Информационная матрица Фишера для многомерного метода динамических условных корреляций dcc-mgarch(1,1) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(9)

УДК 519.21:330.4

О.Л. Крицкий

ИНФОРМАЦИОННАЯ МАТРИЦА ФИШЕРА ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКИХ УСЛОВНЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ DCC-MGARCH(1,1)

Найдена аналитическая форма записи информационной матрицы Фишера для эконометрического алгоритма DCC-MGARCH(1,1). Выдвинута статистическая гипотеза о постоянстве матриц корреляций во времени, и проводится ее статистическая проверка. Информационная матрица применяется для эконометрического исследования фондового рынка России. Обнаружен эффект кластеризации обобщенной волатильности, подтвержденный в одномерном случае другими исследователями.

Ключевые слова: информационная матрица, многомерная динамическая условная корреляция DCC-MGARCH.

В настоящее время математическое описание и статистическая обработка данных, получаемых как результат деятельности стохастических систем, проводится на основе одномерных, зачастую хорошо изученных вероятностных законов. Вследствие значительного роста числа этих систем и усложнения их внутренней структуры одномерные распределения уже не могут быть применены адекватно, т.е. они неспособны найти решение с заданной точностью за ограниченное время. Как следствие, огромный интерес представляет задача описания поведения систем в целом без редукции на одномерные подзадачи. Это не только облегчает понимание происходящих внутри систем процессов, но и позволяет избавиться от неустранимой погрешности, неизбежно возникающей при факторизации. Именно благодаря многомерным алгоритмам исследователи надеются построить более точный и адекватный прогноз вероятного поведения и будущего развития сложных систем.

Построению многомерных эконометрических моделей и исследованию структуры и свойств многомерных эмпирических данных посвящена обширная литература. Выделим особо только некоторые из них - в первую очередь, упомянем работы [1 - 5], которые послужили отправной точкой последующих исследований, а также работы [6, 7], обобщающие двадцатилетний опыт применения методов. Однако вместе со всё более и более увеличивающимся количеством предлагаемых многомерных алгоритмов все чаще необходимо проводить проверку качества найденных каким-либо способом оценок коэффициентов этих моделей и доказывать их несмещенность, эффективность и состоятельность. Кроме того, требуется строить доверительные интервалы для таких оценок или даже для функций от них. Последнее становится особенно актуальным в свете рассмотрения и учиты-вания исследователями в своих разработках всё более сложных параметров, например мер риска VaR, CVaR, ES, рыночной цены риска, коэффициентов асимметрии (для обнаружения левередж-эффекта), эксцесса и др.

Несмотря на то, что теория информационных матриц развивается более восьмидесяти лет, начиная с фундаментальных работ Фишера 1922 г., их применение к исследованию свойств многомерных эконометрических алгоритмов существен-

но ограничено. Цикл современных работ на эту тему открывает работа [8]: в ней для моделирования поведения финансовых рынков США, Японии, Германии, Великобритании, Франции, Италии вычислена информационная матрица коэффициентов двумерного метода ОАЯСН(1,1) с использованием постоянной матрицы корреляций и построен так называемый тест информационной матрицы (ШЧеБ^ для проверки гипотезы о стационарности корреляционных матриц на финансовом рынке. Далее, в [9] для описания вероятных в будущем значений восьми высоколиквидных акций США проведены вычисления матрицы Фишера. Предполагалось, что исходная модель удовлетворяла многомерному методу МвАЯСН(1,1) с диагональной изменяющейся во времени ковариационной матрицей. Наконец, в [10] для БСС-МУ вАЯСН(1,1) с эллиптическим вероятностным законом распределения стандартизированных остатков и с переменной матрицей корреляций вычислены математические ожидания информантов.

В настоящей работе проводится построение информационной матрицы Фишера для одного из наиболее общих на текущий момент многомерных эконометрических методов - алгоритма БСС-МОАЯСН(1,1) [6,7,11]. Потребность в нахождении такой матрицы обусловлена, в первую очередь, необходимостью вычисления оценок неизвестных параметров для алгоритмов семейства многомерных вАЯСН в режиме реального времени, например, с помощью скорингового процесса [17], а не классическим методом максимального правдоподобия. Во-вторых, эта матрица может быть использована для доказательства эффективности найденных оценок, так как выполнено следующее предельное соотношение:

ШуГп (© -©) = У ~ N (0,3© (©)),

п^ю ' ' '

где 3© (©) - информационная матрица, © - оценка для вектора параметров ©, п - количество выборочных данных. Наконец, ее использование позволяет уменьшить число оцениваемых в БСС-МвАЯСН(1,1) коэффициентов: предположение о слабо меняющихся с ходом времени корреляционных матрицах позволяет упростить БСС-МвАЯСН(1,1) до ССС-МвАЯСН(1,1).

