CC BY
57
-& {(h - yo)m+1 -[± (У0 - hg )f+1}-m+1L L J J
-vcS(h - hg)-Vg + vc = 0.
(7)
Знак «+» в уравнении (7) соответствует условию
so п
Q = -f V1dy-f V2 dy =QV +Q1 ;
где Qr =- [(h - У0)m+2+(У0- hg)m+2 ];
m + 2L J
hg <y0 < h, а знак «-» условиюy0 < 0. Сравнение (7) с Ql 2 VcS$h hg% VcS$h hg%y Vc$h y°% Vg$Уо hg%
полученными в [2] зависимостями показывает, что введенные предположения не влияют на величину Уо.
Исследуя область определения функции (7) с учетом (3), можно получить условие попадания координаты у0 на отрезок < у0 < к, которое также совпадает с полученным ранее [2].
Объемный расход прессуемого материала на единичной ширине пространства между плоскостями определим без учета влияния слоя проскальзывания. Кроме того, для обеспечения положительного значения расхода умножим определяющие его выражения на -1.
Тогда для у0 < 0 объемный расход на единичной ширине пространства между плоскостями примет вид
Q=-f V2dy=Qr +Qi; hg
(h - y0T +2 - (hg - У0 )m+2 (h-hs )(h-y0)m
где Qr
(m + 1)( m + 2)
m+1
Qi = - VcS (h-hg ) -Vc(h- hg).
Для случая ке < у0 < к объемный расход на единичной ширине пространства между плоскостями примет вид
Таким образом, учет геометрии канала шнека вносит существенные изменения в модель движения полуфабриката между параллельными плоскостями. Полученные зависимости могут быть использованы для мелких каналов шнека, у которых ширина превосходит глубину не менее чем в 2 раза. С их помощью можно исследовать характер движения полуфабриката в канале шнека и оценить производительность одношнекового экструдера с постоянными по длине параметрами канала шнека.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бостанджиян С.А., Столин А.М. Течение неньютонов -ской жидкости между двумя параллельными плоскостями // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - № 1. - С. 21-23.
2. Полищук В.Ю., Василевская С .П. Движение материала в канале шнека при наличии пограничного слоя на дне канала // Вестн Оренбург. гос. ун-та. - 2004. - № 9. - С. 140-143.
3. Зубкова Т.М., Абдрафиков Р.Н., Мусиенко Д.А. Определение скорости проскальзывания экструдируемого материала по дну шнекового канала // Там же. - 2002. - № 5. - С. 195-197.
4. Полищук В.Ю., Василевская С.П. Оценка воздействия на экструдируемый материал в канале шнека экструдера. Разви -тие и внедрение эффективных энергосберегающих технологий // Тр. Оренбург. регион. отд-ния Рос. инженер. акад. Вып. 4. - Оренбург, 2004. - С. 117-122.
Кафедра машин и аппаратов химических и пищевых производств
Поступила П.05.07 г.
h
g
a
664.002.5:664.723
НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ СУШКЕ ЗЕРНА
С.Т. ТАСТАНБЕКОВ, М.А. АДИЛБЕКОВ, Е.Б. МЕДВЕДКОВ
Алматинский технологический университет (Республика Казахстан)
Актуальной задачей при сушке зерна является рассмотрение нестационарного переноса теплоты теплопроводностью внутри единичного зерна, когда температура системы изменяется не только от точки к точке, но и с течением времени.
На рисунке показан характер кривых, полученных при нагревании однородного твердого тела в среде с постоянной температурой т По мере нагрева температура в каждой точке асимптотически приближается к температуре нагревающей среды. Наиболее быстро изменяется температура точек, лежащих вблизи поверхности тела. С увеличением времени прогрева эта разность будет уменьшаться и теоретически через достаточно большой отрезок времени она будет равна нулю.
Нестационарные тепловые процессы всегда связаны с изменением внутренней энергии или энтальпии вещества.
Рассмотрим наиболее важные задачи, относящиеся к процессам, в которых тело стремится к тепловому равновесию. Цель такого рассмотрения - показать общие физические особенности таких процессов, определить методы решения задачи нестационарной теплопроводности и математические соотношения для практических расчетов.
Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид
■ = а
д2 ї & д2 ї & д2 ї д х2 д у2 д 22
(1)
Условия однозначности задаются в виде:
физических параметров 1, с, р;
формы и геометрических размеров объекта /0, /ь
12, •••, 1п;
температуры тела в начальный момент времени X = 0, t = /0 = /(х, у, г).
Граничные условия могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода
д п
=-їп=о-а
(2)
д0 д х
д2 0 +1 д 0
д
д
(3)
Граничные и начальные условия: при х = 0 и 0 < г < г 0
0 = 0о = /г) - їж = ^(г); при х > 0 и г = 0
2д 05
дг
= 0;
при х > 0 и г = г0 2д 0
дг
= -^ 1 г
Сформулированную задачу решим с помощью разделения переменных, т. е. 0 (г, х) = ф(х)у(г). Подставляя это выражение в уравнение (3), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения вида
ф'(х) + ак2 ф(х) = 0; у "(г) + - у 8 (г) + к2 (г) = 0.
(4)
(5)
Дифференциальное уравнение теплопроводности (1) совместно с условиями однозначности (2) дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции
t = /(х, У, г, X, У, а, ^, tж, /о, /1, •, 4), которая удовлетворяла бы уравнению (1) и условиям (2).
Рассмотрим подробно решение задачи об охлаждении (нагреве) цилиндрической однородной стенки. Изучив метод решения задачи для цилиндра, можно понять принцип решения задач и для тел другой геометрической конфигурации, которую могут иметь зерна различных растений.
Цилиндр радиусом г0 отдает тепло окружающей среде через свою боковую поверхность; коэффициент теплоотдачи а во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлаждения. Температура среды tm постоянна. В начальный момент времени при X = 0 температура является некоторой функцией t (г, 0) = / (г). Отсчет температуры цилиндра будем вести от температуры среды, т. е. t - ^ = 0. При этих условиях уравнение теплопроводности принимает вид
Уравнение (4) имеет решение ф(х) = С 1е ак'х.
Уравнение (4) есть уравнение Бесселя, общий интеграл которого имеет вид
У (Г)= С 2J 0 (кг) + С370 (kг), (6)
где С1 и С2 - постоянные интегрирования; Л и 70 - функции Бесселя 1-го и 2-го рода нулевого порядка.
Так как температура на оси цилиндра (г = 0) должна быть конечной величиной, а 70(0) ® ¥, то из физических соображений частное решение уравнения (5) не должно содержать бесселеву функцию 2-го рода и С3 должно быть равно нулю.
С учетом сказанного уравнение (6) принимает вид
У(Г) = С2 ^0 (кг).
Если обозначить кг0 = т, тогда частное решение уравнения (3) будет иметь вид
0(г,х)=Се г° J0
• 5
(7)
Общее решение будет суммой всех частных реше -
ний (7):
•=9 -т
0 =:с.е г0 Jо
(8)
Постоянная Сп в уравнении (8) находится из начальных у словий.
При X = 0 0 = 00 = Щг) и уравнение принимает вид
г=0
г = г
п=0
г
= і
= і
где С, = -
]f rF (r) Jo
dr.
г2 [ /0 (ц „)+л2 (ц „)] -0 Подставляя полученное выражение для Сп в уравнение (8), получаем
е=:
ro2 [J o2 (m я)+Ji2 (m „)]
ro
frF (r)J
r m n- drJo r m n-
r0 5-.°
f rF ( r) J 0
dr=r е o Jl (m я).
m
A n; 9
—=:
е
2 J і (m n)
0 п=і m n [J02 (m n)+ Jl2 (m n )]
J
m n-
е =:
2Jl(mn)
mn [Jo2 (m n)+Ji2 (mn)]
jo(mnR) e-m-Fo. ao)
е = F
r a r0 аі і =
і!
ro l ro2 J
= F (R ,Bi, Fo).
