Згинні коливання гнучких елементів систем приводів і структура розв'язку їх математичних моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.111 Асист. М.Б. Сокл, канд. техн. наук -

НУ "Львгвська полгтехтка "

ЗГИНН1 КОЛИВАННЯ ГНУЧКИХ ЕЛЕМЕНТ1В СИСТЕМ ПРИВОД1В I СТРУКТУРА РОЗВ'ЯЗКУ IX МАТЕМАТИЧНИХ

МОДЕЛЕЙ

Запропоновано методику дослщження згинних коливань гнучких елеменпв систем приводу з урахуванням !х поздовжньо! швидкостi руху. В II основу покладе-но узагальнення принципу Д'Аламбера на новi класи динамiчних систем.

Ключовг слова: згиннi коливання, ампл^уда, частота, принцип Д'Аламбера.

Актуальшсть 1 огляд основних результат1в. Дослщження динам1ч-них процешв у гнучких пружних середовищах, як характеризуються поздов-жшм рухом, в останш десятил1ття набуло нового 1мпульсу розвитку [1-5] у зв'язку з1 зростанням швидкостей р1зномаштних технолопчних процешв 1 широким використанням гнучких елеменпв привод1в у р1зних галузях народного господарства. У бшьшосп випадюв розглядали процеси у гнучких еле-ментах за найпроспших математичних моделей: одновим1рних чи двовим1р-них за певних обмежень щодо кшематичних параметр1в руху [3], природи дь ючих сил [4-6] та ш. Т чи шш1 обмеження щодо швидкост руху, ф1зико-ме-хашчних властивостей чи крайових умов рухомого середовища та побудова на 1х баз1 математичних моделей пов'язаш з можливютю застосування аналь тичних метод1в для дослщження вщповщних диференщальних р1внянь. Од-нак спрощеш модел1 не завжди адекватш динам1чному процесу. Так, нехту-вання поздовжшм рухом чи навпъ геометричними параметрами гнучкого середовища ютотно впливае на основш характеристики динам1чного процесу [7], зокрема частоту поздовжшх чи поперечних коливань; лшеаризащя мате-матично1 модел1 - не дае змоги пояснити щлу низку особливостей при прохо-дженш системи через резонанс [4]. Нижче, розвиваючи основну щею роботи [7], зроблено спробу виршити деяю питання з наявних проблем, а саме: ощ-нити вплив швидкосп поздовжнього руху та параметр1в жорсткосп гнучких елеменпв на основш характеристики динам1чного процесу лшшно! матема-тично! модел1 процесу за дещо " нестрогих" крайових умов.

Постановка задач1 1 методика 11 розв'язування. Математичною мо-деллю згинних коливань одновим1рного гнучкого однорщного пружного середовища, яке рухаеться вздовж свое! недеформовано! геометрично! ос з1 сталою швидюстю V у змшних Ейлера [8], е диференщальне р1вняння [6, 9]

ми + 2Vuxt - (а2 - V2)ыхх + в2иш = 0, (1)

де: и (х,г) - перемщення перер1зу середовища з координатою х у довшьний момент часу г у напрямку, перпендикулярному до недеформовано! його осц а, в - стал1, як виражаються через ф1зико-мехашчш параметри середовища: а2 = Т / р (Т - статична сила натягу, р - погонна маса); в2 = Е1 / р (Е - модуль пружносп, I - момент шерцп поперечного перер1зу вщносно недеформовано! ос1). Для р1вняння (1) будемо розглядати крайов1 умови

и (х, г )| = . = 0, (2 а) чи их(х,г)| = . = 0,. = 0,1, (2 б)

х=. 'х=.

144

Збiрник науково-технiчних праць

Науковий вкник 11.1ТУ Укра'1'ни. - 2012. - Вип. 22.1

яю вщповщають безвiдривному контакту гнучкого елементу i3 повiдним i та веденим шювами (крайовi умови (2)), чи сходження та входження його з ос-таншх вздовж горизонтальних дотичних.