Далее в работе выдвигается гипотеза (см. далее (6)) и строится критическая статистика (см. далее (10)). В заключение, информационная матрица используется при исследовании фондового рынка России, для чего формируются пять портфелей из четырех активов, каждый с фиксированными и равными долями внутри портфеля. Акции выбраны произвольно, но с условием, что торги по ним проходили на ММВБ в течение фиксированного промежутка времени. Первый портфель составлен из обыкновенных акций компаний ЛукОйл, Сургутнефтегаз, Ростелеком, РАО ЕЭС, взяты цены закрытия за период с 02 января 2000 по 27 октября 2006 года (всего 1701 значение). Второй портфель сформирован из обыкновенных акций компаний ГМК Норильский Никель, Аэрофлот, АвтоВаз, Моэнерго, взяты цены закрытия за период с 31 октября 2001 по 23 марта 2007 года (всего 1361 значение). Третий портфель состоял из обыкновенных акций компаний Балтика, Роснефть, Росбанк, Полюс Золото, взяты цены закрытия за период с 23 августа 2006 по 24 марта 2007 года (всего 144 значение). Четвертый портфель сформирован из обыкновенных акций компаний РАО ЕЭС, Аэрофлот, Сбербанк, Транснефть, взяты цены закрытия за период с февраля 2003 по март 2007 года (всего 1025 значений). Наконец, пятый портфель составлен из обыкновенных акций компаний РИТЭК, МТС, СибирьТелеком, Татнефть, взяты цены закрытия за период с февраля 2004 по март 2007 года (всего 730 значений). Все данные предоставлены компанией РБК, http://export.rbc.ru, и ФИНАМ, http://www.finam.ru.

1. Общие положения

Построим информационную матрицу Фишера для метода DCC-MGARCH(1,1) со стандартизированными остатками, удовлетворяющими многомерному нормальному распределению. Пусть {ut} - многомерный ряд логарифмических доходностей ut ={ult,u2t,...,uKt)T , рассчитанных для некоторой совокупности цен

активов У = (it,y2t — yKt T :

u,t =ln(y,t)-ln(y,,t-i), t =1,...,T, i =1,...,K,

где K - общее число ценных бумаг портфеля.

Предполагая условную гетероскедастичность многомерного временного ряда {ut}, t =1,...,T, допустим, что его условные математические ожидания равны нулю

E(u,.t|Ft_1 ) = 0, i =1,...,K, а условные дисперсии в фиксированный момент времени t определяются как

D (ut|Ft-1 T=Ht,

где Ht = (-hiJ-t -) - симметричная положительно определенная ковариационная

матрица KxK, состоящая из дисперсий hiit = CT2t, i =1,...,K, и ковариаций

hiJt = CTj-t, 1 < i < J < K ; F = (Fn )n>0 - фильтрация, определенная ст-подалгебрами

Fn, такими, что © = (91 ,..., 9n T, если m < n . Кроме того, предположим, что ut являются условно-гауссово распределенными многомерными случайными величинами:

ut = H1/2 et ,

где CTit - разложение Холесского для Ht, вектор-столбец et ~ N (0, IK), Dt -единичная матрица порядка K.

Пусть дисперсии CT2t, rt, удовлетворяют авторегрессионной зависимости, описывающей одномерный GARCH(1,1)-процесс [12] при каждом фиксированном i:

ст1=ю +аг CT2,t-1 + Piu5-1, (1)

где ст20 = const, Ht = Dt rt Dt, ю, > 0, ai > 0, p, > 0 - некоторые параметры,

ai +P, <1, Pjt.

После нахождения волатильностей стг2 внедиагональные элементы CTj матрицы ковариаций Ht могут быть определены из равенств вида

CTjt =P,jtCTtCTjt, 1 <1 < J < K , ()

где p,jt - коэффициенты положительно определенной матрицы корреляций rt, участвующей в разложении Ht = Dt rt Dt, Dt - диагональная матрица с элементами CTit на главной диагонали.

вычисленных

Подлежащие детерминации неизвестные параметры в выражениях (1), (2) объединим в общий вектор © = (91,..., ^) размерности N = 3К + ТК (К -1)/2:

© = (с^,а1,Р],...,(к ,ак,Рк,рш,р13г,...,рт,р23г,...,рк-1,кг) .

В силу предположения о выполнении нормального закона распределения для логарифмических доходностей и, оценивание 9г, г = 1, N, проведем методом максимального правдоподобия с функциями условных плотностей нормального

закона распределения ^ = (2п)-К/2 det-1/2 (Н,) ехр^-2иТН- .

в Т векторах наблюдений м1, „2,..., „Т , и составим логарифмическую функцию правдоподобия

I - / (©) = £/, = £ 1п , (3)

г=1 г=1

где I, =--К-1п2л-^1п(detН()-1 И(ТН-„.

