CC BY
65№4(8) 2007
О. Л. Крицкий, М. К. Ульянова
Определение многомерного финансового риска
портфеля акций
Методом главных компонент и алгоритмом ЗТЗ-6АРСМ( 1,1) найдены оценки многомерных рисков равновесного портфеля акций. Доказана теорема об эквивалентности понятий некоррелированности и независимости для случая эллиптического распределения. На основе информационной матрицы Фишера построены доверительные области, содержащие теоретические значения векторов рисков. Разработанный метод применен для вычисления рисков портфеля акций предприятий отрасли «Связь». Показана недопустимость замены многомерных предельных величин рисков совокупностью одномерных.
Задача определения финансового риска некоторой совокупности активов и вычисление его предельных значений в произвольный момент времени играет важную роль при управлении капиталом во всех секторах экономики. Широкому применению оценок различных видов рисков способствовало создание в 1975 году Базельского комитета по банковскому надзору и введение в 1992 году первых законодательных регулирующих соглашений между центральными банками десяти ведущих стран мира (G- 10), ныне известных как Basel I и Basel II (Basel II, 2005). Вместе стем, рискявляется относительно простым экономическим инструментом, которым без ограничений могут пользоваться как профессиональные исследователи, так и неспециалисты.
Оценивание рисков некоторого портфеля совокупной случайной стоимостью St, где время t > 0, производится с помощью вычисления коэффициента предельной величины риска VAR [Hull (2003)], [Benth (2002)] с уровнем доверия 1-а:
В настоящее время имеется большое количество методик оценивания и вычисления одномерных характеристик УАЯ и СУАЯ [А^гпег е! а1. (1998)], [МапдапеШ, Епд1е (1999)]). Условно их можно разделить на три категории:
1. Параметрические (классические одномерные САВСИ (р, ц) и EWMA, алгоритм ШБкМеШсБ (^кМеТлсБ (1996);
2. Непараметрические (метод исторического моделирования (Энциклопедия финансового риск-менеджмента (2006);
3. Полупараметрические (теория экстремальных величин Е^ [ЕтЬгес^Б е! а1. (1997)], [Щетинин, Лапушкин (2004)], [Щетинин (2005)], модель условной авторегрессии САУ1аЯ
1. Введение
VARа (St) = infjx е % P(St < х) > а}
и условной меры риска CVAR:
CVAR а (St) = E {St, St < VAR а (St)}.
3
!
I
t &
с
s
u s Q. О
О
§
8
!
<u
s £
§
IS
No4(8) 2007
[Manganelli, Engle (1999)]). Однако несмотря на все возрастающую популярность и простоту применения, существующие подходы в значительной степени ограничены, так как позволяют находить только одномерные финансовые показатели VAR и CVAR. Как следствие, они не способны рассчитывать рискованность вложений отдельно по каждому из активов X1, X2,..., Xn портфеля п - (у 1, у 2,... ,у n) случайной стоимостью Yn -у 1X1 +у 2 X2 +...+у nXn, тем самым уменьшая вероятную прибыль или даже увеличивая расходы инвестора на управление капиталом, потому что информация о состоянии ценных бумаг будет приходить к нему в искаженном, усредненном виде.
Несмотря на насущную потребность учета многомерных рисков, исследования в этой области встречают серьезные затруднения. Так, в общем случае параметры VAR и CVAR не являются аддитивными мерами [Artzner et al. (1998)], т. е. суммарная предельная величина риска изменения стоимости портфеля п не превосходит суммы величин рисков, вычисленных отдельно для каждого актива Xi,i - 1,n:
VARYn < у1 VARXl + у2 VARX2 +.+у„ VARXr:, CVARYn < у1 CVARX1 + у2 CVARX2 +.+Уп CVARXn.
Поэтому переход от исследования всей совокупности п к рассмотрению только случайной величины Yn напрямую затруднен, но не невозможен. Единственным ограничением для осуществления такого перехода является использование корреляции в качестве детерминирующей характеристики случайного процесса. Известно [Rachev et al. (2005)], что corr(f (Xi), f(Xj)) ф corr(Xi,Xj), i, j - 1,n, где f — монотонно возрастающая нелинейная функция. И если можно найти такую характеристику случайного процесса, которая инвариантна относительно нелинейного преобразования, то построенная на ее основе мера риска будет аддитивной. Это позволит упростить исходную многомерную задачу и рассматривать ее как совокупность одномерных задач, решение которых уже хорошо известно. Такая характеристика была найдена и получила название многомерной копулы [Embrechts et al. (1997)], [Rachev et al. (2005)], [McNeil et al. (2005)].
Проведено исследование копул для вычисления многомерных рисков [Cheng et al. (2007)], [Щетинин (2006)]. Так, у Ченга и др. [Cheng et al. (2007)] строится двумерная копула, § которая используется затем для нахождения рисков Шанхайского и Шендженского составных китайских индексов (Shanghai Stock Composite Index и Shenzhen Stock Composite Index). Евгением Щетининым [Щетинин (2006)] рассмотрена предельная копула многомерного эл-
о о
S
■fr липтического распределения в форме представления Пикендса и комбинированная хвосто-
вая копула. На их основе построены аддитивные меры риска VAR и ES (Expected Shortfall — Ц. ожидаемый уровень потерь), а также проанализированы риски портфельного инвестирования в акции ведущих эмитентов российского фондового рынка в различные периоды его функционирования.