2 J і (m n)
-m /Fo
m n [J o2 (m n)+J 2 (m n)]
На поверхности цилиндра
(іі)
е=:
2 J і (m n)
m n [J o2 (m n)+J 2 (m n)]
jo (m n) e-m •Fo .(і2)
(9)
Уравнение (9) справедливо при любом начальном распределении температуры в цилиндре.
Если в начальный момент времени (t = 0) температура распределена равномерно, т. е. 0О = F(r) = const, то интеграл в уравнении (9)
При Ы ® ¥ (практически Ы >100) прямая совпадает с осью абсцисс и корни характеристического уравнения не зависят от Ы, а определяются из условий /0(М) = 0.
В этом случае процесс охлаждения определяется физическими свойствами тела и его геометрическими размерами. При этом уравнение (10) принимает вид
е=:
2
і m nJ2 (m n)
Jo(mnR)
(іЗ)
Для этих условий уравнение температурного поля принимает вид
Если рассматривать охлаждение цилиндра при условии Ы ® 0 (практически Ы < 0,1), то при разложении функций /0(ц) и / (ц) в степенные ряды они становятся настолько быстросходящимися, что можно ограничиться первыми членами ряда, и тогда ц2 = 2Ы.
Действительно,
1 2
/0 (ц)_ ц _ 1-^2 ц +
Обозначим: 0/0о = 0 - безразмерная температура; г/г0 = Я - безразмерная координата, которая изменяется в пределах 0 < Я < 1; ах/г„2 = Бо - число Фурье для цилиндра.
С учетом этих обозначений последнее выражение запишется в виде
Заметим, что все принципиальные выводы, сделанные при анализе решения для пластины, справедливы и для цилиндра.
Из характеристического уравнения видно, что корни зависят только от Ві. Поэтому уравнение температурного поля можно представить в виде обобщенной функции от безразмерных параметров:
Если рассматривать значение температуры на оси цилиндра (Я = 0), то это уравнение запишется следующим образом:
■ЛМ В, 1 ц Ц 2 +
2 22 4
Уравнение (10) для условий В1 ® 0 принимает вид
0 _ / 0 (ц ^Я )ехр[-ц 2Бо ].
На оси цилиндра (Я = 0):
0Я_ 0 _ ехР— 2Р°].
На поверхности цилиндра (Я = 1):
0Я _1 _ / 0(ц 1)ехр[-ц ^° ].
Если Бо > 0,25, при вычислении безразмерной температуры можно ограничиться первым членом ряда. Тогда безразмерные температуры на оси и поверхности цилиндра могут быть вычислены по формулам: на оси цилиндра 0Я_0 _ N0 (В1)ехр[-ц^о],
на поверхности цилиндра 0 Я _ 1 _ Р0 (В1)ехр[—ц 2 Бо ].
Так же как и для пластины, количество теплоты Qп, Дж, которое отдается или воспринимается поверхностью цилиндра за время от т = 0 до т = ¥, должно равняться изменению внутренней энергии цилиндра за период полного его охлаждения:
Qn = p02lPC(t0 - tс ).
(і4)
За любой промежуток времени от т = 0 до т внутренняя энергия цилиндра изменится на величину
Q=Q„ (і- Єі),
2
n= і
r
X
m •
e
o
e
n=
o
n
m •
e
n= і
e
Таблица
"5 -10°С 0°С 10°С 20°С
г = 0 2 II Г = Г0 г = 0 2 "Ъ 1 1 Г = Г0 г = 0 2 "Ъ II Г = Г0 г = 0 2 II Г = Г0
10 45 45,6 49 47 47,6 51 50 50,6 54,1 53 53,6 57
15 45,6 46,2 49,6 47,5 48,1 51,5 50,5 51,1 54,7 53,4 54,0 57,4
20 46,2 46,8 50,2 47,9 48,5 51,9 51,1 51,7 55,2 53,8 54,4 57,8
25 46,8 47,4 50,8 48,4 49,0 52,4 51,7 52,3 56,1 54,2 54,8 58,2
30 47,5 48,1 51,5 48,8 49,4 52,8 52,8 53,4 56,9 54,6 55,0 58,6
35 48,4 49,0 52,4 49,2 49,8 53,2 53,6 54,1 57,8 55,0 55,6 59,0
40 49,1 49,7 53,1 49,6 50,2 53,6 54,2 54,8 58,2 55,5 56,1 59,5
где 01 =
і - і с
Средняя безразмерная температура цилиндра найдется из уравнения
— 1 Я 1
0 =------ * 0 2ъКйК = 2* 0ЯйЯ (15)
р Я 0 0
(Я изменяется от 0 до 1).
