CC BY
138^(саНамшса-млтемлтШ'еасае
моуели^а&гНие
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛАТИЛЬНОСТИ МНОГОМЕРНЫХ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Д. А. ТИМИРКАЕВ,
аспирант, кафедры математического моделирования экономических процессов E-mail: [email protected] Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации
В статье рассматриваются эконометрические модели, относящиеся к классу многомерных GARCH-моделей, которые позволяют улавливать эффект «кластеризации волатильности». В программе S-PLUS на примере акций российских компаний проводится оценка моделей и проверка их адекватности. Также приводятся результаты оценки DCC-GARCH модели, проведенной в среде VBA MS Excel.
Ключевые слова: эконометрика, гетероскедастич-ность, волатильность, MGARCH, S-PLUS.
Важнейшая особенность рыночной экономики — это деятельность экономических субъектов в условиях неопределенности. Любая возможность получения прибыли сопровождается принятием определенного риска. В областях, связанных с работой финансовых рынков, уровень неопределенности становится центральной проблемой как для экономистов-теоретиков, так и для акционеров, менеджеров финансовых компаний.
Под волатильностью обычно понимают неустойчивость, нестабильность, высокую степень изменчивости рыночных цен. В эконометрике под волатильностью обычно понимают среднеквадра-тическое отклонение (СКО) случайной величины, например, доходности индекса. Если предполагается, что СКО не является постоянным, то речь идет о моделировании динамики волатильности финансовых инструментов.
Волатильность может использоваться как в процессах с дискретным, так и с непрерывным временем. Дискретные модели более просты, и в практике используются именно они. Однако в последние годы наблюдается взрывной рост интереса к процессам, происходящим внутри дня, что связано в первую очередь с развитием информационных технологий, позволяющих хранить и обрабатывать большие массивы данных. В этой статье рассматриваются только дискретные модели.
GARCH. В эконометрике для моделирования поведения финансовых временных рядов успешно используются модели типа GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity — модель авторегрессионной условной гетероскедас-тичности), которые позволяют улавливать эффект «кластеризации» волатильности, т. е. существования периодов с высокой и низкой волатильностью.
Обозначим X логарифмическую доходность финансового инструмента. Основная идея ARCH-моделей состоит в том, что хотя процесс {Xt} не автокоррелирован, величины Xt и Xt i не являются независимыми.
Пусть (Zt)te — строгий белый шум SWN (0,1), тогда говорят, что процесс (Xt)te является одномерным GARCH-процессом, если он задается следующими выражениями:
Xt = atZt >
мофелирь&лКие 8(173)-2010
о? =«0 + Ха,ХД, (1)
<=i м
Смысл модели заключается в том, что при появлении больших величин |XJ значение вола-тильности в будущих периодах тоже увеличивается. Обратно, рост волатильности приведет к более вероятному появлению относительно больших значений |XJ.
GARCH-модели успешно решили проблему моделирования «кластеризации», поэтому естественно, что появились обобщающие их модели, которые позволяют моделировать динамику ковариационных матриц многомерных рядов.
M-GARCH. Пусть многомерный процесс (Zt)te — строгий белый шум SWN (0,Id), тогда говорят, что процесс (Xt)te является многомерным GARCH-процессом, если он строго стационарен и задается следующим выражением:
X, =Z1 /2Z(? е, (2)
где 2 е Rd'd — матрица, получаемая при использовании разложения Холецкого («квадратный корень» из матрицы = (S(1/2)r;
— положительно определенная матрица, измеримая относительно истории процесса
П,_i = у({Х,: S < t -1});
Id — единичная матрица.
Условное математическое ожидание данного процессаравно нулю, т. к.
E(X, | n,_i) = E{t-% | n(_i) = Z-/2E(Z( I n,_i) = 0,
а условная ковариационная матрица есть просто ^ г
Cov{ Xt\nt _i) = E (XtXTt\nt _i) =
= zi/2E(Z,Zj \Q,_i)(Zi/2)T =zi/2(Si/2)T = Z,. Матрица служит аналогом условной дисперсии в одномерных GARCH-процессах.