Несмотря на появившуюся возможность приложения теории копул для нахождения многомерных рисков, возникающих при управлении капиталом, их практическое использование еще достаточно продолжительное время будет ограниченным, так как краеугольным камнем любой технологии риск-менеджмента является требование простоты и высокой производительности конструируемых алгоритмов. Ввиду математической и вычислительной сложности рассмотрения копул, нам представляется более эффективным применить
4
№4(8) 2007
для исследовании классическии подход теории вероятностей, связанный с нахождением
м
квантильных функций или квантилей многомерного эмпирического распределения для за- -с данного уровня значимости а: если Г (х,,..., хп)— некоторый непрерывный совместный ве- | роятностный закон для одномерных случайных величин х,,...,хп, то требуемый квантиль оп- ^ ределяется как вектор У - (у,,..., уп), удовлетворяющий выражению:
Fа) = Y, (1)
1 и
где F(x) — обратная функция для F(x1,...,xn).
с;
Таким образом, зная обратное распределение F(x), в соответствии с (1) детерминиру- о ем квантиль Y и вычисляем VAR портфеля п или MVAR (здесь и далее многомерным риск VAR будем обозначать через MVAR, а многомерным CVAR — через MCVAR): MVAR - Y. Затем, определение MCVAR не составит особого труда, так как MCVAR - E{ut, ut < Y}, где ut - (ut(1) ,ut(2) ,...,u(n))— некоторые превышения уровня MVAR.
Несмотря на кажущуюся простоту, предложенный квантильныИ метод вычисления риска обладает существенным недостатком: наИденныИ вектор Yбудет не единственным, так как равенству (1) удовлетворяют все точки поверхности уровня F(Y) - const. Следовательно, имеет место бесконечное (счетное или континуальное) число равнозначных оценок рисков MVAR и MCVAR, т. е. выбор единственной инвестиционной стратегии, приводящей к наименьшему многомерному риску, затруднен.
В литературе предложено несколько способов однозначного определения MVAR и MCVAR.Так, у Чена и др. [Chen et al. (2007)] случайная величина Xt - (X1t,X21,...,Xnt)T, характеризующая логарифмические приращения цен активов портфеля п, записывается в виде:
Xt - At Et ,0 < t < T, (2)
где At — разложение Холески ковариационной матрицы Ht, т. е. Ht - ATtAt,
et - (E1t,e21,...,ent)T — последовательность одинаково распределенных, не обязательно нормальных, независимых многомерных случайных величин (МСВ) с единичной ковариационной матрицей и нулевым математическим ожиданием,
t — время.
Запись в виде (2) позволяет переИти от Xt к рассмотрению некоррелированных шумов et - (At)Xt и наИти оценки рисков MVAR и MCVAR, вычисляя для каждоИ строки матрицы et одномерные VAR, CVAR и составляя из них векторы длины n.
ДругоИ способ основан на использовании ортогонального преобразования W исходных данных Xt [Vrontos et al. (2003)]:
Yf - XtW, (3)
причем элементы Wнаходятся с помощьютриангуляции условноИ матрицы ковариациИ, вы-численноИ относительно Xt. Далее авторы делают дополнительное предположение об условном нормальном законе распределения Xt. Как следствие, получаемые согласно (3) некоррелированные Ytбудут независимыми, что позволяет вычислять одномерные показатели VAR и CVAR отдельно для каждого актива портфеля и составлять из них векторы длины n.
В отличие от предложенных ранее подходов, в настоящеИ работе вычисление предельных уровнеИ рисков MVAR, MCVAR проводится методом главных компонент (более подроб-
Ч 5
No4(8) 2007
но — в Основах эконометрики [Айвазян (2001)]). Отметим, что для эконометрического анализа многомерных данных таковой был применен у Александера и Чайбумбы [Alexander, Chibumba (1998)], [Alexander (2001)], [Alexander (2002)], Джиамуридиса и Вронтоса [Giamouri-dis, Vrontos (2007)], причем авторы использовали его для имитационного моделирования вероятных в будущем значений ковариационных матриц активов портфелей, не рассматривая вопрос вычисления рисков обладания ими. Отсутствие в мировой литературе исследований по применению метода главных компонент для расчетов многомерных рисков может быть легко объяснено. Дело в том, что несмотря на взаимную некоррелированность получаемых при ортогональном преобразовании Wв (3) факторов Ylt, Y21,..., Ynt, последние в случае произвольного вероятностного закона не являются независимыми. Поэтому вычисление рисков VAR, CVAR отдельно для каждой компоненты Yit, 1 < i < n, и формирование общего вектора MVAR, MCVAR приводит к неверным результатам. В данной работе формулируется и доказывается критерий эквивалентности понятий некоррелированности и независимости для случая эллиптического распределения цен активов портфеля. Это позволяет нам в дальнейшем рассматривать факторы Ylt,Y21,..., Ynt отдельно друг от друга и определять единственные показатели риска MVAR и MCVAR.
