О нелинейной краткосрочной процентной ставке доходности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21:330.4

О НЕЛИНЕЙНОЙ КРАТКОСРОЧНОЙ

о ,

ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ ДОХОДНОСТИ*

о. л. крицкий,

кандидат физико-математических наук, доцент

Е-mail:olegkol@tpu.ru

п. в. трясучев,

ассистент кафедры высшей математики и математической физики Е-mail:olegkol@tpu.ru Национальный исследовательский Томский политехнический университет

Предложена методология оценки функции нелинейной процентной ставки ожидаемой доходности. Проведено сравнение с известными непараметрическими методами, основанными на ее ядерной аппроксимации с различными сглаживающими параметрами. Проведены численные расчеты ставок для различных компаний по внутридневным котировкам.

Ключевые слова: нелинейная ставка, ожидаемая доходность, асимптотический метод, ядерная оценка, метод Jackknife.

Определение вида функциональной зависимости доходности ц (г, /), или дрифта, для акции или портфеля акций является классической эко-нометрической задачей [6]. Общий подход к ее моделированию заключается в выражении через одну или несколько фазовых переменных, которые подчиняются некоторому непрерывному марковскому процессу. Например, в однородной однофакторной модели определяется только одна фазовая переменная, которая обычно связана с краткосрочной или мгновенной (безрисковой) процентной ставкой г, связанной с риск-нейтральной вероятностью.

Таковы, например, модели, рассмотренные О. Васичеком, Д. Коксом, Д. Ингерсоллом, С. Россом [10], а также обсужденная в [8] эмпирическая модель оценки. В этих и похожих моделях про-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», контракт № П691, 2010 г.

цессы ц(г, 0 определены посредством детерминации функций коэффициента сноса и диффузии исходя из различных экономико-математических допущений, например ограниченности изменяющейся во времени дисперсии дневных приращений цен, постоянности процентной ставки для заемных средств и т. п. Таким образом, с одной стороны, существует проблема выбора среди уже существующих моделей, с другой — имеются сложности в создании адекватных, соответствующих современному положению моделей для определения функций коэффициентов сноса и диффузии.

К сожалению, развитая теория практически ничего не говорит о выборе ц = ц(/). Приемлемое определение сноса и диффузии как нелинейных функций остается по большей части неразрешимой задачей. По этим причинам Я. Аит-Сахалия [7] и Р. Стэнтон [13] предложили непараметрический способ оценивания коэффициента сноса. Главное их открытие — это получение существенно нелинейной функции для коэффициента сноса. Снос в этом случае хорошо подтверждается эмпирическими данными, отклоняясь от них не более чем на 14 %.

Тем не менее Я. Аит-Сахалия отклонил все известные ему параметрические модели, так как они обеспечивали малую точность оценок, особенно для высокочастотных наблюдений. Возможное объяснение заключалось в том, что на различных выборках с вероятностью 0,95 выполняется статистическая

финансовая аналитика

проблемы и решения

гипотеза о постоянстве параметра сноса, который предполагается переменным. Однако точечные оценки дрифта во всех случаях различаются, и для дальнейшего использования непараметрических алгоритмов их нужно дополнительно обосновывать.

В статье сравниваются непараметрические ядерные оценки Р. Стэнтона, вычисленные при различных значениях параметра h, а также их линейная комбинация Jackknife [9, 12] с разработанной авторами асимптотической оценкой функции

Показано, что введенная авторами в рассмотрение функция сноса демонстрирует нелинейное поведение, в то время как в классических моделях она выбирается линейной, авторегрессионной AR (1) [6, 10]. Проведены расчеты для наиболее капиталоемких компаний России, таких как ОАО «ЛУКОЙЛ», ОАО «Банк ВТБ», ОАО «ГМК «Норильский никель», ОАО «Сбербанк России», ОАО «Газпром», для чего рассмотрены внутридневные пятиминутные цены закрытия (Close) их акций на ММВБ и котировки июньских фьючерсов на РТС FORTS, пятиминутные значения индекса РТС и июньского фьючерса на индекс РТС за период с 11 марта по 11 июня 2009 г. (до 5 649 значений), а также десятиминутные цены закрытия (Close) для акций компании ОАО «ЛУКОЙЛ» за период с 18.04.2008 по 17.04.2009 (всего 12 400 значений котировок).