M-EWMA. Пусть X — белый шум размерности k • i с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е. Тогда стандартной оценкой безусловной ковариационной матрицы будет величина:
* = Л-£(X, - X)(Xt - X)т = -1-Y^xX , (3) т ~i t=i т ~i t=i
где X — вектор выборочных средних.
Такой способ оценивания ковариационной матрицы означает, что все наблюдения имеют один
и тот же вес—1— . Модель экспоненциально-взве-T - i
шенного скользящего среднего — самый простой способ, который позволяет оценивать динамику поведения условной ковариационной матрицы. В
этом случае каждому наблюдению соответствуют уменьшающиеся веса:
= XXt ,XTl + Xt 2XT2 = XlXt XT.,
t t-i t-i t-2 t-2 / ; t-l t-l'
,=i
где X — сглаживающий коэффициент, такой что
X
X е (0,1). Поскольку, ^ + +... =-, то веса
i — X
масштабируются так, чтобы их сумма равнялась единице:
да
z, = (1 -X) ^Х1-1 Xt _XL. i=i
Данное выражение можно переписать в виде рекурсии:
Z, = (1 -X) X, + X2t-1, что позволяет легко вычислять матрицу Z(, если известна матрица ZQ. Обычно за ZQ принимается выборочная оценка безусловной ковариационной матрицы (3), а значение коэффициента X можно получить с помощью метода максимального правдоподобия.
VEC-GARCH и DVEC-GARCH. Обобщение M-EWMA было предложено в работе Т. Боллер-слева, Р. Энгла, и Д. Вулдриджа [1]. Динамика ковариационной матрицы для вектора a0 е Rd(d+1)/2 и матриц A и B, в пространстве R(d<d+1>/2> задается в виде:
vech (Z,) = ao + £ A vech (Х,_Х1) + i=l
Bjvech (Z,_,). (4)
j=i
В данном определении vech означает оператор векторизации (vector half operator), который «собирает» столбцы нижней треугольной части симметричной матрицы в один столбец размера d+ ^.
2
Таким образом, выражение (4) задает уравнение для нижней треугольной части условной ковариационной матрицы, остальные элементы которой определяются из соображений симметрии.
В этой наиболее общей форме модели необходимо оценить (1 + (р + q)d(d + 1)/2)d(d + 1)/2 параметра. Это количество возрастает очень быстро при увеличении размерности модели. Самое простое упрощение состоит в ограничении At и B, диагональными матрицами, что дает диагональную VEC-модель или DVEC. Этот частный случай может быть записан весьма элегантно в терминах матричного произведения, называемого произведением Адамара (Hadamard product), которое означает поэлементное перемножение двух матриц одинакового размера. Такая операция обозначается символом «о» . Таким образом, получаем:
= Л0 + £ Л, о (Х,_,Х1,) +Е Б о ^,
(5)
;=1
где А0, Ар В' — симметричные матрицы в пространстве К и все диагональные элементы матрицы А0 положительны, а диагональные элементы Ар BJ. неотрицательны (стандартное предположение ОАЯСН-модели). Такая запись подчеркивает структурное сходство с одномерными ОАЯСН-моделями.
Рассмотрим пример двумерной модели порядка ВУЕС-ОАЯСН (1,1) и обозначим элементы а0 а1 6 матриц А0, Ах, Вх, соответственно. Модель сводится к трем простым уравнениям:
.2___ „ , т. _2
= «0,11 + ашХ,-1,1 +
а, Д2 = а, ^2,2
0,12 + а1,12Х,-1ДХ 1-1,2 + Ь12 ^»-1,12,
Л/-2 2
а0,22 + а1,22Х»-1,2 + Ь22и,-1,2
(6)
,2 _ а0,22 + а1,22Х>-1,2 + "22°'»-
Волатильности двух компонент процесса стп, а?2 слеДУЮт одномерному ОАЯСН-процессу, а условная ковариация ст( 2 имеет схожую структуру и зависит от произведения двух лаговых значений Х_11,Х(_12. Волатильность компоненты серии (например, доходности акций компании А) не зависит от значений других компонент (доходности акций компании В).
Условие положительной определенности матрицы в (5) накладывает некоторые ограничения на матрицы А0, Ар В'., однако при программной реализации модели обходятся без формальных ограничений, за исключением симметричности и положительности диагональных элементов матриц. Положительная определенность оценок условных ковариационных матриц проверяется уже после получения оценок параметров модели.