В работе найдены некоррелированные главные компоненты Ylt,Y21,...,Ynt. Проведено имитационное моделирование их волатильностей ап, 1 < i < n, и квантилей q^Y эконометри-ческим алгоритмом STS—GARCH(1,1). На основе аlt и q5,Y рассчитаны оценки многомерных рисков исходных данных Xt и для них построены доверительные области. Эффективность предложенного метода показана при вычислении многомерных рисков портфеля, сформированного из акций компаний отрасли «Связь» ММВБ, и при их сравнении с одномерными >s рисками, определенными без учета взаимной зависимости с другими предприятиями груп-| пы. Котировки были взяты за период с 1 апреля 2005 по 22 марта 2007 года (всего 491 торго-" вый день). Все числовые данные предоставлены компанией РБК (http://export.rbc.ru);отрасле-.Ц вая принадлежность компаний зафиксирована в соответствии с информацией об эмитентах
¡а. на ММВБ.
о
с
| 2. Теоретические положения
х -
Пусть Xt- (Xlt,X21,...,Xnt), 0 < t < T, — совокупность высококоррелированных исходных
данных, например, котировок акций, фьючерсов или облигаций некоторой отрасти. Так как значения X,,, 1 < / < п, в общем случае разнородны, перейдем кстандартизированнымданным:
Л Z№ - (Xt — цi) а—1, 1 < i < n, (4)
.
¡5 где цi - E(Xtt|Ft—,) — условное математическое ожидание, | ац - [E((Xtt — цi )2|Ft-1)]1/2 — волатильность, 5 8
!
<u
s £
§
)— фильтрация (вся доступная на момент времени t информация), определенная ст-подалгебрами такими, что Ет с Еп, если т < п.
Пусть I — требующее нахождения неизвестное линейное ортогональное преобразование в некоррелированные данные К:
| П = ZtL
Так какZ^ - YtLT, а для компонентZit выполнено соотношение (4), то для обратного перехода
от У, к исходным данным Х( достаточно воспользоваться следующей формулой: 6 ^
№4(8) 2007
х, - ц/ + ^ув ¡¡,, 1 < I < п, (5)
«
м о
ц
где ¡\ — элементы матрицы ¿5
Известно [Айвазян (2001)], что для определения I вычисляют и упорядочивают по убыванию собственные числа матрицы ковариации covz по переменным 1 X, >Х2 >...>Хп, а за- >§ тем формируют I из собственных векторов—столбцов ¡1, соответствующих каждому Х/, 1 < I < п. Так как для любого ¡1 выполнено равенство:
I I
(^ 7 -X к I) I к - 0,1 < к < п, ^
то умножая его слева последовательно на 11, 1 < I < п, имеем:
1!covЬ - с1|ад{Х1, X2,..., Xп}.
В то же время
^У - й(У) - Е(У[ТУ[) - ИЕ() I - Иcov
т. е. У, будут некоррелированными.
Покажем, что компоненты Уи,У2,,...,Уп{ будут взаимно независимыми. Для этого предположим, что У, удовлетворяет многомерному эллиптическому распределению, и сформулируем теорему, доказательство которой приведено в Приложении.
Определение. Случайный вектор У, - (Уп,У2,,..., Уп{), 0 < Г < Т, называется эллиптически распределенным с математическим ожиданием ц, и ковариационной матрицей Н,, если его характеристическая функция фУ (У,) представима в виде:
Фу (У,) - ехр(/ц,У,) ^^Н^
гдеу(У,):[0, да) ^ —характеристический генератор, причем^У,2 I — п-мерная характеристическая функция. /
Если существует плотность распределения для многомерной случайной величины (МСВ) У,, то она имеет вид:
(у (У,) - Сп (Се^Нг))-1/2 дп ^(У -ц,) Н-1 У -ц,
где дп (х) — генератор плотности, причем |хп/2 1 дп (х) дх< да и |хп/2 1 дп (х) дх ф 0,
да
| хп/2-1 дп (х) дх
Сп -
0 0
Г(п /2)
" -■"" 1 ~ нормирующая константа,
(2л)п/2
Г(п)— гамма-функция.
Теорема 1. Пусть 2 - (21, 22,..., 2п) — эллиптически распределенная многомерная случайная величина с математическим ожиданием ц, и ковариационной матрицей Н,. Компоненты 2/, 1 < I < п, будут взаимно независимыми тогда и только тогда, когда корреляция между ними равна нулю.
Доказательство. Приведено в Приложении.
N_7
НЯ4(8) 2007
Теорема 1 позволяет рассматривать понятия некоррелированности и взаимной независимости Уп ,У21,..., Ущ как эквивалентные при условии эллиптического распределения Уг.Сле-довательно, многомерные векторы МУА2 и МСУА2 можно находить как совокупность одномерных рисков УА2 и СУА2, рассчитанных для каждой главной компоненты Уи ,У2 {,...,Уп{ в отдельности.
