CC BY
16
B-ki = I rCrCk+r р2
Bki = kPki + в -k i
( к = 0,...,2т -1)
I = 1,2 [> (14)
( к = 0,...,2т -1)
Таким чином, аналогiчно як i при крученш валiв сущльного поперечного перерiзу [2], розв'язок задачi не е складним, а основнi труднощi задачi зводяться до побудови конформно перетворюючо1 функцií, яка дозволяла б перетворювати заданий поперечний перерiз вала на область кругового юльця.
Лiтература
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.
2. Думанський О.1. Загальний метод дослщження кручення суцшьних призматичних валш (брусш)// Науковий вiсник: Збiрн. наук.-техн. праць. - Львш: УкрДЛТУ. - 2002, вип. 12.5. - С. 170-174.
m-1-k
УДК 534.111 Доц. Б.1. Сокл, д-р. техн. наук;
тж. М.Б. Сокл - НУ "Львгвська полтехшка"
ПЕР1ОДИЧН1 ATEB-ФУНКЦП У ДОСЛ1ДЖЕНН1 НЕЛ1Н1ЙНИХ СИСТЕМ З 1МПУЛЬСНИМ ЗБУРЕННЯМ
Розв'язуються задачi про анал^ичне дослiдження коливальних процесiв сильно нелшшних систем i3 зосередженими масами i розподшеними параметрами на як дь ють рiзноï природи iмпульснi збурення. В основу дослiджень покладено: а) принцип одночастотностi коливань; б) щею використання перiодичних Ateb-функцiй для опи-сання коливальних процесш систем i3 степеневою нелiнiйнiстю; в) узагальнення, на основi вказаних вище функцш, методу усереднення на новi класи нелiнiйних систем.
Л««. Prof. B.I. Sokil, eng. M.B. Sokil - NU "Lvivs 'ka Politekhnica "
Periodic Ateb-functions in research pulse indignation nonlinear systems
The tasks of analytical research of oscillatory processes of strongly nonlinear systems with the concentrated weights and allocated parameters under influence of a different nature pulse indignations are solved. In a basis of researches are: а) a principle of one-rate fluctuations; b) idea of periodic Ateb-functions use for the description of oscillatory processes of systems with nonlinear; c) application with use of the mentioned above functions, asymptotic method on new classes of nonlinear systems.
Предметом до^джень, e так зваш системи i3 1мпульсними збурення-ми. 1мпульсш збурення мають pi3Hy природу i можуть дяти як у фжсоваш мо-менти часу, так i при проходженш системи конкретш положення. Необхщ-шсть ïx розгляду пов'язана i3 багатьма явищами та процесами, що мають мкце у фiзицi, теxнiцi, бюлогл i, яш у свош еволюци характеризуються короткою тривалiстю до (удар, миттевий поштовх). Останне дозволяе, в багатьох випад-ках, нехтувати тривалктю його дiï i при опис процесу математичними сшвввд-ношеннями (моделями) вважати даю 1мпульсного збурення - миттевою.
Поряд з тим математичними моделями систем iз 1мпульсними збурен-нями можуть бути сyцiльнi одно- чи багатовишрш тала, яш в окремих поло-
женнях мктять малi за розмiрами включення з вiдмiнними фiзико-механiчни-ми властивостями. Дослiдження коливальних процес1в таких дискретних чи дискретно-неперервних систем за лшшно!' чи квазiлiнiйноï 1х математичних моделей проводились, наприклад, в [1-7]. Нижче, використовуючи метод усе-реднення [8] у поеднанш iз перiодичними Ateb-функщями [9], розглянемо ма-тематичнi моделi бiльш складних систем - систем iз сильною нелiнiйнiстю.
