CC BY
51НЕПРИЯТИЕ РИСКА ИНВЕСТИЦИЙ ПРИ ФИНАНСОВОМ КРИЗИСЕ
О.Л. КРИЦКИЙ,
кандидат физико-математических наук, доцент, заместитель декана факультета естественных наук и математики Томский политехнический университет
Предложена методология вычисления одномерного и многомерного неприятия риска, основанная на асимптотическом оценивании условного математического ожидания и дисперсии избыточной доходности. Построены доверительные интервалы и области найденных показателей. Доказана адекватность введенной меры риска при управлении инвестиционным капиталом в моменты резкого падения цен акций на фондовом рынке, в частности во время мирового финансового кризиса.
Ключевые слова: коэффициент неприятия риска, коэффициент Шарпа, инвестиции, кризис, доходность, интервал, метод.
Введение
Коэффициент неприятия риска y, абсолютный, относительный или условный, является важной характеристикой управления активами в условиях неопределенности рыночной конъюнктуры [Буренин (2008)]. Его значение помогает инвестору принять решение о вложении финансовых средств в рисковые или безрисковые активы на краткосрочный или долгосрочный период, а также позволяет разделить совокупность профессиональных участников фондового рынка на риск-нейтральных, предпочитающих или отрицающих риск, что, в свою очередь, влияет на ликвидность или объем торговли ценными бумагами.
В настоящее время имеется большое количество методик оценивания и вычисления неприятия риска. Условно их можно разделить на три категории.
К первой относятся алгоритмы, определяющие Y как корреляцию между приращениями цен активов и их волатильностями [Kumar, Persaud (2002)].
Вторую составляют методы, позволяющие моделировать математически различное поведение инвесторов на рынке и находить y [Sansone, Garofalo (2007)], рассматривая риск как разность между квадратом потребностей инвесторов в активах и заданным уровнем дисперсии их ценовых приращений. При этом учитываются возможные предпочтения инвесторов относительно способа обработки ими цен активов (технический или фундаментальный анализы), а также время их реакции на поступающую
во время торгов информацию и время ее осмысления. Кроме того, модель учитывает объемы ценных бумаг, которые продавцы и покупатели желают продать или приобрести в определенный момент времени в зависимости от поступающих новостей.
Наконец, к третьей, самой обширной, категории относятся методы, вычисляющие неприятие риска с помощью функции полезности инвестора U (W) или U (С), где W — уровень его капитала, С — уровень потребления. С нашей точки зрения, наибольший интерес представляют работы [Ait-Sahalia, Lo (2000)], [Ait-Sahalia, Brandt (2001)], [Rosenberg, Engle (2002)], [Bliss, Panigirtzoglou (2004)]. В них рассматриваются абсолютное у и относительное неприятие риска р( вида: U " (ST) STU' (ST)
Y t(ST) = -
U' S )
Pt (st ) = -~
U'(St ) '
(1)
где ST — будущая цена акции, рассчитанная в момент t, t < T. Однако методология проведения вычислений у авторов различается. Так, в работе [Ait-Sahalia, Brandt (2001)] перебираются и используются функции U(ST) , записанные в показа-, уф 1,
тельной форме и(5Т) = 11 -у'' , при различных
1п , у = 1.
значениях показателя у. В [Ait-Sahalia, Lo (2000)] предполагается, что фондовый рынок справедлив и существует риск-нейтральная плотность распределения /*(8Т) будущей стоимости STпри известном Sr Она учитывает в себе всю информацию о предпочтениях инвесторов, объеме торгов, ликвидности, финансовом состоянии предприятий, а ее отношение с эмпирической плотностью / (БТ) вида
/Ж)
Z, (St ) =
позволяет найти р'
Pt (ST ) = -
f (St )'
St z' (St )
Z, (St ) '
Далее производится непараметрическое оценивание дисконтирующего фактора Zt (ST), для чего используется оценочная функция Надарая — Уотсон (Nadaraya — Watson), аппроксимирующая извлеченную волатильность а в формуле Блэка — Шоулса. Вычисленная оценка а, позволяет получить распределение справедливых цен опциона при различных ценах исполнения в зависимости от будущей стоимости базового актива ST и детерминировать ft (ST), а значит, и Z, (ST).
Аналогичный подход был рассмотрен в работе [Bliss, Panigirtzoglou (2004)]. Авторы предлагают строить ft* (ST) по сглаженным сплайном значениям приближений а, для извлеченной волатиль-ности а t опционов европейского и американского типов, переходя из пространства (цена опциона, страйк) в пространство (извлеченная волатиль-ность, дельта).
Методология нахождения дисконтирующего фактора получила свое дальнейшее развитие в работе [Rosenberg, Engle (2002)], в которой функция Z, (ST) ищется через разложение по многочленам Чебышева:
Z, - Zt (х) = e0T0 (х) + QlTl (x) +... + qntn (x),
где 0i, i = 1,n , — неизвестные коэффициенты, Tj (x) = cos(j arccos(x)) — многочлены Чебышева первого рода степени j, j = 1, n . При этом оценивание коэффициентов 9;. производится из условия минимума дисперсии ошибки между эмпирическим значением S и ее дисконтированной стоимостью S:
S, = E (ZTST),
где E* — риск-нейтральное математическое ожидание.