Отбрасывая постоянный член ^--К-1п2л ^ и учитывая, что Н( = Д Г, Д, в выражении (3) окончательно имеем

Ь = - ^1п| О г,о,| - 2 „Т д-1г-^и, =

= --2-1п|Г(|-2£ 1па, -1 „^Г-1 Д-„ , , =1,...,Т . (4)

2 2 з =1 2

В общем случае, когда и, удовлетворяет произвольному вероятностному закону, для получения устойчивых оценок вектора параметров © использование метода максимального правдоподобия с функцией I,, взятой в виде (4), корректно (см., например, [13,14]) вследствие выполнения асимптотического соотношения

Итл/П(©п -©) = У ~ N(0,3©1 (©)) , (5)

п^да ^ '

где 3© (©) - информационная матрица Фишера, состоящая из элементов

Гд1 (©) дI(©)А

~дв, дб~

г 3 J

г, 3 = 1, N.

Отметим, что даже при малом количестве значений многомерного временного ряда и(, 1 < / < Т , число оцениваемых коэффициентов 9г, г, = 1, N, в БСС-вАЯСН(1,1) будет велико. Кроме того, найденные методом максимального правдоподобия оценки корреляционных Г,, а значит, и ковариационных

Нг = Д Г(Е>(, / =1,...,Т , матриц не обязательно будут положительно определенными [1, 3]. Поэтому модифицируем БСС-МОАЯСН(1,1) и предположим, что для изменяющихся во времени элементов корреляционной матрицы р,, справедливо

следующее соотношение:

р, = р, + 8,8г,,-183,,-1 , 1 < г < 3 < К , 1 < * < Т , (6)

где ег, = а-/ - стандартизированные остатки (шумы), е, = О,-1 Н12 е,, р, -элементы некоторой фиксированной матрицы корреляции Г = Г5 в момент времени / = 5.

Согласно (6), матрицы Г,, 1 <, < Т , слабо меняются с течением , и могут быть заменены на сумму постоянной корреляционной матрицы Г с некоторым белым шумом. Как следствие, размерность вектора © существенно снижается и составляет N = К2 + 2К :

© = (ю1, а1, Р^..., (к , а К , Р К , р12 , р13,..., р1К , р23 ,..., р К-1, К , 812, 813,.", 8 к-1, К ) . (7)

Получим условия, при которых возмущенная ковариационная матрица Нг = Г(Б(, где Г, - матрица с элементами р, + 8,ег,-1е-1, будет положительно определенной. Сформулируем и докажем теорему 1.

Теорема 1. Пусть Д = (-8, -), 8гг = 0, г,, = 1,..,К , - полуопределенная матрица коэффициентов с нулевой главной диагональю, е = diag(е1,-1,...,еК(-1) -

диагональная матрица возмущений с элементами одного знака. Тогда Н( положительно определена.

Доказательство. Очевидно, что

Ht = = Д (Г + еДе) Б, = ДЩ + ДеДеД = Н + А,,

где Ht - исходная невозмущенная положительно определенная матрица ковариаций, А = АеДеО, = (еО, )Т Д(Де)Т = еО,ДВ(е - шум. Рассмотрим подробнее матрицу А,.

1) Пусть е = diag(е1,-1,..., еК ^) составлена из положительных стандартизированных остатков. Тогда еБ( положительно определена, т.е. А как произведение положительно определенных и полуопределенной матриц будет положительно полуопределенной.

2) Пусть е = diag(е1 г-1,..., еК ^) составлена из отрицательных стандартизиро-

ванных остатков. Тогда еБ( отрицательно определена, а (-еО,) будет положительно определенной. Следовательно, =-(-еД)Д(-(-еД)) = (-еД)Д(-еД)

тоже будет положительно определенной по доказанному выше первому случаю.

Таким образом, в условиях теоремы А, всегда положительно полуопределена. Докажем, что Н( = Н( + А( положительно определена. Действительно, по определению, для любого вектора V е ЯК, V Ф 0 , имеем

V1 Ну = VТ (Н + А,)V = V7Ну + VTA^V .

Так как V7Н V > 0 , VTA^V > 0, то V7Н V > 0 , что доказывает теорему 1.

Замечание. Если матрица е составлена из остатков разных знаков, то Аг будет неопределенной матрицей и доказать положительную определенность Н\ не удается.