Тем не менее, достаточное условие положительной определенности матрицы состоит в том, что А0 должна быть положительно определена, а матрицы Ар положительно полуопределены, а эти условия можно легко ввести. Например, можно все параметрические матрицы сформировать на основе разложения Холецкого, тогда получим: Л0 = Л1/2 (Л-Г. Л,0 = Л1/2 (Л,1/2 )Т. Б; = Б- (Б» У.
ВЕКК-вАКСН. Преимущество следующего семейства моделей заключается в том, что их конструкция обеспечивает положительную определенность Е без использования дополнительных условий.
В модели ВЕКК-ОАЯСН (р, д), предложенной в работе Р. Энглаи Ф. Кронера [2], ковариационная матрица имеет вид:
2, = Л0 ЛТ + £ ЛТ1Х, _Х-Л +Е БТ , м ;=1
где все параметрические матрицы задаются в пространстве К'л , А0 — нижняя треугольная матрица, все элементы матриц Ад, Ар Bj положительны.
В модели ВЕКК условная ковариационная матрица положительно определена для любого t. Для простоты рассмотрим модель первого порядка. Для любого вектора уф 0 в пространстве Яа:
ут= уЧЛТV + (УТЛ[Х,_1 )2 + (Б^У (Ду) > О, поскольку первое слагаемое положительно, а остальные неотрицательны.
Для лучшего понимания вновь воспользуемся двумерной моделью и сравним полученные выражения с (6).
= а2,11 + а1,11 Х1-1,1 + 2а1,11а1,12 Х<-1,1 Х»-1,2 + +аШХ,-1,2 + Ь121СТ?-1,1 + 1Ъ11Ъ12®,-1,12 + Ь12СТ(-1,2 5 ,12 = а0,21 а0,11 + (а1,11 а1,22 + а1,12 а1,21 )Х<-1,1 Х 1-1,2 + а1,11а1,21 Х»-1,1 + а1,22а1,12 Х 1-1,2 + (Ь11Ь22 + Ь12Ь21 )СТ»-1,12 + +Ь11Ь21СТ/-1,1 + Ъ22Ъ12^)-\,2; °/,2 = (а0,21 + а0,22 ) + а1,22Х 1-1,2 + 2а1,22а1,21Х,-1,1 Х»-1,2 +
+а12,2^^»-1,1 + +Ь222СТ?-1,2 + 1Ъ22Ъ21^г-\,21 + ^»-Ц • ^
Из (7) видно, что большие значения компоненты Х1_12 могут влиять на волатильность первой компоненты ст( 1. ВЕКК имеет больше параметров, чем БУЕС и предлагает более широкие возможности моделирования динамики волатильностей.
ССС-вАИСН. Есть мнение, что (X,является ССС-ОАЯСН процессом, если его форма описывается выражением (2), и матрица условной ковариации имеет форму:
Ъ. = А.РА.,
где Рс — постоянная положительно определенная матрица коэффициентов корреляции девола-тизированного процесса Т^; А1 — диагональная матрица волатильностей с элементами ст( к, такими что:
= а, 0 +
'к 1к £ ак,Х1,л +
;=1
где к =
«и > 0, «к, > 0, г =Рк, Рк; ^ 0, где./= 1...дк.
Спецификация ССС-ОАЯСН-процесса представляет собой простейший способ комбинирования одномерных ОАЯСН-процессов. В модели связь наблюдений и последовательности случайных величин {21 )1£2 задаетсяуравнением:
Е Х, =А, (Рс )1/2 2,, которое можно переписать как
Х, = А,¥,,
где — строгий белый шум SWN (0,Рс).
Отсюда видно, что компоненты вектора X следуют одномерным ОАЯСН-процессам.
Процесс Yt = Д^1 Xt назовем деволатизирован-ным процессом. Деволатизация позволяет провести двухшаговую процедуру оценки параметров модели. На первом шаге оцениваем параметры индивидуальных волатильностей, используя одномерные ОАЯСН модели. На втором шаге рассчитываются значения деволатизированного процесса:
у, =А'' X,,
где А, — оценка матрицы Аг
Если ССС-модель адекватна, то является многомерным белым шумом SWN (0,Р), а матрицу Рс можно получить с помощью стандартных статистических методов оценивания корреляционных матриц.
