Неприятие риска и уровень потребления при инвестировании Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.21:330.4

НЕПРИЯТИЕ рисКА

и уровень потребления при инвестировании*

о. л. крицкий,

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры высшей математики и математической физики Физико-технического института E-mail:olegkol@tpu.ru Томский политехнический университет

Предложена методология определения уровня потребления и нахождения одномерного неприятия риска, основанная на асимптотическом оценивании условного математического ожидания и дисперсии избыточной доходности. Определена связь между коэффициентами неприятия риска для различных финансовых инструментов с одинаковым базовым активом. Показана эффективность введенной меры риска и потребления при управлении инвестиционным капиталом в моменты резкого падения цен акций на фондовом рынке.

Ключевые слова: неприятие риска, уровень, предельная величина, потребление, коэффициент Шарпа, STS-GARCH (1,1).

Введение

Важные экономические показатели, такие как неприятие риска у, и уровень потребления С,, , > 0, играют первостепенную роль в компаниях, управляющих активами на фондовом рынке, так как не только позволяют оценить уровни полезности и = и (,, у,, С,) различных классов инвесторов, любящих рисковые инструменты или боящихся их, но и помогают сформировать инвестиционные портфели при долгосрочном вложении средств в экономику в соответствии с выбранной моделью потребления (см., например, работы [8, с. 289—338; 11, с. 2203-2218]).

Однако существующие классические методики получения оценок С,, например с помощью авторегрессии, стохастической волатильности или путем решения минимаксной задачи, зачастую неприменимы, так как не позволяют выявить уровень потребления в системах с тесной взаимосвязью и с флуктуацией поступающих данных, к каким относится фондовый рынок.

В первую очередь это связано с высокой интенсивностью проведения сделок и невозможностью адекватно оценить уровень инвестируемого в каждый момент времени капитала, величину предельного потребления отдельных участников торгов. Как следствие, нахождение аналитической формы зависимости потребления С, от величины капитала как это принято в классической экономической теории, и тем более нахождение зависимости С от степени неприятия риска у, вызывают затруднения. Поэтому определение формы такой зависимости проведено всего лишь в двух работах [10, с. 181 -206; 12, с. 99-118]. Так, в труде [10] предложена модель стохастической волатильности для безрискового капитала Х1 и рискового капитала Y,, которые используются для детерминации оптимального уровня потребления С,:

с = А( р) (X + Yt), (1)

где А( р) =

в-Ь(1-у) (1 -у) Га-Ь )

* Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», контракт № П691, 2010-2012 гг.

у 2 у ^ с у е (0,1) - постоянный уровень неприятия риска;

в - дисконтирующий процент;

а — ожидаемая доходность от инвестирования в акции;

ст — волатильность акций; Ь — безрисковая процентная ставка. Однако, с точки зрения автора, наибольший интерес представляет работа [12], где найдено представление функции потребления С( через экономические показатели нестабильного рынка, рынка акций:

(2)

где МРС = -

1Ч

= МРС • щ,

изменяющаяся во времени

1 +1

предельная величина потребления;

1 (1 + Ь

1 + Ь \ 1 + 5

У-1

Т — горизонт инвестирования;

5 — отношение текущих трат инвестора к его

прибыли.

Заметим, что в формулах (1) и (2) коэффициент неприятия риска у предполагается постоянным, что несправедливо в условиях неопределенности рыночной конъюнктуры [6, с. 9—51]. Для учета его нестационарности на протяжении всей данной работы будем понимать у как отношение условных моментов распределения вероятности:

Е (Г+1Ъ)

У, =У,) =

+1| Ъ)'

(3)

где

Г = Rt -1 — избыточная доходность акций, имеющих котировки St;

Rt = ("t - — относительные прираще-

ния цен;

I — относительные приращения значений индекса;

t = 1Т.