1. Сильно нелшшш моделi коливальних процеав дискретних систем з
iмnульсним збуренням
1.1. Дискреты нелтшт системи з Шпульсним збуренням, яке зале-жить eid часу. Математичною моделлю сильно нелшшних коливальних систем з одним ступенем вшьносп при iмпульсному збуренш, що дiе у фiксованi моменти часу tn (n = 1,2,...,N ; t1 > 0; tn+1 > tn) i величина котрого значно менша вiд нелiнiйноï вiдновлюючоï сили, може бути звичайне нелiнiйне диференщ-альне рiвняння
y + a2/+1 = ef (y, y ) + ejr fn (y, y )ô(t - tn ), (1.1)
n=1
в якому a i v -стат, причому, v +1 = (2s +1)(2s2 +1)-1, si = 0,1,2,... ; i = 1,2 ; efn (y(tn \y(tn )) - величина шпульсного збурення, що дiе у моменти часу tn ; f (y, -y ) як i fn (y, y ) - аналггичш функцiï сво!'х аргуменпв; S(t ) - дельта-функщя Дiрака.
Щд розв'язком рiвняння (1.1) будемо розумии кусково-неперервну функщю c(t) з розривами першого роду при значениях незалежно!' змiнноï t, що вщповвдають моментам дiï на систему iмпульсного збурення, тобто
C(t ) + a2%(t ) = f (c(t ), CC (t )) (1.2)
при t ф tn i умовам розриву у вказаш вище моменти часу
c(tn + 0)-c(tn -0)=efn(c(tn),c(tn)). (1.3)
Для знаходження функцiï, яка задовольняе вказанi вище умови (е розв'язком нелшшного рiвняння (1.1)), розглянемо вiдповiдне йому незбурене, тобто р1вняння (1.1) при e = 0
y + a2 yv1 = 0. (1.4)
Перюдичш розв'язки цього нелiнiйного рiвияния виражаються через Ateb-функцiï у виглядi
y(t)= aMV + ШУ) (1.5)
W \sa{v +1,1, ly), J
де стала l визначаеться iз умови 2л - перiодичностi по y використаних Ateb-функцiй: l = p_1n(1,v +1) ; n(1,v + 1) = VPr( )r-1 (2-1 +(v + 2)-1 ) - 1х пiвперiод, а па-раметри a i y (амплiтуда i фаза коливань) зв'язанi спiввiдношениям
v+2
v
y=awA-П 1 (1,v + 1)a21 + 0 (0 - довшьна стала).
Спiввiдношення (1.5), зпдно iз загальними принципами теорц збурень [9], можна вважати також i розв'язками збуреного ршняння (1.1), тальки для останнього випадку параметри а i в будуть вже змiнними в часi величинами. Приймаючи до уваги вказане, iз (1.5) (вибираемо для простоти за розв'язок перше ствввдношення цих залежностей) отримуемо систему лiнiйних алгеб-ра1чних рiвнянь вiдносно невiдомих функцiй а i в
аса-- +1,1,/ у) —вва(1, V +1,/ у) = 0,
с1т г— с!а
^а(1, V +1,/у) + аа(а)1вса-+1 (- +1,1, /у) ==
I (а,у) + Ё !п (а,у)3(1 - 1п)
(1.6)
де
- + 2Г
а>(а) = ар ^ П 1 (1,- + 1)а2,/(а,у) = /
/п (а,у) = Гп
аса— +1,1,/у), «(а)?а(1,V + 1,/у) 2а/
аса(— +1,1, /у)-ю(аЪа(1, V + 1,/у)
- + 2
Система диференщальних рiвнянь (1.6) визначае невiдомi функцií у
виглядi
ф(а)
1 (а,у)+ £ /п (а,у)3(1- 1п)
^а(1,- + 1,/у),
у = а(а)-
е(- + 2)
2ат(а
1 (а,у) + £ Гп (а,у)5(1-1п)
са(— +1,1, /у).
