Аналитическое решение задач циклического контактного теплообмена для системы двух плоских тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.21

М. А. Евдокимов, В. В. Стулин

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЦИКЛИЧЕСКОГО КОНТАКТНОГО ТЕПЛООБМЕНА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ПЛОСКИХ ТЕЛ

С помощью интегрального преобразования Лапласа получены аналитические решения ряда циклических тепловых задач, включая задачи контактного теплообмена для системы двух бесконечных пластин с термическим сопротивлением в зоне контакта при различных условиях внешнего теплообмена. Для квазиустановившейся стадии процесса решения получены двумя методами в форме систем интегральных уравнений Фредгольма. Решения учитывают циклическое инициирование разнородных по характеру теплообразующих источников. Тепловой поток трения локализован в пределах пограничного термического слоя.

Вопросы управления и оптимизации большой группы процессов технологической теплофизики (это прежде всего процессы горячей обработки металлов давлением) связаны с необходимостью решения циклических тепловых задач контактного теплообмена с чередующимися краевыми условиями (IV^II)-ra (или (ГУ’^Ш)-го, (IV^I)-ra) рода на контактной поверхности. Обычно задачи такого класса решаются на основе редукции, а это неизбежно приводит к схематизации контактных систем разобщёнными (одноэлементными) моделями с однородными граничными условиями II-го или I-го рода, при этом автоматически возникают (и во многом остаются открытыми) вопросы выбора мощности и точности разнородных и одновременно действующих тепловых источников (определение которых требует решения обратных тепловых задач) как в зонах контактирования объектов, так и в зонах их пространственной аккумуляции. К последним следует прежде всего отнести тепловые потоки qv от трения тел по контактной поверхности, тепловые потоки qw от пластического формоизменения отдельных элементов и тепловые потоки qf от начального теплосодержания элементов. С позиций временной схематизации и циклического характера реальных теплоконтактных систем в математической модели циклическое температурное воздействие можно представить состоящим из непрерывной последовательности следующих друг за другом единичных циклов контактирования (т — номер произвольного цикла), каждый цикл включает контактный период длительностью тс и неконтактный длительностью тг (длительность цикла т + = тс + тг ).

Наиболее важной с практической точки зрения является квазиустановившаяся стадия процесса (т ^ то), когда достигаются предельно допустимые эксплуатационные температуры технических объектов, поэтому ниже предлагаются два возможных аналитических подхода определения указанных температур, причём первый из них учитывает некоторые специальные условия (последовательные допущения), а второй—условия сопряжения. Каждый из методов может быть реализован как для одного теплоисточника, так и для их совокупности, но в последнем случае математические выкладки и итоговые решения становятся весьма громоздкими. Поэтому в первой из рассматриваемых ниже задач учитывается источник начального теплосодержания qf (соответствующим величинам приписывается индекс f ), а во второй qv, и при этом присваивается индекс v. С целью наглядности и возможности последующего численного анализа рассмотрим циклическое контактирование двух плоских объектов (пластины конечных размеров 1\ и I2), имеющих одну плоскость контактирования

(х = 0) в принятой системе координат одномерной теплопередачи, при этом в постановке первой

краевой задачи учитывается, что qw =0, qv = 0, qf = 0:

(^-а^)Т/Г}(ж^) =° (* = 1>2)> *>0, men, (1)

где t — время, х — координата, i = 1 —номер (индекс) пластины толщиной 1\ (х € [—1\, 0]); i = 2 — номер (индекс) пластины толщиной I2 (х € [0, I2]); Tfm) —температура в m-ом цикле от действия циклического теплоисточника qf; Aj, a —соответствующие номерам пластин коэффициенты тепло-и температуропроводности.

Начальное условие для контактной системы записывается следующим образом:

- при t = 0:

Tf2}(x,t)=0; (2)

- для моментов времени t = (m — 1)т + в каждом m-ом цикле:

Tfm (х, t) = f|m) (х) = const. (3)

Граничные условия:

- при х = —li, t > 0 (адиабатическое условие):

- при х = 12, t > 0:

, dTn''<*> *) n.

