CC BY
54^(саЯ&мшса-мл^млтиггасае
мофелира&гНие
РАСЧЕТ БЕЗРИСКОВОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В МОДЕЛИ БЛЭКА-КОКСА
О. Л. КРИЦКИЙ,
кандидат физико-математических наук, доцент, заместитель декана факультета естественных наук и математики Е-таИ:о1ефо1@1ри.ги
Т. А. ИЛЬИНА,
аспирант факультета естественных наук и математики Е-таИ:о1ефо1@1ри.ги
Д. М. КАМЕНСКИХ,
студент факультета естественных наук и математики Е-таИ:о1ефо1@1ри.ги Томский политехнический университет
Предложена методология расчета стохастической безрисковой процентной ставки по неприятиям риска различных финансовых инструментов с одинаковым базовым активом, доказана ее адекватность.
Ключевые слова: неприятие риска, стохастическая процентная ставка, модель, кредит, риск, Блэк-Кокс.
Введение
Безрисковая процентная ставка г, представляющая собой в самом общем случае случайный процесс г = г где ^ > 0 — время, играет первостепенную роль в финансовой математике [6, 9] и имеет широкое приложение. Наиболее известно ее использование в риск-менеджменте, например при вычислении справедливой цены опциона европейского типа [6]:
С = в-гТЕ'(/т), (1)
где Т— время действия контракта; г = const;
Е* — математическое ожидание по риск-нейтральной вероятности; /г— функция выплаты опциона. Выражение (1) при/г= max (ST— К, 0), где К— цена исполнения, превращается в классическую формулу Блэка—Шоулса, лежащую в основе многочисленных теорий, например, теорий динамического хеджирования капитала, методологий управления портфелями деривативов [9], теории мартингалов [6] и безарбитражной торговли с построением риск-нейтральной плотности вероятности и с оцениванием неприятия риска инвестора [7] и др. Несмотря на высокую популярность, модель Блэка—Шоулса имеет в своей основе существенные ограничения, важнейшим из которых является требование неслучайности функции процентной ставки г (0, так как именно оно существенно
влияет на стоимость заемных средств и долговых обязательств компаний и государств (CDO, CDS и т. п.), величину кредитного риска и рисковой премии, вероятность дефолта и расстояние до него при рассмотрении моделей кредитного риска [11].
В настоящее время разработано большое количество методов, позволяющих учесть сто-хастичность функции г (t) и рассматривать ее уже как г t) [9, 14]. Наиболее известными из них являются однофакторные равновесные модели Рэндлемана—Бартера, Васичека, Кокса-Рос-са—Ингерсолла, безарбитражные модели Хо—Ли, Халла—Уайта, а также класс моделей форвардной ставки Хисса—Джерроу—Мортона (HJM), хорошо зарекомендовавшие себя при нахождении кривых доходностей бескупонных облигаций. Однако для расчета ставки г (t) наиболее современными алгоритмами, такими как ШМи Хо—Ли, процедура калибровки (привязки) модели к эмпирическим данным, особенно к высокочастотным или тиковым, существенно затруднена. Например, согласно HJM, r = r(t>,t) должна удовлетворять следующему нелинейному стохастическому интегро-дифферен-циальномууравнению [14]:
i ".....
dr =
If Q0, t)
dt
a(s, t + ^t >
a t2
ds -J-
v dw I dt
д t
dWt, r(t0) = r0, (2)
д Г Ч д s
•0 J
где — текущее время; ^ < Т — будущее время; Т — момент исполнения бескупонной облигации с текущей ценой В (•0,Т) = В (О,Т) ехр I (г -а2(^0,Т)/2)^ + а (70,Т) и форвардной
1 д 0 ставкой /(^, •) =--(1п В(^0, •)); Wt — винеровский
Т¡7 д • 0
процесс, Уу1 — винеровскии процесс относительно риск-нейтральной вероятности, а (я, 0 — волатиль-ность изменения В (я, При этом функциональные зависимости а (я, 0 иД^, 1) считаются неизвестными и определяются в процессе калибровки методами наименьших квадратов, максимального правдоподобия, бинарныхдеревьев, Монте-Карло и др., что только усложняет решение задачи (2). Поэтому в отличие от уже известных в литературе методологий для вычисления стохастической процентной ставки г 0 предлагается использовать трансляционное свойство для неприятий рисков [3] дериватива и базового актива, рассчитанных одновременно с помощью асимптотического подхода [4].