(1.7)
Амплиуда i частота коливань системи за один перюд змiнюються на величину порядку е. Це дозволяе диференщальш ршняння (1.7) дещо спрос-тити - усереднити правi частини стввщношень (1.7) по швидкiй змiннiй у. При виконанш операцл усереднення приймаеться, причому зв'язок мiж фазою коливань у i незалежною змiнною /, для розглядуваного наближення задачi, виражаеться неперервною залежнiстю. Останне, а також властивоста дельта-функци [10] дозволяе записати систему ршнянь (1.7) у стандартному вигляд
А(а) + Ё А (а)
у = а(а) + е
В(а)+ Ё Вп (а)
п=1
- — + 2)2
(1.8)
-1 2 _ - (— + 2) -
де А(а) =-^ Г/(а,у)?а(1,- + 1,/у)Лу,В(а) = —-—2 Г/(а,у)са— + 1,1,/у)/у
2жт(а) 0 4лаа(а) 0
Ап (а)=--/п (а, уп М1, - + 1,/уп )
2жа> (а)
0 при / < (п, 0,5 при / = (п
1 при / > (п,
п=1
V
-е
п=1
п=1
а = е
п=1
Bn(а) = , 2\ fn (a y + 1,1ly >
4paw (a)
0 при t < tn, 0,5 при t = tn
1 при t > tn.
Отримана система диференцiальних р1внянь (1.8) набагато проспша за вихвдну: до не! легко застосувати якiснi методи дослщження диференщальних р1внянь, до того ж, у багатьох випадках з не! вдаеться отримати у квадратурах закони змши у часi амплiтуди i частоти (перiоду) коливань системи.
1.2. Дискреты нелтшы системи з Шпульсним збуренням, яке зале-жить вiд положення. У випадку до на коливальну систему з одним ступе-нем вiльностi шпульсного збурення, величина котрого значно менша вiд не-лiнiйноí вiдновлюючоí сили i яке залежить вiд положення системи, матема-тичною моделлю руху тако! системи може бути диференщальне рiвняння
y + a2 yn+1
= £f (y y) + eX f„ (y y )d(y - y„),
(1.9)
де уп - положення системи, при проходженш через котрi на не! дають iм-пульснi збурення величиною /п (уп, у п).
Необхiдно зауважити, що: функид, якi входять у правi частини рiвнян-ня (1.9) задовольняють умовам аналопчним, як i у випадку рiвняння (1.1); iз фiзичних мiркувань випливае, що iмпульсне збурення буде д1яти на систему тiльки у випадку, коли шах| у| > |уп, тому нижче вважатимемо, що всi точки уп задовольняють вказанш умовi i уп+1 > уп.
Поступаючи аналогiчно, як i для рiвняння (1.1), отримуемо систему диференцiальних рiвнянь вiдносно нових змiнних а i у у виглядi
f (a, У) + X fn (a, y)d(aca(n +1,1, ly)-y„)
sa(1,y +1, ly)
f (a, У)+ X fn (a, y)8(aca(y +1,1, ly)- Уп )
ca(y +1,1,ly). (1.10)
-e a>(a)
• ( ) e(v + 2)"
y =w(a)- _ , {
2aw(a)
Нехай розв'язками piBH^HH^ aca(y +1,1,ly)-yn = 0 e: yn1 + 2kpi yn2 + 2kp. 1снування розв'язюв вказаного piвняння забезпечуеться умовою б), котрш задовольняють npaBi частини piвняння (1.9), до того ж, зважаючи на перюдич-нiсть використаних Ateb-функцiй, i'x злiчена кiлькiсть. Використовуючи вка-зане вище, а також сшввщношення
d(g(x)) = I , (gX )= 0); X dx + 2kp) =l- f 1 + X cos kx)
t \g(Xk )| t 2 Y J
систему piвнянь (1.10) можна записати у виглядi
a = If (a yy + yp X X fn (a Уп1 )(1 + cos kyy- y„i)|- fn (a, y„2 )(1 + cos k{y-y„2)| f,
oia) |
n=1
n=1 k
п=1 к
. /ч е(- + 2) I ч - + 2 /п (а, уп1 )са(- +1,1, /уп1) Г1 ,, Л
у=®(а)"20«(а)У^у^^I^ /п ^ „+\ у / к+С08к(у-ущ)1+
sa(l,v + 1,/уп1) ^ 2
/п(а,уп2 М- + Шуп2 ) Г1 + С03к(у_уп2 )1 I. (1.11)
Ц,- + 1,/у,21 ^ 2
Стосовно останньо1 системи диференцiальних ршнянь то тут без особ-ливих трудношдв можна використати математичний апарат усереднення i привести 11 до вигляду (1.8). Для розглядуваного випадку функцií А(а) та В(а) не змiнюють свого вигляду, а Ап (а) i Вп (а) набувають форми
Ап (а) = - ,У +( ) [/п (a, у А ) - /п (a, уп2 )!