Заметим, что выражение (3) определяет у как безразмерное отношение доходности процесса инвестирования к риску (квадрату волатильнос-ти). Поэтому наряду с положительными оно может принимать и отрицательные значения, что подтверждается существующей мировой практикой исследований в области риск-менеджмента (см., например, [5, 6]). Переходя к безразмерному времени, изменяемому в долях от периода Т, и используя выражение (3), получим формулу (2) в окончательном виде:

С1 = МРС1 • Щ, (4)

причем МРС( =

1 ч

1/Т

г

1 ч

(т ^+1)т- '

^ =

1 (1 +Ь

1 + Ь\1 + 5

у, -1

Дополнительно предположим [6], что капитал

инвестора рассчитывается по формуле Щ, = St V , где V — объем акций, проданный в момент времени .

Отметим, что формула (4) подразумевает дальнейшее обобщение: безрисковую ставку Ь и отношение 5 можно рассматривать как коррелированные стохастические процессы Ито

db = р1("1, ст1; Ь) dt + q1 ^, ст1; Ь

d5 = р2 ^,ст2,5)dt + q2 ^,ст2, где , ql — некоторые функции;

dWj — винеровские процессы (нормальные случайные величины с нулевым средним, дисперсией Шм корреляцией р = соггdW2), I = 1,2. '

К сожалению, такое обобщение выходит за рамки предлагаемого в работе подхода, и поэтому ему не будет уделено должного внимания.

В настоящее время имеется большое количество методик оценивания и вычисления неприятия риска. К самой обширной категории относятся методы, вычисляющие у 1 с помощью функции полезности инвестора и (Wt) или и (С) С точки зрения автора, наибольший интерес представляют работы [6, 7, 13]. В них рассматриваются абсолютное у и относительное неприятие риска р ( вида:

у " ) =--, рt ("т ) =----,

гл т) и) и)

где ST — будущая цена акции, рассчитанная в момент ^ < Т. Однако методология проведения вычислений у авторов различна. Так, в работе [5, с. 1297—1351] перебираются и используются функции и ^Т), записанные в показательной

ф°рме и") = -

"1-У

——, У* 1,

1 -у

при различных

1п ", у = 1.

значениях показателя у. В работе [6] предполагается, что фондовый рынок справедлив и существует риск-нейтральная плотность распределения ft*(" ) будущей стоимости STпри известном S . Она учитывает в себе всю информацию о предпочтениях инвесторов, объеме торгов, ликвидности, финансовом состоянии предприятий, а ее отношение с эмпирической плотностью f (ST) вида

)

с, " ) =

позволяет найти р :

Р, ") = -

Л ") "т С' " )

Далее производится непараметрическое оценивание дисконтирующего фактора Zt (ST ), для чего используется оценочная функция Надарая — Уотсона (Nadaraya — Watson), аппроксимирующая извлеченную волатильность at в формуле Блэка — Шоулза. Вычисленная оценка ât позволяет получить распределение справедливых цен опциона при различных ценах исполнения в зависимости от будущей стоимости базового актива ST и детерминировать f¡ (ST ), а значит, и Zt (ST ).

Аналогичный подход был рассмотрен в работе [7, с. 407—446]. Авторы предлагают строить f¡(ST ) по сглаженным сплайном значениям приближений ât для извлеченной волатильности а опционов европейского и американского типов, переходя из пространства (цена опциона, страйк) в пространство (извлеченная волатильность, дельта).

Методология нахождения дисконтирующего фактора получила свое дальнейшее развитие в работе [13, с. 341—372], где функция Z (ST) ищется через разложение по многочленам Чебышева: Zt -Zt ( x) = 6oTQ ( x)+e1Ti( x) +...+QT ( x),

где e;, i = 1, n — неизвестные коэффициенты;

Tj (x) = cos( j arceos x) — многочлены Чебышева первого рода степени j, j = 1, n . При этом оценивание коэффициентов e производится из условия минимума дисперсии ошибки между эмпирическим значением St и ее дисконтированной стоимостью St : St=E (ÇTST ), где E* — риск-нейтральное математическое ожидание.

По сравнению с существующими подходами задание коэффициента неприятия риска с помощью формулы (3), а значит, и вычисление Ct по формуле (4), обладает несколькими преимуществами.

Во-первых, оно связано с хорошо проработанной теориями CAPM (capital asset price management, теория управления активами) и APT (arbitrage pricing theory, арбитражная теория оценки стоимости), и его легко применить для формирования оптимального и тангенциального портфелей (см. подробнее в работе [5]).