Чтобы распознавать риски различных случайных данных, обозначим через МУА2(2{) = (МУА22, МУА22,..., МУА22П) вектор МУА2 для процесса 2( = (2и,..., 2п1), а через МСУА2(2() = (МСУА22, МСУА22,..., МСУА22п)— многомерную условную меру риска МСУА2 для 2{. Теперь для координат МУА2Х и МСУА2Х будут справедливы соотношения:
МУА2Х = ц, + а,{МУА2? = ц, +ст„ (МУА2(У) 1Т),, МСУА2X = ц, + а,{МСУА2? = ц, + а/г (МСУА2У) И ),,1 < / < п, (6)
где (•),— операция выделения /-й компоненты вектора.
Не умаляя общности, в дальнейшем вместо рассмотрения достаточного общего класса эллиптических распределений остановимся на использовании какого-либо фиксированного вероятностного закона. В соответствии с решаемой в настоящей работе задачей оценивания многомерных рисков, остановимся на имеющих первые и вторые условные моменты, но отличных от нормального распределения, а также обладающих «толстыми хвостами» и учитывающих в качестве параметра исходную асимметрию данных. Такими свойствами обладает, например, БТБ-распределение, подробно изученное и примененное для имитационного моделирования цен акций |ТасЬ^е!а!. (2005)], [Бельснер, Крицкий (2007)].
'I
| Определение. Пусть дв(х)— функция плотности а-устойчивого распределения [Золота* рев (1983)] с вектором параметров (а,р, с,ц), где а — характеристическая экспонента, р — Л коэффициент асимметрии, с — масштаб, ц — среднее:
1 да
| д в (х) = |ехр[ /х(ц-1 )]• ехр с • г|а - р • /• Б1дп(Г) • ёт, а Ф 1.
х
^ Пусть Ь. (х) Ь-(х)—плотности нормального распределения с параметрами (п. а 2
О §
и £
5
ПустьЬ1(х), Ь2(х)— плотности нормального распределения с параметрами (п,,а2), / = 1, 2 Пусть выбраны два действительных числа п, Ь е ^,что п< ц< Ь, и выполнены соотношения:
п п да да
Мп) = дв(п), Ь2(Ь) = дв(Ь), |х) dx = |дв(х) ёх, |Ь2(х) ёх = |дв(х) ёх. (7)
-да -да Ь Ь
Назовем плотностью ЗТЗ-распределения функцию ((х) вида:
Ь1(х), х < п;
f(x) = <|дв(х),х е [п,Ь]; (8)
Ь2(х),х >Ь.
Найдем эмпирические значения МУА2У, МСУА2У теоретических величин риска ^ МУА2У, МСУА2У, 1 </< п, с доверительной вероятностью (1-а), для чего воспользуемся из-<§ вестным свойством [Rachevet а!. (2005)] квантиля цаВаг,У уровня а одномерной случайной величины У №, имеющей БТБ-распределение:
8
о &
§
8
!
<и
5 £
§ я
№4(8) 2007
Я а У = Ц/ + а*Я, (9) §
о
где дй— квантиль уровня а стандартного БТБ-распределения, |
ц, = Е(Уп|) — условное математическое ожидание, £
а
= д/ D(Y'п | Ft_) — волатильность.
Соотношение (9) позволяет найти эмпирический квантиль qa,Y по фиксированному ис- '! следователем значению qa, если определены волатильность аlt и математическое ожидание ц,. В данной работе имитационное моделирование вероятных в будущем значений аit § осуществляется в соответствии с методологией STS-GARCH(1,1) [Бельснер, Крицкий (2007)]. ^ Так как вопрос прогнозирования выходит за рамки задачи вычисления MVAR(Xt), MCVAR(Xt), и в связи с ограниченностью объема работы, мы опускаем подробное описание алгоритма STS-GARCH(1,1). Отметим только, что аlt находилась из авторегрессионной зависимости вида:
а2 = ю, +5,б2t_1 + р,а2_1, а,,0 = о, t = 2,3,...,T, i = 1,n,
где юI >0,5, >0, рI >0—коэффициенты модели, 1 k
бtt — STS-распределенная случайная величина с математическим ожиданием ц, = —УУ- t_s
__2
и дисперсией а2, s=1
k — лаг (задержка) временного ряда.
После вычисления аit и ц, выражение (9) — детерминировано. Поэтому с помощью (9) можно найти оценку MVARj для MVARj с уровнем значимости а, так как для случайного процесса Y
MVARY = inf{x е %, P(Yt < x) > а} = inf{x e % x > (q-Y),}. (10)
Зная MVARY и фиксируя множество {x e%,x< (qa,Y),}, определяем значение MCVARY:
MCVARY = E{Yt, Yt < MVARY}. (11)
Таким образом, оценки векторов риска MVAR(Yt) = (MVARY,..., MVARY), MCVAR(Yt) = (MCVARY, ...,MCVARYn) найдены.
