CC BY
14339 (294) - 2012
Экономико-математическое
моделирование
УДК 519.21:330.4
МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ КОРРЕЛЯЦИЙ: ОБЩЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИю ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ*
А. Ю. ТРИФОНОВ,
доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой высшей математики и математической физики E-mail: trifonov@tpu. ru
О. Л. КРИЦКИЙ,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и математической физики E-mail: olegkol@tpu. ru
О. А. БЕЛЬСНЕР,
старший преподаватель кафедры высшей математики и математической физики E-mail: belsner@tpu. ru Томский политехнический университет
Авторами предложена обобщенная модель динамических условных корреляций. Рассмотрено ее применение к исследованию и прогнозированию значений котировок на финансовых рынках в период низкой и высокой волатильности.
Ключевые слова: условная гетероскедастич-ность, корреляция, волатильность, многомерные модели GARCH.
* Работа выполнена в рамках государственного задания «Наука» №№ 1.604.2011 и поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» по контрактам П691, 2010-2012.
Введение
Понимание механизма случайного взаимодействия финансовых величин между собой является проблемой, длительный период рассматриваемой в экономической теории. Как правило, эти переменные оказывают влияние друг на друга не только через первый, но и через второй момент совместных распределений. Для достижения состоятельной, несмещенной и эффективной оценки данной зависимости предлагается большое количество эконо-метрических методик, позволяющих осуществить наиболее точный анализ.
Теперь уже классическая методология выявления такой стохастической взаимосвязи была предложена в работе Р. Энгла (Engle) [4], который впрервые записал математическую модель авторегрессии условной гетероскедастичности (ARCH). В 1986 г. Т. Боллерслевом (Bollerslev) [2] эта модель была обобщена. Так появился знаменитый алгоритм GARCH (p, q), позволяющий отказаться от предположений о независимости дисперсии от своих предыдущих значений и учесть их автокорреляцию. Ее несомненным преимуществом является свойство быстрого реагирования на любые наблюдаемые изменения на фондовом рынке и восстановления уровня волатильности после его сильных колебаний. За последние двадцать лет были разработаны многочисленные модификации базовой модели ARCH и GARCH.
Однако классические ARCH - и GARCH-модели являются одномерными, что затрудняет их прямое приложение при определении будущей структуры многомерных данных, например портфеля активов, характеризующихся определенным уровнем риска. В этом смысле многомерные модели GARCH (или коротко - MGARCH) более предпочтительны, так как позволяют выявить взаимозависимости между составляющими рискового портфеля и произвести анализ чувствительности. Тем не менее практическое их применение в некоторых случаях связано со сложностями, потому что для этого требуется проводить оценку большого числа неизвестных параметров моделей.
Наряду с прогнозированием волатильности моделирование динамики корреляций доходов финансовых инструментов - одна из самых востребованных и изучаемых проблем современной финансовой математики. Например, в модели оценки стоимости финансовых активов (САРМ) и арбитражной теории оценки (АРТ) [7, 8] использование корреляции в качестве меры зависимости между финансовыми инструментами основано на предположении о многомерном нормальном распределении доходнос-тей актива. Кроме того, понимание динамических свойств рыночных корреляций и зависимостей между финансовыми потоками важно для корректной оценки уровня коинтеграции международных рынков как в целях инвестирования, так и в целях увеличения точности прогноза.
Следовательно, имитационное моделирование значений корреляции и волатильности является основным при осуществлении экономической оценоч-
ной деятельности. А разработка моделей прогноза динамики корреляций доходностей финансовых инструментов, адаптированных к анализу конкретных ситуаций на финансовом рынке, в настоящее время очень актуальна.
В рамках проблемы оценки корреляции совокупности активов особый интерес представляют модели постоянных (Constant Conditional Correlation - CCC) [3] и динамических условных корреляций (Dynamic Conditional Correlation - DCC) [5], принадлежащих классу MGARCH.
