CC BY
73
УДК 621.793
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НАГРЕВА СИСТЕМЫ ПОКРЫТИЕ-ОСНОВА ДВИЖУЩИМСЯ РАСПЫЛИТЕЛЕМ ПРИ ПЛАЗМЕННОМ НАПЫЛЕНИИ
© 2004 В. М.Карасев ОАО «Металлист»
Разработана методика расчета распределения температуры по сечению плоской системы покрытие-основа при плазменном напылении с учетом движения плазмотрона и наращивания покрытия. Показано, что величина температуры в приповерхностном слое напыляемого покрытия в период прохождения плазмотрона может существенно превышать значения температур в нижележащих слоях.
Повышение технико-экономических характеристик газотурбинных двигателей неразрывно связано с увеличением температуры газа на входе в турбину. Вследствие этого важное значение приобретает разработка и создание новой серии защитных покрытий, обеспечивающих высокие показатели при эксплуатации: коррозионностойкость, жаростойкость, термостойкость, эрозионостой-кость.
Однако вследствие высокой тепловой интенсивности процессов, протекающих на поверхности детали, особенно в местах воздействия на нее плазменной струи, одной из основных технологических проблем является обеспечение требуемой теплонапряженно-сти системы [1].
Для определения распределения температур в системе покрытие-основа при плазменном напылении необходимо рассмотреть воздействие усредненного (интегрального) двухфазного теплового потока на напыляемую систему [2].
Тепло, получаемое основой, состоит из следующих составляющих:
Q=Q +Q+Q +Q +Q ^ ^
г'-' кин г'-'1 кр г'-'ост г'-'эк г'-'т,
где Qкин - тепло, передаваемое основе за счет перехода кинетической энергии частиц в тепловую; QГ - тепло, сообщаемое основе плазменной струей; Qкр - тепло, выделяемое в результате кристаллизации напыленных частиц; Qocm - тепло, выделяемое частицами при остывании частицы до температуры поверхности; Qэк - тепло, выделяемое при экзотермических реакциях напыляемых материалов; Qк - тепло, отдаваемое поверхностью в окру-
жающую среду за счет конвективного теплообмена; Qm - тепло, отводимое внутрь материала подложки за счет теплопроводности.
Рассматривая физически малый объем на поверхности покрытия и заменяя процесс дискретного нанесения частиц моделью с непрерывным наращиванием напыляемого слоя, на основе уравнения теплового баланса для элемента получим граничное условие на напыляемой поверхности в виде
дТ
= Ж )-а2 (Т2 - Тс ) При 2 = 5(\ (1)
где д(ґ) = д0/(і), q0 - наибольший удельный тепловой поток на оси струи, а2 - полный усредненный коэффициент теплообмена, Т2 - температура покрытия, Г - температура окружающей среды, г - координата по толщине системы покрытие-основа, 5(і) - координата напыляемой поверхности.
Теплота гетерогенной плазменной струи вводится в изделие через пятно нагрева, диаметр которого в общем случае не совпадает с диаметром пятна напыления. Плотность теплового потока q (количество тепла, вводимого через единичную площадку поверхности пятна напыления в единицу времени) распределена по пятну нагрева неравномерно и характеризуется определенным законом распределения. В общем случае законы распределения плотности тепловой энергии, вводимой нагретыми частицами и нагретым газом, различны. Однако при настройке плазмотрона таким образом, что максимумы плотностей теплового потока совпадают, для описания суммарного теплового воздействия используют единое распределе-
ние с усредненными параметрами, определяемыми из экспериментов.
В связи с тем, что перенос и передача тепла в плазменной струе характеризуется большим числом случайных факторов, приводящих к случайному разбросу частиц различного вида по углу относительно оси струи, на основании центральной предельной теоремы теории вероятности можно считать, что распределение плотности потока тепла подчиняется нормальному закону. Этот факт получил широкое экспериментальное подтверждение.
