CC BY
7
мiжну опору. За цим навантаженням i величиною прольоту l2 визначаемо Тпр (див. номограму).
Тпр. щ 160 80 40 0 40 80 120 160 200 Щ Ж Рис. 2. Номограма для визначення натягу канату промiжноi опори
На номограмi визначимо зусилля Тпр = 78 кН, якщо натяг несучого канату становить 80 кН, кут його перегину 10°, а довжина прольоту l2 = 40 м, а при ТН = 160к Н, а = 10°, l2 = 30 м; Тпр = 135 кН.
• 1, 2, 3, 4 - грaфiки Q = f (TH ) вiдповiдно при кутах тдходу несучого канату 5°, 10°, 15°, 20°.
• 1, 2, 3, 4 - вщповвдае вантажотдшмальносп установки 16 кН; аналопчно 1', 2', 3', 4' - вантажотдшмальносп 32 кН.
• I; II; III - графжи ТН = f (Q) вiдповiдно при довжинах прольоту l2 = 30 м; 40 м; 50 м.
Л1тература
1. Качурин В.К. Теория висящих систем. - М.-Л.: Гостехиздат, 1962. - 224 с.
2. Мартинщв М.П. Розрахунок основних елементiв пiдвiсних канатних люотранспорт-них установок. - К.: Ясмина, 1996. - 175 с.
УДК 517.9 Проф. П.М. Гащук, д-р техн. наук; астр. 1.1. Назар -
НУ "Львiвська nолiтехнiка"
ВПЛИВ 1МПУЛЬСНИХ СИЛ НА НЕЛ1Н1ЙН1 КОЛИВАННЯ ГНУЧКИХ РОБОЧИХ ЕЛЕМЕНТ1В ПРИВОДУ У РЕЗОНАНСНОМУ ВИПАДКУ
Дослщжено нелшшш коливання гнучких робочих елементiв приводу тд дieю iмпульсного збурення, частота яких близька до одше'1 iз власних частот частотного спектру гнучкого елементу приводу (так званий резонансний випадок). Гнучкий ро-бочий елемент приводу моделюеться як однорiдне одновимiрне середовище, що ру-хаеться зi сталою швидкiстю. Отримано математичнi залежносп, якi визначають за-кони змши амплiтуди й частоти коливань гнучкого робочого елементу приводу за-лежно вщ природи iмпульсних сил i нелiнiйно-пружних його характеристик.
Науковий вкник, 2007, вип. 17.7
Prof. P.M. Haschuk, post-graduate I.I. Nazar - NU "L'vivs'ka Politekhnika"
Influence of impulsive forces on nonlinear vibrations of flexible working elements of drive in resonance case
The nonlinear vibrations of flexible working elements of drive are explored under the action of impulsive indignation, frequency of which is near to one of own frequencies of frequency spectrum of flexible element of drive (so-called resonance case). The flexible working element of drive is designed as a homogeneous oncemeasurable environment which moves with permanent speed. Mathematical dependences which determine the laws of change of amplitude and frequency of vibrations of flexible working element of drive depending on nature of impulsive forces and his nonlinear-resilient descriptions are got.
Вступ: Задача про коливальш явища в приводах з гнучкими робо-чими елементами. Практично завжди експлуатащю приводiв i3 гнучкими робочими елементами супроводжують яскраво виражеш коливальш процеси, i в багатьох випадках щ процеси здатш нав^ь цшком порушувати нормальне функщонування систем з такими приводами. Коливання зумовлеш дiею на привщну систему (а подеколи-подекуди - суто на гнучкий робочий елемент) сил вщповщно! природи - перюдичних, iмпульсних (детермшованих й ви-падкових). Аналггичне дослщження впливу на коливальш процеси в приводах зазначеного штибу рiзних чинниюв (кшематичних i фiзико-мехaнiчних пaрaметрiв самого приводу та пaрaметрiв перiодичних впливiв-збурень) пов'язане iз значними математичними труднощами, оскiльки вiдсутнi точш мaтемaтичнi методи побудови розв,язкiв систем диференщальних рiвнянь, що правлять за прийнятш мaтемaтичнi моделi гнучкого робочого елементу приводу. Наявшсть у диференщальному рiвняннi змшано! похщно! за ль нiйною i часовою змiнними унеможливлюе, нaвiть у рaзi лiнiйних аналопв таких систем, застосування для дослщження перебiгу динaмiчних процесiв вiдомих класичних (Фур'е чи д'Аламбера) методiв штегрування рiвнянь з час-тинними похщними.