Отже, метою роботи е знаходження структури розв'язку рiвняння (1) за крайових умов (2 а) чи (2 б) та отримання анаттичних залежностей, mi дають змогу оцiнити вплив юнематичних та фiзико-механiчних параметрiв на дина-мiку процесу. Легко переконатись, що застосувати вiдомi класичнi методи Фур'е чи Д'Аламбера для побудови розв'язку рiвняння (1) не вдаеться. Тому узагальнюючи основну iдею роботи [7] на розглядуваш задач^ 1х розв'язок бу-демо шукати у виглядi накладання прямо1 та вщбито1 хвиль рiзних довжин, але однакових частот. Треба зауважити, вказане е чи не одним iз можливих шляхiв описання динамiчного процесу систем, яю характеризуються пос-тiйною складовою швидкостi поздовжнього руху. Тобто, якщо пряма i вiдбита хвилi в однорщних iдеально пружних середовищах скшчено! довжини iз не-рухомими юнцями мають однаковi довжини, то дещо iншi явища спостер^а-ються у середовищах, яю характеризуються поздовжнiм рухом. Навиь стала швидкiсть руху середовища приводить до змiни довжини вщбито! хвилi по-рiвняно з прямою, а за значних 11 величин може бути явище самозахоплення, навпъ зрив коливань. Таким чином, для розглядуваного класу динамiчних систем пропонуемо враховувати вплив поздовжнього руху гнучких елементiв шляхом представлення одночастотного розв'язку рiвняння (1) у вигл_вд

u(х,t) = Qcos(кх + at + p) + C2cos(%x-at + y), (3)

де: p,y- початковi фази прямо1 i вщбито! хвиль, к,x,a- 1х хвильовi числа та частота, C1, C2- сталi (амплiтуда прямо1 та вщбито! хвиль). Представлення (3) буде задовольняти диференщальне рiвняння (1), якщо хвильовi числа пря-мо1 та вщбито! хвиль зв'язанi iз 1х частою дисперсiйними спiввiдношеннями:

a2-(а2 - V 2 )к2-р2кА + 2Va = 0, a2-(а2 - V2)/2-р2%А - 2V %ю = 0. (4)

Наведене дисперсшне стввщношення визначае зв'язок мiж хвильови-ми числами вказаних хвиль та 1х частотою у виглядi

a = 0,5 (k-x)V(в2 (х2 + к2) + а2 - V2). (5)

Одночасно iз (3) та крайових умов (2) випливае C1 cos (at + p) + C2cos (-at + y) = 0, C1 cos (kI + at + p) + C2cos (%l -at +y) = 0. (6)

Наведенi системи тригонометричних рiвнянь будуть виконуватись для довiльного значення параметра t, якщо невiдомi величини р,/,к, х зв'язанi спiввiдношеннями к + х = 2kn /1, Q = -C2 = a та p = -ф . У сукупносп наведене та дисперсшш спiввiдношення визначають основнi параметри хвиль. Пос-тупаючи подiбним чином, яю для крайових умов (2), для випадку крайових умов (3) маемо: C1 = (х/ k)C2 = a, р = -ф, к + х = 2kn /1, а iз урахуванням ль нiйностi розглядуваних математичних моделей - можна записати також i стввщношення, якi визначають багаточастотний процес у середовищь

3. Технология та устаткування лiсовиробничого комплексу

145

Нижче на рис. 1, а та рис. 1, б представлен залежносп вщ швидкостi гнучких елементiв частоти коливань та хвильових чисел за рiзних значень згинно! жорсткостi.