Коэффициент неприятия риска у(, абсолютный, относительный или условный, является важ-
ной характеристикой управления активами в условиях неопределенности рыночной конъюнктуры. В настоящее время имеется большое количество методик оценивания и вычисления неприятия риска. Условно их можно разделить на три категории. К первой относятся алгоритмы, определяющие у1 как корреляцию между приращениями цен активов и их волатильностями [10]. Вторую составляют методы, позволяющие моделировать математически различное поведение инвесторов на рынке и находить у [13], рассматривая его как разность между квадратом потребностей инвесторов в активах и заданным уровнем дисперсии их ценовых приращений. Наконец, к третьей, самой обширной категории относятся методы, определяющие неприятие риска с помощью функции полезности инвестора и (Щ или и (С), где Ж — уровень его капитала, С—уровень потребления [7, 8,12]. Вних рассматриваются абсолютное у(и относительное р( неприятие риска вида:
Y t (St) = "
U" (ST)
, P, (ST ) = -
STU" (ST)
(3)
и' (8Т) и'($.)
где — будущая цена актива, рассчитанная в момент Т.
В отличие от упомянутых способов нахождения у, в частности, по формуле (3) в качестве абсолютного неприятия риска предлагается рассмотреть информационное соотношение условных моментов распределения вероятности:
у — у (S ) _ ' fo R )
Y' "Y' (St ) - D (r+1| R)'
(4)
где rt = (Rt - It) — избыточная доходность активов, имеющих котировки S',
Rt = (St - St_1) S~\ — относительные приращения цен;
It — относительные приращения значений индекса (эталонного актива), t = 1,T. Соотношение (4) обладает несколькими преимуществами. Во-первых, оно связано с хорошо проработанной теорией САРМ (теория управления активами) и APT (арбитражная теория оценки стоимости) и его легко применить для формирования оптимального и тангенциального портфелей [8]. Во-вторых, при вычислении у уже нет необходимости принимать допущение о логнормальном распределении приращений цен, которое является основным при выводе формул Блэка—Шоулса и Ба-рона—Адези—Вэли для нахождения справедливых цен опционов европейского и американского типа. В-третьих, для у можно построить доверительный интервал, пользуясь стандартной процедурой оцен-
ки [2] математического ожидания и дисперсии в случае произвольного вероятностного закона, что затруднено при существующих способах вычисления неприятия риска [7]. Наконец, методологию определения одномерного показателя у можно обобщить на случай нескольких переменных, для чего достаточно рассмотреть (4) как отношение условных моментов многомерных распределений.
Предлагается методология расчета стохастической безрисковой процентной ставки по неприятиям риска различных финансовых инструментов с одинаковым базовым активом. Доказаны необходимые теоремы, а также проведено моделирование безрисковой ставки инвестиций в наиболее капиталоемкие компании России, для чего рассмотрены внутридневные пятиминутные цены закрытия (Close) их акций на ММВБ и котировки июньских фьючерсов на РТС FORTS, пятиминутные значения индекса РТС и июньского фьючерса на индекс РТС за период с 11 марта noil июня 2009 г. (до 5 649 значений). Кроме того, сделаны расчеты модифицированным на случай стохастической процентной ставки алгоритмом оценки кредитного риска Блэка—Кокса (14) — (16). Вычислены параметры среднесрочного корпоративного кредита для ОАО «Газпром», оценены вероятность дефолта заемщика и его будущая капитализация.
Общие положения
Пусть г = (R -1¡), i= 1,2,..., — избыточная доходность, являющаяся дискретной реализацией некоторого непрерывного случайного процесса t (t) , вычисленного в моменты времени t: t (t,. ) = r.
Кроме того, пусть имеются ценовые приращения Л r вида
ДГ = r (t,. ) - r (t,. -At,. ), (5)
где At — временной лаг.
