантаження i стiнок контейнера вважа-тимемо, що для диференцiальних рiвнянь (7) чи (8) повиннi виконуватися наступш крайовi умови (умови контакту середовища зi стiнами контейнера)
д 2и (х, г)
и
(х г )1х=0, =
х=е
дх 2
= 0.
(9)
х=0, х=£
де I - геометричний параметр контейнера (ширина контейнера).
Розв'язок диференщального рiвняння (8), який задовольняе наведеним крайовим умовам матиме вигляд
и
кпх
(г, х) = 2 ак Бт—— соб ( + (рк)
I
(10)
де: ак - амплггуда коливань к-о! гармошки; фк - початкова фаза коливань к-о!
к2п2
гармонiки; сок = а—---частоти власних коливань незбуреного середовища,
I
при к=1, 2, 3, ....
Наявшсть сил опору та шших дисипативних сил призводить до швид-кого згасання високочастотних коливань у середовищд i встановлення у ньому коливного процесу з одшею (у бшьшосп випадкiв першою) частотою. Отже, у дослщжуванш системi встановлюеться одночастотний режим коливань з частотою близькою до першо! (к=1) частоти коливань. Останне значно
к
полегшуе методику дослщження збуреного рiвняння (7). Використовуючи ме-тоди збурення [9], а також вказане вище, розв'язок збурено! крайово! задачi (7), (9) будемо шукати у виглядi
и
/ Ч . пх (t, х ) = a sin—cosy, y = ot + p,
í
(11)
де на вщмшу вiд незбуреного (лшшного) випадку параметри a, р будуть вже змiнними в час величинами (функцiями часу). Зауважимо, тут i нижче шдекс к, який вказуе на форму коливань, опущений. З фiзичних мiркувань випливае, що у цiй моделi середовища встановлюеться динамiчний процес, близький до одночастотного процесу незбурено! системи.
Диференцiюючи (12) за часом t, отримуемо
ди (t, х) . . пх ( . ч . пх .
—-—'- = a sin—cosy-(cy + p )a sin—siny. (12)
ди (t, х)
dt i i З урахуванням того, що для незбуреного рiвняння
dt
пх
= -ca sin—sin y, отримуемо перше диференщальне рiвняння, яке зв'язуе не-
t
вiдомi функци a (t) i р( t)
пх пх
a sin—cosy - pa sin—sin y = 0 .
Наступним диференцiюванням (12), з врахуванням (13), маемо
d2u (t, х) . . пх . / .ч . пх -—= -ca sin—sin ш -(с + p) ac sin—cos w.
dt2 i ^ V ^ i ^
(13)
(14)
З рiвняння (7), у силу сшввщношень (12)... (15), отримуемо швидкостi змши амплiтуди i фази коливань середовища для нерезонансного випадку (о ф /л)
1
а =
2п2о1 1
2п 2 п £
Ш si
пх
sin-
0 0 0 2п 2п -
f1 (х, a, ш, О) - ^ Á¡c2 sin—cos yS (х - х1)
i=1
cos ус1ус16сСх.
1 г г г . пх
р = —2— I I I sin-
2п2С J J J 0
0 0 0
f(х, a, y, 0) - 'YJУкос2 sin——cosyS(х - х\)
i=1
sin усСусСОсСх (15)
де f (х, a,w,0) = f
. пх . пх п пх
х,acos y sin—,-a® sin y sin—,—acosycos—,...,
71
v V "у
пх
a cosysin—,0
0 = /t
Якщо ж частота зовшшнього збурення близька до частоти власних коливань середовища (резонансний випадок), то амплггудно-фазова характеристика динамiчного процесу визначаеться iз системи диференщальних рiв-нянь
a
1 2П Г . nx
И. лх sin—
2nœl O O I
'' nx
fl(x, a,Y + e,e)-^Aiœ2 sin—cos (у + в)б (x - x!)
i=1 £
1 2П \ . nx
у = 0-U +- j j si
Í Í sin-
2nœl O O ^
nx
a, у + в, в)- 2 Л®2 sin—cos (y + e)¿>(x - xi)
i=l £
cos (y + e)dedx,(16) cos (y + e)dedx,
де у = у -6 - рiзниця фаз "власних" i вимушених коливань.