Во-вторых, при вычислении Yt уже нет необходимости принимать допущение о логнормальном распределении приращений цен, которое не выполняется при торговле на коротких временных интервалах. А именно это предположение является основным для нахождения справедливых цен опционов европейского и американского типа относительно риск-нейтральной вероятности.

В-третьих, для у можно построить доверительный интервал, пользуясь стандартной процедурой оценки математического ожидания и дисперсии в

случае произвольного вероятностного закона [2], что затруднительно сделать для остальных методологий учета неприятия риска [6].

Наконец, понятие одномерного показателя у t можно обобщить на случай нескольких переменных, для чего достаточно рассмотреть выражение (3) как отношение условных моментов многомерных распределений.

В предлагаемой работе предложена методология вычисления неприятия риска с помощью асимптотического оценивания E(ri+1| Rt) и D(rt+1\Rt), построен доверительный интервал для значений Y. Определена связь между коэффициентами неприятия риска для различных финансовых инструментов с одинаковым базовым активом: акций, фьючерсов на акции и опционов на фьючерсы.

Эффективность методологии определения Yt и C t показана при вычислении риска и при оценивании уровня потребления инвесторами высоколиквидных акций компаний ЛУКОЙЛ, «Газпром», ВТБ, «Роснефть» во время финансового кризиса 2008 г. При этом были использованы внутридневные цены закрытия (Close), и зафиксированы объемы продаж, взятые с интервалом в пять минут, за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. (всего 3 166 значений). Кроме того, для расчетов избыточной доходности были взяты 3 166 значений индекса ММВБ, зафиксированные в те же моменты времени. Все числовые данные предоставлены компанией «Финам» (URL: http://www.finam.ru).

общие положения

Пусть r = (R -It), i = 1,2,... — избыточная доходность, являющаяся дискретной реализацией некоторого непрерывного случайного процесса r ( t), вычисленного в моменты времени tt: r (t) = r.

Кроме того, пусть имеются ценовые приращения Ar. вида:

Ar=r (t) — r (t-At), (5)

где At. — временной лаг.

Как известно [4, с. 3—12], стохастический процесс r (t) полностью определяется бесконечным набором совместных плотностейpN(Ar1, At1... ArN, AtN), которые зависят от N переменных, N ^ <». В случае марковских процессов или процессов без памяти pN распадается в произведение условных плотностей p(Ari+1, Ati+11 Ari, Ati) реализации Ar(.+1 за время At(.+1, если Ar. произошло за время At:

Pn (A1, Atv.. ArN, AtN) =

N-1

= p( Ar, At1) • П P(Ar,+1, At+11 Ar,, At,). (6)

i=1

Заметим, что выражение (6) справедливо лишь в случае, когда все Дг.. независимы друг от друга. Не умаляя общности, предположим, что Дг ( I) — марковский случайный процесс. Тогда безусловная плотность р(Дг.+1, Д^, , Дti) легко определяется через условную:

Р(ДГ

I+1, ДГ, Дtl) =

= р(Дг,, Д^) р(Дг+1, Д^.+1 Д, Д^.), (7) где р(Дг,, Д^) — одномерная функция плотности распределения случайной величины Дг, I = 1...Д значения которой детерминируются в (5) при фиксированном лаге Д

Например, для ценовых приращений Дг.+1 и ДR¡ двух различных марковских процессов, вычисленных с лагами Д и Д I, Д < Д I, в моменты

г+1 г+1 .

времени ¿1+1 и выражение (7) принимает вид:

р(Дг+l, ДRl, ) =

откуда

Зная Дг., Д/\

р(ДК,, Д^.) р(Дг,+1, Д^.+1 ДRl, ),

Р(ДТ,+l, ДУ Щ, ) = = р(Дг+1, Д^; ДRl, М, )/ p(ДRl, ).

ДЛ., Д..), I = 1. N

Р(ДГ+l, Д^+1

при

,^ да , можно вычислить первый и второй моменты условного распределения:

М(к) = 11Ш

ДмО

— Г (Дг - ДЯ)к р(Дг, т + Дт,1 ДЛ, т) d(Дг) Дт-"

(8)

ваны избыточные доходности г,+1 / = Rt+1 / -I,

ч+1,/ с

1

выборочным средним г,+1 = —^г,+1 / и смещенной

/ =1

1.