Al-------я------- — U’

дх

(4)

дт)т}(х, t)

— Аг---------------- — CK2

дх

при х = 0, t € [(m — 1)т +, (m — 1)т + + тс]:

дт(т}(х, t) dTf™; (х, t)

- при х = 0:

Ai

дТ^(х, t)

Т}т)(х, t) — Tq

(m)

= 0;

i

дх

+ Л2-

2

дх

— Л2-

2

дх

+ H

f (х, t)—т<т)(х, о

0.

(5)

(6)

(7)

Коэффициент теплообмена H на контактной плоскости равен а для интервалов контактирования, а в периоды пауз (t € [(m — 1)т + + тс, mr +]) принимается равным нулю; а2 — коэффициент теплообмена по закону Ньютона на границе х = I2; Tq = 0 — температура окружающей среды.

Решение сформулированной задачи (чтобы исключить выполнения постадийных расчётов) осуществим для квазиустановившейся стадии теплообмена (m ^ то) методом последовательных допущений: на первом этапе решения допускаем, что в период контактирования для некоторого произвольного m-го цикла известно начальное температурное распределение f2m)(x) в пластине 2, аналогично считается заданной и равномерной начальная температура первой пластины f 1m) (х) = const (в общем случае температурное распределение может быть неравномерным). Тогда для единичного

m-го акта теплопередачи температурные поля элементов системы можно выразить через f2m)(x), исходя из решения следующей краевой задачи:

d t ~1 дх2 )

с граничными и начальными условиями:

д д2

-------1 TfT = 0) t > 0, тф 1 (г = 1, 2)

(8)

дт(т) (х, t)

Aip

дх

x=—li

д_ 02 дх Лг

т (m) Т fi

(х, t)

дт(т) (х, t)

дх

x=0

— A2P

дт(m) (х, t)

дх

x=l2

= (т<т) (х, о—т<’1“)(х, t})

x=Q

x=Q

т)Г)(х,0) = л(Г)(х) =const, T/m)(x>0) = f2m)(x),

(9)

(10)

(11)

где р = л — термическое сопротивление в зоне контакта.

Если на границе х = 0 дополнительно генерируется тепловой поток трения ^ (£), то его можно учесть введением в условие (10) соответствующего теплового потока. Применяя к системе (8)—(11)

преобразование Лапласа по времени £ [1, 2] (в предположении, что функции (х, £) являются

оригиналами) после соответствующих выкладок получим искомые решения в пространстве изображений:

- для пластины 1:

т‘п^р) = ^Г

1 I *(m) Bisi ch £i (li + x) I

+----------------j,------------- Ul

l2

f2m)(^}

eili ch £2(^2 — £) +Bi2 ch £2(^2 — £)

— f(0mM £2^2 sh(£2l2) + Bi2 ch^b) ) J> ) ; (12)

0

0

0

- для пластины 2:

Т^\х, р) = ^7 ^КєВі31/[^ вЬ(еігі) [Ві2 8Ь(є2(І2 - X)) + є2І2 сЬ(є2(І2 -х))] +

+ Є2

Єї її вЬ(еіІі) сИ(є2 ж) + БЦі [ еЬ(єі її) сИ(є2ж) + К 8Ь(єі її) 8Ь(єі ж)]

X J -О) +Є2І2сЦє2(І2 ~0)]<% ) ~~Ь/ & (0 $Чє2(х -0)<%. (13)

Здесь используются следующие обозначения:

Т^™) (ж,р) = J т(т)(ж, і)ехр(-рі)^:

— изображение по Лаплассу функции-оригинала Т^™\ г = 1, 2; В1в1 = ^-1ь — критерии

Био; 1^е = —критерий характеризующий тепловую активность первого объекта по отношению ко второму; £\ = £2 = —параметры;