Как известно [4], стохастический процесс r (t) полностью определяется бесконечным набором совместных плотностей pN ( Д/Ц, Àtj ;...; ArN, AtN ), которые зависят от ^переменных, N ^ да В случае марковских процессов или процессов без памяти^, распадается в произведение условных плотностей p(A7M, AtM\Art, At,. ) реализации A¥¡+1 за время At¡+V если AT произошло за время At:
Pn (дт1, m;...; *TN , &N ) =
= p(AT", Atl) Пp(Ar+l, At„l |Ar, At.).
(6)
Заметим, что выражение (6) справедливо лишь в случае, когда все А / независимы друг от друга. Не умаляя общности, предположим, что А г (?) — мар-
ковский случайный процесс. Тогда безусловная плотность р(Д/"+1, Д?,+1, Д/, А?,.) легко определяется через условную:
) = Р(дг, ) Р(дг+1, |дг, ),(7)
где р(А/, А?,.) — одномерная функция плотности распределения случайной величины Д/ , / = 1,..., И, значения которой детерминируются в (5) при фиксированном лаге At¡. Например, для ценовых приращений Д/+1 и ДЯ;. двух различных марковских процессов, вычисленных с лагами At¡+l и Аti, At¡+l < At¡, в моменты времени t¡+l и t¡, выражение (7) принимает вид: р(Д/+1, А?,.+1; ДЯ,., Д?,.) = р(Щ, А?,. )р{&м, Д?,+11АЛ,., Д?,),
откуда
р(Агм, АЯ, А/,.) = р(Дг+1, А/.+1; АД,., Д?.)/р(АЯ,., Д?.).
Знаяр(Дг+1, Д?,+1| АЯ,., Д?,.), / = 1,..., (ЛТ- 1), при А?,., Д?,.+1 ^ да, можно вычислить первый и второй моменты условного распределения:
M{k} = lim
ЛмО
— Í(Ar -AR)kp(Ar, т + Ат, (AR, t) d(Ar) Ax i
,(8)
где x = T/ At, t = 1,...,(N-1), к = 1,2;
Q — область изменения Ar (t);
T— временной горизонт.
Тогда E(r+1|R) = Mm,D(rl+1\R) = M(2) -[M(1)
Подставляя последние выражения в (4), детерминируем yt.
Заметим, что при переходе в (8) к пределу при Дх ^ 0 уменьшается количество данных, выбираемых для анализа, и рассчитываемые коэффициенты М^ флуктуируют. Поэтому требуется фиксировать такие Ах, которые были малы относительно общего периода Т, но сравнимы с минимальным временем между сделками.
Согласно (5), ArM = r (tM) - Г(tw -Atw), причем r (t,.+1) — ожидаемая избыточная доходность от инвестиций в будущий момент времени (/+1), а r (t,.+1 -At,.+1) — избыточная доходность от вложений денежных средств, зафиксированная в прошлый момент времени (t,.+1 -At,+1). Поэтому величина А7М , участвующая в определении коэффициента неприятия риска, — это разность доходностей от инвестирования средств на период А;+1 с безрисковой процентной ставкой r.+1 = г tj+l). Очевидно, что при At,., At,.+1 ^ да разность между г;.+1 и г;. будет стремиться к нулю и lim r+1 = lim r = r , где r = r(t) —
долгосрочная безрисковая процентная ставка. Далее, зафиксируем некоторое элементарное событие ю0 и вычислим ставку г= г (^ (ю0)), которая будет детерминированной и постоянной. Проверим справедливость следующих теорем.
Теорема 1. Пусть Я, = (Б, - I < t < Т.
Тогда при долгосрочных вложениях капитала неприятие риска изменяется пропорционально ег, если от инвестирования в акции перейти к инвестированию во фьючерс на эти же акции: У, = е У,,
где у, — неприятие риска для фьючерсов.
Доказательство. Если Я = (^ - )— относительные приращения цен фьючерса на акции, а I, — относительные приращения цен фьючерса на индекс, • = 1,Т, то неприятие риска
е (Я+1 - /,1 Я)
у, = у, (^) =---_ _ . Вспоминая, что спра-
' ' ' В (Я,+1 " 1,+1\Я,) ведливая цена фьючерса Е( = Б1вг(Т"'), где Т— время окончания контракта, легко получить
R =
S.er<T-') - S. <T-'+1) S.e r - S
r (T-t +1)
S
= e
St - S, _ S
+ <e~r -1) = e~rRt + <e~r -1).
