CC BY
9
На завершення треба вiдзначити, як окремий випадок i3 викладеного, при v=0, V=0 отримаемо результати, якi стосуються нерухомих квазшншних середовищ [3].
Л1тература
1. Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - М.: Наука, 1974. - 501 с.
3. Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: ВШ, 1974. - 592 с.
4. Сеник П.М. Обернення неповно! Beta-функцп// Укр. мат. журн. - 1969. - 21, № 3. -С. 325-333.
5. Сокил Б.И. Об асимптотических разложениях краевой задачи для одного нелинейного уравнения с частными производными// Укр. мат. журн. - 1982. - 34, № 6. - С. 803-805.
6. Wan der Pol. A Theory of the Amplitude of Free and Forced Triode Vibrations// Radio Review, 1920, № 1. _
УДК 534.111 Проф. €.В. Харченко, д-р техн. наук;
acnip. М.Б. СокЬл - НУ "Льв1вська Пол1техшка"
ВПЛИВ СПОСОБУ ЗАКР1ПЛЕННЯ НА КОЛИВАННЯ ОДНОГО КЛАСУ РУХОМИХ ОДНОВИМ1РНИХ СЕРЕДОВИЩ
Дослщжуемо вплив способу закршлення (крайових умов) на коливання одного класу рухомих одновимiрних середовищ. В !х основу покладено принцип одночас-тотносп коливань нелшшних систем iз багатьма ступенями вшьносп i розподшени-ми параметрами та узагальнення методу Д'Аламбера на крайовi задач^ як описують динамiчнi процеси розглядуваних середовищ. Останне дае змогу отримати залежнос-т для визначення частоти процесу, а також хвильовi числа прямо!' i зворотно'1 хвиль.
Prof. Ye.V. Kharchenko;post-graduateM.B. Sokil-NU "L'vivs'kaPolitekhnika"
Influence of method of fixing on oscillation one to the class of mobile
homogenous environments
Influence of method of fixing (regional terms) is explored on oscillation of one class of mobile homogeneous environments. In their basis principle is fixed the same thing to frequency of vibrations of the nonlinear systems with many degrees of liberty and generalization of method d'Alembert is fixed on regional tasks which describe the dynamic processes of the examined environments. The last allows toget dependences for determination of frequency of wave process, and also number of direct and reverse waves.
Актуальшсть i постановка задачь Аналггичне дослщження динам1ч-них процеЫв, що мають м1сце у нелшшних системах is розподшеними параметрами пов'язане 1з значними труднощами насамперед через вщсутшсть ма-тематичного апарату побудови розв'язюв крайових задач для диференщаль-них р1внянь з частинними похщними, яю описують щ процеси. У випадку малих за величиною нелшшних сил (так званих квазшншних систем) дослщ-ження у багатьох випадках можна проводити на основ! метод1в збурень [1]. Що стосуеться рухомих систем, то проблема ютотно ускладнюеться, адже на-в1ть для !х лшшних аналопв не можна застосувати таю вщом1 класичш мето-ди побудови розв'язюв р1внянь з частинними похщними як метод д'Аламбера
80
Збiрник науково-технiчних праць
Науковий ¡¡¡сник, 2006, вип. 16.7
та Фур'е. Проте, для деяких клаЫв рухомих лiнiйних одновимiрних систем за найпростших крайових умов, у [2] вдалось описати одно- та багаточастотш !х коливання. У данiй статтi, розвиваючи основну iдею ще! роботи, проведено спробу розробити методику дослщження динамiчних процесiв рухомих одновимiрних систем за бiльш складних крайових умов. Таким чином, метою роботи е розробити аналiтичний метод дослщження динамiчного процесу рухомих одновимiрних систем, математичними моделями яких е диференщаль-не рiвняння
Utt + 2puxt -a1uxx = 0 (1)
за крайових умов
[x(x, t) + fru(x, t) ]x=0 = 0, (2)
[ux(x, t) + ви(х, t) ] |x= = 0, (3)
де a, в, ai, a2, Д, p2 - сталi.