К = КеВ^1 8Ь(в1^1) [в2^2 сЬ^Ы + В12 8^^)] +

+ [в1^1 еЬ(в111) + В1в1 сЬ(в1^1)] [в2^2 8Ь(в212) + В12 ^(^2)] •

Воспользовавшись теоремами разложения и умножения изображений операционного исчисления, получим соответствующие температурные функции Т^т) (х, £) (* = 1, 2) в пространстве оригиналов в форме тригонометрических рядов:

- для пластины 1:

т}7}(ж, і) =2^ф{1(ц,п)со$ц,п ( 1 + ^ ) і /У С°8 8ІП) +

п=і

І2

Я *

(Л С А , • (Л С

СОЭ —— 1 — — + ЭШ —— 1 — —

Я *ВІ

2

Я *

Я *

ехр -

(Я*)

2

Бо2 ; (14)

для пластины 2:

Т)!Г)(ж, ^ = 2^ ^/і(^п)

п=і

Я • /и Ж \ . 1 /и Ж

----БШ--------- 1 — — Н-------сов-------- 1 — —

Я* V І2/ Ві2 Я* V І2

+

1

1 \ ^гаж ^ ■ ^гаж

соэ цп — /хга—— эт /лп ) сое -----------------А 2 эт /лп вт

'«і *

ВІяі ' У ~“Я*Ї2 " Я*Ї2

* / /2от) (С)

1 ^га / 1 С \ | 1 ^га

— вт —— 1 — — + ТТ ^ сое ——

Рп Н* \ 12) я*Ві2 я*

-І

^ }> ехр ( 02 ) +

+

//Г«)ехр ((15)

X

2

2

X

1

В приведенных решениях обозначено:

/ ( \ ) ъг ( 1 Ип Н* . цп\ Кє .

Wfip-n) = Цп< Ке cos /І„ ( — cos 77^ + — Sill — ) + — sin цп x

\Bi2 H* 11 1 A

1 H-------cos------------

Bi2 H*

H *

^n

---------sin —

H *Bi2 H *

^n і ( 1 і 1

COS /ira + 1 +

Bi

sl

Bi

sl

sin Un

^n

. / Я* iin 1 . iin \

+ — cos-------------------sin — X

\iin H* Bi2 H*)

( 1 1 ■ ^

+ ----COS Hn- Sin Цп X

VUn Bisl )

X

^n №n . I . 1 і . Г-/К

Я*Ві2 cos Я* ( Bb Jsm я*

(16)

К1 = 1^а = ^—безразмерные параметры; Я* = -^= = —безразмерный критерий, харак-

теризующий темп перестройки температурной обстановки в пластине 2 по отношению к пластине 1;

Б°2 = — критерий Фурье.

2

Суммирование в (14), (15) ведётся по всему множеству корней (^га > 0), которое задаётся трансцендентным уравнением

г* _ кі _ h

Ке

^n

sin Un

1 ^n . H . ^n

COS -^7 H----------Sin

Bi2

H*

H*

1 . 1 W 1 . Un H * ^n\

—- sin Hn-------------COS Hn) — sin —-----------------------------cos — I =

Bis2 Un ) \Bi2 H * Un H *

О.

(17)

Полученные температурные функции позволяют найти в общем виде такую важную характеристику процесса, как поток теплообмена д(т) (і) между контактирующими элементами:

х

х

q(m)(t) = -Лї

ат}?(о, і) _ л,^, ^ / (т) /я* __ і

dx

0Лї • J -c(mW H Un 1 . Un

= 2^^sm4 /10 ( — cos 7^: - ^7 sm

n=l

l2

+ rjf£\0

2с

Un Un

Я*Ві2 cos Я*

\ Un

H*

Bi2

H*

+

, • Un

+smi^

(H*)

(18)