В отличие от приведенных выше способов нахождения уt (ST) в настоящей работе в качестве абсолютного неприятия риска предлагается рассмотреть показатель рыночной стоимости риска (или коэффициент Шарпа) и вычислять его как отношение условных моментов распределения вероятности:
E(rt J Rt)
Y t = Y t (St ) = ■
(2)
Я,)
где г = (Я1 -1,) — избыточная доходность акций, имеющих котировки S , Я = - -1 )8~\ — относительные приращения цен, I — относительные приращения значений индекса, , = 1, Т . При этом генерация будущих величин Я,+1,1,+1 проводится в соответствии с методологией STS—GARCH (1,1)
с остатками, удовлетворяющими вероятностному закону из класса эллиптических распределений (см., например, [Бельснер, Крицкий (2007)]).
Отметим, что по сравнению с существующими подходами задание коэффициента неприятия риска с помощью (2), обладает несколькими преимуществами. Во-первых, оно связано с хорошо проработанной теорией CAPM (capital asset price management, теория управления активами) и APT (arbitrage pricing theory, арбитражная теория оценки стоимости) и его легко применить для формирования оптимального и тангенциального портфелей (см. подробнее [Ait-Sahalia, Brandt (2001)]). Во-вторых, при вычислении у, уже нет необходимости принимать допущение о логнормальном распределении приращений цен, которое не выполняется при торговле на коротких временных интервалах [Бухбиндер, Чистилин (2005, № 2)]. А именно это предположение является основным при выводе формул Блэка — Шоулса и Барона — Адези — Вэли для нахождения справедливых цен опционов европейского и американского типа. В-третьих, для у можно построить доверительный интервал, пользуясь стандартной процедурой оценки математического ожидания и дисперсии в случае произвольного вероятностного закона [Крамер (1976)], что затруднено при существующих способах вычисления неприятия риска [Ait-Sahalia, Lo (2000)]. Наконец, методологию определения одномерного показателя у, можно обобщить на случай нескольких переменных, для чего достаточно рассмотреть (2) как отношение условных моментов многомерных распределений.
В настоящей работе предложена методология вычисления одномерного и многомерного показателя неприятия риска с помощью асимптотического оценивания E(rt+J Rt ) и D(rt+J Rt ). Построены доверительный интервал и доверительная область для значений y, при STS и многомерном нормальном распределении относительных приращений ut. Эффективность методологии показана при вычислении у, для высоколиквидных акций компаний «Лукойл», Сбербанк, «Роснефть», «Газпром», ВТБ во время финансового кризиса 2008 г.. При этом были использованы внутридневные цены закрытия (Close), взятые с интервалом в пять минут, за период с 1 августа 2008 по 24 сентября 2008 г. (всего 3 166 значений). Кроме того, для расчетов избыточной доходности были взяты 3 166 значений индекса ММВБ, зафиксированные в те же моменты времени. Все числовые данные предоставлены компанией «Финам» (http://www.finam.ru).
общие положения
Пусть / = (Я -1), . = 1,2, ..., — избыточная доходность, являющаяся дискретной реализацией некоторого непрерывного случайного процесса г (I), вычисленного в моменты времени ,
г Щ = г. Кроме того, пусть имеются ценовые приращения Дг, вида:
Аг, = г (I) — г (/, - А/,), (3)
где Д1. — временной лаг.
Как известно [Крицкий, Лисок (2007)], стохастический процесс г (I) полностью определяется бесконечным набором совместных плотностей рм (Д/;, Д^;...; Д/м, Д?м), которые зависят от N переменных, И—ж. В случае марковских процессов или процессов без памяти рИ распадается в произведение условных плотностей р(Д/+1, Д?1+11Д/, Д?.) реализации Дг;+1 за время Д1+р если Дг, произошло за время Д1:
Рм (Д/;, Д?;;...; Д/м, ¿м) =
N-1
Р(Д/;, Д?;) -П Р(Д/ + 1, Д?. + 1 , Д?. ). (4)
1 = 1
Заметим, что выражение (4) справедливо лишь в случае, когда все Дг независимы друг от друга. Не умаляя общности, предположим, что Дг (I) — марковский случайный процесс. Тогда безусловная плотность р(Д/+1, Д?.+1, Д/, Д?.) легко определяется через условную:
Р (¿/+l, Д/, Д? ) = р (Д/, Д?) р(Д/+1, Д?.+1 |Д/, Д.), (5)
где р(Д/, Д..) — одномерная функция плотности распределения случайной величины Дг, . = 1,..., N, значения которой детерминируются в (3) при фиксированном лаге Д1.
Например, для ценовых приращений Дг;+1 и ДЛ;. двух различных марковских процессов, вычисленных с лагами Д^.+1 и Д1, Д^+1< Д, в моменты времени ¿.+1 и I, выражение (5) принимает вид:
р(Д/+1, Д?+1; ¿Я, Д.) =
р(ДЯ., Д.) р(Д/+1, Д?.+11 ая , д.),
откуда
р(ДД+1! ¿Я, Д) = р(Д/+1, Д.+1; Щ, Д. V р(аЯ. , Д.).