Вщзначимо, диференцiальне рiвняння (1) описуе динамiчнi процеси широкого спектру одновимiрних систем, зокрема, поперечш коливання канату (нитки), який рухаеться вздовж недеформовано! ос iз сталою швидкiстю, поздовжш коливання рухомого стрижня, крутильнi коливання вала, який обертаеться iз сталою кутовою швидкiстю й iн., тому побудова i дослщження розв'язку крайово! задачi (1)-(3) е актуальною задачею.
Методика дослвдження. Для аналiтичного дослщження коливних про-цесiв, якi описуе крайова задача (1)-(3), перейдемо до побудови !! розв'язку. Отримати розв'язок рiвняння (1) за крайових умов (2), (3), користуючись вщо-мими класичними методами, не вдаеться. Як i в [2], в основу побудови розв'язку крайово! задачi (1)-(3) покладемо припущення, що процес у вiдповiднiй ди-намiчнiй системi представляеться у виглядi накладання двох хвиль косинусо-подiбно! форми рiзних довжин, але однаково! частоти. Таким чином, одночас-тотний розв'язок розглядувано! крайово! задачi будемо шукати у виглядi
u(x, t) = C1 cos(kx + ct + р) + C2 cos(xx -at + y), (4)
де: к, x - хвильовi числа прямо! i вщбито! хвиль, C1, C2 - !х ампл^уди, р, y - початковi фази прямо! i вщбито! хвиль, со - частота хвиль
Сшввщношення (4) буде розв'язком рiвняння (1), якщо хвильовi числа та частота процесу задовольняють дисперсiйним спiввiдношенням
a2K2 - с2 - 2ркс = 0, a2x2 - с2 + 2вхс = 0. (5)
Задовольняючи крайовi умови (2), (3), iз представлення розв'язку рiв-няння у виглядi (4), отримуемо систему рiвнянь, яка зв'язуе амплггуди, фази, хвильовi числа i частоту процесу iз параметрами крайових умов - a1,a2, в, в
C1(a1K sin р + в sin р) - C2(a1x sin y - p1 cos y) = 0,
C1(a1Ksinp - в cosp) - C2(a1xcosy + в siny) = 0; (6)
Ge cos(kI + р) - a2K sin(K + р)) + C2^2 cos(xl + y) - a2X sin(jl + y)) = 0,
Qe sin(Kl + р) + a2Kcos(Kl + р)) - Огв sin(xl + y) + a2xc0s(xl + y)) = 0. (7)
Система алгебрашних рiвнянь (6) мае вiдмiнний вщ тривiального розв'язок у тому випадку, коли початковi фази р i у зв,язанi спiввiдношенням
^р + у -в . (8)
сс\р\(к + X)
Аналогiчно, система рiвнянь (7) мае вщмшний вiд тривiального розв'язок у випадку, коли
а1р1(к + х) ссгк% - в
Сшввщношення (8), (9) зв'язують хвильовi числа к i х iз параметрами крайових умов у виглядi
tgdX + K + Р + У) = (9)
^(х + ку - ава\в(к + х)2 + (акх - р1)(а2кх - РЪ (10)
(к + х) [авакх - в2) - агвакх - р\)]
Таким чином дисперсшш спiввiдношення (5) та залежнiсть (10) служать для однозначного визначення хвильових чисел к i х та частоти коливань со.
Нижче на рис. 1-2 показано залежност частоти со власних коливань середовища та хвильових чисел к i х при таких значеннях парамет-рiв: а1 --2,5, а2 -1,25,в -1,в -1,5,1 - 1,а2 -1000 + V2.