оценкой дисперсии ^ = — ^ (г,+1 / - г,+1)2 . Тогда

5 /=1

доверительные интервалы для Е(г1+1\ Я), 0(г1+1\ Я) имеют вид:

Г+1 - КпЩ^, < Е(г,+11Я) < Г+1 + ^/2^Вг+1 ,

5 -

1(5+1 - /2>/щ+") < о(п^ я,) <

(5+1 + К(9)

5 - 1

-4

где =

—2 _ Ц4 5 +1

5 V ^ I 8

О

2

82

, Вт+Л = — [2];

ц4 — выборочный смещенный центральный момент четвертого порядка; w — заданный уровень значимости;

/2 — квантиль уровня (1 — w/2) стандартного нормального распределения. Пользуясь выражением (9), нетрудно получить доверительную область изменения у(:

У ■ < У, < У

I тт — I , — I п

где УШ1П =

Г+1 - ^/2^

где т = т / Д,, , е [,1,т], к = 1,2, О — область изменения г ( I), Т — горизонт событий. Тогда

Еод^) = М(1), Л,) = М(2) -[М(1)]2.

Подставляя последние соотношения в (3), детерминируем у

Отметим, что при переходе к пределу в (8) при Дт^0 уменьшается количество данных, выбираемых для анализа, и рассчитываемые коэффициенты М (к) флуктуируют. Поэтому требуется фиксировать такие Дт, чтобы они были малы относительно общего периода Т, но, тем не менее, были сравнимы с минимальным временем между сделками.

Будущее значение г;+1 в момент времени неизвестно и моделируется в соответствии с методологией STS-GARCH (1,1) [1, с. 45-50; 3, с. 54-62].

Перейдем к построению доверительного интервала. Пусть известен набор реализаций будущих значений Я,+1,/ = СТ^в«,, I,+и = ст^,/, где ст(к) -

найденные с помощью STS-GARCH (1,1) вола-

(к)

тильности, в, / — некоторые случайные величины с

, -(к) нулевым средним и стандартным отклонением ст, ',

/ = 1,2... 5, к = 1,2. Следовательно, детерминиро-

У шах

1(5+1 + К/2^1 П5,2+1)

— Г2

5 -

Г,+1 + /2

у (5+1 -1. /-л/»52")

-Ч О?

5 -

Трансляция неприятия риска

Активное управление капиталом на фондовом рынке подразумевает инвестирование в различные финансовые инструменты с фиксированной базой, например во фьючерсы, опционы, опционы на фьючерсы и т. д., выпущенные на акции одного эмитента. Это позволяет не только хеджировать вероятные рыночные риски [9], но и осуществлять торговые сделки программными автоматами, которые находят арбитражные возможности, работая на различных секциях биржи (скальперские операции, раздвижки и т. п.).

Найдем функциональные зависимости между рисками у, таких инструментов.

Если Я, = (^ - Ft_1)F—l — относительные приращения цен фьючерса на акции, а I — относительные приращения цен фьючерса на индекс, , = 1,т ,

5

то неприятие риска = у t (Ег ) =

е (я+1 - I+1 Я)

+1 - л м\ Я)

Вспоминая, что справедливая цена фьючерса Е = SteЬ(T-t), где Т - время окончания контракта, Ь - безрисковая процентная ставка, легко получить:

v еь(т ) с еь(т-t+l)

Я = яе - st_le

-ь

= е

St-1е st - ^-1

ь(т-t+1)

Stе-Ь - V-1

+ (е-Ь -1) = е-ЬЯ( + (е~ь -1).

-ь

-ь

у

Аналогично I = е Ь11 + (е Ь -1). Поэтому

У г =

Е(Я+1 - /+1 Я) = Е [е-Ь (Я+1 -/+1) Я, ]

- 1М\Ё) Я[е-Ь (Ё+1 - 1М)\Ё]

= еьЩ+]Ю = еь

Е(^ Ю ь = еУ t.