Аналогично I( = e rIt + <e r -1). Поэтому
E<R+i -L\R) = E<e-r<Rt+1 -It+i)\Rt) D<R,+1 -ijR) D<e-r<Rt+i -I'+i)Rt)
У t =
r E<rt+i\Rt) r e -= e
e <rJ R)
- =e У,,
Б(гН1\ Я,) Щт,+1\ Я,) что и требовалось доказать.
Заметим, что если вместо относительных приращений использовать логарифмические Я, = 1п(Б, / 1 = 1п(Е1 / Е1_1), то неприятие риска будет инвариантом.
Теорема 2. Пусть Я, = 1п(Б, / 1 < /"< Т. Тогда при долгосрочных вложениях капитала неприятие риска не изменится, если от инвестирования в акции перейти к инвестированию во фьючерс на эти же акции, или у, = у,.
Доказательство. Действительно, Я = 1п(^ /= 1п(Б, /Б,_1) - г = Я1 - г и, аналогично, I = 11 - г , где I, — логарифмы приращений цен фьючерса на индекс.
Поэтому
_ = е (Я,+1 -Я,) = Е (Я,+1 -11+1\Я,) = Е (г^ Я,) = ъ В(Я,+1 -1,+\Я) В(Я+1 -1,+1\Я,) Я,) ъ'
что и требовалось доказать.
Используем доказанную теорему 1 для вычисления дискретной реализации г = г (ют), О случайного процесса г в каждый фиксированный момент времени , = 2,...,N при наличии
всей доступной информации ю(. Согласно теореме 1, для этого достаточно вычислять коэффициенты неприятия рисков yt, yt для фьючерсов и акций соответственно и находить логарифмы их отношений:
г, = ln<уt /yt), t = 2,...,N, (9)
если уt Ф 0, уt Ф 0.
Случаи у, = 0 или уt = 0 являются особенными, так как они определяют риск-нейтральный уровень инвестирования, сравнимый по доходности г с вложениями в государственные казначейские облигации [6]. Поэтому в (9) дополнительно потребуем, чтобы
г = г, (10)
если у, = 0 или у, = 0 . Последнее выражение завершает определение rt.
В заключение построим доверительный интервал для ставки rt, если у, ф 0, уt Ф 0, воспользовавшись идеей, изложенной в работе [3]:
1П< У min / У max) ^ Г ^ ln< У max / У шm),
где У min, У max, У mn^ У max - доверительные границы для коэффициентов неприятия риска уt, уt соответственно.
Модель Блэка—Кокса со стохастической процентной ставкой
Одна из основных функций, которую играет безрисковая процентная ставка г t) в развитых экономиках, это определение стоимости заемных денежных средств на межбанковском кредитном рынке. Поэтому введенную в (9), (10) ставку rt используем в известной модели Блэка—Кокса (Б—К модель) [11], позволяющей оценить будущую стоимость заемщика Vr его кредитный риск, время и вероятность дефолта по долговым обязательствам.
Классическая Б—К модель состоит в следующем. Публичная компания с рыночной стоимостью Vt, t> 0, берет в момент t = 0 в долг у кредитора сумму D на срок Т, отдавая ему одну дефолтную облигацию номинальной стоимостью D со сроком погашения Т. При этом предполагается, что эволюция стоимости Vt заемщика удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению вида
dV= rVtdt+avVtdWt, t>0,VQ = const, (11) где г — постоянная безрисковая ставка; ctf— волатильность процесса Vf Получив облигацию, кредитор проводит операцию хеджирования, выпуская в момент t = О и продавая страховщику опцион покупателя по
цене, определенной в соответствии с формулой Блэка—Шоулса:
С0 = БегТ ФЦ) - Ут Ф(^), где Ф (х) — функция распределения стандартной нормальной случайной величины; йх = []п (УТБ-1) + (г + ст2 / 2) т] ст;Т~1/2;
d2 = + Уу4Т. Согласно Б—К модели кредитор при наступлении дефолта заемщика может воспользоваться опционом в произвольный момент времени 1<Т, что отличает ее от подхода Мертона [11].