Отметим, что в выражении (18) функционально взаимосвязаны две неизвестные функции: f2c°) (x) и q(m)(t). Очевидно, для нахождения указанных функций необходимо иметь два функциональных уравнения. Второе искомое функциональное уравнение может быть получено на основе следующего последовательного допущения: предположим, что поток q(m)(t) известен и циклически действует на контактную поверхность пластины 2 и требуется найти её температурное поле (временные параметры теплового нагружения соответствуют их значениям для всей контактной системы). Для решения

этой задачи в общем виде предварительно рассмотрим частично редуцированную модель теплообме-

( m)

на: на пластину циклически действует поток с закреплённой мощностью qC = qc = const в периоды контактирования тс. В этом случае температурные поля для m-го цикла контактирования можно получить интегрированием уравнения теплопроводности

д

t > 0, x Є [0, l2], m Є N

при следующих краевых условиях:

Л2

dTc(m) (x, t)

dx

x=0

qc^ {n 2t - (v - 1) т + - тс] - n 2t - (v - 1)т+] } ;

^ j x=C

v=l

x=l2

= 0 Tc(l) (x, 0)=0,

(19)

(20)

(21)

где п(і — т) —функция Хевисайда с параметром запаздывания т.

В постановке, аналогичной (19)—(21), возможно рассмотрение и другого важного случая чередующихся граничных условий (ІУ-ІІІ)-го рода, когда на этапе (тг) контактная поверхность охлаждается по закону Ньютона, в частном случае, с постоянной интенсивностью. Тогда правая часть (20) задаётся в виде ступенчатой знакопеременной функции

где дг = д — дс — постоянная интенсивность теплоотвода с поверхности х = 0, определяемая величиной д.

Систему (19)—(21) решаем для произвольного т-го цикла методом преобразования Лапласа и выполняем предельный переход т ^ то, в результате получим для квазиустановившейся стадии процесса и периодов тс и тг соответственно решения, представляющие ряды по собственным функциям, зависящим от пространственной переменной:

тг = т + — тс —длительность этапа охлаждения пластины 2 с поверхности х = 0, причём Гс € [0, тс], € [0, тг].

Положительные корни ип, по которым ведётся суммирование в (22), (23), определяются из характеристического уравнения

Приведённая выше постановка краевой задачи (19)—(21) и её циклическое решение выгодно отличаются от известных тем, что предельный переход т ^ то совершается лишь после окончательного решения системы в пространстве изображений, что позволяет легко определить циклические температурные поля с использованием преобразования Лапласа. Одновременно отпадает необходимость в трудоёмких вычислениях вычетов в простых полюсах Рп = ± (здесь г — мнимая единица, п € М); исключается получение и последовательная численная обработка рядов Фурье, как правило, плохо сходящихся.

На следующем заключительном этапе решения общей краевой задачи осуществляется переход

(т) „

от циклического потока дс постоянной интенсивности к потоку переменной интенсивности д (г) в периоды контактирования всего процесса. С этой целью, учитывая цикличность процесса, преобразуем ранее полученные решения (22), (23) согласно теореме Дюамеля. В основу указанного преобразования естественно положить понятие переходной температурной циклической функции, представляющей собой реакцию системы (объекта) на конечную или бесконечную периодическую последовательность прямоугольных тепловых импульсов единичной мощности. Для рассматриваемой краевой задачи переходными циклическими функциями для этапов тс и тг являются

Схема получения интеграла Дюамеля для случая циклического воздействия остаётся традиционной [3]: действительный циклический процесс внешнего теплового воздействия в виде импульсов произвольной формы разбивается на систему смещённых во времени элементарных периодических процессов с прямоугольной формой импульсов с последующим их суммированием.

Пусть элементарный скачок Ад* циклического потока возникает в момент времени т + Ат = тс каждого цикла, тогда значение искомой температуры от действия Ад* для квазиустановившейся стадии с учётом введённых по аналогии обозначений и переходных характеристик будет [3]:

т

(—9с)п(і)+ — — !) т + — тс] — п[* — — 1)т+] },

тИ(х,іс)

(22)

(23)

где обозначено

А2-и„ С08 «п(І2 — х) + а2 ЭШ ИП(І2 — х)

ип [\2hUnCOSUnl2 + (А2 + (Х2І2) вІП ип1^ ’

(24)

Т1с(х, іс) = -ГІ°°)(ж, іс), Т1г(х, и) = -Т^\х, и).