Нaйпростiшi моделi коливних рухомих середовищ, висунутi, скaжiмо, в [1-3], спираються на низку не дуже привабливих припущень-обмежень (що-до швидкостi руху середовища [1], щодо характеру дй зовнiшнього збурення [2] та доволi часто - щодо природи нелшшних сил взaгaлi), а це значною мь рою звужуе клас прикладних задач, де цi моделi можуть стати в нагодь
I все ж, в деяких прикладних задачах особливого змюту можна вщ-найти систему спрощень, вiдносити якi до нaдмiрних нема вагомих пiдстaв. У цьому рaзi йдеться про задачу дослщження впливу на перебiг динaмiчних процесiв в приводi з гнучким робочим елементом (на амплггудно-частотну характеристику робочого елементу): а) iмпульсних сил, частота котрих близька до одше! iз частот власного частотного спектру гнучкого робочого елементу, б) швидкос^ руху робочого елементу, в) фiзико-мехaнiчних пара-метрiв приводу.
Прийнятна модель гнучкого робочого елементу. Нехай за модель гнучкого елементу приводу може правити середовище зi сталим поперечним перерiзом та рiвномiрно розосередженою вздовж свое! довжини масою (рис. 1). I нехай це середовище рухаеться зi сталою швидюстю.
3. Технолопя та устаткування деревообробних пiдприeмств
137
У такому разi гнучкий елемент, якщо знехтувати ще i його згиналь-ною жорсткiстю, можна ототожнити з ниткою, i диференцiальне рiвняння його поперечних коливань подати у виглядi [4]
/ „ „, л
и,, + 2Уих, - (а2 - V2)ихх = л
¥(и, их, и,) + £ ¥(и, их, и,) ■ £ 5 ( - (Ь + Т)
3=1 ^
(1)
де: и(х,,) - поперечне перемщення перерiзу гнучкого елементу приводу з координатою х в довшьну мить часу V - модуль швидкост V його руху; а = Т/т - фiзико-механiчний параметр (Т - модуль натягу Т у гнучкому еле-мент приводу, т - його погонна маса); ¥(и, их, и,) - функщя, яка характеризуе пружнi властивост гнучкого елемента, дисипативнi сили i сили шшо! приро-ди; ¡- малий параметр, який вказуе на малу величину вказаних сил; 5- дельта функщя Дiрака; и + ]т - мить ди iмпульсноl сили; т- перюд ди iмпульсних чинникiв; ¥3(и, их, и1) - функщя, яка характеризуе штенсившсть iмпульсних сил. Зауважмо таке: 1. Диференщальне рiвняння (1) описуе також i поздовжш коливання гнучкого робочого елементу, але в такому разi стала а мае вщпо-вiдно iнший змют; 2. Сила ваги елементарного об'ему гнучкого елементу е малою пор1вняно ¿з окресленими вище силами { нею нехтуемо.
и
Т
х
с1х
Рис. 1. Схема гнучкого робочого елементу приводу Диференщальному рiвнянню (1) поставимо у вiдповiднiсть крайовi умови
и(х, ,)| х=0= и(х, ,)| х=1 = 0, (2)
що засвiдчують вiдсутнiсть поперечних перемщень гнучкого елементу у де-яких фжсованих точках х = 0, х = I (скажiмо, в точках дотикання гнучкого елементу до шкiвiв).
Надалi розглядатимемо лише випадок малих (порiвняно iз натягом Т) нелшшних та iмпульсних сил. Отож, права частина диференщального рiв-няння (1) е малою величиною порiвняно iз а2ихх. Для дослщження розв,язкiв цього рiвняння використаемо загальш ще! методу збурень [5] у поеднанш з методом Бубнова-Гальоркша [6]. У такому разi розв'язок рiвняння (1), що за-довольняе крайовi умови (2), е сенс представити у виглядi
и(х,,) = £ Хк (х) Тк (,),
к=1
де Хк (х) - таю функцй, що справджують крайовi умови (2): Хк (0) = Хк (I) = 0. Легко переконатись, що прийнятною в цьому сенс буде система функцш
^уковий вкник, 2GGT, вип. 1T.T
{Xk (x )} = jsin x. Oтoж, бepyчи дo yваги пoвнoтy й opтoнopмoванicть сис-
тeми фyнкцiй Xk(x), для знаxoджeння нeвiдoмиx фyнкцiй Tk(t) iз (l) пicля нecкладниx пepeтвopeнь виcнoвyeмo звичайнi дифepeнцiальнi piвняння
/ „ л
Tk (() +
' кП2
V l у
(а2 - К2)Tk(() = u
Fk(Tk, Tk) + Z Fjk(Tk, Tk) ■ Z * (t - (ti + Jt))
j=l i=l
(З)
— ll — l l l kn l
дe: Fk(Tk, Tu ) = — Í F(u, Ux, u)Xk(x) dx ; Fjk (Tk, Tk) = — Í Fj(u, ux, ut)Xk (x)dx ; p = Í sin2 —xdx = -.