Параметры Кги сткненаблюдаемы и определяются из вспомогательных соотношений
Ео = VФ(4) -Бе гТФ(^2), = Еа аЕ [уФ^)]4 , где Е0 — известный из бухгалтерской отчетности капитал кредитора; чЕ — известная волатильность Е0. Затем по сткнаходят эволюцию как решение уравнения (11):
V = V0exp[(r - ст^ /2) t + arW,].
(12)
Вычисляют время наступления дефолта: ф= М{0 < ? < Т; + (г 11 ~У)
? = 1п С - ]п У0-уТ>, (13)
где у = / В — граница дефолта, и вероятность дефолта Рй=\ — Ф (й2).
Модифицируем классическую Б—К модель, введя в нее стохастическую процентную ставку г(, / > О, вычисленную согласно формулам (9), (10). Тогда формулы (11) — (13) приобретут вид:
dV=rtVtdt-
avVtdWt,
V = V exp
0,5(ro + rt) + £r, -oVt/2 + avW,
/=1,2,3,..., Т, х = М{0 < ? < Т; стуГ( +
+(/-ст£/2-у)? = 1пС - 1п у -уТ>, (14)
»-1
где слагаемые 0,5 (г0 + /) + ^ г в показателе экспоненты выбраны в качестве разностной аппроксимации для возникающего при определении у интеграла ^rsds . Стоимость хеджирующего оп-
циона также изменяется:
С0 = De-ГтТ
(15)
Ф(d1) - УТ Ф(d2), где ^ = [МУ^1) + (гТ + а2г /2)Т]а;1Т~1/2;
d2 = d1 + аг4т , а у, и <зу будут решениями нелинейной системы:
Е0 = у Ф (dl) -Бе-ТТФ
ау = Ей Ое ГТ Ф М)]1. (16)
Внесенные в модель изменения позволяют точнее оценить будущую стоимость у,за счет более
адекватного моделирования будущей ставки г (Ç, 7). Как следствие, уменьшаются стки С0, что приводит к падению вероятности Pd, отдалению срока наступления дефолта х и уменьшению кредитного риска по сравнению с обычной Б—К моделью.
Анализ эмпирических данных
Развитие финансовой математики и унификация правил выдачи корпоративных кредитов по всему миру обусловили широкое применение Б—К модели на практике [11]. Российские предприятия не стали исключением: все зарубежные заимствования компаний с высоким рейтингом происходят под переменную ставку LIBOR, прибавленную к рисковой премии в 0,25—10%. Длящийся с 2007 г. мировой финансовый кризис привел в конце 2008 г. к резкому (до 75 %) снижению биржевых индексов РТС, ММВБ и падению котировок акций (до 95 %) российских заемщиков, находящихся в залоге у иностранных банков. Это послужило основанием для проведения кредиторами процедур марджин-колл по активам некоторых их них и стало причиной снижения рейтингов этих предприятий, потери мажоритарными акционерами части своего бизнеса, досрочного погашения и реструктуризации долга под более высокую процентную ставку. Поэтому использование модели (14) — (16) востребовано на практике и актуально в современных условиях.
Проведем расчет безрисковой ставки инвестиций в наиболее капиталоемкие компании России, такие как ОАО «ЛУКОЙЛ», Банк ВТБ, ГМК «Норильский никель» и Сбербанк России, для чего рассмотрим внутридневные пятиминутные цены закрытия (Close) их акций на ММВБ и котировки июньских фьючерсов на РТС FORTS, пятиминутные значения индекса РТС и июньского фьючерса на индекс РТС за период с 11 марта по 11 июня 2009 г. (до 5 649 значений). Выбор временного интервала не случаен: резкое снижение цен в сентябре 2008—январе 2009 гг сменилось постепенным ростом котировок с середины февраля 2009 г. и коррекцией в конце июня 2009 г.
Для оценки коэффициентов неприятий рисков Yt, у, для фьючерсов и акций в формуле (9) были зафиксированы следующие параметры: Ах = 10 мин., А,. = 2 002 пятиминутных интервала, А,.+1 = 2 004 пятиминутных интервала (или ^22 торговых дня). Результаты моделирования годовой процентной ставки t), рассчитанной в соответствии с формулами (9), (10) для компаний ОАО «ЛУКОЙЛ», Банк ВТБ, ГМК «Норильский никель» и Сбербанк России, а также изменения стоимостей их акций и динамика неприятий рисков приведены нарис. 1—4.