Таким чином, динамiчний процес у середовищi описуеться залежшс-тю (11), в якiй параметри a i у (у = at + ф) визначаються диференцiальними рiвняннями (15) - для нерезонансного випадку i диференщальними рiвняння-ми (16) - для випадку головного резонансу.
Як приклад розглянемо вимушеш коливання середовища у резонансному випадку з урахуванням нелшшно-пружних його властивостей i наяв-ност тшьки одного неоднорiдного включення. АЧХ поперечних коливань за-вантаження змiнюеться зпдно зi спiввiдношеннями
h 9 _ 2 2 2 nx1 h .
a =--cos y, Y = a-j +—р\Ю a2 -Лео sin2-+ — sin y, (17)
a 32 í aa
де: h - амплпуда зовшшнього збурення (амплiтуда коливань робочого кон-
п2
е2
тeйнepa мaшини); ¡л - чacтотa обepтaння дeбaлaнcy; со = а—— чacтоти влacниx
коливань середовища; а1 = — - фiзико-механiчна характеристика середовища.
m
Останнi формули (17) показують, що власна частота середовища зале-жить вiд його фiзико-механiчних властивостей, амплiтуди (початкового збурення), характеристики неоднордаого включення, а також його мiсця знаходження. Висновки:
1. Отримаит результати показують, що зношення оброблювальних повер-хонь у резоиаистй зот зростае.
1. Методика дослщження динам1ки середовища без особливих трудиошдв переноситься i на випадок сличено! кшькосп иеодиорщиих включень р1зно1 густини, а також методика може бути узагальнена i на випадок не-однорiдних включень скiнчених розмiрiв.
Лiтература
1. Блехман И.И., Джанелидзе Г.Ю. Нелинейные задачи теории вибротранспорта и вибросепарации. Тр. междунар. симпозиума по нелинейным колебаниям. Т.Ш. - К.: Изд-во АН УССР, 1963. - С. 41-71.
2. Субач А.П. Динамика процессов й машин объемной обработки. - Рига: Зинатне, 1991. - 140 с.
3. Стоцько З.А., Сокш Б.1., Тошльницький В.Г. Динамша робочого середовища в1б-рацшних машин об'емно'1 оброблення// Автоматизащя технолопчних процеав i виробництв у машинобудуванш i приладобудуванш: Украшський м1жвщомч. наук.-техн. зб. - 1000, № 35. -С. 16-31.
4. Stotsko Z., Sokil В., Topilnytskyj V. Das Unlinearparametrischmodell der Dreimassen-maschienen fur die Vibrationsvolumenbehandlung und ihre Streuladung// Kwartalnik Naukowo-Techniczny "Maszyny dzwigowo-transportowe" (Bytom, Poland). - 1000, № 3. - P. 50-61.
5. Стоцько З.А., Сокш Б.1., Тошльницький В.Г. Нелшшна модель руху шару середовища робочого контейнера в1брацшно'1 машини об'емно'1 оброблення вироб1в з1 змшним параметром нелшшносп// Машинознавство. - 1001, № 1. - С. 19-13.
6. Стоцько З.А., Сокш Б.1., Топ1льницький В.Г. Комплексне дослщження i моделю-вання процесу оброблення в нелiнiйнiй багатомасовш вiбрацiйнiй системi// Зб. тез 5-го сим-no3iyMy iнженерiв-механiкiв у Львова - Львiв, 16-18 травня. - 2001. - С. 90.
7. Стоцько З.А., Сокш Б.1., Арсиненко Н.О. Нелшшш моделi руху середовища оброб-лювальних вiбромашин i анал^ичш методи ïx дослiдження// Автоматизацiя технолопчних процесiв i виробництв у машинобудуванш i приладобyдyваннi: Украïнський мiжвiдомч. на-ук.-техн. зб. - 2003, № 37. - С. 81-84.
8. Каудерер Г. Нелинейная механика. - М.: ИЛ. - 1961,-777 с.
9. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища шк., 1974. - 592 с.