Рис. 1. Залежшсть частоти коливань Рис. 2. Залежшсть хвильових чисел О eid швидкост1 руху середовища к i х eid швидкостiруху середовища
Перейдемо до визначення napaMeTpiB у i р. 1з системи тригономет-ричних сшввщношень (8) i (9) випливае, що параметри р i у зв'язаш вказа-ними спiввiдношеннями допускають замшу р = ро ±у,у = + Y ,Y - const. 1з врахуванням останнього системи алгебрашних рiвняння (7) i (8) будуть су-мiсними, якщо виконуеться сшввщношення
ах sin (уо + Y)-в cos (Уо + y) = ах cos(X + у о + Y) + Pi sin(X + Уо + Y) (П) акcos(ро ± y) + P1sin(ро ± y) а2кoos(k/ + ро ± y) + Pi sin(K + ро ± y)
82
Збiрник науково-техшчних праць
Науковий вкчшк, 2006, вип. 16.7
Таким чином, залежшсть (11) разом iз спiввiдношенням
tg(o + Ус) = (12)
авк + х)
визначають новi початковi фази (0 i у/0 як функци параметру у i коефщденттв
а1,а2, р1,рг.
Лiтерaтурa
1. Найфе А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
2. Мартинщв М.П., Сок1л М.Б. Одне узагальнення методу Д'аламбера для систем, яю характеризуються поздовжшм рухом// Наук. вюник УкрДЛТУ: Зб. наук.-техн. праць. - Льв1в: УкрДЛТУ. - 2003, вип. 13.4. - С. 64-67._
УДК 621.01 Доц. В.Р. Паака, канд. техн. наук - Укратська
академш друкарства
К1НЕМАТИКА КРИВОШИПНО-ПОВЗУННИХ МЕХАН1ЗМ1В З1 ЗМ1ННОЮ ДОВЖИНОЮ КРИВОШИПА В 1НВАР1АНТАХ
Розглядаеться питання кiнематичного аналiзу кривошипно-повзунних мехашз-MiB 3i змшною довжиною кривошипа. Наведено аналiтичнi залежносп для аналогiв, iHBapiaHTiB i абсолютних значень кiнематичних характеристик таких механiзмiв. На-водяться тексти пiдпрограм у середовищi MATLAB для обчислення кшематичних характеристик.
Assist. prof. V.R. Pasika - Ukrainian Academy of Printing Kinematics of slider-crank mechanisms is with variable length in invariants
The question of kinematics analysis of mechanisms slider-crank with variable length of crank is examined. Analytical dependences for analogues, invariants and of absolute values of kinematics descriptions of such mechanisms are described. Unsealing of the programs is pointed in the environment of MATLAB for the calculation of characteristics of kinematics.
При дослщженш будь-яких мехашчних систем, загалом i кривошипно-повзунних мехашзм1в (КПМ) з1 змшною геометр1ею, доцшьно використо-вувати найбшьш узагальнююч1 методи, яю б давали можливють за результатами дослщжень абстрактно!, стало! структури мехашчно! системи, робити висновки i обчислювати кшематичш характеристики под1бно! мехашчно! системи з конкретними геометричними i кiнематичними характеристиками. Такою методикою е крш^альна [1], що базуеться на вщносних, безрозмiр-них механiчних величинах. Для застосування ще! методики необхщт аналь тичнi вирази для iнварiантiв перемiщень, швидкостей i пришвидшень. Кше-матику КПМ в iнварiантах зi сталою геометрiею описано багатьма авторами, наприклад, [1, 2]. Однак, для КПМ зi змiнною довжиною кривошипа аналь тичних залежностей для обчислення iнварiантiв в лiтературi не наведено.
Дана робота заповнюе цю прогалину. В нш наводяться анал^ичш вирази як для iнварiантiв, так i для аналогiв i абсолютних кшематичних характеристик ланок КПМ зi змшною довжиною кривошипа. Наводиться програма чисельного диференщювання функци задано! дискретно. Остання необхщна, коли змша довжини кривошипа задана таблично.