Е (Я+1 - /,+1 Я)

»(Я+1 - у+1 Я)

ДЁ+1 - Я ) Дг+Л Я )

= у1, что и требовалось

пателя на акции европейского типа, определяемая по формуле Блэка - Шоулза [9]

Gt = ^ФЦ,,) - Ее-Ь(т-t)Ф(^1Д - с7Г-7),

где Е - цена исполнения; ст - волатильность акций; Ф(х) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины;

^ =

1п— +

Е

Г и ст2 ^

Ь +— 2

(т -1)

(стл/Г-7 )-1.

Тогда

й = Ц- Ц-1 Я =~от~

VФЦД) - Ее~Ь(т-)Ф(^1Д - стл/Т-У) -Я^ФЦ t_1) + Ее-Ь(т_t+Х)Ф(dl t_1 - стл/Т-7+1)

Б(гм\Я,) £(/;+1| Я,)

Таким образом, доказана справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть Я( = (^ - ^^ , 1 < , < Т. Тогда неприятие риска изменяется пропорционально еь, где Ь — безрисковая процентная ставка, если от инвестирования в акции перейти к инвестированию во фьючерс на эти же акции: у, = еьу,.

Заметим, что если вместо относительных приращений использовать логарифмические Я( = 1п(Я, / _1), Я = 1п(Е /Е^), то неприятие риска будет инвариантом.

Теорема 2. Пусть Я1 = 1п(^ / Я,-1), 1 < , < Т. Тогда неприятие риска не изменится, если от инвестирования в акции перейти к инвестированию во фьючерс на эти же акции, или уt = Уt.

Доказательство: действительно, Я = 1п(Е / Е-1) = 1п(Я, / - Ь = Я( - Ь и аналогично I = / - Ь , где I г - логарифмы приращений цен

фьючерса на индекс. Поэтому у, =

Е (Я,+1 - /,+1Я) Е (^ I Я,)

VЧФЦ,,-1) - Ее

-Ь(т+1)

ФЦ, м -ст^/T"_7+T)

В силу нелинейной зависимости Ф(х) от d1 , и (d1 I -ст\/Т-7) дальнейшее упрощение невозможно: у каждого слагаемого в числителе стоит собственный сомножитель, определяемый нелинейно входящими в него параметрами. Аналогично если Gt - цена опциона покупателя на фьючерс европейского типа, вычисляемая по формуле [6]

где

Ог = Ер^-)Ф(d1, ,) - Ее-Ь(т_t)Ф(d1,, -ст4¥-1),

(ст^/Т-Г )-1,

Е ст2

1п Е +—(Т -;) Е2

то

доказать.

К сожалению, аналогов теорем 1, 2 для опционов на акции и опционов на фьючерс не существует: для более сложных деривативов функциональная связь между у, и у, нелинейна, причем она будет уникальной для каждого отдельного класса финансовых инструментов.

Действительно, пусть Gt - цена опциона поку-

й = С', - С',-1 = Я =~т-=

FteЬФ(d1,t) - ЕеЬФЦд - ^л/Т-7) -= ^ФЦ,^) + ЕФ^и-1 -сту/Т -; +1)

= Е-ф^) - ЕФ^и-1 - ^ Т -; +1).

Следовательно, как и в случае опциона на акции, неприятия рисков у, и у{ связаны нелинейно у,.

Анализ эмпирических данных

Развивавшийся более двух лет мировой финансовый кризис, резкое снижение российских биржевых индексов и котировок акций, входящих в них, на 40-75 % в течение августа - декабря 2008 г., падение ликвидности финансовой системы, банкротство ее профессиональных участников и девальвация основных мировых валют предоставили уникальную возможность для стресс-тестирования предложенной методологии и для проверки ее

адекватности при принятии инвестором решении о размещении капитала на фондовом рынке.

Проанализируем поведение котировок обыкновенных акций наиболее капиталоемких компании в течение первой фазы значительного падения мирового фондового рынка (август — сентябрь 2008 г.), для чего рассмотрим внутридневные пятиминутные цены Close за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. (всего 3 166 значений). Выбор временного интервала неслучаен: постепенное снижение цен в августе 2008 г. сменилось резким падением котировок 15—17 сентября в размере 15—25 % ежедневно и полным закрытием бирж в последующие два дня.