Авторами предложена обобщенная модель динамических корреляций, являющаяся модификацией известной модели DCC в части представления корреляционной матрицы в виде суммы детерминированной и случайной компонент. Кроме того, разработан критерий проверки статистической гипотезы о постоянстве во времени корреляционной матрицы, использующий информационную матрицу Фишера. Рассмотрено приложение предложенной модели к моделированию процессов российского фондового рынка.
Основные положения
Предположим, что некоторая совокупность
yt = (yit, y2tyKt)Т значений рисковых активов в момент времени t является стохастическим процессом и описывается многомерным временным рядом
логарифмических доходностей ut = (u1t, u2t,..., uKt)т, определенных на некотором вероятностном пространстве (Q, F, p):
uit = ln(yu) - ln(y,t-1), t =17, i =1K,
E(uJFt-i) = 0, i =1K, D(UtF-i) = Ht, где K - общее число ценных бумаг портфеля, Ht =| - симметричная положительно определенная ковариационная матрица K х K, состоящая из дисперсий hiit = c2t, i =1, K, и ковариаций hpt =apt, 1 < i < j < K; F = (Ft )t-фильтрация, определенная с-подалгебрами F. такими, что Fm с F t с F, если m < t. Предполагается, что u являются условно-гауссово распределенными многомерными случайными величинами
u t = Н/2 %,
где H1/2 - разложение Холесского для H; st - вектор-столбец стандартизированных случайных величин, имеющих нормальное распределение
с нулевыми средними и единичными дисперсиями st ~ N(0,IK); IK - единичная матрица порядка K.
Для описания дисперсий a2t, i =1, K используется обобщенный процесс авторегрессии условной гетероскедастичности первого порядка GARCH (1,1):
+а -1 +Р,и5-l,
где ,at,Р; - скалярные параметры, причем для соблюдения стационарности процесса необходимо выполнение соотношения +Р; < 1. Отметим, что начальные значения a2,0 = const, ut 0 = const выбираются постоянными. Ковариационная матрица Ht выбирается в виде
H = Dt rtDt, где Dt - диагональная матрица с элементами a на главной диагонали.
Соответственно, элементы a 1 < i < j < K определяются соотношением
aj =Pptatajt, 1 <i < J < K, (1)
Pp =Pj +Sjs,,t_16j,t-1, 1 < i < J < K, 1 < t < T, (2) где Pjt - коэффициенты положительно определенной матрицы корреляций Гг, sit = uit a- -стандартизированные остатки (шумы); st = D~-lH]l2~6t; pj - элементы некоторой фиксированной матрицы корреляции Г = rs в момент времени t = s .
Можно показать [1], что такой способ задания элементов ковариационной матрицы позволяет снизить размерность вектора оцениваемых параметров © до N = K2 + 2K . Кроме того, нетрудно заметить, что в случае, если в выражении (2) 8j. = 0, 1 < i < J < K, то модель превращается в известный метод ССС - GARCH (1,1).
Для проверки справедливости равенств 8.. = 0, 1 < i < J < K выдвигается статистическая гипотеза H0: 8.j = 0, 1 < i < J < K о постоянстве матриц корреляций в разложении (1), имеющая Q = 0,5 (K - K) независимых ограничений. В качестве альтернативной принимается гипотеза H1 : 8j Ф 0, 1 < i < J < K. Следовательно, критерием применимости предложенной модели является постоянство матрицы корреляций rt. Критическая статистика Y выбирается в следующем виде [1]: у = S Jg\®) Sъ,
где S = V0l (©); © = (01,..., 0n ) = К, «1, ft,...^,
«K ,Pk , p12t,p13t,..., p1Kt, p23t,..., pK-1,Kt X i = 1,N,
lt =- K ln2n-1 ln (det Ht)-1 u] Htlut,
и
J©(©) - информационная матрица Фишера, со-
стоящая из элементов J,. (©) = E
dl (©) dl (©)
50.. 50,
/, у = 1, N. Гипотеза Н 0 принимается с уровнем доверия (1 - а), если у < /2(б), и отвергается в противном случае.
