Методика дослідження впливу видовження гнучких елементів систем приводу на їх поперечні коливання Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.847.2 Здобувач Х.1. Лщинська - НУ ""Львiвська полшехмка "

МЕТОДИКА ДОСЛ1ДЖЕННЯ ВПЛИВУ ВИДОВЖЕННЯ ГНУЧКИХ ЕЛЕМЕНТ1В СИСТЕМ ПРИВОДУ НА IX ПОПЕРЕЧН1 КОЛИВАННЯ

Запропоновано методику дослщження поперечних коливань гнучких елементiв систем приводу, яка базуеться на ще'1 використання перiодичних Ateb-функцiй для побудови розв'язюв звичайних диференцiальних рiвнянь i3 степеневою нелiнiйнiстю. Отримано спiввiдношення, яю визначають вплив поздовжньо! швидкостi руху та фь зико-механiчних характеристик гнучких систем на ампл^дно-частотну характеристику поперечних коливань.

Ключов1 слова: нелiнiйнi коливання, амплiтуда, частота.

CompetitorK.I. Lishchynska -NU "L'vivs'kaPolitekhnika"

A method of research of agency of an elongation of flexible devices of systems of a drive on their transverse oscillations

The method of research of transverse oscillations of flexible devices of systems of a drive, which is based on the idea of the use of periodic Ateb-functions for the construction of solutions of the usual differential equations with degree nonlinearity, is offered. It is obtained relations, which define agency of a longitudinal velocity of motion and physicomec-hanical performances of flexible systems on the amplitude-frequency characteristic of transverse oscillations.

Keywords: nonlinear oscillations, amplitude, frequency.

Актуальшсть. Важливою проблемою аналогичного дослщження поперечних коливань гнучких елеменлв систем приводу (канатних витяпв, ре-мшних, ланцюгових чи пасових передач) е вивчення впливу пружних характеристик матер1алу гнучких елеменлв, швидкост поздовжнього руху на ди-намжу процесу. Таю задач! за квазштйно! постановки розглянуто, наприк-лад, в [1-5]. Зокрема, у [1-3] розроблено методику дослщження впливу швид-кост поздовжнього руху на поперечш (поздовжш) 1х коливання (без ураху-вання видовження), у [4-5] розглянуто задачу про вплив видовження матерь алу на ампл1тудно-частотну характеристику коливань. Водночас, пружш характеристики вказано! низки гнучких елемент1в систем приводу мають ч1тко виражений нелшшний характер. Тому, лшшш чи квазшншт розрахунков1 математичш модел1 не завжди адекватш процесу.

Метою роботи е розроблення методики дослщження впливу нель ншно пружних характеристик широкого спектру матер1ал1в гнучких елемен-т1в привод1в, а також поздовжньо! швидкост 1х руху на основш характеристики поперечних коливань.

Основна частина. Для дослщження впливу видовження гнучких еле-менлв, матер1ал яких задовольняе сильно нелшшному закону пружносл, та швидкост поздовжнього руху на поперечш 1х коливання, опишемо динам1ч-ний процес у таких системах за допомогою р1внянь з частинними похщними. Моделюватимемо 1х пружним одновим1рним тшом. Пружш властивост його матер1алу описуються залежшстю

а = Esv+1 +»f (е,е), (1)

Науковий вкник НЛТУ УкраТни. - 2009. - Вип. 19.1

де: а,е - вiдповiдно напруження i вщносна деформацiя, Е,у, л - сташ, при-

чому у +1 = (2т + 1)(2п +1) 1 ( т, п = 0,1,2,...), f (е,е) - анаштична функцiя, яка характеризуе вiдхилення пружних властивостей матерiалу гнучкого елементу вщ степеневого закону, а параметр л << 1 вказуе на незначну величину ос-таннього. Вважатимемо, що ¥ - сила натягу в перерiзi гнучкого тiла з координатою х; р - маса його одинищ довжини. Для описання положення гнучкого елементу виберемо нерухому систему координат XOY, вюь OX котро! зб^аеться iз недеформованим його станом (положенням) i и (х, t) - поперечне

вщхилення перерiзу гнучкого елементу з координатою х у довшьний момент часу t (рис. 1).

Рис. 1. Розрахункова модель i схема сил, як дЮть на гнучкий елемент системи приводу

З врахуванням коливань гнучкого тша, елемент довжиною йх змшить свою величину на Айх, яка дорiвнюе

„2

Adx = dx - dx cos p « dx —.