жорсткостей

Висновки. Отримаш аналiтичнi та представленi на !х основi графiчнi залежностi показують: 1). Не тiльки швидкiсть поздовжнього руху, але й згинна жорстюсть гнучких елементiв iстотно впливають на частоту !х влас-них коливань, причому iз збiльшенням останньо! частота власних коливань

зростае; 2). За швидкосп поздовжнього руху V = ^«2-(к2 + х2) проходить

зрив згинних коливань гнучких елеменпв, а за швидкостей поздовжнього руху, для яких х< 0, вщбуваеться самозахоплення вщбито! хвилц 3). Основш ще! наведеного вище слугуватимуть базою для подальших дослiджень дина-мiчних процесiв у гнучких елементах систем приводiв.

Л1тература

1. Chen L-Q Analysis and Control of Transverse Vibrations of Axially Moving Strings / Chen L-Q // Appl. Mech. Rev., March 2005. - Vol. 58.2. - P. 91-116.

2. Lixin Z. Dynamic analysis of viscoelastic serpentine belt drive systems / Zhang Lixin. - Kanada : Department of Mechanical and Industrial Engineering University of Toronto, 1999. - 349 p.

3. Союл Б.1. Перюдичш Ateb-функци у дослщженш коливань сильно нелшшних рухо-мих середовищ / Б.1. Сокiл, Х.1. Лiщинська // Науковий вюник НЛТУ Укра!ни : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Укра!ни. - 2005. - Вип. 15.4. - С. 96-101. 3.

4. Харченко С.В. Вимушеш коливання рухомих середовищ i асимптотичний метод у !х дослiдженнi / С.В Харченко, М.Б. Сокш // Науковий вюник НЛТУ Укра!ни : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Укра!ни. - 2006. - Вип. 16.1. - С. 134-139.

5. Союл М.Б. Нелшшш моделi рухомих середовищ i аналiтичнi методи дослщження !х коливних процесiв / М.Б. Сокш // Вюник Хмельницького нащонального ушверситету : наук. журнал. - Сер.: Екож^чш науки. - Хмельницький. - 2006. - № 3. - С. 62-65.

6. Калиняк М.1. Вiльнi поперечнi коливання одного класу систем з урахуванням недос-конало! пружностi матерiалу / М.1. Калиняк, А.Ф. Барвiнський // Доповда АН УРСР, 1977. -№ 5. - С. 435-439.

7. Мартинщв М.П. Одне узагальнення методу Д'аламбера для систем, яга характеризуются поздовжнiм рухом / М.П. Мартинщв, М.Б. Союл // Науковий вюник УкрДЛТУ : зб. на-ук.-техн. праць. - Львiв : Вид-во УкрДЛТУ. - 2003. - Вип. 13.4. - С. 64-67.

8. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. -М. : Главная редакция физ.-мат. л-ры, 1972. - С. 27-28.

146

Збiрник науково-техшчних праць

Науковий вкник 11.1ТУ Украши. - 2012. - Вип. 22.1

9. Барвшський А.Ф. Поперечш коливання рухомого стержня з врахуванням недоскона-ло1 пружносп матерiалу / А.Ф. Барвiнський // Вюник Нацiонального унiверситету "Львiвська полггехнжа". - Сер.: Математика i механiка. - Львiв : Вид-во НУ "Львiвська полiтехнiка", 1975. - № 106. - С. 9-13.

Сокил М.Б. Изгибные колебания гибких элементов систем привода и структура решения их математической модели

Предложена методика исследования изгибных колебаний гибких элементов систем привода с учетом продольной скорости их движения. В ее основу положено обобщение принципа Д'Аламбера на новые классы динамических систем.

Ключевые слова: изгибные колебания, амплитуда, частота, принцип Д'Аламбера.

Sokil М.В. Bending oscillations of flexible elements of systems of the drive and structure of the solution of their mathematical model

It is offered a technique of research of bending oscillations of flexible elements of systems of a drive taking into account longitudinal speed of their motion. In its basis generalisation principle D'Alembert on new classes of dynamic systems is necessary.

Keywords: bending fluctuations, amplitude, frequency, the D'Alamber's principle.

3. Технолопя та устаткування лковиробничого комплексу

147