Зная р(А/+l, Д^
ДЯ., Д?.), .= 1,...,N , при Д?., Д?.+1 — ж , можно вычислить первый и второй моменты условного распределения:
М(к) = 11ш
Дт—0
— Г (Д/ -АЯ)кр(Д/, т + Дт, |АЯ, т) d (Д/) Дт о
(6)
где т = Т/ Д?, ? е [?1,Т], к = 1,2, ^ — область изменения Дг (I). Тогда
Е(/^Я,) = М(1), ^Я,) = М(2) -[М(1)]2. Подставляя последние выражения в (2), детерминируем уг
Заметим, что численное интегрирование в (6) может проводиться любой квадратурной формулой повышенного порядка точности, например, методом Симпсона [Демидович, Марон (1960)]. Кроме того, отметим, что при переходе к пределу в (6) при Дт —^0 уменьшается количество данных, выбираемых для анализа, и рассчитываемые коэффициенты М(к) флуктуируют. Поэтому требуется фиксировать такиеДт, чтобы они были малы относительно общего периода Т, но, тем не менее, были сравнимы с минимальным временем между сделками.
Будущее значение г;+1 в момент времени неизвестно. Поэтому будем моделировать его, а значит, в первую очередь Л;+1, 1+1, в соответствии с методологией STS-GARCH (1,1). Дадим следующее определение.
определение. Пусть ge (х) — функция плотности а-устойчивого распределения [Золотарев (1983)] с вектором параметров (а, в, с, ц), где а — характеристическая экспонента, в — коэффициент асимметрии, с — масштаб, ц — среднее:
§в
1 ж
(х) = — Г ехр[/ X(ц- ?)] •
ехр
- С • а \ 1 -в-.-ьгзп (? )• tg I ^
2
Л
dt, а Ф1.
Пусть Н1(х), Н2(х) — плотности нормального распределения с параметрами (а., ст2), . = 1,2 . Пусть выбраны два действительных числа а, Ь е ЭТ, что а < ц < Ь, и выполнены соотношения:
Ма) = ge (а) Н2(Ь) = gв (ЬХ
а а ж ж
Г Н1 (х )сх = Г ge (х) dx, Г h2(х) ^ = | ge(х) ^.
—ж —ж Ь Ь
плотностью STS-рaспределения назовем функцию /(х) вида:
Н (х), х < а;
/(х) = ^в(x), х е [а, Ь];
Н2( х), х > Ь. (7)
Предположим, что имеются относительные приращения и1 = (Н? - Н1-1 )Нt—11, причем Н, = Я1 или Ь— =ж , I =1,2,^, Т, — временной ряд с минутной или дневной дискретизацией. Пусть и1 независимы и STS распределены:
и1 ~ ^ (х, а,Ь, а, в, с, ц).
Допустим, что справедлива авторегрессионая зависимость вида:
ст2 = уГ + 8е2-1 + рст2-! = ю + 8е2-1 + рст2-1, сто = 0,
? = 1,2,...,Т, (8)
где у > 0, 8> 0, р> 0 — некоторые коэффициенты модели, V > 0 — долговременная волатильность, у+§+Р = 1, ю = у V, в, — STS-распределенная случайная величина с нулевым средним и дисперсией ст(2 = Е(и,2| ^, ),а0 — фильтрация (вся доступная на момент времени , информация).
Отметим, что выражение (8) позволяет генерировать будущие значения h , при известных ht 1:
И, = (1 + и,)И,_ = (1 + ст,в,)Ъ,_!, , = 1,2,...,Т. "
В силу предположения о независимости для оценивания неизвестных коэффициентов модели (8) применим метод квазимаксимального правдоподобия и вычислим максимум функции 1п L:
ln l = £ ln f,
(9)
гДе f =
-\/2тсст ,
-exp
,2 Л
2ст:
значения условной
ми р = 1 и q = 1, то естественно рассмотреть нормированную выборочную автокорреляционную функцию г к остатков d вида
fi
= Ê / £ rf>, k= 1, 2, 3,.
плотности нормального распределения, s — число выборочных данных. Известно [Bollerslev, Woolridge (1992)], что если и, удовлетворяют произвольному вероятностному закону, то для получения устойчивых оценок 0j вектора параметров 0 = (ш, 8, ß) использование метода квазимаксимального правдоподобия с функцией ln L корректно вследствие выполнения асимптотического соотношения: lim 4s (0j - 0) = y ~ n(0, j0 (0)),
где J0 (0) — информационная матрица Фишера.
Поиск максимума выражения (9) осуществляется в соответствии с выполнением необходимого условия существования экстремума функции трех переменных:
dL = 0, dL = 0, ^ = 0. (10)
Эш 58 aß
Решение нелинейной системы (10) в предположении единственности экстремума в некоторой расчетной области может проводиться любым итерационным методом: методом наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и т. п.
После оценивания коэффициентов ш,8, ß и подстановки их в (8) остается провести статистическое исследование надежности STS-GARCH (1,1). Для этого используем известную статистику Льюнга — Бокса проверки гипотезы H0 о равенстве нулю первых m автокорреляций [Ljung, Box (1978)], где m < s. Так как при условии ограниченности
г^ I 4 I
четвертого начального момента E\ut <<» процесс GARCH (1,1) может быть записан в виде ARMA процесса [McNeil, Frey и др. (2005)] с параметра-
Далее, рассмотрим статистику
т у к
У = п(п + 2)^--,
к=1 п _ к
которая, как известно, при достаточно больших я будет иметь х2 — распределение с (m-p-q) степенями свободы в том случае, когда теоретические значения параметров модели (8) неизвестны. Наконец,
вычисление г к следует проводить для остатков = и22 и йп = иЦстП соответственно до и после применения STS-GARCH (1,1).