Можно показать, что матрица положительно определена для всех ^ и что процесс Х1 ковариационно стационарен тогда и только тогда, когда выполнено условие:
Рк Як
Еа к+Ер* < 1,
<=1 У=1
где к= 1 ...й.
ССС-ОАЯСН модель обычно является хорошей стартовой позицией, с которой удобно начинать движение к более сложным моделям. В некоторых случаях она неплохо работает, однако предположение о постоянстве корреляций не соответствует действительности, так как влияние поступления новостей на рынки требует от моделей не только изменения во времени условных волатильностей А , но и условных корреляций процесса У(.
БСС-вАЕСН. Модель динамических условных корреляций обобщает ССС-ОАЯСН модель, позволяя условным корреляциям изменяться в соответствии с относительно простой схемой.
Есть мнение, что (проявляется ОСС-ОАЯСН процессом, если его форма описывается выражением (2), элементы диагональной матрицы волатильностей А( являются одномерными ОАЯСН-процессами (1), матрица условной ковариации имеет форму = А1Р1А1, а элементы условной корреляционной матрицы Р(деволатизированного процесса У1 определяются выражением:
1 ' 1№ },. О }У '
где <21 — условная ковариационная матрица процесса У'.
Q, = (1 "¿а, - ¿Р,К +Îa,Yt-,Yt-, ,
i=i j=\ i=i j=\ где P — постоянная положительно определенная безусловная корреляционная матрица процесса Y (впрочем, Р является и ковариационной матрицей, т. к. безусловные дисперсии элементов процесса Y равны единице), Yt = A]1 Xt — деволатизированный процесс,
а, > 0,р, > 0,¿а,-¿р, < 1. i=1 j=1
Заметим, что в случае если все а;., Ру. равны нулю, то модель сводится к CCC-GARCH модели. Отличие DCC-GARCH-процесса от CCC-GARCH состоит в том, что условная корреляционная матрица Pt изменяется во времени. Постоянная корреляционная матрица Рс представляет собой долгосрочную корреляцию, вокруг которой происходят колебания, вызванные новостями, поступающими на рынки. Формально говоря, она является безусловным математическим ожиданием матрицы Pt-.E(P) = Pc.
Оценивание параметров моделей на примере российских акций. Оценим адекватность рассмотренных моделей на примере рядов логарифмических доходностей трех акций: Сбербанк, Лукойл, Норильский Никель. Использовались данные за период 01.01.2002-30.09.2009. Оценка проводилась в пакете S-PLUS модуль FinMetrics. Модель DCC-GARCH отсутствует в S-PLUS, поэтому оценивание проводилось в среде VBA MS Excel. Подробное описание этого модуля можно найти в работах Р. Цая [3] и Э. Живота, Д. Вонга [4].
Адекватность моделей можно проверить, анализируя стандартизованные остатки модели, т. е.
величины Xt = —, которые должны быть строгим белым шумом. Следовательно, ряд {Xt} и {Xf} нужно проверить на наличие автокорреляции, например, с помощью теста Бокса-Льюнга или теста множителей Лагранжа (подробное описание тестов можно найти в [3]). Тест Бокса-Льюнга можно использовать и для проверки наличия авто- и кросс-корреляций в многомерных рядах.