Построим доверительные интервалы для координат MVARj, MCVARj, 1 < i < n. Для этого воспользуемся асимптотическим свойством оценок максимального правдоподобия. Известно [Боровков (1984)], что оценка
т
вn = argmaxШYt;6), (12)
ве® х -1
t=•
f(Yit; в) = ,—_ exp л/2ла
где9 = (0,,92,...,0т) — неизвестный вектор параметров,
^ (У №; 9) — значения плотностей нормального распределения на выборочных данных:
1 (У« -ц, )2 ' 2а 2 У 0 — область изменения 0,
у„, № = 1,Т, — независимые значения /-го фактора в №-й торговый день, является асимптотически нормальной и устойчивой оценкой для 0, причем справедливо следующее предельное соотношение:
-V
Рынки ценных бумаг
9
IimVn(9п-9) = R~ N(0,J9(9)-1), (13)
l(y;9) 5 l(y; 9) ^
No4(8) 2007
где J9(9)— информационная матрица Фишера с элементами Js,k(9) = E l(y;9) = Inf(y;9), s,k = 1m. ^ 59 59k
Для одномерного GARCH(1,1) J9(9) вычислена у Вронтоса и др. [Vrontos et al. (2003)]:
, 9 ^^ 1 5 ст 2 5ст 2 , TT-
J,k(9) = > >-----—, s, k = 1,3n,
s,k £ £ 2 ст4 59s 59k
где9 = (®1,81,Р1,ш2,52,P2,...,®n,5n,Pn).
Используем (13) для построения доверительного интервала теоретической величины MVARY. Для этого при фиксированном i рассмотрим квантильную функцию вида:
g н (9) = F-1( а; 9),
где 9 = (ю,,5,, P,) — теоретические значения коэффициентов модели GARCH(1,1), F_1(а;9) — обратный нормальный вероятностный закон.
Кроме того, пусть 9n = (со,,5,, P,) — оценка для 9, найденная в (12). Тогда MVAR] = gH(9), MMVARY = gH(9n) и по лемме Слуцкого о предельном переходе под знаком непрерывной функции дн(9) будет выполнено соотношение (13):
lim 4n (MVAR] - mvarY ) = R ~ (0,IMVAR (9)),
s где IMVAR (9) = grad9(gH(9))J9(9)-1grad9 (gH(9)) — информационная матрица Фишера,
^ A л
* '5 5 5 '
I
grad 9 =
5ю / 5 5 / 5 P /
7
а. Доверительный интервал для нормальной случайной величины R определяется класси-
Jj ческим способом [Гнеденко (1988)]. Поэтому справедливо следующее неравенство: *
! MMVAR] - Zw/2 n-1/21M2AR (9n) < MVAR] < MMVAR] + Zw/2 n-1/21M/A (9n), (14)
s
0 §
u
1
| вестное значение MVARY 8
■с вал вида:
I MMCVAR] - zw/2 n-1/21mmVAR (9n) < MCVAR] < MMcvar] + z w/2 n-1/21MM2AR (9n), (15)
где ,/2 — квантиль уровня (1-г/2) стандартного нормального распределения,
(1-г) — вероятность, с которой полученный доверительный интервал накрывает неиз-
Производя аналогичные выкладки для МСУА2;, находим для него доверительный интер-
8 и
<ь UMO Л/1П/AD]
£ §
& „ „
о чения MMVAR(Xt), MMCVAR(Xt) и получить множества, в которых будут находиться векторы
где (1 - г)— вероятность, с которой доверительный интервал накрывает неизвестное значение МСУА2У.
Зная оценки МУА2(У{), МСУА2У) и определив границы доверительных областей в соответствии с (14)-(15), остается применить формулы (6), чтобы вычислить эмпирические зна-
MVAR(Xt), MCVAR{X
10
№4(8) 2007
3. Анализ эмпирических данных
Применим алгоритм для нахождения многомерных рисков равновесового портфеля, сформированного из акций предприятий одной из отраслей. Для ее выбора разобьем на категории 157 компаний, чьи обыкновенные акции наиболее активно торгуются на ММВБ, и применим к котировкам их акций за период с 1 апреля 2005 по 22 марта 2007 года (всего 491 торговый день), метод главных компонент. Найденное количество факторов в каждой группе и процент объясняемой ими дисперсии приведен в табл. 1.
Таблица 1
Анализ отраслей России методом главных компонент
Отрасли Общее число предприятий Число факторов Объясняемая дисперсия, %
Банки и финансовые институты 9 2 85,6
Горнодобывающая промышленность 4 2 80,9
Машиностроение 6 2 85,5
Нефтегазовая 8 1 86,1
Пищевая промышленность 6 2 91,9
Связь 10 2 90,9
Сельское хозяйство 2 2 100
Строительство 1 1 100
Транспорт 3 1 82,3
Химическая и нефтехимическая промышленность 4 2 88,1
Черная металлургия 3 1 80
Цветная металлургия 2 1 93,4
Электроэнергетика 97 3 81
Другие 2 2 100
«
м
0
1
1 I
О
Для дальнейших исследований выберем отрасль, число главных компонент которой больше или равно двум, а общее количество акционерных обществ находится в пределах от 10 до 20. Этим условиям удовлетворяет категория «Связь», состоящая из предприятий телекоммуникационной сферы: Дальсвязь (Хи), МГТС (5-й выпуск, Х2,), МТС (Х3,), Ростелеком (Х4,), Северо-Западный Телеком (Х5,), Сибирьтелеком (Х6,), Уралсвязьинформ (Х7,), ЦентрТелеком (Х8Г), ЮТК Х»), ВолгаТелеком (Хвд).