- для периода нагрева (величина т + Ат входит параметрически в функцию двух переменных):

А2 + (^2 — х)а2

Ао*

Aq*Tic(x, tc; т + А т) = ——

^2

для периода охлаждения:

а2

Е°° П (m\ еХР a2'ura(rc - tc) - exp a,2Un(r+ ~ tc + T + Ar)

й 9 T

1 — exp a2unr+

—2 2_^ C™(x)

n=1

Aq*Tlr(x, tr; т + At) = —— ^ Cn{x)

2Aq* ^ exp а2иП(тг — tr + т + Ат) — exp а2иП(т + — tr)

2 т+

Л2 1 — exp a2un т

Суммируя по всем элементарным циклическим потокам Aq*, включённым в соответствующие моменты т + Ат > тс, и переходя к пределу Аттах ^ 0, с учётом предельного соотношения

Aq* ^ dq* (т) = [о*(т)]^т

получим искомые температурные функции от воздействия циклического потока в виде

tc

о о

2a2

Тс*(ж, tc) = — У^^Сга(ж)ехр (-a2u2ntc)

А2 1

n=1

J о*(т) exp (а2иПт) dт о

1

' с

У о*(т)exp (а2иПт) d^ (25)

о

Тс

гг*г 4- ^ 2а2 2г1 ^ ^ехр (—а2г^(rc + ir)) f 2 u

ТДж, tr) = — У unCn(x)—------------------?----- q (т) exp(a2unT)dT.

Л2 z—' 1 — exp (— a,2ипт +) I

n=1 n

1 — exp (а2иПт+)

о

2 (26)

о

Любое из последних двух решений можно использовать для получения второго уравнения в системе, связывающей функционально q*(t) и /20^ (x). Например, при tr = тг из (26) получим

Тс

f(m)/\ 2a2 unCn(x) f \ ( 2 )j

/20 И = ^ E exp (а2и2пт+) — 1 J q (T) exp dT- (27)

n=1 0

При рассмотрении квазиустановившейся стадии решения (25), (26) остаются справедливыми с учётом предельных соотношений /20m) (x) ^ /20°)(x), q*(t) ^ q(o)(t), переход к m ^ то основывается на очевидных физических соображениях: квазиустановившаяся стадия теплообмена полностью предопределяется наличием периодической составляющей теплового нагружения и не зависит от пути, по которому система выходит на неё (начальное температурное распределение в пластине 2 в первом цикле и апериодическая составляющая действительного теплового потока, воздействующего на пластину, повлияют лишь на момент выхода на квазиустановившуюся стадию). Отмеченное вполне согласуется с положениями и выводами, которые имеют место в теории электрических цепей [3], где применяются специальные приёмы, использующие операторные представления передаточных функций, а также свободной и принуждённой реакций электрической цепи на периодическую (несинусоидальную) воздействующую функцию.

Система уравнений (18), (27) для случая m ^ то однозначно разрешается относительно неизвестных функций /2о°о)(х), q(o)(t). После подстановки (27) в (18) получим неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода, из которого временная функция q(o) (t) определяется методом итераций:

Тс

q(°°\t) = F(t) + ^ J q^\r)K(t, r)dr, (28)

где свободный член Т(£) и ядро К(£, т) уравнения записываются следующим образом:

7-і2Л1 f(&>) /^Н І • А ( ^n Т?

т = -^!т Е*»>«*W-BbS1"jехр[-WP

ГО

K (t, т) = Е sin exp

n—l

(H *)

*\2

Fo2 £

n —l

І2

x / Cn(0

О

г4 exp(a2U^r) exp(a2un т+) — І

^n ^n

я*ві2 cos 77*

Определив (^), по формулам (25), (26) вычисляются температуры в любой момент единичного

цикла на квазиустановившейся стадии. По аналогичной схеме вместо временной функции д(°)(£)

находится координатная функция /2о°)(х).