В табл. 1—4 приводятся оценки параметров моделей M-EWMA, GARCH-DVEC (1,1), GARCH-ВЕКК (1,1), CCC-GARCH (1,1), DCC-GARCH (1,1). В табл. 5 приводится набор статистик, которые позволяют оценить адекватность полученных моделей: QLB — статистика Бокса-Льюнга (Вох-Ljung test), которая используется для проверки наличия автокорреляции в остатках модели; Q*LB — статистика Бокса-Льюнга для квадратов остатков
Таблица 1
Оценка параметров модели EWMA
Параметр Значение Стандартное отклонение Г-статистика ^-значение
0,966404 0,0006590 50,98 0,0000
Таблица 2
Оценка параметров модели БУЕС (1,1)
Параметр Значение Стандартное отклонение Г-статистика ^-значение
лад) 0,00003388 0,0000040 9,382 0,0000
4( 2,1) 0,00001619 0,0000021 7,717 0,0000
А0( 3,1) 0,00001613 0,0000021 7,619 0,0000
4( 2,2) 0,00001680 0,0000023 7,297 0,0000
4(3,2) 0,00001221 0,0000016 7,537 0,0000
л(3,3) 0,00003397 0,0000043 7,810 0,0000
4(1.1) 0,09676295 0,0007753 12,481 0,0000
4(2,1) 0,06374042 0,0005502 11,584 0,0000
4( 3,1) 0,06071164 0,0006140 9,888 0,0000
^1(2,2) 0,06691543 0,0005918 11,308 0,0000
^1(3,2) 0,06570425 0,0005668 11,593 0,0000
М 3,3) 0,08705776 0,0008037 10,832 0,0000
^1(1.1) 0,85105211 0,0011750 72,423 0,0000
А(2,1) 0,88614007 0,0009193 90,488 0,0000
5,(3,1) 0,88937705 0,0009771 91,020 0,0000
5,(2,2) 0,90225341 0,0008350 108,050 0,0000
5,(3,2) 0,89920925 0,0007846 114,606 0,0000
5,(3,3) 0,86865392 0,0011270 77,065 0,0000
Таблица 3
Оценка параметров модели ВЕКК (1,1)
Параметр Значение Стандартное отклонение Г-статистика ^-значение
4(1Д) 0,0061679 0,0004174 14,77648 0,0000
4(2Д) 0,0041040 0,0004611 8,90009 0,0000
4,(3,1) 0,0012009 0,0005828 2,06076 0,0394
4(2,2) 0,0027422 0,0003742 7,32856 0,0000
4(3,2) 0,0049929 0,0006499 7,68220 0,0000
4(3,3) 0,0001999 0,0136712 0,01462 0,9883
4(1.1) 0,3544743 0,0215008 16,48660 0,0000
4(2,1) 0,0754419 0,0164470 4,58697 0,0000
4(3,1) 0,0083203 0,0214564 0,38778 0,6982
4(1.2) 0,0174837 0,0265284 0,65906 0,5099
4(2,2) 0,1598396 0,0193342 8,26721 0,0000
4(3,2) 0,0223012 0,0265958 0,83852 0,4018
4(1.3) 0,0064781 0,0161484 0,40116 0,6883
4(2,3) 0,0777848 0,0141936 5,48027 0,0000
4(3,3) 0,2881224 0,0162605 17,71911 0,0000
А(1.1) 0,9182555 0,0119273 76,98742 0,0000
А(2,1) -0,0115845 0,0085258 -1,35876 0,1744
5,(3,1) 0,0139483 0,0107456 1,29805 0,1944
А(1.2) -0,0537290 0,0106014 -5,06808 0,0000
5,(2,2) 0,9479918 0,0071875 131,89403 0,0000
5,(3,2) -0,0449413 0,0098388 -4,56774 0,0000
5,(1,3) 0,0337537 0,0093671 3,60342 0,0003
5,(2,3) -0,0030806 0,0069180 -0,44530 0,6562
5,(3,3) 0,9566187 0,0083066 115,16362 0,0000
мофелирь&лКие 8(173)-2010
Таблица 4
Оценка параметров модели CCC-GARCH (1,1)и DCC-GARCH (1,1) *
Параметр Значение Стандартное отклонение Г-статистика ^-значение
4>(U) 0,00003896 0,0000045 8,713 0,0000
Л(2,2) 0,00002604 0,0000037 7,102 0,0000
А0(3,3) 0,00004508 0,0000059 8,069 0,0000
А1( 1,1) 0,11651633 0,0102600 11,357 0,0000
4(2,2) 0,07182346 0,0074610 9,627 0,0000
Л, (3,3) 0,10235572 0,0101100 10,120 0,0000
А(1.1) 0,82669123 0,0149200 55,415 0,0000
А(2,2) 0,88142758 0,0121400 72,632 0,0000
А(3,3) 0,83952572 0,0146000 57,499 0,0000
0,6264 0,01283 48,8231 0,0000
^(1.3) 0,5655 0,01245 45,4217 0,0000
Рс(2,3) 0,6186 0,01116 55,4301 0,0000
а 0,0191584 0,0000664 288,5301 0,0000
Р 0,9266040 0,0002762 3354,8298 0,0000
! Все параметры моделей совпадают, за исключением величин аир, которые есть только у модели ВСС.