Таким образом, распределение плотности теплового потока по плоской поверхности, перпендикулярной оси струи, можно записать в виде
q = qos(z,y )•
(5)
q = q0 ехр<
2 2 Х + у
2а
(2)
Основное удобство применения дфун-кции связано с возможностью получения замкнутых аналитических выражений в тепловых задачах, а получаемая точность решения тем выше, чем меньше диаметр пятна нагрева моделируемой плазменной струи.
Практический интерес представляет возможность расчета распределения температуры по толщине системы покрытие-основа с учетом периодического воздействия плазменной струи на систему и увеличения при этом толщины покрытия. При достаточно высокой мощности тепловой дуги и значительной скорости перемещения плазмотрона распределение удельного теплового потока двухфазной струи по площади пятна нагрева может быть описано законом нормального распределения:
где х и у - декартовы координаты на плоской поверхности; а- дисперсия распределения; q: - максимальная плотность теплового потока на оси струи при х = у = 0.
На основе условия нормировки соотношения (2) на полный тепловой поток N величину q0 можно представить в виде q0=N/2жа2 или записать соотношение (2) следующим образом:
q =
N
2жа‘
-ехр\
22 х + у
2а2
(3)
й = 2|2а2 | = 4,895а.
q
(4)
q(r) = qo ехр(-кг 2),
(6)
где г = (х - Уі)2 + у2, к - коэффициент сосредоточенности теплового потока струи, У -скорость движения плазмотрона.
Зафиксируем на поверхности напыления некоторую произвольную точку, например с координатами х=у=0. Тогда плотность теплового потока при первом единичном проходе плазмотрона через данную точку можно записать в виде
Часто вместо дисперсии а используют коэффициент сосредоточенности струи к=1/2а2 или диаметр пятна нагрева , определяемый из условия
q(r ) = q0 ехр( -кУ2і2) .
(7
Надо отметить, что с ростом дистанции напыления плотность распределения (3) сохраняет вид нормального закона, однако величина а или соответствующий ей диаметр пятна нагрева & возрастают.
Для определения распределения плотности теплового потока часто используется дфункция
При напылении плазмотрон проходит периодически над данной точкой с интервалом времени 7 а двухфазная струя воздействует на эту точку в течение времени
72 = ёх/У, где - диаметр пятна напыления.
В течение времени 72 проходит наращивание
покрытия с некоторой скоростью ёд / &. Эти процессы схематически представлены на рис. 1. В этом случае плотность теплового потока можно записать в виде
q(і) = 2 qn(і) -{[ -(п - І)іі]-
п = 1
-П[ -(п - і)ґ1 - Ґ2 ]
0,5
Рис• 1• Схема периодического воздействия двухфазной плазменной струи на систему покрытие-основа
Уг (і) - скорость роста покрытия в период про-
qn(і) = qoexP {-ку 2 х х[і -(п - 1)і1 - 0,5і 2 ]2}
(9)
где П7) - асимметричная единичная функция, индекс п соответствует количеству проходов плазмотрона над данной точкой, а диаметр пятна напыления связан с коэффициентом сосредоточенности нормального кругового
источника соотношением &н = 2(1п 20)0,5 к0,5.
Аналогично можно представить скорость роста покрытия и увеличение его толщины в виде
^ = у2 (і){п[і -{п -1X]- п[і -(п -1 X - і2 ]
хождения плазмотрона над рассматриваемой точкой поверхности.
Таким образом, математическую модель тепловой задачи при напылении покрытия на основу в форме пластины при усредненных по температуре теплофизических параметрах можно записать в виде
дТ 2 д2Т2 / \
-дт = , 0<2<5(і);
ді дг
дТ 2 д2Т
—1 = а —гЦ - к < г < 0;
5(і ) =
(10)
(п-1)(?0 + !Уг(т)йТ ґ Є[(п-1)і1,(п-1)і1 + ґ2]
(п-1)І1
пд0, і є[(п -1) +і2, пі1 ] ,
(11)
ді 1 дг2 ’
д72
(12)
(13)
= q(і)-а2(72-ТсX г = ^(і); (14)
12
где ^ = IУг (т)йт - толщина покрытия, по-
0
лучаемая за единичный проход плазмотрона; Т1 (г,0) = Т0
дТ
Лд7- = а, (7; - Тс), г = -к;
дг
. дТ_ = . дТ2_ Т = Т =
Л я Л я , Т Т2, г 0;
дг дг
(15)
(16) (17)
где Т1 - температура основы; Т0 - начальная температура системы; а Л - коэффициенты температуропроводности и теплопроводности основы (і = 1) и покрытия (і = 2), соответственно.