Эконометрический анализ исходных данных
Предметом авторского анализа являются равновесные портфели, состоящие из высоколиквидных акций российских компаний, торгуемых на ММВБ -портфели Пх и П2. В качестве исходных данных для П1 использовались котировки ОАО «ЛУКОЙЛ» (ЬКОН), ОАО «Сургутнефтегаз» (SNGS), ОАО «Ростелеком» ^ТКМ) и ОАО РАО «ЕЭС России» (EESR) за период с 01.01.2000 по 27.10.2006, всего 1 700 значений. Этот период был характерен уверенным ростом стоимости всех без исключения рисковых активов российского фондового рынка, поэтому портфель П1 можно назвать «тихим».
Для исследования возможности применения предложенной модели на высоковолатильном рынке в период его стремительного падения из-за начавшегося финансового кризиса был составлен волатильный портфель П2, состоящий из индексных акций ОАО «ЛУКОЙЛ», ОАО «Сургутнефтегаз» и ОАО «Банк ВТБ» (VTBR). Котировки были взяты за период с 27.11.2007 по 27.11.2009 (всего 495 значений).
Анализ корреляционной матрицы и графиков (см. рисунок) изменения стоимости бумаг, входящих в П1 и П2, показывает наличие тесной связи между акциями нефтегазового, энергетического и банковского секторов. Меньшая связь наблюдалась с акциями телекоммуникационного сектора. Выявлено, что наиболее высокая корреляция (0,98) характерна для акций ОАО «ЛУКОЙЛ» и ОАО «Сургутнефтегаз», что, очевидно, связано с принадлежностью компаний к одной сфере. В портфеле П2 наиболее тесная связь характерна для акций ОАО «ЛУКОЙЛ» и ОАО «Банк ВТБ» (0,82).
Результаты анализа автокорреляционной функции для Пх и П2 позволяют сделать заключение о наличии автокорреляции во временных рядах
1,2
0,8
0,4
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2
'¿А/ * .'rf^'V
■'0
-
793
-1-
925
"Т
Т
1 057 1 189 1 321 1 453 1 585
ft
VTBR
Динамика нормированных на максимальное значение цен активов портфелей:
а - Пр б - П2
логарифмической доходности активов с лагами до 20 торговых дней, что свидетельствует о нестационарности рассматриваемых процессов.
Для проверки гипотезы об автокорреляции остатков временного ряда логарифмических до-ходностей активов и о наличии ARCH (GARCH)-эффектов в исследуемом временном ряду использовались тесты Льюнга - Бокса (<2-тест) и тест Энгла.
Так как одномерный GARCH (p, q) процесс является локальным ARCH (p+q) процессом [6], то
критическая статистика теста
2
подчинялась ^-распределению с (p + 1) степенью свободы.
Предварительный анализ портфеля П1 и П2 с помощью ^-теста показал, что нулевая гипотеза об отсутствии корреляции отвергается с вероятностью 0,95. Результаты теста Энгла подтверждают наличие гетероскедастичности и клас-терности в исследуемых рядах доходностей и, следовательно, возможности применения к ним модели GARCH (1,1).
Исследование временных рядов стандартизированных остатков st после применения модели и тесты Энгла и Льюн-га - Бокса, проведенные для портфелей П1 и П2, показывают отсутствие автокорреляции в исследуемых рядах доходнос-тей, что подтверждает целесообразность использования данной модели.
Результаты численного моделирования
Проведенный эконометри-ческий анализ, таким образом, позволяет применить модели CCC и обобщенную модель динамических корреляций (ОМДК) с элементами матрицы корреляций, описываемыми соотношением (2), для имитационного моделирования цен каждого из активов и доходностей портфелей.