Таблица 5
Оценка адекватности моделей волатильности логарифмических доходностей акций за период 01.01.2002—30.09.2009*
Акция Статистика EWMA DVEC BEKK ccc DCC
Сбербанк Qlb( 12) 16,47 12,71 12,29 12,70 12,70
(0,17) (0,39) (0,42) (0,39) (0,39)
Q L(i2) 44,97 15,29 8,16 10,71 10,71
(0,00) (0,23) (0,77) (0,55) (0,55)
F( 12) 3,49 1,36 0,73 0,97 0,97
(0,01) (0,29) (0,82) (0,59) (0,59)
JB 1117,26 506,80 506,09 496,42 496,42
(0,00) (0,00) (0,00) (0,00) (0,00)
Лукойл QLB( 12) 42,4 30,58 35,24 30,99 30,99
(0,00) (0,00) (0,00) (0,00) (0,00)
Q L(i2) 29,04 5,74 33,09 13,56 13,56
(0,00) (0,93) (0,00) (0,33) (0,33)
F( 12) 2,298 (0,06) 0,49 2,54 1,17 1,17
(0,98) (0,04) (0,41) (0,41)
JB 93,53 76,50 77,47 65,35 65,35
(0,00) (0,00) (0,00) (0,00) (0,00)
ГМК Норильский Qlb( 12) 27,82 26,43 21,60 50,13 50,13
Никель (0,005) (0,00) (0,04) (0,00) (0,00)
Q L(i2) 6,37 4,80 29,61 20,02 20,02
(0,00) (0,96) (0,00) (0,07) (0,07)
F( 12) 0,58 0,44 2,20 1,75 1,75
(0,94) (0,99) (0,07) (0,15) (0,15)
JB 8129,49 2086,80 764,56 2274,84 2274,84
(0,00) (0,00) (0,00) (0,00) (0,00)
MQLB( 12) 168,75 161,16 154,13 180,92 170,35
(0,00) (0,00) (0,00) (0,00) (0,00)
MQ*rJ 12) 330,87 224,90 312,33 215,66 210,96
(0,00) (0,00) (0,00) (0,00) (0,00)
* В скобках приведены ^-значения соответствующих коэффш
модели; F— тест множителей Лагранжа (Lagrange multiplier test) — еще один тест на наличие автокорреляции остатков; JB — статистика Харке-Бера (Jarque-Bera test), используемая для проверки гипотезы о нормальности распределения остатков
модели; М01В — обобщенная на многомерный случай статистика Бокса-Льюнга.
Несмотря на более широкие возможности, предоставляемые моделью ВЕКК, многие коэффициенты получились незначимыми, в то время как
для остальных моделей значимы все коэффициенты. Модели БУЕС, ССС, БСС успешно устранили АЯСН-эффект (т. е. автокорреляция квадратов в остатках модели отсутствует) в отличие от EWMA, но при этом остатки модели не распределены в соответствии с нормальным законом, что говорит о необходимости использования распределений с более «толстыми» хвостами, например распреде-
Список литературы
ления Стьюдента. Гипотеза, что остатки являются многомерным белым шумом, не подтвердилась ни для одной модели.
На практике использование модели БУЕС ограничено необходимостью оценивания большого количества параметров модели, поэтому лучше использовать более простые модели условной корреляции БСС-ОАЯСН и ССС-ОАЯСН.
1. Bollerslev T., Engle R., Wooldridge /.(1988): «A Capital Asset with Time Varying Covariances,» Journal of Political Economy, 96.
2. Engle, R., KronerF.(1995): «Multivariate Simultaneous GeneralizedARCH,» Econometric Theory, 11.
3. Tsay Ruey 51(2005), Analysis of Financial Time Series, John Wiley and Sons.
4. ZivotE., WangJ.(2003), Modeling Financial Time Series with S-PLUS, Springer-Verlag.