4жу(а)
в (а)= У + 2)2 /п (а,уп1 )са(У + 1,1,уп1 ) _ /п (а,уп2 )са—+ 1,1,уп2 ) (1 12)
п 8та(а) |^а(1,у +1,/уп1) |^а(1,у +1,/уп2)
2. Сильно нелшшш поздовжш (крутильш) коливання одновтнрнпх однорщних тш пщ д1ею 1мпульсного збурення
2.1. Поздовжт коливання одновимiрних однорiдних тЬл тд дieю малого импульсного збурення, яке залежить вiд часу. Ввдомо [12], що дифе-ренщальне рiвняння поздовжнiх (крутильних) коливань нелшшно пружного одновимiрного тала мае вигляд
иа -агиххиух = 0 (2.1)
в якому и(х, /) - поздовжне перемiшення перерiзу тiл з координатою х в до-вшьний момент часу I, а -стала, яка визначаеться фiзико-механiчними влас-тивостями матерiалу розглядуваного тала. У випадку дц на тало малого iм-пульсного збурення, що залежить ввд часу при малих дисипативних, в'язко-пружних та шшо1' природи нелiнiйних силах, диференщальне рiвняння його коливань приймае дещо складшший вигляд
Р (и , их )+ Ё рп (и1, их - 'п )
(2.2)
Функцп, що входять у праву частину вказаного вище рiвняння врахо-вують дда на тало малих нелiнiйних (у тому чи^ шпульсних) сил i вони по сво1й природi (за виключенням дельта -функцп) е аналггичними.
Наявнiсть у дослiджуваних тiлах сил опору, дисипативних та в'язко-пружних сил приводить до того, що в них встановлююеться з часом одночас-тотний динамiчний процес. Зважаючи на вказане, процес знаходження роз-в'язку рiвняння (2.2) суттево спрощуеться. Тому нижче будемо будувати роз-в'язок рiвняння (2.2), котрий асимптотично наближаеться до одного iз мно-жини одночастотних розв'язкш незбуреного рiвняння (2.1) i задовольняе одну iз крайових умову
и(х ' I х=0 = и(х' I ,=1 = ^ (2.3)
их ^ /) х=0 = их ^ = = 0, (2.4)
и - а и„иу = е
п=1
и(х, г) ,=0 = и (х, г) = 0. (2.5)
Одночастотш розв'язки незбурених крайових задач (2.1), (2.3), (2.1), (2.4), (2.1),(2.5) виражаються [13, 14] через перюдичш Ateb-функцií у виглядi
и(х, г) = аХ (х)еа(у +1,1, +(а)г + в), (2.6)
де +(а) == а^ау(?1 х —+2, Пх = п(1, (у +1)-1), ^ = к для крайових умов (2.3) i (2.4)
та ^ = для крайових умов (2.5). Функцп X (х), якi описують форми коли-
вань, залежать також вiд крайових умов (способу за^плення тiла) ^ ввдпо-вiдно виглядають:
^а(1, — +1)-1, —П х'_ х) X (х) = • са(1, — +1)-1, кП х'_ х) (2.7)
^а(1, (у +1)-1, (2к + 1)П х (21 )-1 х)
Зважаючи на те, що система функций {X (х)} ортонормована, перше наб-лиження асимптотичного розв'язку збуреного ршняння (2.1) у формах коли-вань, кот^ близькi к -! форми незбуреного ршняння, можна записати у вигляда