Для удобства решения краевой задачи (12)-(17) введем безразмерные переменные
£
к
а2і
Т - Т в=~^-^ , і = 1,2
(18)
и параметры
2
ак а2к Л а
ВІ1 = ЛВІ2 =Л кл =Л ка = ^ Л1 Л2 Л2 а
2
в = кк2, Кі0 =
^0
а^і1 а22і2 кУ кУ
Р01 = “711> Р02 =-кГ, РЄг = ~Т , РЄ = "Г (19)
к2 к2 а12 а12
Краевая задача (12)-(17) в обозначениях (18), (19) примет следующий вид:
дРо
0 <£<С(Ро)-
д = % -1 <(< 0.
дРо д£2
(20)
(21)
Кі (ро) = Кі0 2 /п (Ро'){п\Ро - (п - 1)р01 ] -
п=1
- п [о - (п - 1)ро1 - Ро2 ]},
(26)
/« (ро)= еХР1- вРе
Ро - (п - 1)ро1 -—Ро2
(27)
С(Ро) =
(п - 1)С0 + I РЄг ()dт,
( п-1 ^Ро 1
(п - 1)ро 1< Ро < (п - 1)ро 1+ Ро 2, (28)
п^0, (п - 1)Ро 1+ Ро 2 < Ро < пРо 1.
Решение краевой задачи (20)-(28) в покрытии будем искать, используя метод дифференциальных рядов [3, 4]. Представим температуру в растущем слое в виде формального ряда
си
а (г, Ро)=2 к.;в!п|.
п=0
(29)
Члены ряда (29) удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:
2й (0)
д 2в
д£2
= 0;
(30)
в
д£
К(о)- Ві2 (1 + в2 ), £ = С(Ро); (22)
дв(п-1) >.
—2--------, п > 1
зр
(31)
дв
д£
= ВІ1 (1 + Є, ), £ = -1 ;
(23)
в = клз-в_, Є =е £ = 0,
д£ Л д£ 2 1 ;
и граничными условиям:
да
(0)
д£
#=с
кі - Ві2 (1 + а20));
(24) а^0 }(0, Ро) = а (0, Ро);
в (£,0) = 0.
(25) _за
Соотношения (8)-(11), определяющие ц(7) и д(7), в обозначениях (18),(19) преобразуются к следующему виду:
д£
= 0;
£=£
в2” )(0, Ро ) = 0.
Интегрируя (30) с граничными услови-
(32)
ями, находим
в() = в (0, Ро) ■+ £ К - Ві2 (1 + в*)],
(іКі __ dв
-------Ві--------
dFo dFo
+к- 2£
Подставляя (32), (33) в (29), получим
в2(£,Ро) = в1 (0,Ро) + #[кі - Ві2(1 + в*)]- ка£ х
к_
dFo
- ВІ
dFo
д£
Кі -Ві2(1 + в*)-ка(С-£)х
С + £
ёП dв
--------Ві2---------
dFo йРо
+
йРо
дд
д£
где
£=0
= Т(Ро ) - (1 + в (0, Ро )) - ^
кЛ
кЛ дРо
¥(Ро)=—- — [кі - Ві2 (1 + в (0, Ро) В] .
кЛ кЛ
в = £ -1 < £ < 0;
дРо д£
дв1
где в* = в2 (, Ро).
Подставив (32) в (31) для п = 1, после интегрирования будем иметь
д£
дв1
д£
£=-1
= ВІ1 (1 + в1 (- 1, Ро ));
(39)
= ^(Ро)- Ві2 (1 + в1 (0, Ро))-
£=0 кя
ка дв1
кл дРо
в(£,0) = 0.