Отметим, что развитая ранее методология расчета безрисковой ставки может быть успешно применена для оценки точности вычислений г (t). Для этого достаточно воспользоваться доказанной теоремой 2, найти приращения Rt = ln( St / !St_l) ,\<t<T для акций и фьючерсов и сравнить полученные уt, yt друг с другом в каком-либо нормированном пространстве. Для активов ОАО «ЛУКОЙЛ» относительная погрешность не превосходила 0,5 % в норме L2, для Банка ВТБ — 0,9 %, для ГМК «Норильский никель» — 0,7 % и для Сбербанка России — 0,8 % в той же норме на всем временном интервале исследования, что свидетельствует о высокой точности вычислений.
Из анализа рис. 1—4 следует, что изменение значений г t) происходит одновременно с изменениями уровня неприятия риска yt и курсовой стоимости акций. Например, для ОАО «ЛУКОЙЛ» (рис. 1) наблюдается резкое падение и еще более сильный рост годовой безрисковой процентной ставки с 4 850 по 5 180 пятиминутный интервал, что совпадает по времени с началом 15 % роста стоимости акций компании и падением неприятия рис-
ка инвесторов, желающих получить спекулятивный доход и усиленно приобретающих ее активы.
Проведенные расчеты позволили впервые обнаружить эффект отрицательной безрисковой процентной ставки. С нашей точки зрения, ее возникновение можно объяснить по крайней мере двумя экономическими факторами. Во-первых, снижение Федеральной резервной системой США ставок до уровня 0—0,25 % в середине марта 2009 г и усиленная эмиссия доллара США стали причиной вливания ликвидности на фондовые рынки России, Китая, Индии и Бразилии. Как следствие, инвесторы соглашались с вероятными финансовыми потерями от 270 % (ОАО «ЛУКОЙЛ») до 630 % (ГМК «Норильский никель») первоначального капитала в надежде получить более высокую избыточную доходность. Во-вторых, институциональные инвесторы предполагали, что период «дешевых денег» в будущем закончится и стоимость базовых валют увеличится. Поэтому, приобретая активы сейчас и ожидая снижения их стоимости, они надеялись выиграть в долгосрочном периоде за счет удорожания реальной стоимости денег и увеличения кредитного процента по ним.
ШН ЬИН ИНН 3«Н -U»J +HW 4МЧ SZW 5ЫЧ
Рис. 1. Безрисковая процентная ставка (а), % годовых; стоимость одной акции (Ь), руб.. неприятие риска у( (с) для ОАО «ЛУКОЙЛ» в зависимости от времени
с
Рис. 2. Безрисковая процентная ставка (а), % годовых; стоимость пакета акций в 1 000шт. (Ь), руб.; неприятие риска у( (с) для Банка ВТБ в зависимости от времени
Рис. 3. Безрисковая процентная ставка (а), % годовых; стоимость одной акций (Ь), руб.; неприятие риска у( (с) для компании ГМК «Норильский никель» в зависимости от времени
Рис. 4. Безрисковая процентная ставка (а), % годовых; стоимость одной акций (Ь), руб.; неприятие риска у( (с) для Сбербанка России в зависимости от времени
Неприятие риска влияет на динамику г различным образом: например, для акций банковского сектора, таких как Банк ВТБ и Сбербанк России, увеличение (уменьшение) у приводит к росту (падению) безрисковой ставки. Для компаний ОАО «ЛУКОЙЛ» и ГМК «Норильский никель» ситуация противоположная: рост неприятия риска обусловливает желание инвестора избавиться от актива, продав его, что приводит к уменьшению доходности инструмента и падению г /). Такая закономерность является классической и общепринятой [1].