и(х, г )= аХ (х)са(у +1,1, у) (2.8)
де амплиуда а i фаза у одночастотного динашчного процесу визначаються системою диференщальних ршнянь (1.8) у стандартнш формi, тальки для ви-падку, який розглядаеться у функцií А(а), Ап(а), в(а) i Вп (а) набирають дещо iнший вигляд:
_ 1 ' 2ПГ
А(а) =-Г ГX (х)р (а, х, уЪа(1, у +1, у)<Ящ!х,
2лР +(а) 0 0
_ У + 2) '2Пг -
В(а) = —--^ Г ГX(х)р(а, х, у)ра(у +1,1, уЫукЛх,
Аар+[а) 0 0
Ап (а)= )} X (х)РП (а,ху *
2Р+ (а) *
0 при г < г п, 0,5 при г = гп,
1 при г > гп,
(2.9)
Вп (а)'-
(у + 2)са(у +1,1, 'уп) 4Р+2 (а)
| X (х)рп (а, х, уп
0 при г < гп, 0,5 при г = гп
1 при г > гп,
р (а, х,у) = р[ aX (х)еа(у +1,1, у), —— с+а^ (х)?а(1, У +1, у) |, Р = | X2 (х
2а — + 2
рп(а,х,у) = рп[ aX(х)еа— +1,1,у),—2а +(а^(х)^а(1,У + 1,у)], Пт =П(1,У +1).
0
2.2. Поздовжт коливання дискретно-неперервних нелтшно пруж-
них тт. Математичною моделлю поздовжнiх коливань дискретно-неперер-вного нелiнiйно пружного тша може бути диференщальне рiвняння
N / \
F' (ut, и, ) + Ё К (ut, Utt, U«,U„ P(x - Xn )
(2.10)
в якому xn - точки тша, де зосереджеш неоднорiднi включения малих розмь рiв i фiзико-механiчнi властивостi цих включень мало вiдрiзияються не у значнш мiрi вiд властивостей тша. Аналиично цi вiдмiнностi можна описати за допомогою функцiй eF* (ut, utt, uxuxx).
Зважаючи на результати п.п. 1.1, 2.1 дано!' стап, приходимо до виснов-ку: одночастотний динамiчний процес у дослiджуваному тш можна описати залежнiсть (2.6), в якш амплiтуда i фаза процесу визначаеться залежностями (1.8).Функцп, якi входять у правi частини вказаних сшввщношень виража-ються через правi частини ршняння (2.9) у виглядi
-1
l 2ПГ
A(a)=-^ f f X (x)F * (a, x, y)sa(1, v +1, y)dydx,
2pPo{a) 0 0
B(a) = —(v+2) f fX(x)F*(a, x, y)cdy +1,1, ydydx, 4apa(a) 0 0
— у( ) 2ПГ
A* (a) = 2w(a)P IF* (a, *n, y>a(1 v +1, ly)dy,
Bn (a)=—^wnnl Jf* (a, x* Mv + 1,1,lv)dv,
а F*(a,x,y) i F*(a,x,y)- значення функцш F*(ut,ux) i F*(ut,ut,uxuxx), що вщпо-вiдають u(x, t) = aX(x)pa(y +1,1, y).
Викладену методику можна узагальнити i на деякi iншi системи, зок-рема, використовуючи результати, ят отриманi у [15], на випадок збурених крайових умов, а як окремий випадок iз викладеного при v = 0 отримуються результати, якi стосуються квазiлiнiйних систем iз iмпульсним збуренням, а при fn (y, y)° 0 (i вщповвдно Fn (ut, ux)° 0 чи F* (ut, ux)° 0) - розв'язки сильно нелiнiйних, звичайних чи з частинними похвдними, сильно нелМйних дифе-ренцiальних рiвиянь.