Ядерная оценка плотности методом Jackknife. Пусть R(t) = Rt = (St - St—Д)S~}M - известные относительные приращения цен S, t = 1, 2,..., за время Д t, где Д t — фиксированный лаг данных. Пусть непрерывная реализация стохастического процесса R(t) удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению К. Ито вида

dRt = ^(Rt, t)dt + c(t)dWt, где W — винеровский процесс с нулевым средним и дисперсией t;

ц (Rt, t) — оцениваемый коэффициент сноса; ст (Rt, t) — волатильность для Rt. Если плотность распределения для Rt обозначить через n(z), то ее ядерная оценка (аппроксимация) 7т(z) запишется в следующем виде [9, 13]:

*z)=^ -t * ( ^ ) ®

где K(u) — некоторая ядерная функция, удовлетворяющая условию нормировки. Параметр h в знаменателе дроби (1) назовем сглаживающим параметром, или шириной спектра плотности оценки около точки z. Он определяет количество значений R, необходимых и достаточных для получения хорошей аппроксимации плотности п (z), вычисленной в точке z.

Выбор сглаживающего параметра критически важен для проведения исследований и расчетов. К сожалению, процесс этого выбора не формализуем и зависит от характера исходных данных, а также от квалификации исследователя. Попытка унифицировать метод оценки h проведена в работе [13], где автор в качестве функции ядра К(и) предложил использовать плотность стандартной нормальной случайной величины

К ( z ) = 1— exp v2tc

1

— z 2

— да < z < да,

а параметр h был вычислен как И = 4(7 Т

где а — оценка стандартного отклонения.

Тогда можно построить и ядерную оценку для функции сноса [9, 11, 14] по Надараю Уотсону:

|! ( z, h ) =

1 £(Rt+1 - Rt ) К

1 t=i

z - Rt h

At

IК

(2)

Пусть далее при фиксированном значении времени I число R(t) е [а,Ь], причем справедливо представление

R (0 = ph,

где р — некоторое число.

Пусть |!( г, И) — имеющаяся оценка для неизвестной функции сноса г, И), вычисленная каким-либо способом или выбранная в виде формулы (2). Определим следующие коэффициенты:

ю0(р) = Р К (г) dz и ю, (р) = Г г К (г) dz.

^ а За

Исходя из задания ядерной функции, нетрудно проверить, что при р > Ь ю0(р) = 1, а ю 1(р) = 0. Для а < р < Ь ядерная оценка «Jackknife» для коэффициента сноса выбирается как взвешенное среднее имеющихся оценок |!(г, И) и |!(г, И), где \ —произвольное действительное число [9]:

А^ (г, И) = (1 + ф)|1(г, И) — фА^ (г, \ И), (3) где ф — весовой параметр, определяется по формуле

ф =_ю1(р)/ юо(р)_

(р / £) / ю о (р / £) - ю, (р) / ю о (р)

Показано, что при \ = (2 — р) использование (3) в качестве аппроксимации дрифта обосновано. Кроме того, оценку Jackknife можно применять и для нахождения функции К (г) [11]:

К ( z) = 15 (1 — z2 )2. 16

(4)

Формула (4) позволяет вычислить ю0(р) и ю,(р) явно, а также детерминировать (г,И) в формулу (3).

Асимптотический расчет безрисковой процентной ставки. Наряду с рассмотренным методом нелинейная функциональная зависимость = ^ (/), / > 0, записанная относительно произвольной вероятностной меры Р, может быть выявлена асимптотическим методом [3] или вычислена через неприятие риска инвестора [1], а также определена как стохастический процесс [2].

Остановимся подробнее на первом подходе. Пусть г = (Я - 1г) — избыточная доходность активов, имеющих котировки S; I — относительные приращения значений индекса (эталонного актива), ? = 1, 2,.... Процесс Г является дискретной реализацией некоторого непрерывного случайного процесса г (?), вычисленного в моменты времени

Г (?, )= Г •

Кроме того, пусть имеются ценовые приращения ЛГ вида

ДГ = Г (?,) - Г (?, -Л,.), (5)

где Л/. — временной лаг.

Как известно [3], стохастический процесс г (?) полностью определяется бесконечным набором совместных плотностей ры (ЛГ, Л^;...; ДГЫ, Л^), которые зависят от N переменных, N ^ да . В случае марковских процессов или процессов без памяти рк распадается в произведение условных плотностей р(ЛГ+1, Л^+1 |ЛГ, Л?,-) реализации ДГ+1 за время Л/+1, если ЛГ произошло за время Л/:

PN (ЛГ", Ч;-; лг¥ , Д^) =

N-1

= р(ДГ, л? ) -П р(ДГ+1, Д^+1 |ДГ, л,). (6)

1=1

Заметим, что выражение (6) справедливо лишь в случае, когда все лг,. независимы друг от друга. Не умаляя общности, предположим, что ЛГ (?) — марковский случайный процесс. Тогда безусловная плотность р(ЛГ+1, Л^+1, ЛГ, Л?,) легко определяется через условную:

р(ЛГ+^ ^ ЛГ, ) = = р(ЛГ, л,) р(ЛГ+1, Д^1+1 |ЛГ, л,), (7)

где р(ЛГ, Л?,.) — одномерная функция плотности распределения случайной величины ЛГ , I = 1,...Д значения которой детерминируются в формулу (5) при фиксированном лаге Л Например, для ценовых приращений ЛГ+1 и ЛR¡ двух различных марковских процессов, вычисленных с лагами Л/.,, и Л/, Л^,<Л/, в моменты

г+1 I' 1+1 .