Основная гипотеза Н0 принимается, если У<Х2_м, (т _ Р _ Ч), где w — уровень значимости критерия, и отвергается в противном случае. Соответственно, STS-GARCH (1,1), определяемый выражением (8) с коэффициентами, удовлетворяющими (10), является статистически надежным с уровнем значимости w, если у < х^ (т _ Р _ Ч).
Для моделирования вероятных в будущем значений временного ряда ht вместе с вычислением статистики Льюнга — Бокса потребуется проверить, будут ли приращения и1 иметь STS-распределение. Подгонка эмпирического распределения к STS по выборочным данным может осуществляться различными методами. В данной работе использовалась запись плотности STS-распределения через интеграл Золотарёва [Золотарёв (1983)] с его последующим численным интегрированием квадратурной формулой Симпсона. Качество подгонки проверялось с помощью х2-теста [Айвазян, Мхитарян (2001)].
Для статистической проверки достоверности найденного показателя риска у, построим доверительный интервал, для чего воспользуемся центральной предельной теоремой Линденберга — Леви и определим интервалы для Е(г,+1| Я1), В(г(+1| Я1).
Пусть известен набор реализаций будущих
, где ст(к) -
(к) -,, ]
значений R, +, . =ст(1), s(1)
t+i, j
t+i t+i,j •
I = ct(2) B®
-i,, 1 , — ^,, 1 &,
t+i, j
Jt+i° t+i, j
найденные согласно (8) волатильности, в STS-распределенные случайные величины с ''нулевым средним и стандартным отклонением ст(к , ] = 1,2,..., 5, к = 1,2. Следовательно, детерминированы избыточные доходности г\+1,] = Я,+1,] _ I+1,] с
1 ^
выборочным средним 7,+1 = г+1,j и смещенной
5 з=1
i=i
i=i
i=i
i
1.
оценкой дисперсии 5?+ = (/+1,^ -/?+1)2 . Тогда
]=1
доверительные интервалы для Е(/Я?), й(/+1| Я1) имеют вид:
/+1 - < Е(/;+^ Я,) < /+1 +
^/2 5
5 -
1(5+1 - ?„ /2>ЙС) < й(/+1| я, ) <
(5+1 + ^лй^), (11)
5 - 1
где =
52
=ц4 5+1 + | , В71+1=— [Крамер
где У Ш1П ="
- Сп^
5 -
5 1(5+1 + К /2>/йй)
У шах
/+1 + С/2Л/й/ +1
5
5 -
1(5(+1 - К/2^^)
= р(Д/ +1), Д?1+1, дя« , Д.,..., ДЯ(К ), Д.)/ / р(АЯ.(1), Д.,..., АЯ(К), Д?..),
(14)
где р(ДЯ.(1),Д?..,...,ДЯ.(К),Д?..) — ^-мерная функция плотности случайной величины
ДЯ. = (да(1), ДЯ(2),..., АЯ.(К)). Если дополнительно ко всему известна условная совместная плотность
р(А/(1), Д^, Ат(), Д ?)+11 ДЯ,(1), Д.,..., дЯК), Д?..). = 1Т, для признаков , то по аналогии с одно-
мерным случаем можно вычислить покомпонентно первый и второй моменты условного распределения при Д? , Д? +1 — ж :
М(1) = 11ш
' Ат—0
— Г (А/(')-АЯ('))р(А/(), т
Дт гл
+ Дт ДЯ(1),т,..., ДЯ(К),т)d(А/(0)
(1976)], ц4 —выборочный смещенный центральный момент четвертого порядка, w — заданный уровень значимости, ^ — квантиль уровня (1— w/2) стандартного нормального распределения. Пользуясь (11), нетрудно получить до верительную область изменения у,:
Тшт<^ <ттах , (1+)
М (2) = 11ш
,3 Ат—0
ее (А/(°-дя(°)(Д/о)-аяо)>
многомерный коэффициент неприятия риска
Обобщим понятие неприятия риска на многомерный случай, для чего рассмотрим (2) как отношение вектора средних и матрицы ковариаций:
у, = Е(/,+1\Я,) Н-'(/д Я,), (13)
/ (1) (2) (К)ч
где / = ', / %..., т; ') — вектор относительных избыточных доходностей акций портфеля, имеющих котировки^, =+ (Я,(Л - Д),Я,(А =(£<Л -£,()/ Н (/+1\ Я1) — условная матрица ковариаций, I — относительные приращения индекса, у=1,2,..., X, X — общее число активов, ? = 1, Т.