p O p O O l 2
Peзoнaнcний випaдoк. Hайцiкавiшим e випадoк, кoли чаcтoта влас-ниx кoливань piвняння-мoдeлi (нeзбypeний pyx) шв'язана iз чаcтoтoю iм-
пульс^го збypeння cпiввiднoшeнням —ч/О2-К2 « q u ( r, q - взаем^ пpocтi
l r
числа); тут u = 2п /т . Зазначeнe pанiшe дае пiдcтави дифepeнцiальнe piвняння (З) кoливань гнyчкoгo poбoчoгo eлeмeнтy за дiï iмпyльcниx сил записати у виглядi
/ „ „„ л
Tk +
/ \2 f i \2 q u
V у
kn l
Tu = u
V ' У
Fk (Tk, Tk, ut) -ATk + Z Fjk (Tk, "Tk, ut) ■ Z * (t - (ti + jt) )
' k_n2
V l У
(а2 - К2) ■
j=i 2
' q u
V r У
i=l
+ UA,
(4)
дe U - poзбaлaнcyвaння.
Ha вщмшу вiд дифepeнцiaльнoгo piвняння (l), шбудувати i дocлiдити poзв,язoк piвняння (4) значш пpocтiшe. Зoкpeмa, мoжнa ви^ри^та™ асим-птoтичний мeтoд нeлiнiйнoï мexaнiки [V] чи мeтoд Вaн-дep-Пoля [S, 9].
Meтoд Baн-дeр-Пoля. Зyпинiмocь на мeтoдi Вaн-дep-Пoля, який е нaйпpocтiшим i дoвoлi зручним для iнжeнepниx дocлiджeнь. Вiдпoвiднo дo
ньoгo, зам^ю змiнниx Tk(t) = akcosyk, Tk(t) = -akqu sin yk, y/k = — ut + ek, piв-
rr
няння звoдитьcя дo cиcтeми звичайнж дифepeнцiaльниx piвнянь вiднocнo нoвиx змшнж ak i ek :
fr \
q
ru
ak = - sin yk — qu
Fk
V
/
+Z Fjk j=l
ek = - cos y/k
q
ak cos yk - au—sin yk r
m
q
Aa—ucosyk +
q
ak cos yk - au—sin y/k
V r у
Z*(t-(ti + jt))
i=l
ru
aqu
n
+ Z Fjk
r _r
Fk
VV
q ■
akcosyk -au—sinyk r
q
- Aa—ucosyk +
У
j=l
V
q \m
ak cos yk - au—sin yk r
Л m
, Z*(t-(ti + jt))
Ji=l
(S)
3. Teхнoлoгiя тa ycтaткyвaння дeрeвooбрoбних пiдприeмcтв
1З9
Вважаючи, що F (u, ux, ut ) i Fj (u, ux, ut ) - многочлени, представимо функци Fk(ak cos^k -aœk sin^k) i Fjk(ak cos^k -aa>k sin^k) У виглядi сум:
sin y/kFk (u, Ux, ut ) = F/o (a) + £ (Fы (a) sin пщ + F^ (a) cos пщ ),
п
sin ц/kFjk ( u, ux, ut ) = Fjko ( a ) + £ ( F% ( a ) sin пщ + F'м ( a ) cos пщ ),
п
cos y/kFk (u, ux, ut ) = F ko ( a ) + £ ( F; ( a ) sin пщ + F; ( a ) cos пщ ),
п
cos ц/kFjk (u, ux, ut ) = Ffko (a) + £ (F% (a) sin + F^ (a) cos ).