Для построения асимптотического приближения плотностей (7) и моментов (8) были зафиксированы следующие параметры: Ах = 10 мин, Ati = 1000 пятиминутных интервалов, Ati+1 = 1002 пятиминутных интервала (или «11,49 и «11,52 торговых дня соответственно). Результаты моделирования неприятия риска у , вычисленного по выражению (3), для акций ВТБ, «Газпрома», ЛУКОЙЛА, «Роснефти», а также доверительные интервалы для yt приведены на рис. 1.

Как следует из анализа рис. 1, рассматриваемых эмитентов можно упорядочить по возрастанию в них рискованности инвестиций: ЛУКОЙЛ, «Газпром», «Роснефть», ВТБ. Действительно, для активов ЛУКОЙЛа наблюдается резкое падение коэффициента уt при стремлении r t к —0,1. Это означает, что событие rt = —0,1 вызывает у крупных профессиональных участников желание приобретать акции, т. е. их стоимость резко не снизится и будет быстро восстанавливаться.

В то же время для «Газпрома», «Роснефти» и ВТБ уровень r t = —0,1 соответствует уt =-17, уt = -10 и уt = -5 , что свидетельствует о большом числе инвесторов, принимающих риск и готовых нести потери при существенно большем, чем для ЛУКОЙЛа, снижении избыточной доходности r .

Как показали данные, представленные на рис. 2, найденное неприятие риска помогает принять решение о точке входа на фондовый рынок или выхода из него. Например, для акций ВТБ наименьшее (наибольшее) значение риска у min = -8,6 (у max =-2,8) (рис. 1а) соответствует избыточной доходности rmin = —0,23 (rmax = —0,03 ). При этом rmin наблюдается в 2 874-й пятиминутный интервал времени (или в 11.55 московского времени 17 сентября 2008 г.) — за десять минут до двухдневного прекращения торгов, а rmax — в 1 002-й интервал (или в 14.05 18 августа). Таким образом, при избы-

-0,1 -0.05

0.05 0.1

-ОД -0,15 -0.1 -0,05 0 0,05 0,1 0.15 /;

г

Рис. 1. Неприятие риска инвесторов за период с 1 августа по 24 сентября 2008 г. по пятиминутным данным (пунктирными линиями изображены границы

95 %-ного доверительного интервала): а — ВТБ; б — «Газпром»; в — ЛУКОЙЛ; г — «Роснефть»

a

б

в

1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 ft время

а

0,05

-0,0:

-0,1

1000

1200 1400 1600 1800 2 000 2 200 2 400 2 600 2 800 3000 ftвремя б

рис. 2. Избыточная доходность акций с 1 августа по 24 сентября 2008 г. по пятиминутным данным (пунктирными линиями изображены уровни г, = гт^): а - ВТБ (^ = - 0,23); б - «Газпром» (^ = - 0,11); в - ЛУКОЙЛ (г. = - 0,08); г - «Роснефть» (г. = - 0,22)

период в соответствии с равенством (4). При этом зафиксируем следующие значения параметров: горизонт инвестирования T = 3 166; ставка b = 0,1 (соответствует эффективной доходности по гособлигациям в сентябре 2008 г., эмиссия Russia 25 060), отношение 5 = 0,2. Зависимость потребления C, нормированного на собственную максимальную величину, от избыточной доходности rt акций ВТБ (наибольший коэффициент у') и ЛУКОЙЛа (наименьший коэффициент представим на рис. 3.

Представленные на рис. 3 данные позволяют определить тип инвесторов, покупающих ценные бумаги. Так, для акций ВТБ (рис. 3,a) при уровне rmin = —0,23 наблюдается повышенное потребление (70 % от максимума), в то время как для акций ЛУКОЙЛа при rmin = —0,08 значение C падает практически до нуля (5 % от максимума). Кроме того, присутствует повышенный спрос на акции ВТБ и в правой части рис. 3,а, в области Г е [-0,02; 0,04], где избыточная доходность велика, точка входа на рынок пройдена и вложения рискованны. В то же время для активов ЛУКОЙЛа в области rt е [0,15; 0,2] потребление в среднем па-

точной доходности, близкой к Гт1п(гпшх), управляющий активами должен формировать (распродавать) портфель акций.