времени и / , выражение (7) принимает вид

p(ЛГ+l, Л?,.+1; Щ, Л1) =

= р(щ, Л?,)р(ЛГ+1, Д? 1+11 ля, , Л?,),

откуда

МЛГ+i, А^,, At ,) =

= р(АГ+1, At,+i; AR,, At, Vp(AR,, At,).

Зная p( Ar+1, At,+11 AR,, At,), i = 1,... (N 1) при At,., At,+1 ^<x> можно вычислить асимптотическую функцию дрифта:

iit = lim

A-^ö

A- J (Ar - AR)p(Ar, t + At, | AR, т) d (Ar)

(8)

где - = T / A t;

t = 1,... (N 1);

k= 1,2;

Q — область изменения A Г (t);

T — временной горизонт.

Согласно выражению (5),

Ar+1 = Г(t,+1) - Г(t,+1 - At,+1), причем Г(t,+1) - ожидаемая избыточная доходность от инвестиций в

будущий момент времени (i + 1), а г (ti+1 - At,+1) — избыточная доходность от вложений денежных средств, зафиксированная в прошлый момент времени (t^ - At,+1). Поэтому величина Ar+1, участвующая в определении |t, — это разность доход-ностей от инвестирования средств на период At,+1 с динамической безрисковой процентной ставкой ri+1 = r (Е,, ti+1), рассмотренной относительно риск-нейтральной вероятностной меры Р. Очевидно, что при Ati, At,+1 ^ да разность между r.+1 и r t будет стремиться к нулю и lim г+1 = lim Г = г , где

At +1 -^да At -^да

r = r (Е,) — долгосрочная безрисковая процентная ставка, которая, как известно, определяет стоимость заемных денежных средств на межбанковском рынке и служит бенчмарком для инвестиционных вложений капитала [2].

Анализ эмпирических данных. Исследуем поведение ядерных оценок, формулы (2, 3), вычисленных при h = 4с T4/5 и h = с T4/5, где с — оценка стандартного отклонения R, 0 < t < T, по сравнению с классическим процессом авторегрессии AR (1) [6, 10]. Для описания стохастической динамики были взяты десятиминутные цены закрытия для акций компании ОАО «ЛУКОЙЛ» за период с 18.04.2008 по 17.04.2009. Динамика различных оценок |I( z, h) в сравнении с функциональной зависимостью, заданной в соответствии с классической экономет-рической моделью AR (1), приведена на рис. 1.

Как следует из анализа рис. 1, все ядерные оценки |I( z, h) имеют ярко выраженный линейный характер. Для выявления нелинейного функционального вида проведем расчет для наиболее капиталоемких компаний России асимптотически. Для этого рассмотрим внутридневные пятиминутные цены закрытия (Close) их акций на ММВБ

финансовая аналитика

проблемы и решения

7х"

35

p. (z, h)

A (zh)

Rt

a

A (zh)

1

-8

Оценка, полученная по формулам (2) и (3) Значения оценок по модели AR( 1 )

Рис. 1. Сравнительная динамика различных оценок функции дрифта Д( г, И): а — по формуле (2) при И = стТ~1/5; б — по формуле (2) при И = 4стТ~1/5; в — по формуле (3) при И = 4ст Т4/5

о

-2

-4

3 200 3 600 4 000 4 400 4 800 5 200 5 600

3 200 3 600 4 000 4 400 4 800 5 200 5 600

б

-2

-4

3 200 3 600 4 000 4 400 4 800 5 200 5 600 3 200 3 600 4 000 4 400 4 800 5 200 5 600 в г - Инвестирование в акции ......... Инвестирование во фьючерсы

Рис. 2. Ожидаемая доходность инвестирования, % годовых: а - ОАО «ЛУКОЙЛ»; б - ОАО «Банк ВТБ»; в - ОАО «ГМК «Норильский никель»;

г — ОАО «Сбербанк России»

и котировки июньских фьючерсов на РТС FORTS, пятиминутные значения индекса РТС и июньского фьючерса на индекс РТС за период с 11 марта по 11 июня 2009 г. (до 5 649 значений). Выбор временного интервала не случаен: резкое снижение цен в сентябре

2008 г. - январе 2009 г. сменилось постепенным ростом котировок с середины февраля 2009 г. и коррекцией в конце июня

2009 г. Используемые числовые данные по акциям предоставлены компанией Финнам [5], а по фьючерсам FORTS и индексу РТС - компанией РТС [4].