£=0
(40)
(41)
(33)
(34)
dв1 (0, Ро ) 1 (35)
Из (33), (40) видно, что в отличие от решения, рассматриваемого в [4], данная постановка краевой задачи учитывает потери тепла на нагрев нижележащих слоев покрытия, определяемые последними членами этих соотношений, что имеет большое значение для задач с быстроперемещающимися источниками тепла.
Систему уравнений (38)-(41) будем решать, используя преобразование Лапласа по переменной Ро. Применяя прямое преобразование Лапласа к (38), получим
дЩИ = *),
д£2 4 '
(42)
Подставляя (34), (35) в (24) и пренебрегая членами порядка малости £к, к>2, получим следующее условие на стационарной границе £=0:
где Ф(£, $) - образ функции 0г(£, Го).
Применяя преобразование Лапласа к граничным условиям (39), (40), получим
дФ
£=0
(36)
д£
дФ
д£
= Ві1 + ВІ1Ф(-1, *);
£=-1 *
(43)
£=-1
= ¥()- ВВІ2 к Л
- ^
кЛ
Ф(0, *).
1+ВьС
(37)
(44)
Таким образом, для основы (со стационарными границами £= -1, £=0) может быть сформулирована следующая краевая задача теплопроводности:
(38)
Система уравнений (42)-(44) образует краевую задачу типа Штурма-Лиувилля для функции Ф(£, *) на отрезке -1<£<0, решение которой будем искать в виде
Ф (£, * )= А (* )ск ([*£ )+ В (* )*к (,[*£ ).
(45)
Подставив (45) в (43) и (44), находим
х
2
АМ=1кМ-+т^)- %м= м ^ к-В) _ Вві.
———, м > 0, п > 1,
- В7 ГВ)'
(46)
В() = ( ^В) - ВІ3 )р( + у[**кл[*)-
ВІ
+В^+К I м*),
(47)
где ВІ3 = ВІ2 /кЛ , ка = kalkЛ,
м (* )= (ві2 + Ві3 + ка * )>/;* ■ + К + Ві2 (ві3 + ка* )^^.
(48)
Ф(£, * ) = ^(*)
*1 (£, *) - * 2 (£, *) 7(*) *7(*) ’
(49)
где
*1 =
кл/я + *кл[* )ск(л/5 £)+
+
(В1 л*
*2 =
Ві1 + Ві3
ск^ + *^4*
V*
ск(( £-
+
Ви
Ві1
ТТ
ку^ + 8к4* І - (ві3 + к* *к( £,
V*
(50)
(51)
где м = , ск*[1 = СОБ І 4~* = СОБ м,
Подставив (46), (47) в (45) и проведя необходимые преобразования, получим
як4я = 1б1п = 1б1п /и.
I /
Для дальнейших преобразований найдем 7 (я), подставив в (50) вместо я величину
=-и„2( п = 1,2,...):
7' (я) = 111П У'() = -^3 К1 + В1ка + 2ка )и3 -
51-и 2и
-В1В/з]сози„ -[кХ -(1 + В(а + ^ + В?3)и1 -- в?1вгз и }
(52)
Искомый оригинал представим в виде разности
9Х (£, Го) = и (£, Го) - и2 (£, Го),
где и2 - оригинал выражения Х2 (£, я)/я7(я).
Нулевой член разложения и2 найдем, используя теорему разложения
40) = 1і^-*2В£і^ = 1, и2 (£, Ро)
иУ°> = шгт,-у = l, и2 £ Ро) = м(0) + 2 г
^0 [7(*)] * 'п-1
е и(п) = -е-м1Ро *2 ^£, М» ) .
1ДЄ ^2 ^ 2тт7/ \
мп7!^
(53)
(54)
= -2е
-мР Ап СОБ Мп£ + Вп єіп Мп£ ;
А ’
7 = (( + Ві3 + к^^скл!* + ( V* (1 + каВі1) + Ві3 ^кл/*.