2

(2)

Для малих поперечних коливань справедливе сшввщношення

ди . _. , Adx

— = tgp = sin p = p. Вщносна ж деформащя s =- гнучкого елементу

dx dx

вздовж вше! його довжини е незмiнною величиною, адже величина сили натягу у ньому е незмшною. Повне видовження гнучкого елементу при поперечних його коливаннях знаходиться вщповщно до формули

Al = -Г

2

z 0

i l Г я ^ 1 \ д и

д x

d x.

(3)

Додатковий натяг гнучкого елементу А¥, що зумовлений його видов-женням, у випадку, коли матерiал його задовольняе сильно нелiнiйному закону пружност (1), знаходимо вiдповiдно до залежност

AF = ES

L г (di 2l 0 Idx,

v +1

dx

+ M f

l (ди d 2u ^

v дx дxдt j

dx

(4)

З врахуванням вказаного, спiввiдношення, яке виражае умову "дина-мiчноl рiвноваги" видiленого елемента, набувае вигляду

d и

ди

р—- dx = (F + AF ) dt2 V ' дк

-(F + AF )

x+dx

(5)

x

Беручи до уваги, що

ди дх

ди

х+с1х дх

д 2и ~дх2

Сх.

iз (5) отримуемо

С 2и

л2 =

£ + Е£.

Р Р

2/ 2 0

2

ди

кдх у

V +1

Сх

/

+ М 7 0

ди д2и

дх' дxдt

Сх

д и дх2

= 0.

(6)

Для випадку, коли гнучкий елемент рухаеться вздовж ос ОХ зi ста.. С . .. С2 лою швидкiстю V, символи першо1 — i друго1 похiдноl за часом —2 визнача-

С Сг

ються залежностями

С тг д д С2 ~ д2ТГ д2 д2

— = V — + —, —т = V2 — + 2У-+ —

^ дх дt Л2 дх2 дxдt дt2

Це дае змогу диференщальне рiвняння (6) записати у виглядi

(7)

д 2и

дt2

/ / Р0

V2-И| 7

ди д 2и ^ , Е8 Сх--

^дх дxдt

Р

2'

^ и2

дх

Сх

0

V+1

£ Р

д 2и + 2V = 0.

дх2

дxдt

Для рiвняння (8) будемо розглядати крайовi умови

и

(х, t)|х=0 = и (х, t)| х=1 = 0.

(8)

(9)

якi еквiвалентнi умовам вiдсутностi поперечного перемщення рухомого гнучкого елементу у двох фшсованих точках. Легко переконатись, що для

системи функцш {Хк (х )}=<81п хмають мiсце спiввiдношення

Хк (0) = Хк (1 ) = 0. А це, вщповщно до методу Бубнова-Гальоркша [6], дае змогу подати перше наближення розв'язку крайово! задачi (8), (9) у виглядi

и (х, ^ = Хк (х) Гк (^, (10)

де: Тк ^) - невiдомi функцп. Зi врахуванням повноти i ортонормованостi системи функцш для лшшно! змшно!, тобто {Хк (х)}, iз (9) для знаходження функци Тк ^) отримуемо звичайне сильно нелшшне диференцiальне рiвняння (нижче шдекс к будемо опускати)

2

де а =

Е8

2р

кп

Т + а2Т 2у+3

\2^+4

I

I

£ - V 2

чР У 2 1 /

Т + м/ (Т, Т),

(11)

. кп 7

81И-хСх

I

,7(т,г)=-Рк-П\\/\ди д2"

Р Ч 1 У 0

Накладемо деякi обмеження щодо величини швидкостi поздовжнього руху та сили натягу, а саме: розглянемо випадок £ / р- V2 □ а2. Це дае змогу для побудови розв'язку рiвняння (11) використати перюдичш А1еЬ-функци

Науковий вкиик НЛТУ УкраТни. - 2009. - Вип. 19.1

[7, 8]: невщому функщю T ( t ) для шуканого наближення можна представити у виглядi

T (t) = a ( t ) ca ( 2v + 3,1, у (t)), (12)

де параметри a i у як функцiï часу визначаються системою звичайних дифе-ренцiальних piB^m

2П_(

а

ц —( 1 1

-j f I aca (2v + 3,1, у),--aœ(a )sa ((2v + 3,у) sa ((2v + 3,у)у;