Отметим, что в выражении (6) при 5 j = 0, 1 < i < j < K , алгоритм DCC-

MGARCH(1,1) превращается в известный метод CCC-MGARCH(1,1) [2]. Неоспоримыми преимуществом последнего алгоритма является использование единственной, постоянной по времени корреляционной матрицы Г при моделировании значений Ht:

H = Dt Г Dt,

что не только приводит к сокращению числа оцениваемых параметров в векторе ©, но и существенно облегчает процедуру расчетов. Действительно, в случае условной нормальности случайных величин ut ~N(0,Ht\Ft —) оценка максимального правдоподобия Г для Г всегда вычисляется как выборочное среднее стандартизированных остатков:

Г = T-1 Хд-ЧиТд-1 , (8)

t=1

причем Г почти наверное положительно определена. Далее, (8) позволяет упростить выражения (3), (4) и записать (3) в виде (при условии, что постоянные члены отброшены)

l = -£ ln|Dt I - 2lnf £ D;lUt uTtD-1. t=1 2 V t=1 J

Поэтому число оцениваемых методом максимального правдоподобия коэффициентов сокращается до N = 3K :

© = аь P1,..., ®к , а K , Рк ) .

Для проверки справедливости равенств 5 j = 0, 1 < i < j < K , выдвинем статистическую гипотезу Н0 : 5j = 0, 1 < i < j < K , о постоянстве матриц корреляций в разложении Ht = Dt ГtDt, имеющую Q = 0,5 (K2 - K) независимых ограничений. Пусть имеет место альтернативная гипотеза H : 5 j Ф 0, 1 < i < j < K .

Построим критическую статистику у, для чего используем аналог асимптотического соотношения (5):

lim 4n (l(©) -1 (©)) = Y ~ N (0, V©l (©) • J©1 (©) • V©l (©)), (9)

,, , (dl (©) dl (©) dl (©)1 -где V©l(©) = l —111—-,...,—111, ©- оценка для вектора © из (7), най-

V 50! 502 50N J

денная методом максимального правдоподобия. Соотношение (9) выполнено вследствие справедливости леммы Слуцкого о предельном переходе под знаком

непрерывной функции l (©). Далее, так как V©l (©)• J©(©)- V©l (©) - сумма

2

квадратов нормально распределенных случайных величин, то она имеет % -распределение с Q степенями свободы. Поэтому у можно выбрать в следующем виде:

Y = S • J©1 (©)• ST , (10)

где S = V©l (©).

Гипотеза Н0 принимается с уровнем доверия (1 -а), если y<%a/2 (Q) и отвергается в противном случае.

Отметим, что информационная матрица J0 (©) полезна не только для вычисления критической статистики (10) и проверки нулевой гипотезы о постоянстве матриц корреляций в методе DCC-MGARCH(1,1). Ее можно применять и при построении доверительных интервалов оценок предельных величин риска VaR (более подробно о вычислении VaR можно узнать, например, в [7,15], так как справедливы следующие неравенства (под знаком «<» понимается некоторое отношение полного порядка на множестве действительных векторов RK ):

VARa - Zr/2пшiVAr (0) < VARa < VARa + Zr/2nl/2iVAr (®) ,

где a - уровень значимости, IVAR (®) = grad0 (ga (0)) J01 (0)grad0 (ga (0)) , ga (®) - квантильная функция для вероятностного закона F (x, 0), задающего распределение многомерной случайной величины £ с реализациями {ut}, 1 < t < T , Zrj2 - вектор-квантиль уровня r /2 стандартного многомерного нормального распределения, (1 - r) - вероятность, с которой полученный доверительный параллелепипед накрывает теоретическое значение VARa.

Другие возможные применения матрицы Фишера, а также ее основные свойства подробно рассмотрены в монографии [16].

Построим информационную матрицу J® (0), для чего найдем вектор-градиент V®/ (0) и вычислим соответствующие математические ожидания.

Дифференцируя дисперсии a2t, определенные согласно (1), по а., a., Р., нетрудно доказать справедливость следующих рекуррентных соотношений:

2 . дст.Д-1 дстй 2 . dCTz',t-1

= a,t-i +a -д—; -дР- = Ma-i +a.■ , (11)

др. др.

д it 2 1 1 + a. даМ - i. д°1

дюг да- ; дa.

дст2,0 0 да2 0 0* да20

да. ; дa. дР.

Так как дГ-1 д0, = -г- i дГ _ д0. '

где —— = 0;—^ = 0;—^ = 0, t =1,...,T , i =1,...,K.

1, то координаты вектора-градиента V0/ (0) с

входящей в него функцией , записанной в виде (4), выражаются следующим образом:

5 1 (0) _у КииЧ(- Ч иии : , < к .

5® ^_Т —2 д„ > - - ’

dai t=1

(d.tЧ -1) да2

2 t D 2 да. !

1- да2

2 а2 дa. !

dd Тэт 1 д4

дl (0) =yKuit4t~ Ч и u.t v . < K ■ ^ _2 я ™ ’ _ _ ’

д 1 (0) = у \uit4t~ Ч UKJit 1 < . < K •

дв. £ 2а2. ' ЭР. ’ ’

-рг), 1 ^, <. ^к:

дРу ;_1У ’

д I (©)

_ У ( - р;7 ) е,»-1е 1Л-1, 1 ^г' <3 ^ к, (12)

д87 _

где _((, ^2;,...,йш )т _ Г-1 Б-1и( , ёи - ,-я компонента вектора , р,7 - эле-

менты обратной матрицы Г-1, е; _ Б-1и(, е0 _ 0.