Оригинал (49) удовлетворяет условиям
теоремы разложения, а полюса знаменателя
7(я)=0 образуют бесчисленное множество,
определяемое корнями характеристического уравнения
Ап = мп (ВІ1 + ВІ3 С^ мп ) + ВІ1ВІ3 ^П мп ; (55)
Вп = мп (ВІ3 СОБ мп + ВІ1камп ) + ВІ1ВІ3 ( мп - 1);
(56)
Ап = [(1 + ВІ1ка + 2ка )мп - ВІ1ВІ3 ]сОБ мп -- Кмп - (1 + ВІ1ка + ВІ1 + ВІ3 )мп2 - ВІ1ВІ3 ]іП мп .
(57)
2
Окончательно получаем в = М (в сос, и + и ^1п и ) (62)
3 Вп = Мп (В/1 с08 Мп + Мп 81П Мп ). (62)
* А с05 и £ Го Теперь искомую относительную избы-
и2(£, Го) = 1 - 2^ ~ е и . (58) точную температуру можно представить в
п=1 ип
виде
При отыскании u1(', Fo) применим теорему о свертке в1 (, Fo) = -1 + 2^
n=1
Fo Fo ^ Л £ -¥~ъ • £
u1 (, Fo)=\x¥(Fo-т)vF,тУт, (59) + 2 j^(Fo - т) x^ A C0S 2n' + B Sm2n'e №dz.
+ 2 у An C0S An'+ Bn Sin2n'e-AFo +
D„
o n=1 D-
где Y(x, Fo) определяется (37), а V(x, t) - ори-
(63)
,4 ,4 Подставляя в (63) вместо Y (Fo) ее вы-
гинал выражения X2 (s) Y(s) - имеет вид
^ 2V л w ражение (37), получим
V£t)-£ в,(£, Fo)--1 + 2У A сод£ +Д- sin«-£,
” n-1 Dn
с учетом, что все полюса Y(s) существенно + 2?Ki(Fo-т) 1 + BhBh(Fo-т) х положительны. 0 1+Bi2Z(Fo-т)
Используя теорему разложения, ранее « a СОд £ +B sin^ £
вычисленные значения Y (-Д) (52) и обо- У Dn
значения (57), получаем 2 Fo „ s Bi ZFo-r)
хe-^n2TjT+2Bi ffl.(0,Fo-т) Z\0 V,
- 0 1+Bi2Z(Fo-r)
\ An cos /л„£ + Bn sin дп£ -unFo _ _
V(£,т)- 2У----------------------------------d-6 n ,(60) xyAn cos^n£+BnsinA,££.
n=1
Dn
где An = An2 (Ancos An + Bii sin An); (б1) (б4)
о 14 28 42 56 203 217 231 245 259 273 287
Время, С
Рис. 2. Температура системы покрытие Ы1-Со-Сг-А1-7 (о) и основы (А, X) на глубине г = -0,5к
в зависимости от времени напыления:
о, А-расчет; X - эксперимент
В последнее уравнение входит неизвестная функция (температура границы) 01(0,¥о) = 02(0,¥о) . Положив в (64) £=0, получим интегральное уравнение для определения 01(0,¥о):
/ (Я>М(0, Ео)=-1 + 2^
-М„Ро
п=1 Вп
+
+2
Кі(о - т)кя 1 + Ві2 Ві3^ ((о - т) 1 + Ві2^(¥о -т)
Ео
йт + 2Ві31/((о - т)х
1 В ЩС(о -т)
(65)
1 + Ві2С(о -т) В
йт.
Полученное интегральное уравнение типа Вольтерра II рода (65) решалось методом последовательных приближений с учетом малости параметра
Ві2С(Ро)
1 + Ві2С(¥о)
<< 1.
Функции К.(¥о), С(Ро), входящие в (64), (65), определяются соотношениями (26)-(28).
Таким образом, расчет распределения температур в системе покрытие-основа проводится по следующей схеме:
1. Задаются технологические параметры напыления: И, а, Л, а2, Т, Т, ц„ V, V, t„
г ’ г г г о с 1О Г ’ Г
ё , N.