п
Використовуючи властивост ô-функци Дiрака
f ( t )S( t ) = f ( o )S( t ), £S(t - jt) = u
— + £ cos jut
j=—
j S(t)dt =
1 при t > o, o при t < o,
OTCTeMi диференщальних рiвнянь (5) шсля усереднення [Ю] можна надати вигляду
dak
/r
dt 2nuq
Fio (a) + £ Fko (a) + £ £(( (a) cosп(r0 + kut,) + j (a)sinп(0 + kut,)) I |,
j v
п=1 k=1
ddk иr и
dt 2qu aqu
Fko(a) + £ Fko(a) + ££(((a)sinп(r0 + kut,)+ j(a)cosп(0 + kut,)) | I.
v j V п=— k=1 JJ
Приклад. Розгляньмо поперечнi коливання гнучкого робочого елементу приводу за умови, що мат сили тертя й опору пропорцшш швидкостi руху гнучкого елементу приводу, а iмпульснi сили пропорцшш величин (Äu + yu3), а отже - вiдхиленню вщ рiвноважного положення:
utt + 2Vuxt - (а2 - V2)uxx = и
/ \ (Äu + yu 3)-££s(t-( + jz))-ßut
j=— i=—
У першому наближеннi одночастотнi коливання такого гнучкого елементу за крайових умов (2) можна записати у виглядi
u(x,t) = a(t)cos Vqt + 0(t) V 2
л
y
де a ( t ) i 0( t ) пов'язаш сшввщношеннями
a =
ßa a ( 2Ä + ya2 ) f .
n
sin20 + sinI 20 + q 2nq V v 2
ya 8nq
1 + (-1)q ) sin 40
«2-fqv
0 = ■
qv
и
f 4Ä + 3ya2 Ä + ya2 f
4nq
2nq
n
cos20 + cosI 20 + q—
ya 8nq\
Л
cos40
На рис. 2 вщображено приклади змiни в часi амплггудно1 характеристики коливань при рiзних сталих швидкостях руху гнучкого елементу приводу.
14o
Зб1рмик' науково-технiчних праць
Науковий вкник, 2007, вип. 17.7
a(f), мм
V 22 м/с
2
1
Рис. 2. Змта з часом амплШудноХ характеристики резонансних коливань гнучкого робочого елементу
о
2
3
4 t, с 5
Резюме. 1з отриманих результат випливае таке:
1) незмштсть швидкост руху гнучкого елементу приводу сприяе змен-шенню частоти його коливань;
2) зростання швидкост V руху гнучкого робочого елементу приводу зага-лом веде до збшьшення резонансного значення ампттуди; зокрема, при V = 22 м/с резонансна амплггуда на 28 % перевищуе резонансну амплггу-ду при V = 10 м/с;
3) наявтсть 1мпульсних сил призводить до змши резонансно! амплиуди { фази в момент !х д11;
4) нелшшт сили впливають на форму хвиль { !х поширення;
5) вплив ф1зико-мехатчних параметр1в гнучкого елементу приводу е ютотним; зокрема, збшьшення його натягу зменшуе величину резонансно! амплпуди
1. Боженко М.В., Слшчук А.М. Вплив повздовжнього руху на нелiнiйнi nonepe4Hi коли-вання пружних одновимiрних систем// Вюник НУ мЛьвiвська полiтехнiкам: Динамiка, мщнють та проектування машин та припадав. - Львiв: НУ мЛьвiвська пол^ехтка", 2005, № 509. - С. 25-30.
2. Назар 1.1., Сок1л Б.1. Метод Ван-дер-Поля у дослщженш перiодичних збурень рухо-мих одновишрних систем// Вiсник НУ "Львiвська пол^ехшка": Оптимiзацiя виробничих про-цесiв i технiчний контроль у машинобудуваннi та приладобудуванш. - Львiв: НУ "Львiвська полiтехнiка". - 2006, № 560. - С. 71-75.
3. Слшчук А.М. НелЫйш поперечт коливання пружно! рухомо! балки// Вiсник НУ "Львiвська полiтехнiка": "Оптимiзацiя виробничих процесiв i технiчний контроль у машинобу-дуванш та приладобудуваннi". - Львiв: НУ "Львiвська полiтехнiка". - 2004, № 515. - С. 47-51.
4. Доценко П.Д. Колебание и устойчивость движущейся полосы// Машиноведение, 1969, № 5. - С. 18-24.
5. Найфе А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
6. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки// Вестник инженеров техников. - 1915, № 19. - С. 23-32.
7. Боголюбов Н.Н., Митропольський Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 501 с.
8. Казакевич В.В. Приближенный метод исследования некоторых типов сильно нелинейных систем// Тр. Междунар. симпозиума по нелинейным колебаниям. - К.: Наук. думка. -1963, т. 1. - С. 226-252.
9. Wan der Pol. A Teory of the Amplitude of Free and Forced Triode Vibrations// Radio Review, 1920, № 1.
10. Митропольський Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. - К.: Наук. думка, 1972. - С. 440. _
Л^ература
3. Технология та устаткування деревообробних шдприемств
141