Пусть имеются приращения А/0) и ДЯ.0), /' = 1,Т , вычисленные согласно (3). Тогда при каждом фиксированном т, т =1,2,., X, выполнено равенство:
р(Д>), Д?1+11ДЯ«, Д?.,..., Я), Д.) =
(Дт)2 . ^
р( Д(0, т + Дт, А/ ^ т + Дт| ДЯ(1), т,..., ДЯ(К), т)
d (А/(0) d (А/^)
где т = Т / А ?, ? е [?1, Т], О, — область изменения Дг(г), I, у = 1,2,., X. Тогда
Е(/+11Я,) = М(1),Ни(^Я,) = - [М^(1)]2, I, у = 1,2,., X, и у, в (13) определена.
Заметим, что если АЯ^, г = 1,Т , удовлетворяют некоторому одномерному вероятностному закону из широкого класса эллиптических распределений и при этом некоррелированы, то, как показано в [Крицкий, Ульянова (2007)], они будут независимыми, и равенство (14) существенно упрощается:
р(А/
, Д^! ДЯ
(1)
Д.,..., ДЯ(К), А?) = р^/, (+1),
А?/+1, АЯ1(1), А?,..., ДЯК), Д.)/ ] р(АЯр), Д..), (15)
где р(ДЯ^), Д..) — плотность распределения ДЯ^), . = 1,Т , что облегчает процесс нахождения многомерного неприятия риска. Для получения таких некоррелированных приращений нужно строить линейное преобразование, применяя метод главных компонент [Айвазян, Мхитарян (2001)]), [Крицкий, Ульянова (2007)].
При вычислении у, будущее значение вектора г.+1 в момент времени неизвестно. Для его моделирования, а значит, для прогнозирования Я+1 = (Я(+), Я^2),..., ЯК) применим известный в литературе многомерный эконометрический метод DCC-GARCH (1,1) [Engle (2002)] в предположении
+
о слабо меняющихся с ходом времени матрицах корреляций [Бельснер, Крицкий (2008)]).
Пусть {и} — многомерный временной ряд относи тельных доходностей , ы, = (пи,и2,ык,)7- (Я«, Я(2),...,Я(К>)Т , , = 1,...,Т , рассчитанных для некоторой совокупности цен активов. Предполагая условную гетероскедастич-ность многомерного временного ряда {и.}, допустим, что его условные математические ожидания равны нулю.
Е (щ,\Е,-1) = 0, г =1,..., К,
а условные дисперсии в фиксированный момент времени I определяются как
Б (и ,\Е,-1) = И,,
где И, = (- к, -) — симметричная положительно определенная ковариационная матрица КхК, состоящая из дисперсий Ъш = ст2 , г =1,...,К и ковариаций Ъ.., = ст.,, 1 < г < ] < К ; кроме того, предположим,
и* и*
что и1 являются условно—гауссово распределенными многомерными случайными величинами: и1 = И)'2е, , где И)п — разложение Холесского для И1, вектор-столбец е, ~ N(0,1К), 1К — единичная матрица порядка К.
Пусть дисперсии ст2, г =1,...,К удовлетворяют авторегрессионной зависимости, описывающей одномерный GARCH (1,1) -процесс [ВоПеге^ (1986)] при каждом фиксированном /:
(16)
плотностей нормального закона распределения / = (2п)-К/2 -1/2 (И,) ехр(-1 и(гИ,-1 и,) вычисленных в Твекторах наблюдений и1, и2,..., ит , и составим логарифмическую функцию правдоподобия:
/ -1 (©)=у /=Уln ft,
K 1 1т-,
где / = — ln 2п -—ln(det Ht) — uTtH,ut.
(18)
K,
Отбрасывая постоянный член (—— 1п2п) и
учитывая, что И{ = Г, Б,, в выражении (18) окончательно имеем:
1 , I ^ ^ ^ I 1 ,Т тл-1Г-1 1
/ = - 2Ь1D ГА\-2 =
K
1 1 K 1
= -^lnlГ -1У lnст2 -1 u]D-lT-lD-lut
2 I 11 ^ ^^^ j t r^ t t t t t
2
j=1
2
где ст,20 = const, u.. 0 = const, ш.. > 0,a.. > 0, p. > 0 — некоторые параметры, a. +P. < 1, t =1,...,T.
После нахождения волатильностей ст^ внедиа-гональные элементы ст jt матрицы ковариаций Ht могут быть определены из равенств вида:
CTjt =Pjt стй ст jt,1 <i< j < K, (17)
где pjt — коэффициенты положительно определенной матрицы корреляций rt, участвующей в разложении Ht = Dt rt Dt, Dt — диагональная матрица с элементами стit на главной диагонали.
Подлежащие детерминации неизвестные параметры в выражениях (16), (17) объединим в общий вектор @ = (9 ,...,9 ) размерности N = 3K + TK(K -1)/2 :
0 = (Ш^ Р^..^&k , aK , Pk , P12t,
p13t,...,P1Kt,p23t,..., pK-1,Kt ).
В силу предположения о выполнении нормального закона распределения для доходностей ut оценивание 9.., i = 1, N проведем методом максимального правдоподобия с функциями условных
, =1,...,Т. (19)
Отметим, что даже при малом количестве значений многомерного временного ряда и,, 1 <, < Т, число оцениваемых коэффициентов 9г, г = 1, N , в DCC—GARCH (1,1) будет велико. Кроме того, найденные методом максимального правдоподобия оценки корреляционных Г,, а значит, и ковариационных И, = Б, Г, Б,, , =1,...,Т, матриц не обязательно будут положительно определенными. Поэтому предположим, что для изменяющихся во времени элементов корреляционной матрицы р... справедливо следующее соотношение:
р, = р,+ J ,,-1,1 < г < . < К, 1 <, < т, (20) где ^, = и1,ст- — стандартизированные остатки (шумы), С,, = Б^И1/2е,, Р. — элементы некоторой фиксированной матрицы корреляции Г = Г^ в момент времени I = 5.