Отметим, что из независимости дисперсий ст^, ст^ ,..., стК в выражении (1) след I д I д I д I д I д1 д I д I

дует, что производные --------и ------; -----и ---------; -и ------; ...; ---и ------,

^ д®к дas дак дРх дРк ^ дРк

5 Ф к , в (12) также являются независимыми, а соответствующие им коэффициенты информационной матрицы

3. (©)_ Е(дI/д0, -дI/д07)_ Е(д(/д0, )• Е(дI/д0.)_ 0,

так как математические ожидания информантов равны нулю. В то же время, дI/др. и дI/д8у зависимы друг относительно друга и не могут быть выражены

через производные от остальных параметров модели. Все это позволяет сделать вывод, что матрица 3© (©) является блочной и состоит из подматриц А5, 5 _ 1, (К +1), расположенных на ее главной диагонали. Подматрицы А5 определяются как математические ожидания произведений частных производных по всевозможным комбинациям параметров, входящим во множества

{ю1, а1, Р1} ,...,{юк , а К , Рк } , {р12 ,..., Рк-1,к ,812,...,8К-1,К } :

А5 _ Е (д ( / д0(5) •д I / ), 0(5), 0(/) е{ю5, а5, Р5}, ,, 7 _ 13, 5 _ 1"к ;

Ак+1 _ Е (д I / д0(к+:) •д I / д0(к+1), ,, 7 _ 1, к (к -1), (13)

где 0( ), 03 ) 6{р12,..., Рк-1,к , 812,...,8 к-1,к } .

Матрицы А1,...,Ак были вычислены в работе [9]:

3 _ У У— (14)

7 У У2 ст% д0(5) 7 ( )

где а,5 - элементы А5, ,, ] _ 1,3, 5 _ 1, к .

Определение функционального вида зависимостей для элементов подматрицы Ак+1 сделано впервые. Приведем здесь только конечный результат, отмечая, что при вычислении Ак+1 были использованы формулы (12), введены вспомогательные матрицы С; _ (-с. -) _ Г-1 Б-1, Б( _ (-Ь. -) _ И]12; под знаком к-мерного

интеграла, определяющего математическое ожидание, была сделана замена переменного и _ Б;у, где у - новая некоррелированная случайная величина, и вычислены возможные моменты четвертого порядка многомерного нормального распределения. Например, были получены следующие равенства:

j u4f (u)du = 3X b4si + 6 у bhSibhS2 ,i = 1,K ;

rK Si =1 Si * S2

K K _____

j u?ujuqf (u )du = XX blh b],s2 bq,s2 , ., j = 1 K , rK Si =1 S2 =1

где f (u) = (2n)-K/2det-1/2 (Ht) exp^--2uT H- u j, u = (u2,...,uK)T .

Заметим также, что AK+1 также является блочной с подматрицами размерности K(K - 1)/2 х K(K - 1)/2:

Ak+1 =

( М1 М2

V М 2 М3 У

математических ожиданий

причем блок М1 = (-да^П -) построен из

E(д/(д0х*д//д0п) по параметрам 0Х,0П е { р12,..., pK-v k}, М2 = (-42П-) - из E (д 1 ( д0я-д 1 / д0п) по 0^ е { Pl2 ^.^ Рк -1, K } , 0п е { 512,..., 8K-1,K } ,

Мз =(-да1^П -) -из E(д 1 /д0х*д 1 /д0л) по 0х,0Л е{8i2^.^ 8к-1,к} . Тогда

шЦП = E(д((др.] *д//држ) = XXFp-pm,SF6 -pi,]F7 +р.,]pm,s, t=1 p=1

где

F = X cis.cjs.cms.cs

. Sj ] Si W S2 S S2

X, n = 1, к (к -1) / 2,

3 * bSi S3 bS2 S3 + 3 * bSi S3 bS2 S3 bSi S4 bS2 S4 + bSi S3 bS2 S4

(15)

F2 = 3 *X c.S1 S1

F3 = 2*X X c.Si

c c c

]Sj mSj SSj

c c c

] Sj mS2 SS3

S1 S2 * S3

F4 = X X ciS1

Sj * S2 S3 * S4

c c c

] S2 m S3 SS4

X bSi S2 + 2 * X bSi S2 bSi

L S2 S2 * S3

X 1 X 1 bSi S4 bS2 S5 bS3 S S4 S5

3 *X bS1S5 bS2S5 bS3S5 bS4S5 + F5

F5 = X ( s bs s + bs bs S + (s s bs S + bs S bs S + bs S bs S + bs S by S );

5 V S1S5 S2S6 S1S5 S3S6 S1S5 S4S6 S2S5 S3S6 S2S5 S4S6 S3S5 S4S6 /

s5 * s6

F6 XXc.Si cjSi bSjS2 + X Xc.Si cjS2 bSjS3 bS2S3 ;

Si S2 Sj * S2 S3

F7 = 'X, 'X, cmsi cssj bSjS2 + 'X- cmsi css2 bSjS3 bS2S3 .