Исследование корреляционной матрицы Х, показало наличие тесной связи для 90% компаний отрасли (парные корреляции варьировались от 0,83 до 0,96). В то же время на фоне полученных данных резко выделялось акционерное общество МТС: корреляция цен его акций с ценами акций остальных предприятий группы лежала в пределах от 0,3 до 0,81 и была равна в среднем 0,45.
В каждый момент времени 0 < № < Т, в соответствии с (4) строилась матрица 2, стандартизированных данных. Затем вычислялись матрицы ковариаций covZt и находились собственные числа, упорядоченные по убыванию: X1 > X2 >...п. Например, при № = 491они имели следующий вид: X1 = 7,8; X2 = 1,1; X3 = 0,5; X4 = 0,17; X5 = 7,8 х 10-2; X6 = 5,6х 10
-2 .
11
№4(8) 2007
X7 = 2,1 х 10~2; X8 = 2,1 х 10~2; X9 = 1,9 х 10~2; X10 = 7,2х 10~3. Наконец, для X,, 1 < I < 10, вычислялись собственные векторы /„ из которых формировалась матрица преобразования
Динамика изменения наибольшего собственного числа X, в зависимости от номера торгового дня изображена на рис. 1.
! ¡
t &
с *
U S О.
S
0
s§
U
1
S
S
0 &
§
8
Ü
<и
s £
§
55 110 165 220 275 330 385 440 f, дни Рис. 1. Изменение во времени наибольшего собственного числа матрицы ковариаций стандартизированных данных
Для факторов Y1t,Y2t,...,Y10,t были определены параметры соответствующих им STS-рас-пределений. Для этого использовалась запись плотности через интеграл Золотарева [Золотарев (1983)], который далее вычислялся численно квадратурной формулой Симпсона. Качество подгонки проверялось непараметрическим тестом Колмогорова — Смирнова с выдвинутой статистической гипотезой H0обSTS-pacпpеделении эмпирических данных. Результаты вычислений сведены в табл. 2.
Таблица 2
Параметры вероятностного закона STS для значений главных факторов
a P с a b Ho
1 1
Ун 2 0 1,36 0 -5,92 3,33 принята
Y^t 2 0 0,81 0,11 -5,92 3,33 принята
Уч 2 0 0,45 -0,04 -5,92 3,33 принята
У 51 1,67 -0,8 0,24 0,08 -5,92 3,33 принята
yet 1,88 -1 0,21 0,02 -5,92 3,33 принята
y7t 2 0 0,2 0,02 -5,92 3,33 принята
yet 1,69 0,24 0,13 0 -5,92 3,33 принята
Y9t 1,61 -0,22 0,1 0,11 -5,92 3,33 принята
yio,t 2 0 0,08 0 -5,92 3,33 принята
Согласно данным табл. 2 и по Теореме 1, процессы У1г, У2 г,..., Ую г будут независимыми, поэтому вычисление векторов оценок МУАЯ(У{), МСУАЯ(У{) можно проводить покоординатно. Используем для расчетов соотношения (9)—(11), предварительно оценив методом БТБ-
12
ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА ________—
'— №4(8) 2007
GARCH(1,1) волатильности att, 1 < i < 10, с лагом k - 20 и учитывая [Бельснер, Крицкий § (2007)], что st ~ (x;- 5,92; 3,33; 1,85; 0,6; -0,1; 0) — последовательность стандартных STS- | распределенных случайных величин с квантилем да,л --0,2452, найденном при уровне зна- J чимости а - 0,05. Наконец, переходя к исходным признакам Xt по формулам (6), получаем 471 вектор рисков (размерности 10) MVAR(Xt), MCVAR(Xt). §
Приведем наиболее интересные результаты, например, по акциям компаний МТС и Урал- '! связьинформ на ММВБ, которые достаточно ликвидны в отрасли «Связь». Для этого изобра- s зим на рис. 2 и 4 динамику изменения цен одной обыкновенной акции;оценку минимальной стоимости за предыдущий период (MVAR3:, MVAR7), справедливую с вероятностью ^ 0,95;оценку средней минимальной стоимости за прошедший интервал времени (MCVAR^, MCVAR7х) с вероятностью 0,95;а на рис. 3 и 5 минимальную и среднюю вероятную прибыль на каждую акцию при размещении капитала в соответствии со стратегией уменьшения риска.
Руб. 260 240 220 200 180 160 140
20
70
120 170
220
270 320
370 420
470 t, дни
Рис. 2. Динамика изменения цены обыкновенной акции МТС ММВБ с 29 апреля 2005 по 22 марта 2007 года и оценки рисков ее снижения (1 — цена акции, руб.; 2 — MVARl, руб.; 3 — MCVAR3;, руб.)