Используем найденный коэффициент Yt для оценивания уровня потребления С, в кризисный

рис. 3. Динамика нормированного уровня потребления акций в зависимости от избыточной доходности с 1 августа по 24 сентября 2008 г. по пятиминутным данным: а - ВТБ, б - ЛУКОЙЛ

г

mfc,

0,35

Рис. 4. Динамика предельной величины потребления для акций ВТБ по пятиминутным данным в зависимости от избыточной доходности с 1 августа по 24 сентября 2008 г.

дает—профессиональные участники предпочитают зафиксировать прибыль на уровнях г = 0,16 и г_= 0,2 и уйти с рынка. Следовательно, при торговле акциями ВТБ число рискованных инвесторов, готовых нести потери, преобладает, а ЛУКОЙЛа — находится в меньшинстве, т. е. бумаги первого эмитента более спекулятивные.

Несмотря на явную стохастическую природу процессаС,, предельная величина потребления МРС1 в выражении (4) ведет себя как неслучайная, детерминированная функция (рис. 4).

Как показали расчеты, зависимость МРС1 от г1 для рассмотренных эмитентов практически не изменяется, что свидетельствует о постоянстве потребительских предпочтений на рынке в момент кризиса: при быстром падении или росте котировок для инвестора важно сохранить капитал или заработать на спекулятивных операциях вне зависимости от вида голубой фишки, так как изменение цен на них происходит одновременно с изменением фондового индекса.

Выводы

В результате проведенного анализа показано, что предложенный метод расчета неприятия риска и уровня потребления адекватен и хорошо реагировал на кризисные явления, имевшие место на российском фондовом рынке в августе — сентябре 2008 г.

Своевременное принятие решений с помощью простейшей инвестиционной стратегии — купить при наименьшем у(, а продать при наибольшем у, —

позволило бы инвестору получить доход до 60 %

по акциям ВТБ, до 30 % — «Газпрома», до 25 % —

«Роснефти» и до 20 % - ЛУКОЙЛа.

Список литературы

1. Бельснер О. А, Крицкий О. Л. Применение одномерного STS-распределения для моделирования значений фондовых индексов // Известия ТПУ. 2007. Т. 310. № 1.

2. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976. 648 с.

3. Крицкий О. Л., Ильина Т. А., Каменских Д. М. Расчет безрисковой стохастической процентной ставки и ее применение в модели Блэка — Кокса // Экономический анализ: теория и практика. 2010. № 15.

4. Крицкий О.Л., Лисок Е. С. Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности // Прикладная эконометрика. 2007. Т. 2. № 2.

5. Ait-Sahalia Y, BrandtM. W. Variable Selection for Portfolio Choice// Journal of Finance. 2001. Т. 56. № 4.

6. Ait-Sahalia Y., Lo A. W. Nonparametric risk management and implied risk aversion // Journal of Econometrics. 2000. Т. 94.

7. Bliss R. R, Panigirtzoglou N. Option-implied risk aversion estimates // Journal of Finance. 2004. Т. 59. № 1.

8. Hong Liu. Optimal consumption and investment with transaction costs and multiple risky assets// Journal of Finance. 2004. Т. 59. № 1.

9. Hull J. Options, futures and other derivatives. Prentice-Hall, Saddle River, New Jersey, 5th edition, 2003.

10. Janecek K., Shreve S. E. Asymptotic analysis for optimal investment and consumption with transaction costs // Finance and Stochastics. 2004. Т. 8.

11. Judd K. L, Kubler F, Schmedders K. Asset trading volume with dynamically complete markets and heterogeneous agents// Journal of Finance. 2003. Т. 58. № 5.

12. PoterbaJ. M. Stock marketwealthand consumption // Journal of Economic Perspectives. 2000. Т. 14. № 2.

13. Rosenberg J. V., Engle R. F. Empirical pricing kernels // Journal of Financial Economics. 2002. Т. 64.

финансовая аналитика

проблемы и решения ' 45