Равенство (20) предполагает, что матрицы Г., 1 <, < Т слабо меняются с течением I и могут быть заменены на сумму постоянной корреляционной матрицы Г с некоторым белым шумом. Как следствие, размерность вектора 0 существенно снижается и составляет N = К2 + 2К :
0 = (Ю^ Рн.^ ®к , аК , РК , Р12 , Рl3,..., Р1К ,
Р23,..., рК-1,К , ^12 , ^13,..., ^К-1,К ).
Кроме того, если в (20) 8.. = 0 , 1 < г < . < К , то DCC—GARCH (1,1) превращается в известный метод ССС-GARCH (1,1) [Bollerslev (1990)].
Поиск максимума выражения (19) с учетом (16), (17), (20) осуществляется в соответствии с выполнением необходимого условия существования экстремума функции многих переменных. Реше-
t=1
t=1
ние получаемой при этом нелинейной системы в предположении единственности экстремума в некоторой расчетной области может проводиться любым итерационным методом: методом наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и т. п. [Демидович, Марон (1960)].
Ниже приведем формулы для вычисления частных производных по компонентам вектора неизвестных параметров 0.
Дифференцируя ст2 в (16) по ш,.,а,., р,., нетрудно показать справедливость следующих рекуррентных соотношений:
Эст« 1 , а дст?.'-' • Эст« + а - = 1 + а ,.-, -= ст ,., 1 + а,.
1 5 1,1-1 1
дш. да.
дш.
да.
дст2 _it_
эр,
дст2
эр,
где
дст20 = 0- дст2,о дст20 - 0- ",0
дшi да, дР,
Так как дГ-1 , дГ
: Г-1 '
де t де
= 0, t =1,...,T, ,=1,...,X . -Г-1, то частные произ-
водные функции l (0) в (18) имеютвид:
д l (0) = £ (du С it -1) .Зст2
дш,, д l (0)
t=1 2 CTt дш, T (d,tС„ -1) дст2
д а t =1 2 ст 2t д а
д l (0) = f (d,t С it -1) дст,2 ^ 2 ст2
др,
t=1
др,. ' 1 <,<К;
д l (0)
дР „
=Z (dd -ptJ),
д l (0)
д8„
= 1 (ditdjt-pf) С,^-,, 1 <,< j < К,
R+1, j = H1/2 (rtJ R) Z
(j)
где H (rt+, Rt) — разложение Холесского для
Л,) размерности КхК, векторы-столбцы ~ N(0,1К), ] = 1,2,...,5. Кроме того, пусть определены модельные относительные значения индекса I,+и = ст,+18,+и , где 8,,j ~ И(0,1), ст, - найденные в (8) волатильности. Следовательно, при фиксированном , детерминирована матрица относительных
избыточных доходностей rt+, = (rt
= (r(!) r(2)
r (К ) V
)T раз-
мерности Kxs с выборочным средним г1+1 и оценкой
X,+1 = - г+1 £ матрицы ковариаций Н (г,+1| Я,).
Известно [Крамер (1976)], что многомерная случайная величина 5 X,+1Н(г,+11) ~ хК (5 -1), где хК (5) — К-мерное распределение хи-квадрат с числом степеней свободы л Если через /2 обозначить квантиль уровня (1 - w|2) для хК (5 -1), где w — уровень значимости, то, очевидно, имеем:
откуда
-С/2 Ik < * ^t+1 H(rt JRt) < tw/2 Ik,
-^S-+, <H(rt+,|Rt) < S-+,.
(21)
-1/2 t+1
Кроме того, так как 5(г,+1 -Е(г1+1\Я))X-~ И(Е(г1+1\Я),Н(г1+1\Я)), то, обозначая через /2 квантиль уровня (1 - м/2) этого К-мерного нормального распределения, имеем:
- ^ S-+,2 < £ (rtJ Rt) < 7j+1 + S *
w/2 v-1/2
t+1 • *
(22)
где 4 =(4,,¿2,,...,^к,)Т = П^гЧ, - /-я компонента вектора dt, р, — элементы обратной матрицы
ГД с, = о;1ы,, с о = 0.
Для статистической проверки достоверности многомерного неприятия риска у, построим доверительную область, для чего определим области, в которых лежат Е(г1+1| Я), Н(г,+1|Я1). Не умаляя общности, проведем выкладки в предположении о нормальном распределении приращений п1.
Пусть известны матрицы реализаций будущих значений
Комбинируя (21), (22), нетрудно получить доверительную область изменения уг
Анализ эмпирических данных
Развивающийся более года мировой финансовый кризис, резкое снижение российских биржевых индексов и котировок акций, входящих в них, на 40—50 % в течение августа и сентября 2008 г., падение ликвидности финансовой системы и банкротство ее профессиональных участников предоставили уникальную возможность для стресс-тестирования предложенной методологии и проверки ее адекватности при принятии инвестором решений о размещении капитала на фондовом рынке.