н
2. Вычисляются безразмерные параметры: вг, ка, кл, ь,
Ре = ИУ/а^, ¥о1 = а2 И2, ¥о2 = а12 ён/И2 V,
£о = VZdнlVИ, ка = ка!кЛ .
3. Методом последовательных приближений из уравнения (65) вычисляется функция 0(0,¥о)=/(¥о), а из соотношения (64) вычисляется 01(х, ¥о).
4. По соотношениям (26)-(28) и (36) по разработанной программе проводится расчет распределения температуры покрытие-основа для различных видов тепловых источников.
Разработанная методика позволяет эффективно проводить расчет теплонапряжен-
ности изделий типа пластин при плазменном нанесении покрытий.
Исследование температур в системе покрытие-основа в зависимости от технологических параметров и времени напыления проводились на образцах размером 40x40x4 мм, в центре которых на глубине 2 мм заче-канивалась хромель-алюмелевая термопара с диаметром электродов 0,1 мм. Запись температуры производилась самописцем КСП-4. Напыление покрытий в зависимости от состава исходного материала производилось на режиме: сила тока 400 А; расход аргона 8,3-10-4 м3/с; расход водорода 1,7-10-4 м3/с; расход материала 5-10-4 кг/с; линейная скорость перемещения плазмотрона 11,4-10-2 м/с. При изучении влияния режимов напыления на температуру системы покрытие-основа сила тока изменялась от 260 А до 540 А, расход аргона - от 5,6-10-4 м3/с до 12,1-10-4 м3/с; расход водорода - от 0,8-10-4 м3/с до 2,5-10-4 м 3/с; дистанция напыления - от 0,08 м до 0,22 м; скорость перемещения плазмотрона - от 7,3-10-3 м/с до 21,2-10-2 м/с.
Сравнение результатов расчета с экспериментальными измерениями подтверждает адекватность математической модели (рис. 2). Наблюдаемое расхождение расчетной и экспериментальной температуры основы объясняются, по-видимому, инертностью термопарного датчика. Как видно из графика (рис. 2), температура в растущем слое может существенно превышать интегральную температуру системы, измеряемую экспериментально термопарой.
Таким образом, качество плазменных покрытий из порошковых материалов может регулироваться не только за счет тепла, аккумулированного отдельной частицей при ее нагреве в плазменной струе [5], но и за счет длительности и величины температурного пика, возникающего при прохождении плазмотрона над рассматриваемой точкой поверхности.
Список литературы
1. Барвинок В. А. Управление напряженным состоянием и свойствами плазменных покрытий. - М.: Машиностроение, 1990. -384 с.
х
2. Барвинок В. А., Богданович В. И. Решение нестационарной задачи теплопроводности при наличии граничных условий первого, второго и третьего рода //Изв. ВУЗов: Авиационная техника, 198, № 2. - С. 31-35.
3. Барвинок В. А. Богданович В. И. Нестационарная задача теплопроводности с произвольно движущейся границей //Изв. АН СССР: Энергетика и транспорт, 1982, № 6. -С. 128-139.
4. Богданович В. И., Барвинок В. А., Намычкин А. С. Влияние скорости перемещения плазмотрона на распределение температур при плазменном напылении //Изв. ВУЗов: Машиностроение, 1984, № 6. - С. 144147.
5. Кудинов В. В., Иванов В. М. Нанесение плазмой тугоплавких покрытий. - М.: Машиностроение, 1981. - 192 с.
MATHEMATICAL MODEL OF SYSTEM HEATING BY A MOVING SLAYER
IN CASE OF PLAZMA SLAYING
© 2004 V. M. Karasev “Metallist” Joint Stock Company
A procedure of calculating temperature distribution across the flat system coating-base has been developed. The procedure involves plasma spraying and takes account of plasmatron motion and coating build-up. It is shown that the temperature in the near-surface layer of the coating sprayed during plasmatron passage can considerably exceed the temperature magnitudes in the lower layers.