2П V v + 2 )

V

& = ay/v + 2n-1av+1 + b

F

\

--V2

vP )

+

(13)

ц(у + 2 )2П_( ! 1

+--j f I aca(2v + 3,1, у),--aœ(a)a (1,2V + 3,у) \ca(2v + 3,1,у)у

в яких co( a } = a\Jv + 2П 1av+1, П = 4жГ

/

1

л

-1

1

1

л

b = 2у[ж

v + 2

nœ(a )

— +

v 2v + 4 ) V 2 2v + 4 )

3 л

( 3 ( 1

V ' У

-1 -+ V 2v + 4 ) V 2 2v + 4 )

Розглянемо окремий випадок нелшшно пружних характеристик мате-pi^y гнучких елементiв, а саме f (s,è ) = 0. Для нього амплггуда коливань е

незмiнною величиною, а частота визначаеться залежшстю

Q = Wv + 2n-1av+1 +b

F

\

(14)

--V2

vP )

На рис. 2-4 подано залежностг частоти власних коливань гнучкого елементу вщ параметра v (рис. 2); частоти вщ амплггуди коливань за piзних значень параметра v (рис. 3); частоти вщ швидкост руху гнучкого елементу (рис. 4).

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Висновки. Представлеш за-лежностi показують:

• по-перше, зростання поздовжньо'1 швидкост руху гнучкого елементу спричиняе зменшення власно'1 час-тоти поперечних коливань;

• по-друге, нехтування видовженнями гнучких елемент1в систем приводу при !х поперечних коливаннях приз-водить до занижених значень влас-них частот;

• по-трете, 1з зростанням ампл1туди коливань власна частота поперечних коливань гнучких елеменпв зростае.

Представлену методику мож-на узагальнити i на випадок неав-тономних систем.

Л1тература

1. Мартинщв М.П., Сок1л Б.1., Сокш М.Б. Хвильов1 процеси в однорщних нелшшно пружних системах 1 методи !х дослщження // Люове господарство, люова, паперова 1 дерево-обробна промисловють : м1жвщ. наук.-техн. зб. - Льв1в : УкрДЛТУ. - 2003. - Вип. 28. - С. 81-89.

2. Мартинщв М.П., Сокш М.Б. Одне узагальнення методу Д'аламбера для систем, яю характеризуються поздовжшм рухом // Науковий вюник УкрДЛТУ : зб. наук.-техн. праць. -Льв1в : УкрДЛТУ. - 2003. - Вип. 13.4. - С. 64-67.

3. Харченко С.В., Сокш М.Б. Вимушеш коливання рухомих середовищ 1 асимптотич-ний метод у !х дослщженш // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Льв1в : НЛТУ Украши. - 2006. - Вип. 16.1. - С. 134-139.

4. Доценко П. Д. Колебание и устойчивость движущейся полосы // Машиноведение. -1969. - № 5. - С. 18-24.

5. Слшчук А.М. Нелшшш поперечш коливання пружного рухомого канату 1 методи !х дослщження // Люове господарство, люова, паперова 1 деревообробна промисловють : м1жвщ. наук.-техн. зб. - Льв1в : УкрДЛТУ, 2003. - Вип. 28. - С. 89-94.

6. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки // Вестник инженеров техников. - 1915. - № 19.

- С. 23-32.

7. Сеник П.М. Про МеЬ-функци // Доповвд АН УРСР. - 1968. - № 1. - С. 23-26.

8. Сеник П.М. Обернення неповно'1 Ве1а-функци // Украшський математичний журнал.

- 1969. - 21. - № 3. - С. 325-333.

УДК [004.451]:621.7.01 Доц. Ю.1. Грицюк, канд. техн. наук -

НЛТУ Украти, м. Львiв

СТРУКТУРНО-ФУНКЩОНАЛЬНИЙ АНАЛ1З ТЕХНОЛОГ1ЧНОГО ПРОЦЕСУ РОЗКРОЮ ПЛИТНИХ ДЕРЕВНИХ МАТЕР1АЛ1В

Розглянуто структурно-функщональний анал1з (СФА) технологичного процесу (ТП) розкрою плитних деревних матер1ал1в (ПДМ) як складно! 1ерарх1чно'1 системи, який е основою для його розроблення (проектування та експериментального випро-бування) або перев1рки ращональносп наявного. За результатами СФА вщбуваеться