Проанализируем поведение котировок обыкновенных акций наиболее капиталоемких компаний, таких как «Лукойл», Сбербанк, ВТБ, «Роснефть», «Газпром», в течение первой фазы значительного падения мирового фондового рынка (август-сентябрь 2008 г.), для чего рассмотрим внутридневные пятиминутные цены Close за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. (всего 3 166 значений). Выбор временного интервала неслучаен: постепенное снижение цен в августе 2008 г. сменилось резким
2
= и., , +а ,t-1
S
л
t=1
t=1
падением котировок 15—17 сентября в размере 15—25 % ежедневно и полным закрытием бирж с 17 по 18 сентября.
Для построения асимптотического приближения плотностей (5) и моментов (6) были зафиксированы следующие параметры: Дт = 10 мин, Д, = 1000 пятиминутных интервалов, Д?-+1 = 1002 пятиминутным интервалам (или «11,49 и «11,52 торговых дня соответственно). Результаты моделирования неприятия риска у(, вычисленного согласно выражению (2), для акций ВТБ, «Газпрома», «Лукойла», «Роснефти» и Сбербанка, а также доверительные интервалы для у. (за исключением Сбербанка) приведены на рис. 1—5. Эволюция избыточной доходности в рассматриваемой промежуток времени для них же изображена на рис. 6—10. При этом на горизонтальной оси последних время отложено в количестве пятиминутных интервалов, истекших с Д,., а пунктирной линией отмечены те уровни г 1 (один или несколько), при которых у. изменяется наиболее сильно.
Отметим, что из общей теории неприятия риска известно: постепенный рост показателя у. свидетельствует об увеличении числа инвесторов,
Рис. 1. Неприятие риска для акций ВТБ за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. Пунктирными линиями изображены границы 95 % доверительного интервала.
Рис. 2. Неприятие риска для акций «Газпром» за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. Пунктирными линиями изображены границы 95 % доверительного интервала.
Рис. 3. Неприятие риска для акций «Лукойл» за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. Пунктирными линиями изображены границы 95 % доверительного интервала.
Рис. 4. Неприятие риска для акций «Роснефть» за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. Пунктирными линиями изображены границы 95 % доверительного интервала.
Рис. 5. Неприятие риска для акций Сбербанка за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г.
2000 1, время
Рис. 6. Динамика избыточной доходности по акциям ВТБ за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. Пунктирными линиями сверху вниз отмечены уровни г. = - 0,25, г. = - 0,3, г. = - 0,34
Рис. 7. Динамика избыточной доходности по акциям «Газпром» за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. Пунктирной линией отмечен уровень г( = — 0,05
Рис. 8. Динамика избыточной доходности по акциям «Лукойл» за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. Пунктирными линиями сверху вниз отмечены уровни г, = - 0,04, г, = - 0,06
Рис. 9. Динамика избыточной доходности по акциям «Роснефть» за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. Пунктирной линией отмечен уровень г( = - 0,11
Рис. 10. Динамика избыточной доходности по акциям Сбербанка за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. Пунктирной линией отмечен уровень г 1 = - 0,01
желающих продать актив в связи с вероятным падением его цены, постепенное снижение у. -об увеличении числа инвесторов, желающих его купить в связи с вероятным ростом цены. Кроме того, известно, что величина у. = 0 определяет риск-нейтральный уровень, когда число покупателей и продавцов равновесно, вложение финансовых средств на фондовом рынке не приносит сиюминутной прибыли и процесс инвестирования носит долгосрочный характер. Наконец, изменение знака у с плюса на минус свидетельствует о выходе из активов большинства участников рынка, с минуса на плюс - о покупке активов на бирже.
Из анализа данных расчетов, представленных на рис. 1-10, следует, что параметр у. из (2) статистически значим и обладает свойствами неприятия риска. Например, для акций компании «Газпром» (рис. 2) наблюдается скачок у. наблюдается при г = - 0,05, что соответствует пятипроцентному падению цены актива относительно индекса ММВБ. Для такого г (рис. 7) можно выделить по крайней мере три момента . = 500, . = 650 и . = 1850, когда происходит резкое снижение избыточной доходности и инвесторы пытаются спешно продать акции. При гх е [-0,06; - 0,1] они так же предпочитают избавляться от этого актива (рис. 2, 7).
Об адекватности у. как меры неприятия риска еще более ярко свидетельствует динамика г акций Сбербанка и ВТБ (рис. 6, 10), цены на которые падали сильнее индекса ММВБ почти на всем рассматриваемом временном интервале (т. е. г1 < 0). Однако, если для Сбербанка инвестированный капитал можно было бы почти полностью сохранить при условии своевременной продажи в момент .= 50 (г.=-0,01, у. « -5-103), то для активов ВТБ сделать это было практически невозможно: изменение настроений инвесторов произошло слишком поздно -в момент принудительного закрытия бирж 17 сентября (г. = -0,34, у. « -44, . = 1 850), что лишний раз свидетельствует о стремительности и неожиданности происходивших на рынке событий.