Для решения краевой задачи (1)-(7) (в предположении, что = 0, ^ = 0, д/ = 0) можно использовать отмеченные выше условия сопряжения (метод сопряжения), в основе которого лежат условия периодичности и сопряжения температурных распределений по сечению пластины 2 от цикла к циклу на квазиустановившейся стадии. Действительно, в начале и в конце единичного циклов температуры должны совпадать (это минимальное распределение по сечению обозначим /^°)(х)т1П), температуры также равны в конце периода контактирования и в начале этапа охлаждения (это

максимальное температурное распределение по сечению обозначим /^°)(х)тах). Тогда выполняются равенства

Tv(ro)(x, tc) = Tv(ro)(x, tr) = /ir)(x)min, tc Є [О, ^],

tr Є [О, тг].

(29)

(30)

tc—0 tr —Tr

Ti°°)(x> tc) t — = т*(°°)(х, tr) t = /^°)(x)r

tc — Tc tr —0

Соотношения (29), (30) полностью определяют цикличность процесса и чтобы связать /V0°)(x)min

и /^(о°)(х)тах функциональной системой необходимо решить последовательно следующие две краевые задачи.

Рассмотрим задачу одноразового контакта пластины 1 с нулевой начальной температурой и пластины 2 с минимальной начальной температурой распределения по сечению при m ^ то и = const:

^ - a^) Ты°\х> tc) = 0, tce [0, Те].

Граничные условия:

(І+я2)г<г>(,,іс)

X—Ї2

77 «2.

Hl V

dTv(r)(x, tc)

dx

dTv(r)(x, tc)

X——її

= О;

Рілі

dTv(ro)(x, tc)

dx

x—0

dx

+ Р2Л2

x—0

+ Л2

dTv(2CO)(x, tc)

dx

x—0

+ qv = О;

tc)

dx

0 — Tv(2CO) (x, tc) 0 + T(r)(x,tc)

x—0 x—0

x—0

= О,

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

где величины рх = р2 = ^гг—учитывают локализацию потока трения в пределах пограничного

термического слоя (р1 + Р2 = р). Начальные условия при tc = 0:

ТІГ) (x, tc) = 0, tc) = /V(r)(x)min.

(З6)

X

О

Л

Система (31)-(36) интегрируется с использованием преобразования Лапласа. Для дальнейшего потребуется температурное решение только для пластины 2, которое приведено ниже:

т{оо)(х і ) - 9^2 + ду(І2~хї + \"ф~1(и ) < (- ду1*к* ^ "2 { ’ с} Л2Ві2 + А2 { пс) І V А2а2и1с)

пгас .

X | совипс - — эш ипс

11

пгас I х \

йтя* I ~Т2) Я*Ві2 я

ппс ппс

сое

+

+

008

ІІпсХ

НЧ~2

І2

* / /%Ч()

Вії

ппс . \ ^ I . ппсх

сое ипс - —г эт ипс - эт ипс ( эт -7777- +

Н *І2

ППС пгасх

СОЯ

пгас / 1 С \ ^2Н . пгас

——— соя —— 1 — — М----------вш ——

й2Ві2 Н * V /2/ а2-игас Н *

н * Ві2

1-і

^2

х ехр —

(Н *)2

Н*І2 ^{| х

(х — С)2

л/тта2Іс

У /ІГ)(6тіпехР (~^4д2^ (37)

где Бо2 = т§-£с— критерий Фурье;

1п

с (игас) — (

/2

+

2п;

2пПса1

пп

Н*ВІ2Ві2 Н*

+ 1-

гас 8ІП ^ - ( 1 -

п;

2

Ипс . ипс

Я* Ві2 я*вї|

п„с * .