Для компактного представления полученных результатов была вычислена средняя относительная погрешность для каждой из рассмотренных методик. В результате было выявлено, что наименьшая погрешность для портфеля П1 была достигнута при применении ОМДК - 0,6 %, наибольшая - для модели ССС (11 %). При исследовании высоково-
0,6
0,2
0
1
о
латильного рынка на примере портфеля П2 были получены следующие результаты: наименьшая относительная погрешность (1,1 %) достигнута при использовании ОМДК, в то время как для модели ССС с нормальным распределением остатков она не была меньше 4,2 %.
Для проверки адекватности предложенной модели исследовалось изменение ее коэффициентов, для чего исходная выборка разбивалась на две. Затем для каждой из выборок были оценены коэффициенты модели GARCH (1,1). Выявлено, что значения коэффициентов совпадают.
Для проверки качества полученных результатов была рассчитана корреляция между рыночными котировками активов портфеля и их прогнозными значениями, полученными по ОМДК и модели ССС при нормальном распределении остатков. Далее были рассчитаны индикаторы Success Rate (SR) (показатель успеха) и Weighted Success Rate (WSR) (взвешенный показатель успеха) [6] 1 T
SR = —£ I(utut )100%, T t=1
[1, (ut ut) > 0
{0,(utut) < 0' - прогнозное значение доходности акции $
где I - индикаторная функция, I =
u -
рыночная доходность акции;
É1 (ut ut) V
WSR = -
100%.
Б
Известно, что показатель SR характеризует качество прогноза с точки зрения направления движения цены (т. е. позволяет определить процент случаев совпадения знаков прогнозной и реальной цен), а показатель WSR оценивает качество прогноза с точки зрения направления движения и величины цены.
Напомним, что инвестиционный портфель Пх отражает докризисный период (относительно спокойный рынок), а П2 - кризисный (волатильный). Полученные оценки показателей SR и WSR свидетельствуют о том, что из двух рассмотренных моделей модель ОМДК является наиболее приемлемой комбинацией при прогнозировании цен на рынках в спокойные и кризисные периоды. Полученные результаты позволяют говорить о том, что наилучший прогноз достигнут при использовании ОМДК
(SR = 92 % и WSR = 99 %) для обоих портфелей П1 и П2, наихудший - при модели ССС (SR = 45 % и WSR = 55 %) для волатильного портфеля П2 .
Выводы
В работе предложена обобщенная модель динамических корреляций, являющаяся модификацией алгоритма динамических условных корреляций. С ее помощью получена приемлемая точность (до 1 % в день) прогноза будущей стоимости портфелей П1 и П2 для кризисных и предкризисных периодов инвестирования в ценные бумаги российского фондового рынка. Модель позволяет своевременно принимать решения о выходе из рисковых активов при пассивном способе вложения денежных средств, а также определяет момент входа на низковолатиль-ный рынок.
Список литературы
1. Крицкий О. Л. Информационная матрица Фишера для многомерного метода динамических условных корреляций DCC-MGARCH (1,1) // Вестник ТГУ: управление, вычислительная техника и информатика. 2009. № 4.
2. Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. 1986. V. 31.
3. Bollerslev T. Modeling the coherence in short-run nominal exchange rates: A multivariate generalized ARCH approach // Review of Economics and Statistics. 1990. № 72.
4. Engle R. Autoregressive conditional hetero-skedasitcity with estimates of the variance of the United Kingdom inflation // Econometrica. 1982. V. 50.
5. Engle R. Dynamic conditional correlation - a simple class of multivariate GARCH models // Journal of Business and Economic Statistics. 2002. V. 20.
6. McNeil A. J., FreyR., EmbrechtsP. Quantitative Risk Management. Concepts, Techniques and Tools. Princeton. USA: Princeton University Press. 2005.
7. Ross S.A. The arbitrage theory of capital asset pricing // Journal of Economic Theory. 1976. V. 13, №. 3.
8. Sharpe W. F. Capital asset prices: a theory of market equilibrium under conditions of risk // Journal of Finance. 1964. V. 19, №. 3.
t=i
t=i