Si S2 Si * S2 S3

Аналогично,

42П _ Е(дI /др. • дI/д8ж) _ Е(дI/др. • дI/држ)

ет,;-1е 5,;-1,

X, п_ 1, к (к -1)/2,

(16)

так как значения шумов ет;-1, е5;-1, вычисленные в предыдущий момент времени, считаются известными. Окончательно,

Информационные матрицы 3© (©) с блоками (13) - (17) используем для проверки статистической гипотезы И0 о постоянстве матриц корреляций рисковых активов на российском фондовом рынке. Гипотеза выдвинута с целью уменьшения числа оцениваемых параметров в методе DCC-MGARCH(],]) и для упрощения его расчетной структуры. Рассмотрим пять портфелей по четыре актива в каждом. Первый портфель (П1) составим из обыкновенных акций компаний ЛукОйл, Сургутнефтегаз, Ростелеком, РАО ЕЭС, зафиксируем цены закрытия за период с 02 января 2000 по 27 октября 2006 года (всего 1701 значение). Второй портфель (П2) сформируем из обыкновенных акций компаний ГМК Норильский Никель, Аэрофлот, АвтоВаз, Моэнерго, учтем цены закрытия за период с 31 октября 2001 по 23 марта 2007 года (всего 1361 значение). Третий портфель (П3) составим из обыкновенных акций компаний Балтика, Роснефть, Росбанк, Полюс Золото, при этом учтем цены закрытия за период с 23 августа 2006 по 24 марта 2007 года (всего 144 значение). Четвертый портфель (П4) составим из обыкновенных акций компаний РАО ЕЭС, Аэрофлот, Сбербанк, Транснефть, возьмем цены закрытия за период с февраля 2003 по март 2007 года (всего 1025 значений). Наконец, пятый портфель (П5) составим из обыкновенных акций компаний РИТЭК, МТС, СибирьТелеком, Татнефть, зафиксируем цены закрытия за период с февраля 2004 по март 2007 года (всего 730 значений).

Отметим, что количество акций к = 4 в (Ш) - (П5) выбрано для простоты представления результатов, получаемых при вычислениях.

Нормированные на собственную максимальную величину цены акций портфелей (П1) - (П5) приведены на рис. 1, а - е.

Перед конструированием информационной матрицы 3© (©) была проверена статистическая гипотеза об условной гетероскедастичности исходных цен активов, формирующих (П1) - (П5). Как известно [17], такое исследование осуществляется с помощью ARCH-теста (или теста Энгла), примененного для остатков временных рядов с выдвинутой нулевой гипотезой Н0 об их условной гомоске-дастичности. Так как одномерный GARCH(^>,g)-процесс является локальным ARCH(^>+g)-процессом, то критическая статистика теста подчинялась ^-распределению с (р+1) степенью свободы.

т[3 П _ Е ( д ( / д8у. • д I / д8т^) _ Е (д I / др. • д I / дрт*)

е,, ;-1е 7,;-1 ет,;-1е 5, ;-1 ,

X, п_ 1, к (к -1)/2 . (17)

2. Эконометрический анализ цен акций

а

Ь

с

Рис. 1. Нормированные котировки активов портфелей (П1) - (П5): а - (П1); Ь - (П2); с - (П3)

Рис. 1 (продолжение). Нормированные котировки активов портфелей (П1) - (П5): d - (П4); е - (П5)

Проведенные для (П1) - (П5) вычисления показали наличие гетероскедастич-ности (отсутствие гомоскедастичности) во всех временных рядах портфелей. В связи с большим объемом полученной информации представим результаты только для (П1) и сведем их в табл. 1 при уровне значимости а = 0,05.