'М'пс _|_ 'М'пс

Н*ВІ2 ' Н*Ві^ Н* ~‘“ Н*

ппс . ппс , ЭШ ^т- +

ппс ппс

(я*)2ві2ві^У я* 008 Я*

Чпс \ • ^П£

(Я*)2Ві2ВІ2 / я*

— ппс СОЭ ппс пгас

"И-гас "И-гас

Я*Ві2 Я*Віо

п

2

"И-гас "И-гас ! "И-гас ,

я*йт Я* Я*Ві2 йт Я* (Я*)2Ві2

008

Ппс

я*

2

пгас .

сОб ппс —

ппс . \ / ппс ппс . ппс \ / . ппс . ппс \ I /оо\

- Щ7 81П игас I - I сов — - 81П — ] І Ипс 81П Ппс + — 81П Ппс + — СОв Мгас ) }, (38)

і1

і1

В!!' = В,^ = 21(2 - критерии Био, й'д = & К„ = К, = Я' = А« = $. ■

безразмерные критерии.

Суммирование в (37) ведётся по всему множеству корней характеристического уравнения

008

ппс ппс • ппс

---- — ---------ЯШ-------

Я* Я*Ві2 Я*

п«с

соя ипс - — ЯШ ипг I -

— Кє яіп пп

і1

/ 1 1 \ пгас . пгас і

(вь + вїіі я^8Шя^ + ,1“

(Я*)2ВІ2ВІ2) Н*

— 0. (39)

Перепишем решение (37) в более компактной интегральной форме:

х

х

X

Т^)(Х’ ІС) = ~Щ~2 + Х) + Я(Х’ Г°2) + / /-2°0)^тІп^с(Ж’ Г02)^+

+ 7Ш/ехр 1 ^ <40)

0

где функция Кс явно определяется из (37) в виде ряда 126

Кгс(ж, С, БО2) — Е ^-1(Ппс)х

П=1

ппсж / ппс • \ ^ ( • ппсж . ппс ппсж

сое (соя «пс - — вш «пс ) - вт «пс ( вт соя

і1

НЧ2 Н* В[ь2 НН2

к со8_ Г\ +

а2Ві2 Я* I г2/ а2ипс

ЯШ

Щіс

Я*

а функция ф(ж, Бо2), соответственно,

-І

пп

ехР ( - 777^2 Р°2

(Н * )2

пп

X СОЯ Ппс -

ппс /1 ж

8Ш —— 1 — —

я* V /2

ехр

пп

(Н * )2

БО2

Вторая вспомогательная задача формулируется только для пластины 2. Рассмотрим случай естественного (конвективного) охлаждения пластины с произвольной начальной температурой /^^°)(ж)та> в окружающую среду через обе ограничивающие поверхности (ж — 0, ж — /2) по закону Ньютона. Обозначенная задача имеет постановку:

д д \ ( )

^ “ 0,20^2 ) Т^2°ЧЖ> їг) =0, и Є [0, тг], х Є [О, 12];

граничные условия:

х=0

- начальное условие при іг — 0:

Х=І2

ТІГ)(ж> ^) — /(Г)(ж)тах

— 0;

(41)

(42)

(43)

(44)

где Я2 = Я2 = —относительные коэффициенты теплообмена.

Решение задачи после преобразований запишется так:

™(^)/ , \ , -1/ N ] ( • Ппгж ППГ

т;2 ;(ж, *г) = 2_^Фш (иПг)< ( 81П-^— + ^77 п=1 I 2

І2

х У /ІГ)(С)т

ппг ж ппг Ппгж

1 соя —— I X

/2

—віп ипг (1 - ) Н--соя ипг (1 - І

а2ппг V а2Ві2 V /2

ехр (—пПг Бо^ +

+

\/іта2іг

где

г (ппг ) — (

/2

/2

2п2а2

ппг ппг ,

77:-----Ь 777Г I СОЯ иПг —

Ві2 Ві'2

ппг ппг ,

ВІ2 Ві^.