Если в это уравнение подставить значение 0 согласно уравнению (10) и проинтегрировать в указанных ранее пределах, то получим:
©=:
2Jі(тя)
-т 2Ео
или, учитывая, что
т2 [зо2 (т п )&3 і2 (т „)] 3 о (т) _ т
©=:
з і (т) ві ' 4ВІ
-т 2 ро
т2 [ т 2 & ві2]
(16)
© =
4ВІ
-т 2 Ео
т2 [ т2 & ві2 ]
(17)
Функцию
4ВІ
т2 [ т2 & ві2 ]
е т•Ео = М (ВІ)
(18)
когда температура на оси зерна іг=0 = 50°С. Определим также температуру на поверхности зерна їг = 0 в конце нагрева.
Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности зерна 1 = 0,409 Вт/(м • К), а = = 15,0 • 10-8 м2/с. Коэффициент теплоотдачи к поверхности зерна от сушильного агента принимаем равным а = 60 Вт/(м2 • К).
Температуры на оси и на поверхности зерна при нагревании в среде с постоянной температурой можно определить с помощью графиков ©г=0 = ^ (Ві,Ео) и ©Г=Г0 = ^2(Ві,Ео), которые приведены в специальной литературе.
В рассматриваемом случае
ВІ = — = 1
© = ^с - =0
аг0 60 = 0,001
= 0,15
0,409 = 330 - 50 = 330 -10
= 0,875.
При расчете средней температуры цилиндра 0 в случае Бо > 0,25 можно ограничиться одним первым членом ряда (16):
При этих значениях из графика находим, что Бо = 0,7. Следовательно, время, необходимое для нагрева зерна:
х =
Г2Ео
(10-3 )2 = 0,7 15 10-8
= 4,7с.
Безразмерную температуру на поверхности зерна при Б1=0,15 и Бо=0,7 определим по графику
© г = г =-
і с -
= 0,863,
можно заранее рассчитать для соответствующих значений ВІ и свести в таблицы.
С помощью полученных аналитических выражений можно рассчитать температуру на поверхности единичного зерна и на любом расстоянии от нее, время нагрева и подведенное количество тепла.
Проведем в качестве примера расчет для единичного зерна пшеницы, рассматриваемого как тело цилиндрической формы, размером I = 6, г0 = 2 мм. Примем начальную температуру і0 = 10°С, температура потока теплоносителя іж = 330°С.
Определим время х, необходимое для нагрева единичного зерна, если нагрев считается законченным,
следовательно,
=Г0 = і - 0,863 (330-10) = 54,1 С.
Определили температуру на расстоянии г = 0,5 г 0 от оси зерна через 4,7 с после начала нагрева.
Учитывая (11)-(13), если рассматривать охлаждение зерна при условии ВІ ® 0 (практически ВІ < 0,1), то при разложении функций 30(т) и 31(т) в степенные ряды они становятся настолько быстросходящимися, что можно ограничиться первыми членами ряда, и тогда т2 = 2ВІ.
і0 - іс
0 с
п= 1
и
е
п = 1
а
Так как для рассматриваемого случая критерий = 0,7 • 0,25, то можно ограни-
at 4,7 ■ 1З ■ 10
Fo = —=---------------------
r2 0,0012
читься первым членом ряда.
r
Тогда е = N 0 J 0
exp(-e 1Fo).
Значения величин N0, P 0, e1 и e 1 в зависимости от Bi
находим из таблицы: N0 = 1,003З; P 0 = 0,99бЗ; e1 = 0,17 и e2 = 0,029.