Для вычисления в формуле (8) были зафиксированы следующие параметры: Дт = 10 мин, Ati = 2002 пятиминутных интервалов, Д^ = 2004 пятиминутных интервалов (или примерно 22 торговых дня). Результаты моделирования ожидаемой доходности инвестирования, рассчитанной в соответствии с выражением (8), для компаний ОАО «ЛУКОЙЛ», ОАО «Банк ВТБ», ОАО «ГМК «Норильский никель» и ОАО «Сбербанк России» приведены на рис. 2.

Из анализа рис. 2 следует, что доходность | демонстрирует нелинейное функциональное поведение. Это поведение зависит от вида эмитента: так, для активов ОАО «ЛУКОЙЛ» (рис. 2a) || изменяется слабо, в пределах процентного пункта, в то время как для акций и фьючерсов ОАО «Сбербанк России» (рис. 2г) динамика || ярко выраженная, понижательная. Такое различие вполне естественно и связано в первую очередь с изменением цен на фондовом рынке за рассматриваемый период: для ОАО «ЛУКОЙЛ» оно незначительно (до 20 %) по сравнению с экспоненциальным ростом (до 300 %) для ОАО «Сбербанк России».

Данные, полученные в результате численных расчетов и приведенные на рис. 2, позволяют оценить инвестиционную привлекательность вложений средств на время « 22 рабочих дня с марта по июнь 2009 г. Можно показать, что ожидаемая доходность | для активов ОАО «ЛУКОЙЛ» статистически незначимо отличается от нуля с вероятностью 0,95. В то же время для ОАО «Банк ВТБ» и ОАО «ГМК «Норильский никель» | лежит в интервале от нуля до 5 % годовых, а для ОАО «Сбербанк России» — от нуля до 20 % годовых. Отрицательные величины | свидетельствуют об ожидаемой коррекции, начиная с июня 2009 г., и желании инвесторов продать свои активы.

Выводы. Показано, что при увеличении частотности данных, взятых для анализа, растет степень нелинейности функции сноса. Так, для средневзвешенных дневных (недельных, месячных) значений относительных приращений коэффициент сноса оказался линейной функцией. Это подтверждает тот факт, что при долгосрочном инвестировании эффективнее всего использовать линейные модели, так как они будут лучше отражать тенденции рынка.

Тем не менее, как показали расчеты, для анализа внутридневных (тиковых, минутных, пятиминутных, десятиминутных и т. д.) данных целесообразно использовать нелинейную модель изменения функции дрифта. Также на исследованную модель очень большое влияние оказывает выбор сглаживающего или усредняющего параметра h, так как усредненные данные (такие, например, как

дневные, недельные или месячные средневзвешенные котировки цен) имеют тенденцию быть

линейными.

Список литературы

1. Крицкий О. Л. Неприятие риска инвестиций при финансовом кризисе // Экономический анализ: теория и практика, 2009. № 20.

2. Крицкий О. Л., Ильина Т. А., Каменских Д. М. Расчет безрисковой стохастической процентной ставки и ее применение в модели Блэка Кокса // Экономический анализ: теория и практика, 2010. № 15.

3. Крицкий О.Л., Лисок Е. С. Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности // Прикладная эконометрика, 2007. Т. 2. № 2.

4. РТС: http://www.rts.ru.

5. Финам: http://www. finam. ru.

6. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Наука, 1998.

7. Ait-Sahalia Y. Testing continuous-time models of the spot interesting rate // Review of Financial Studies, 1996. Т. 9.

8. ChanK. G., KarolyiG. A., Longstaff F. A, Sanders A. B. An empirical comparision of alternative models of the short-term interest rate // Journal of Finance, 1992. Т. 47.

9. Chapman D. A, Pearson N. D. Is the short rate drift actually nonlinear? // Journal of Finance, 2000. Т. 55.

10. Hull J. Options, Futures, and Other Derivatives. New Jersey: Prentice-Hall, Saddle River, 2003.

11. Nadaraya E. A. On estimating regression // Theory of Probability and Its Applications, 1964. № 10.

12. Rice J. A. Boundary modification for kernel regression // Communication in statistics, Theory and Methods, 1984. Т. 13.

13. Stanton R. A nonparametric model of term structure dynamics and the market price of interest rate risk // Journal of Finance, 1997. Т. 52.

14. Watson G. S. Smooth regression analysis // Sankhya Series A. 1964. Т. 26.

внимание! На сайте Электронной библиотеки <^ШЬ> собран архив электронных версий журналов Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» с 2006 года и регулярно пополняется свежими номерами. Подробности на сайте библиотеки:

www.dilib.ru

V_У