2п

2

Ві2Ві

Т Яіп Ппг + 1 —

пп

Ві2Ві2

Ппг СОЯ ппг

X

X

X

Ві1

0

X

1

Ві2 = = ^^2) ВІ2 = Н2І2 = ^І2- Суммирование ведется по всем корням ипг трансцендентного

уравнения

я" I.1 “ вдаї) + (вії + вії і = °- ( ’

Запишем (45) в интегральной форме:

І2 X

■Л00) Л* £г) — /" ^°°)т С ЙС л_____І____ [ ^(°°)/'

Т^}(ж, Іг) = У /^(Ошах^г (ж,£,Го2)с2£ + у== У /ІГ} (Ошахехр (47)

0 0

где функция Кот представляет соответствующий ряд из (45):

Полученные интегральные соотношения (40), (47) на заключительном этапе решения позволяют

определить температурные функции /1(^)(ж)т1П, /^(ж)тах и тем самым решить задачу циклического контактного теплообмена для квазиустановившейся стадии. С этой целью интегральные соотношения (40), (47) удовлетворяют условиям сопряжения (29), (30). В уравнении (40) следует принять £с = тс, а в (47) принять = тг. Тогда получим систему двух интегральных уравнений относительно

двух искомых определяющих функций /^(^тт, /^(^тах:

12

/УО^Ошах = ^ ^ ~ Ж) + <Э(ж, Го2) + У ^(Отт^сКс,^,^)^

0

х

+7^//'”)К)т,пеЧ~1^)^ (48)

0

12 х 2

/?(4т = У /^(Отах^г (Ж, Богг)^ + J /У (£)тах ехр (49)

0 Г 0 Г

где Боге = тт'Гс) Бо2г = тх'Гг— безразмерные числа Фурье.

12 2

Составленная сложная система интегральных уравнений (48), (49) допускает лишь численное решение относительно искомых функций, знание которых позволяет определить переменные температуры и потоки в любой точке контактной системы на квазиустановившейся стадии. Один из наиболее простых методов решения систем подобного типа — замена известных и неизвестных функций ступенчатыми функциями с последующим применением формул численного интегрирования и получением систем рекуррентных уравнений. Полезно также отметить, что при наличии решений для квазиустановившейся стадии появляется возможность интерполяционного подхода к решению циклической задачи, когда температуры и потоки, рассчитанные постадийно для начальных циклов и квазиустановившейся стадии рассматриваются как опорные (узловые) точки при построении интерполяционной модели процесса теплообмена для произвольного цикла, что является основой термонапряжённого анализа контактной системы, управления и прогнозирования эксплуатационной стойкости объектов контактирования. Возможен переход к контактному теплообмену с полуограни-ченным телом при I2 ^ то.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лыков, А. В. Теория теплопроводности [Текст] / А. В. Лыков. — М.: Высш. шк., 1967. — 600 с.

2. Карслоу, Х. С. Теплопроводность твёрдых тел [Текст] / Х. С. Карслоу, Д. К. Егер. — М.: Наука, 1964. — 496 с.

3. Атабеков, Г. И. Основы теории цепей [Текст] / Г. И. Атабеков. —М.: Энергия, 1969. —396 с.

Самарский государственный технический университет, г. Самара Поступила 18.01.2008

M. A. Yevdokimov, V. V. Stulin

ANALYTIC SOLUTION TO CYCLIC CONTACT HEAT EXCHANGE PROBLEMS FOR A SYSTEM OF TWO FLAT BODIES

Analytic solutions to a number of cyclic heat problems, including those of contact heat exchange for a system of two infinite plates presenting thermal resistance within the contact zone under various conditions of external heat transfer, have been provided using the integral Laplace transformation. Solutions for the quasi-steady-state process stage were provided, using two methods, as sets of Fredholm integral equations. The solutions allow for cyclic initiation of heterogeneous heat-generating sources, the thermal friction flow being within the boundary thermal layer.

Samara State Technical University, Samara, Russia

Received 18.G1.2GG8