Применим разработанную ранее методологию (формулы (14) — (16)), для чего возьмем за основу корпоративный кредит ОАО «Газпром» в Сбербанке России общим объемом в 3 млрд долл. США, выданный в начале 2009 г. под 10 % годовых [5] со сроком погашения в 2014 г. Для проведения расчетов с помощью математической модели зафиксируем следующие параметры: дата выдачи кредита — 11.01.2009, дата погашения — 11.01.2014, размер займа Б = 1 млрд долл. с границей дефолта по нему у = 80 % (800 млн долл.), ближайшая дата исполнения фьючерса — 11.06.2009 (ОХМ9), начальная годовая ставка г„ = 0,1, период вычисления стохасти-
ческой процентной ставки —11.03.2009—11.06.2009, <уе= 1,2-10"2 в год, Е0 = 90,57 млрд долл., страйк дефолтного опциона Т=Ъ года.
Вычисляя г , в момент исполнения фьючерса ОХМ9 оцениваем будущее значение Кги &у как решение нелинейной системы, состоящей из выражения (14) и второго уравнения (16). Получено, что Ут= 90,62 млрд долл., ау= 0,012 вгод. Используя ихв формуле (15), определяем справедливую цену дефолтного опциона: С0= — 90,57 млрд долл., а также вероятность дефолта Рй = 0 с доверительной вероятностью 0,95.
По сравнению с предложенной методологией (формулы (14) — (16)), классическая модель Блэ-ка—Кокса (формулы (12), (13)) позволила получить следующие результаты: Ут= 91,31 млрд долл., стк= 0,099 в год при тех же значениях С0 и Ра. Выявленная разность результатов в 0,69 млрд долл. (или 0,8 %) показывает, что учет стохастичности ставки позволяет кредитору более точно оценивать действительную стоимость активов заемщика и раньше выявлять вероятный дефолт по обязательствам.
Динамика моделированной безрисковой процентной ставки г(для акций ОАО «Газпром» за период 11.03.2009—11.06.2009 приведена нарис. 5.
Рис. 5. Безрисковая процентная ставка, % годовых, для компании ОАО «Газпром» в зависимости от времени
Выводы
В результате проведенного анализа показано, что предложенный метод расчета стохастической безрисковой процентной ставки адекватен и хорошо согласуется как с динамикой российского фондового рынка с марта по июнь 2009 г., так и с процедурой кредитования и оценки вероятности дефолта заемщика. Отмечается различное влияние неприятия риска на изменение г I), что должно учитываться инвесторами при анализе. Своевременное принятие решений на основе значений процентной ставки позволило бы получить доход до 400 % годовых по акциям Сбербанка России, Банка ВТБ и ГМК «Норильский никель», до 600 % — ОАО «ЛУКОЙЛ» и до 200 % - ОАО «Газпром». Наконец, стохастическая ставка дает возможность точнее оценивать стоимость активов заемщика и раньше выявлять момент его дефолта.
Список литературы
1. БуренинА. ^.Управление портфелем ценных бумаг. М.: НТО им. Вавилова, 2008.
2. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976.
3. Крицкий О. Л. Неприятие риска инвестиций при финансовом кризисе // Экономический анализ: теория и практика. 2009. № 20.
4. Крицкий О. Л., Лисок Е. С. Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности//Прикладная эконометрика, 2007. № 2.
5. Мордюшенко О., ГрибН. Газпром пошел по госбанкам / Коммерсант, 2009. 8 июня.
6. ШиряевА. ^.Основы стохастической финансовой математики. М.: Наука, 1998.
7. Ait-Sahalia Y., LoA. W. Nonparametric risk management and implied risk aversion// Journal of Econometrics. 2000. T. 94.
8. Ait-Sahalia Y., BrandtM. W. Variable selection forportfolio choice // Journal ofFinance. 2001. T. 56, №4.
9. Hull J. Options, Futures, and Other Derivatives. New Jersey: Prentice-Hall, Saddle River, 2003. 5th edition.
10. Kumar M., Persaud A. Pure contagion and investors' shifting risk appetite: analytical issues and empirical evidence //International Finance. 2002. T. 5. №3.
11. Lando D. Credit Risk Modelling. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2004.
12. RosenbergJ. V., Engle R. ^.Empirical pricing kernels // Journal ofFinancial Economics. 2002. T. 64.
13. Sansone A., Garofalo G. Asset price dynamics in a financial market with heterogeneous trading strategies and time delays // PhysicaA. 2007. T. 382.
14. Wilmott P. Introduces Quantitative Finance. Chichester, West Sussex: John Wiley & Sons Ltd. , 2007. 2nd Edition.