Таким образом, исходное предположение об условной гетероскедастичности многомерных временных рядов в портфелях выполнено, что позволяет находить дисперсии стг2 в соответствии с равенством (1). Так как ст^,...,ст2к{ независимы друг от друга, то для их отыскания был использован классический одномерный метод GARCH(],]) [12,18] с лагом к = 20. Далее, в соответствии с (8) в каждый фиксированный момент времени г, г = 1,...,Т, вычислялись оценки максимального правдоподобия Гг для условных корреляционных матриц Гг:

Г; _ г-1 уя-ЧиТя;1 ,

5 _1

которые по построению будут симметричными и положительно определенными. Тогда И( _ Ц Гг Ц будут положительно определенными ковариационными матрицами и для них существуют как разложения Холесского И( _ Б( Б] , так и обратные матрицы Сг _Г-1 Ц-1. Используя Б(, Сг в (15) - (17), волатильности ст2г и рекуррентные соотношения (11) в выражении (14), формируя блоки (13), получаем оценки информационных матриц 3© (©) в каждый момент г, г=1,...,Т. Далее,

находим градиенты V©/(©) с учетом соотношений (12) и обращаем 3© (©), если это возможно, методом Гаусса с выбором главного элемента. Наконец, вычисляем критическую статистику (10) и сравниваем ее с Хо 975 (6) _ 14,4494, принимая или отклоняя гипотезу И0.

Т аблица 1

Результаты ЛКСИ-теста остатков временных рядов в (П1)

Лаг, Р ЛукОйл Сургутнефтегаз

Ис Критическая статистика (Р +1) И0 Критическая статистика Ха(Р +1)

10 отклонена 214,4705 19,6751 отклонена 263,4729 19,6751

15 отклонена 230,1417 26,2962 отклонена 266,2571 26,2962

20 отклонена 244,1521 32,6705 отклонена 271,4537 32,6705

Лаг, Р Ростелеком РАО ЕЭС

Ие Критическая статистика Х22 (Р +1) И0 Критическая статистика Ха(Р +1)

10 отклонена 103,3072 19,6751 отклонена 189,1452 19,6751

15 отклонена 107,4401 26,2962 отклонена 253,1871 26,2962

20 отклонена 108,2795 32,6705 отклонена 259,3961 32,6705

Проведенные расчеты статистик у для акций портфелей (П1) - (П5) позволили выявить на российском рынке торговые дни трех основных типов (классов). К первому типу (Т1) относятся дни, для которых выполнена гипотеза о постоянстве матрицы корреляций и применим упрощенный эконометрический метод ССС-MGARCH(],]). Далее, ко второму типу (Т2) относятся дни, для которых отклоняется И0 и соответственно обязательно используется более сложный алгоритм DCC-MGARCH(],]). Наконец, к третьему типу (Т3) относятся дни, в которых определитель det (© (©)) равен нулю, обратная матрица 3©1 (©) не существует, а

статистика у не определена. Моменты времени, входящие в Т3, наиболее интересны для анализа, так как для них имеет место линейная зависимость строк в блочной матрице Ак+1 и, как следствие, обнаруживается функциональная связь между корреляциями котировок различных акций в каком-либо портфеле. Значит, некоторые предприятия-эмитенты изначально более тесно связаны друг с другом (даже если они и не принадлежат одной отрасли экономики), а движение их котировок происходит из-за наступления одних и тех же фундаментальных событий, например, из-за движения капитала (притока или оттока) на финансовом рынке или благодаря поступлению новостей и т. п. Кроме того, можно говорить и об исполь-

зовании инсайдерской информации, так как наблюдаются согласованные покупки и продажи всех активов портфелей (иначе говоря, существуют торговые дни, которые относятся к классу 73 для всех П1 - П5 одновременно).

Количество торговых дней каждого типа 71 - 73, найденное для портфелей П1 - П5, приведено в табл. 2.

Т аблица 2

Распределение торговых дней различных типов по портфелям акций

Торговые Тип портфеля

дни П1 П2 П3 П4 П5

Т1 827 614 45 439 219

Т2 813 611 67 500 454

Т3 41 116 12 66 57

Как следует из результатов вычислений, представленных в табл. 2, гипотеза о постоянстве матрицы ковариаций в разложении И = Г Д отвергается. Следовательно, использование алгоритма ССС-МОЛЯСИ(1,1) на всем временном промежутке не обосновано, и для получения более точных результатов нужно применять более сложный метод БСС-МОЛЯСИ(1,1). При этом число оцениваемых параметров в БСС-МОЛЯСИ(1,1) можно существенно уменьшить, если принять допущение (6) о характере зависимости элементов матрицы Г.

При вычислении критической статистики (10) для портфелей (П1) - (П5) был обнаружен любопытный эффект: торговые дни 71 (72), в которые выполнена (отклонена) гипотеза И0, стремятся следовать друг за другом (рис. 2, для наглядности дни 73 исключены).

0 ю 20 30 40 50 60 г, дни

Рис. 2. Последние 64 торговых дня типов 71 - Т2 для портфеля П3.

Единицей обозначены элементы 71, нулем - Т2.

По аналогии с хорошо изученным и описанным в литературе эффектом кластеризации волатильности [7], справедливым для одномерных временных рядов, назовем наблюдаемое поведение портфелей кластеризацией обобщенной волатильности или кластеризацией матриц ковариаций.