При Fo = 0,7
0„
= 1,003З
°17l e-0,029 0,7 = 0,S73. 2 6
Следовательно,
t
= 330- 0,S73 (330-10) = 50,б4o C.
Подставляем: Qn = 3,14 (0,001)2 • 0,00б • 2400 (50 -- 10) = 1,S1 • 10-3 Дж.
Значения критериев:
Fo = 0! = 4 71510 S = 0,705 . 0,25, r2 0,0012
Bi=00 = б00001 = 0.15. l 0,409
Значения величин Ы0, Р0, 81 и е2 в зависимости от Б1 находим из таблицы: Ж0= 1,035; Р0 =0,964; е1 = 0,53 и е2 = 0,28.
Подставив эти значения, получаем:
0 = P0(Bi)e-e'fo = 0,964є'
= 0,103;
В таблице представлено распределение температуры в единичном зерне в зависимости от влагосодержа-ния и начальной температуры зерна.
Количество теплоты Qп для восприятия поверхностью зерна за время от т = 0 до т = ¥ определяется по формуле (14). Средняя безразмерная температура - из уравнения (15). Учтем также (16)-(18).
Q = 1,81 10 3 (1-0,103)= 1,558= 10-3 Дс.
При расчете тепла для 1 кг зерна полученное значение умножается на количество зерен в 1 кг.
Приведенные примеры иллюстрируют возможность использования полученных уравнений для расчета процессов сушки зерна.
Кафедра машин и аппаратов пищевых производств
Поступила 08.10.07 г.
о^ 0,705
ПАТЕНТЫ
Патент на изобретение № 2296471. Способ производства взбитого функционального продукта / Н. Т.
Шамкова, О.А. Корнева, Г.М. Зайко и др. Заявка № 2005121733 от 11.07.05; Опубл 10.04.2007.
Изобретение относится к молочной промышленности. Способ включает нормализацию сливок, созревание охлажденных сливок, взбивание и внесение вкусового наполнителя. Взбивание проводят в две стадии: на первой при 300-400 об/мин в течение 1-3 мин, на второй при 800-1200 об/мин в течение 1-3 мин. На второй стадии взбивания вводят вкусовой наполнитель, в качестве которого используют термотропный гель в количестве 10-30% к выходу готового продукта, полученный путем соединения смеси пектина и карра-гинана с сахарным сиропом и с высушенной биомассой клеток культур пробиотиков В. longum и/или В. breve, и/или В. adolescentis. Соотношение компонентов, %: пектин и каррагинан 2-4, высушенная биомасса клеток культур пробиотиков 1-2, сахарный сироп с концентрацией сахара 10-30% - остальное. Соотношение смеси пектин-каррагинан с высушенной биомассой клеток культур пробиотиков 4 : 1. На второй стадии взбивания дополнительно вводят витаминную эмульсию, приготовленную из водного раствора синтетического препарата витамина С в количестве
50-75 мг% и масляного раствора витамина А в количестве 100-200 мкг%. Изобретение позволяет повысить функциональные свойства целевого продукта, включая его витаминизацию, а также улучшить реологические показатели.
Патент на изобретение № 2296454. Способ хранения перца сладкого / Д.Б. Симкин, Э.А. Исагулян, М.Ю. Тамова. Заявка № 2005120914 от 04.07.05; Опубл 10.04.2007.
Изобретение относится к сельскому хозяйству и пищевой промышленности, может быть использовано на овощных базах и предприятиях общественного питания. Способ хранения перца заключается в создании регулируемой среды путем периодического окуривания парами формальдегида, полученного при смешивании 50 мл формалина и 50 г КМп04 на 1 м2 поверхности хранилища. Обработку проводят с активным вентилированием при расходе воздуха 100 м3/т перца сладкого. Обработка парами формальдегида может осуществляться с периодичностью 1 раз в неделю. Способ обеспечивает возможность использования ресурсосберегающей экологически безопасной технологии хранения, продление срока хранения и сохранение товарного вида перца.