Руб.
470 t, дни
Рис. 3. Возможная прибыль при инвестировании в расчете на одну акцию МТС ММВБ в период с 29 апреля 2005 по 22 марта 2007 года (1 — с использованием MVAR3; 2 — с использованием MCVAR3;)
13
No4(8) 2007
Как показали расчеты, возможная прибыль от инвестирования денежных средств при использовании параметра MCVAR(Xt) выше, чем при применении MVAR(Xt). Так, для рассматриваемых эмитентов МТС и Уралсвязьинформ максимальная разность между MCVAR3: и MVAR3X, MCVARX и MVAR7 составила 11,09 руб. и 0,06 руб. в сутки соответственно. Максимальная разность между оценками MCVARX и MVARX для Дальсвязи была равна 2,05 руб., для МГТС — 3,55 руб., для Ростелекома — 8,62 руб., для Северо-Западного Телекома — 1,45 руб., для Сибирьтелекома — 0,03 руб., для ЦентрТелекома — 0,38 руб., для ЮТК — 0,02 руб., для ВолгаТелекома — 4,85 руб.
Наконец, сравним найденные компоненты риска MVAR3X, MVARX с одномерными предельными величинами VAR0,05(X31) и VAR0 05 (X71 ), рассчитанными отдельно для акций МТС ММВБ и Уралсвязьинформ ММВБ без учета их зависимости от других ценных бумаг отрасли «Связь». Результаты представим на рис. 6-7.
! ¡
t &
с
s
U S
а.
S
0
s§
U
1
S
S
0 &
§
8
Ü
<и
s £
§
470 t, дни
Рис. 4. Динамика изменения цены акции Уралсвязьинформ ММВБ с 29 апреля 2005 г. по 22 марта 2007 г. и оценки рисков ее снижения (1 — цена акции, руб.; 2 — MVAR7, руб.; 3 — MCVAR7, руб.)
470 f, дни
Рис. 5. Возможная прибыль при инвестировании в расчете на одну акцию Уралсвязьинформ ММВБ в период с 29 апреля 2005 г. по 22 марта 2007 г. (1 — с использованием MCVAR7; 2 — с использованием MVAR7)
14
N94(8) 2007
«
м
0
1
1 I
о
470 дни
Рис. 6. Сравнение многомерного и одномерного рисков для акции МТС ММВБ (1 — цена акции, руб.; 2 — ШЯ3Х, руб.; 3 — VAR0,05 (X3,), руб.)
470 t, дни
Рис. 7. Сравнение многомерного и одномерного рисков для акции Уралсвязьинформ ММВБ (1 — цена акции, руб.; 2 — ШЯ7Х, руб.; 3 — VAR0,05 (X7,), руб.)
Как видно из рис. 6 и 7, одномерный показатель УАЯ0,05 (Х3 t) переоценивает риск (за исключением периода с 280 по 310 торговым день или с 17 мая по 29 июня 2006 г.), а показатель УАЯ0 05 (Х71) существенно его недооценивает по всему временному горизонту. Одним из объяснений такого поведения одномерных предельных величин УАН0 05 (Х3 t) и УАЯ0 05 (X7{) является относительно слабая корреляционная связь между котировками акций МТС ММВБ и других компаний отрасли. В случае Уралсвязьинформ ММВБ, наоборот, наблюдается высокая взаимная зависимость телекоммуникационных предприятий. Какследствие, ошибка при замене многомерного риска одномерным для акций МТС ММВБ меньше, чем для ценных бумаг Уралсвязьинформ ММВБ.
В заключение приведем расчет наиболее широких за время t, 0 < t < Т, доверительных областей, найденных в соответствии с (6), (14)-(15)для МУАЯХ (границы множества для вектора МСУАН{Хг) находятся из неравенств для МУАИХ его заменой на МСУАИХ):
15
№4(8) 2007
MVARX -2,1 < MVARX < MVARX + 2,5; MMVARX -11,6 < MVARX < AMVARX +12,2;
AM VAR X - 4,9 < MVAR X < MM VAR X MM VAR X - 5,7 < MVAR 4 < MM VAR 4
-9,4;
MM VAR X -1,1 < MVAR X < MM VAR X + 2,4;
MMvarX - 0,08 < mvarX < MMvarX + 0,15 Mm var X - 0,03 < mvar X < MA var X + 0,19
17 °,°з^ mvar7 ^ mvar7
M VAR X - 0,49 < MVAR X < MA VAR X
h 1,02
0,23
1
I
t &
с
s
u s o.
S
о §
u X
£ s
0
X &
§
8
! <u s
£
5
S
4. Выводы
Рассмотрен способ оценивания многомерных предельных уровней рисков МУАЯ, МСУАЯ портфелей акций методом главных компонент. В соответствии с предложенной методикой проведены расчеты рисков портфеля акций телекоммуникационных компаний. Показано, что в течение большинства торговых дней одномерные показатели переоценивают или недооценивают финансовые риски, что свидетельствует о недопустимости замены МУАЯ, МСУАЯ совокупностью одномерных УАЯ и СУАЯ. Кроме того, обнаружено, что возможная прибыль от инвестирования денежных средств с использованием условной меры риска МСУАЯ(Х{) выше, чем при применении ММУАЯ(Х{). Это особенно важно в случае резких изменений котировок акций.