Лггература
1. Гащук П., Зорш Л. Лшшш модел1 дискретно-неперервних мехашчних систем. -Львш: Украшсью технологи, 1999. - 372 с.
2. Мышкыс А.Д., Самойленко А.М. Системы с толчками в заданные моменты вре-мене. - Мат. сб. - 1967,№2. - C. 202-208.
3. Дзыра Б.И. К вопросу обоснования метода усреднения для исследования одоно-частотных колебаний, возбуждаемых мгновенными силами. - В сб. Аналитические и качественные методы исследования дифференциальных и дифференциальноразностных уравнений. - К. Изд. - во Ин-та математики, 1977. - C. 34-38.
4. Самойленко А.М., Перестюк Н.П. Периодические решения слабо нелинейных систем с импульсным воздействием// Дифференц. Уравнения. - 1978. - 14, №6. - C. 1034-1045.
00
l 2П,
u. - a и..и. = e
n=1
5. Самойленко А.М., Перестюк Н.П. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. - К.: КГУ, 1980. - 80 с.
6. Перестюк Н.П. Периодические и почти-периодические решения дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. - IX Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Ч.1. - К.: Наук. думка, 1984. - C. 301-304.
7. Дзира Б.1. Про коливання стержня з зосередженими масами i моментами шерцш, збуреними миттевими силами. IX Мiжнар наук. конф iм. ак. М. Кравчука. Матерiали конф. К., 2002. - C. 65-66.
8. Митропольский Ю. А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. - К.: Вища школа, 1976. - 592 с.
9. Сеник П. М. Обернення неповно! Beta-функцпУ/ Укр. мат. журн. - 1969. - 21, №3. - C. 325 - 333.
10. Найфэ А.Х. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. - 456 с.
11. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976. - 280 с.
12. Филимонов А.М. Периодические решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными// Дифференц. уравнения. - 1976. - 12,№11. - C. 2077-2084.
13. Сокил Б. И. Об асимптотических разложениях краевой задачи для одного нелинейного уравнения с частными производными// Укр. мат. журн. - 1982. - 34, №6. - C. 803 -805.
14. Соки Б. I. Про один споиб побудови одночастотних розв'язгав для нелшйного хвильового р1вняння// Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 6. - C. 782 - 785.
15. Соки Б. I. Перюдичш Ateb-функцil в дослщженш одночастотних розв'язкв де-яких хвильових ргвнянь. У зб.: Пращ Наукового товариства 1меш Шевченка, т.1. - 1997. - C. 588-59.
УДК 615.47 Доц. €. Сторчун, д-р техн. наук; магктрант В. Калин;
acnip. Ю. Сторчун - НУ "Льbeiecbm полтехнжа"
ЗБ1ЖН1СТЬ РЕЗУЛЬТАТШ ОБСТЕЖЕННЯ БЮОБ'СКТШ
Представлено результати дослщження з6ДжностД показниюв пульсового сигналу.
Doc. E. Storchun; magistrant V. Kalin; doctorate Y. Storchun - NU "Lvivs 'ka Politekhnika "
Precision of results of inspection bioobject
The results of research of precision of parameters of a pulse signal are submitted.
Вступ
Дieвiсть охорони здоров'я пращвнитв меблево! та деревообробно! промисловосп визначаеться, зокрема, застосуванням ефективних методов експрес^агностики. Ефективнiсть шструментальних методов пов'язана iз якiстю вимipювання вщповвдних техшчних засобш: збiжнiстю та вдаворюва-нiстю результатов.
Метою роботи було дослiдження збiжностi визначення показниюв пульсових сигнал1в пульсодiагностичним комплексом [1] з новими пристро-ями формування вхщних сигналiв [2], яю вiдpiзняються функцiонально неза-лежними каналами, а також впливу на отримуваш результати дихання та по-ложення обстежувано! особи.