Отметим, что предлагаемый в работе показатель у. способен хорошо реагировать на кризисные явления, что обусловлено его теоретическим определением. Так, условная волатильность Я,) избыточной доходности г1 (рис. 5-10) при приближении к точке кризиса постепенно повышается и резко возрастает в момент кризиса, что приводит к скачку значения у. и является сигналом для принятия решения о покупке или продаже актива. Например, если цена акции падала быстрее индекса (ВТБ, Сбербанк), то наименьшее значение у . из
возможных задает момент покупки (ВТБ, рис. 6), а наибольшее у1 — момент продажи (Сбербанк, рис. 10), если цена продолжает расти (падать) в этот же торговый день. Если же актив дешевеет медленнее, чем в среднем по рынку («Газпром», «Лукойл», «Роснефть»), то наименьшее у1 определяет возможность дешево купить ценные бумаги (рис. 2—4, 7—9).
выводы
В результате проведенного анализа показано, что предложенный в работе метод расчета неприятия риска адекватен и хорошо реагирует на
кризисные явления, проходившие на российском фондовом рынке в августе — сентябре 2008 г. Своевременное принятие решений с помощью этого индикатора позволило бы инвестору получить доход до 200 % годовых по акциям Сбербанка (с учетом сохраненного на 90 % инвестированного капитала), до 60 % — ВТБ, до 30 % — «Газпрома», до 25 % — «Роснефти» и до 20 % — «Лукойла». Кроме того, отмечается медленное изменение настроений инвесторов в момент кризиса, что в большинстве случаев не позволяет им сохранить первоначальный капитал: в нашем случае это справедливо для акций ВТБ, «Газпрома», «Роснефти».
Список литературы
1. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Основы эконометрики. М.: ЮНИТИ-ДАНА. Т. 1. 2001.
2. Бельснер О. А., Крицкий О. Л. Применение одномерного STS-распределения для моделирования значений фондовых индексов // Известия ТПУ, 2007. Т. 310, № 1. С. 45-50.
3. Бельснер О. А., Крицкий О.Л. Информационная матрица Фишера для многомерного метода DCC-MGARCH (1,1) // Математика. Компьютер. Образование: Тезисы докладов XV Международной конференции. Дубна, 28 января — 2 февраля 2008. Москва: Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2008. С. 236.
4. Буренин А. Н. Управление портфелем ценных бумаг. М.: НТО им. Вавилова, 2008.
5. Бухбиндер Г. Л., Чистилин К. М. Описание российского фондового рынка в рамках модели Гестона // Математическое моделирование. 2005. Т. 17. № 10. С. 31—38.
6. Бухбиндер Г. Л., Чистилин К. М. Стохастическая динамика котировок акций РАО ЕЭС // Математическое моделирование. 2005. Т. 17. № 2. С. 119-125.
7. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Изд-во физ. -мат. лит-ры. 1960.
8. Золотарёв В. М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.
9. Крицкий О.Л., Лисок Е. С. Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатиль-ности // Прикладная эконометрика, 2007. Т. 2, № 2. С. 3-12.
10. Крицкий О. Л., Ульянова М. К. Определение многомерного финансового риска портфеля акций // Прикладная эконометрика, 2007. Т. 2, № 4. С. 3-18.
11. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976.
12. Ait-Sahalia Y, Lo A. W. Nonparametric risk management and implied risk aversion, Journal of Econometrics, 2000, 94, p. 9-51.
13. Ait-Sahalia Y, Brandt M. W, Variable Selection for Portfolio Choice, Journal of Finance, 2001, 56, 4, p. 1297-1351.
14. Bliss R. R, Panigirtzoglou N. Option-Implied Risk Aversion Estimates, Journal of Finance, 2004, 59, 1, p. 407-446.
15. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Journal of Econometrics, 1986, 31, p. 307-327.
16. Bollerslev T. Modelling the Coherence in Short-Run Nominal Exchange Rates: A Multivariate Generalized ARCH model, The Review of Economics and Statistics, 1990, V. 72, № 3, p. 498-505.
17. Bollerslev T, Woolridge J. M. Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time Varying Covariances, Econometric Reviews, 1992, 11, p. 143-172.
18. ByungJinKanga, TongSukKim, Empirical risk aversion functions-estimates and assessment oftheir reliability, International Review of Financial Analysis, 2007, doi:10.1016/j. irfa. 2007.08.002.
19. Engle R. F. Dynamic conditional correlation - a simple class of multivariate GARCH models, Journal of Business and Economic Statistic, 2002, 20, p. 339-350.
20. Kumar M., Persaud A., Pure contagion and investors' shifting risk appetite: analytical issues and empirical evidence, International Finance, 2002, 5, 3, p. 401-436.
21. Ljung G M., Box G E. P. On a measure of lack of fit in time series models, Biometrika, 1978, 65, 2, p. 297-303.
22. McNeil A. J., Frey R., Embrechts P., Quantitative Risk Management. Concepts, Techniques and Tools. Princeton, USA: Princeton University Press, 2005.
23. Rosenberg J.V., Engle R.F. Empirical pricing kernels, Journal of Financial Economics, 2002, 64, p. 341-372.
24. Sansone A., Garofalo G. Asset price dynamics in a financial market with heterogeneous trading strategies and time delays, Physica A, 2007, 382, p. 247-257.