Приложение
Доказательство Теоремы 1
Необходимость. Пусть %,, %, — произвольные независимые одномерные эллиптически распределенные случайные величины. Известно, что для них справедливо равенство:
Е(%, %,) _ е% ,е%,.
Раскрывая скобки в выражении для корреляции г,, получаем:
„ _ е{(%, - Е%,)(%, - е%,)} _ е{%,%, - %,е%, - %,е%, + е%,е%,} _ Е(%,%,) - 2Е%,£%, + Е%,е%,
ЩХ) •д/Щ
ЩХ) •д/Щ
откуда равенство нулю г, очевидно.
Достаточность. Пусть %,, %;некоррелированы при каждом,, большем 1.
Докажем, что %1 независима с %2, %3,..., %п. По определению независимости МСВ нужно показать, что
Р{%1 е 61, %2 е 62, ..., %п е С„} _Р{%1 е 61} • Р{%2 е 62, ..., %п е 6п},
где 6, — произвольное подмножество множества всех подмножеств вероятностного пространства О.. Так как %1,некоррелированы при каждом}, большем 1, то первая строка матрицы ковариаций N1 будет нулевой за исключением первого элемента. Поэтому характеристическая функция ф% для %:
.,%п) xn),
ф5(х,, x„) = ехр(/'ц ,x) xhtxt) = (x,) • ф( ь
что эквивалентно доказываемому.
16
Список литературы §
Айвазян С. А. Основы эконометрики. Т. 2. М.: Юнити-Дана, 2001. -с
БельснерО.А.,КрицкийО.Л. Применение одномерного STS-распределения для моделирования значений фондовых индексов // Известия ТПУ. 2007. № 1. С. 45-50. ^
Боровков А. А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. М.: Наука, 1984. §
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. '!
Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983. g
Щетинин Е. Ю., Лапушкин А. С. Статистические методы и математические модели оценивания фи- Ьс нансовых рисков // Математическое моделирование. 2004. Т.16. № 5. С. 40-54. ^
Щетинин Е. Ю. Статистический анализ структур экстремальных зависимостей на российском фондовом рынке// Финансы и кредит. 2005. Т. 22. № 190. С. 44-51.
Щетинин Е. Ю. Математические модели и методы количественного анализа фондовых рынков с высокой волатильностью: дис. докт. физ.-мат. наук, защищена 24.11.06. Тверь, 2006.
Энциклопедия финансового риск-менеджмента / под ред. А. А. Лобанова, А. В. Чугунова. М.: Альпи-на, 2005.
Alexander С, ChibumbaA. Multivariate Orthogonal Factor GARCH/University of Sussex Discussion Papers in Mathematics, 1998. http://www.ismacentre.rdg.ac.uk
Alexander С. Market Models: A Practitioners Guide to Financial Data Analysis // J. Wiley and Sons. 2001.
Alexander С. Principal component models for generating large GARCH Covariance Matrices // Economic Notes. 2002. V. 31. № 2. P. 337-359.
Artzner P., Delbaen F., EberJ.-M., Heath D. Coherent measures of risk // Mathematical Finance. 1998. № 6. P. 203-228.
Basel II: International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards: a Revised Framework, Bank for International Settlements Press & Communications, Basel, Switzerland, 2005.
Benth F.E. Option Theory with Stochastic Analysis an Introduction to Mathematical Finance. Springer Verlag, 2002.
Chen Y, HardleW.,SpokoinyV. Portfolio value at risk based on independent component analysis// Journal of Computational and Applied Mathematics. 2007. № 205. P. 594-607.
Cheng G, Li P., Shi P. A new algorithm based on copulas for VaR valuation with empirical calculations //Theoretical Computer Science. 2007. P. 190-197.
Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosh T.Modeling Extreme Events. Springer Verlag, 1997.
Giamouridis D, Vrontosl. Hedge fund portfolio construction: A comparison of static and dynamic approaches // Journal of Banking & Finance. 2007. № 31. P. 199-217.
Hull J. Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice-Hall, Saddle River/ New Jersey, 5th edition, 2003.
Manganelli S., Engle R. F. CAViaR: Conditional Value at Risk by Quantile Regression. NBER. 1999. Working Paper 7341.
McNeil A. J., FreyR., Embrechts P. Quantitative Risk Management. Concepts, Techniques and Tools// Princeton University Press. 2005. NJ.
RachevS. T.,MennC, FabozziF.J. Fat-tailed and Skewed Asset Return Distribution. Implications for Risk Management, Portfolio Selection and Option Pricing // John Wiley & Sons. Hoboken, 2005.
RiskMetrics, Technical Document, Morgan Guaranty/Trust Company of New York, 1996.
Vrontos I. D, Dellaportas P., Politis D. N. A full-factor multivariate GARCH model // Econometrics Journal. 2003. № 6. P. 312-334.
No4(8) 2007