Далее, замечено, что изменение типизации с 71 до 72 и с 72 до 71 происходит через моменты времени 73. При этом для дней 71 характерно умеренное изменение суточной волатильности в пределах от 0 до 2 % по каждому из активов, в то время как для дней 72 ее поведение более стохастично: суточная одномерная волатильность превосходит 2 %.

Доказанная несостоятельность гипотезы о применении алгоритма ССС-MGARCH(1,1) на российском фондовом рынке способствовала дальнейшему эконометрическому анализу поведения портфелей (П1) - (П5) с использованием DCC-MGARCH(1,1). Так как этот анализ выходит за рамки исследований данной работы, позволим себе привести только некоторые конечные результаты: построен вероятный сценарий будущей стоимости портфелей (П1) - (П5) с использованием нормального, а-устойчивого [15] и STS-распределений [15, 18], причем для последнего из этих распределений достигнута наибольшая точность вычислений. Например, для портфеля (П1) относительная погрешность между моделируемыми и известными значениями четырех временных рядов не превосходила 4,1 %, для (П2) - 4,8 %, для (П3) - 6,7 %, для (П4) - 6,4 %.

Заключение

Найдена аналитическая форма записи информационной матрицы Фишера для алгоритма DCC-MGARCH(1,1). Она применена при исследовании фондового рынка России. Проведенные вычисления выявили на российском фондовом рынке торговые дни трех основных типов T1 - T3, причем изменение типизации с T1 до T2 и с T2 до T1 происходит через моменты времени T3. Кроме того, обнаружен эффект кластеризации многомерной волатильности (матриц ковариаций).

ЛИТЕРАТУРА

1. Bolerslev T., Engle R., Wooldridge J. A capital asset pricing model with time varying covariances // J. Political Economy. 1988. V. 96. P. 116 - 1З1.

2. Bollerslev T. Modelling the Coherence in Short-Run Nominal Exchange Rates: A Multivariate Generalized ARCH model // The Review of Economics and Statistics. 1990. V. 72. No. 3. P. 498 - 505.

3. Kraft D.F., Engle R.F. Autoregressive conditional heteroskedasticity in multiple time series models // Discussion Paper 82-23, USA, University of California, San Diego, CA. 1982.

4. Engle R.F., Granger C.W.J., Kraft D.F. Combining competing forecasts of inflation using a bivariate ARCH model // J. Economic Dynamics and Control. 1984. V. 8. P. 151-165.

5. Diebold FX., Nerlove M. The dynamics of exchange rate volatility: a multivariate latent factor ARCH model // J. Applied Econometrics. 1989. V. 4. P. 1 - 21.

6. Engle R.F. Dynamic conditional correlation - a simple class of multivariate GARCH models // J. Business and Economic Statistic. 2002. V. 20. P. 339 - 350.

7. McNeil A.J., Frey R., Embrechts P. Quantitative Risk Management. Concepts, Techniques and Tools. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2005.

8. Bera A.K., Kim S. Testing constancy of correlation and other specifications of the BGARCH model with an application to international equity returns // J. Empirical Finance. 2002. V. 9. P. 171 - 195.

9. Vrontos I.D., Dellaportas P., Politis D.N. A full-factor multivariate GARCH model // J. Econometrics. 2003. V. 6. P. 312 - 334.

10. Pelagatti M., Rondena S. Dynamic Conditional Correlation with Elliptical Distributions // Universita degli Studi di Milano-Bicocca, Dipartimento di Statistica, Working Papers 20060508, 2004.

11. Бельснер О.А., Крицкий О.Л.. Имитационное моделирование значений временных рядов методом динамических условных корреляций на основе несимметричного распределения Лапласа // Известия ТПУ. 2006. T. 309. № 5. C. 12 - 16.

12. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. 1986. V. 31. P. 307 - 327.

13. Bollerslev T., Woolridge J.M. Quasi-maximum likelihood estimation and inference in dynamic models with time varying covariances // Econometric Reviews. 1992. V. 11. P. 143 -172.

14. Jeantheau T. Strong Consistency of estimators for multivariate ARCH models // Econometric Theory. 1998. V. 14. P. 70 - 86.

15. Rachev S.T., Menn C., Fabozzi F.J. Fat-tailed and Skewed Asset Return Distribution. Implications for Risk Management, Portfolio Selection, and Option Pricing, John Wiley & Sons, Hoboken, USA, 2005.

16. Боровков А.А. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. М.: Наука, 1984. 472 с.

17. Engle R. Autoregressive Conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation // Econometrica. 1982. V. 50. P. 987 - 1007.

18. Бельснер О.А., Крицкий О.Л. Применение одномерного STS-распределения для моделирования значений фондовых индексов // Известия ТПУ. 2007. T. 310. № 1. С. 45 - 50.

Крицкий Олег Леонидович

Томский политехнический университет

E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 28 июня 2009 г.