Модули упругости двухсвязной модели композита Текст научной статьи по специальности «Физика»

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

МОДУЛИ УПРУГОСТИ ДВУХСВЯЗНОЙ МОДЕЛИ КОМПОЗИТА1

A. С. ТЮРЯХИН, кандидат технических наук,

B. Д. ЧЕРКАСОВ, доктор технических наук, Ю. В. ЮРКИН, аспирант,

В. И. СОЛОМАТОВ, доктор технических наук

Упругие свойства композиционных материалов зависят как от свойств ис-ходных компонентов, так и от многих параметров образующейся структуры. Задача состоит в том, чтобы выделить первые зависимости и свести влияние вторых к минимуму. При рассмотрении сферически многослойной гетерогенной структуры композита, каждый слой которой однороден и изотропен, эффективные характеристики удается выразить в зависимости от величины упругих констант исходных компонентов, величины их относительного объемного содержания и от величины всего лишь одного параметра, характеризующего структуру композита в целом.

В соответствии с методологией целостности, изложенной в [5], рассмотрим двухсвязную эффективную модель композита в виде сферического тела (сосуда), подверженного действию давления ро на внутренней сферической поверхности и давления р — на наружной поверхности (рис. 1а). Структурную модель композита соответственно представим в виде двух концентрически расположенных сферических слоев, матрицы (рис. 16) и наполнителя (рис. 1в), на смежной границе которых в результате действия давлений Ро и р появляется взаимное давление

Р1-

Рис. 1. Эффективная модель композита (а), матрица (б)

и наполнитель (и) структурной модели

1

Обозначим /¿к=1?о/Н3, /лт

где Укэ Ут, Уп тельное объемное содержание компози-

и

относи-

та, матрицы и наполнителя в шаре радиусом Я; Уп = 1 -//п — относительное

объемное содержание наполнителя в шаре радиусом с = Уп/Ук — объ-

Издается при поддержке РФФИ (проект № 98—01—03512).

© А. С. Тюряхин, В. Д. Черкасов,

Ю. В. Юркин, В. И. Соломатов, 2000

емная доля наполнителя в композите. Эффективные упругие характеристики композиционного

вим в

- 2vk)

материала следующем виде: ек

зкк,

предста-: Ек/(1 -

в

ek/2gk

gk = Ек/(1 + vk) = 2Gk, 3Kk/4Gk, где Ek и vk

к =

модуль Юнга и коэффициент Пуассона, Кк и Ок — модули объемного сжатия и сдвига. Для упругих характеристик матрицы и наполнителя в этих формулах вместо индекса к (композит) будут использоваться индексы шип.

В принятых обозначениях, используя известное решение задачи теории упругости об упругом равновесии однородного сферического тела [2], запишем выражения для тангенциальных деформаций, возникающих в композите в точках внутренней и внешней сферических поверхностей при действии давлений ро и р (см. рис. 1а):

40*0)

PoC"k + 0k) - Р (l + 0k)

4(R)

CkVk

Ррцк(1 -н 0k) - p - (i + /*kek)

ekVk

(1)

В точках граничных поверхностей матрицы (см. рис. 16) и наполнителя (см. рис. 1в) с учетом действующих давлений выражения для деформаций получим из (1) заменой соответствующих индексов:

4(R 1 ) 4(R) =

*n(Ro) =

_pi0m + gm)-p (l+Om)

Pi^m(l+0m)-P (l+^tAn).

Pofcn + gn) -Pl (1+ On)

enVn

enV„

(2)

(3)

Для двухсвязной модели композита (см. рис. 1), используя выражения (1) — (3), можно поставить в соответствие бесконечный ряд рабочих расчетных моделей в зависимости от принимаемой величины отношения давлений Ро и р. Ограничимся рассмотрением трех случаев: когда деформации ех (Я0) = 0 (модель № 1), когда

ех (Я) = 0 (модель № 2) и при условии, что давление р = О (модель № 3).

Рассмотрим модель № 1. В качестве расчетных (эффективной и структурной) моделей композита рассматривается такой частный случай их нагру-жения, при котором в точках внутренней сферической поверхности композита тангенциальные деформации отсутствуют, т. е. когда

4(r0) = о и 4(r0) = о.

(4)

Условия (4), не снижая общности и строгости рассуждений, существенно упрощают процесс и результаты решения. Удовлетворив согласно (3) первому из условий (4), получим равенство

PoC"n + 0n)~Pi (1+0п) = О,

« »

откуда найдем отношение к\ = pi/po:

к

1

On + 0п)/(1 + 0п),

(5)

из которого следует, что в данной модели величина 1ц определяется лишь геометрией наполнителя (коэффициент /гп) и отношением вп = еп/2£п его

упругих констант.

Условие совместности деформаций матрицы и наполнителя на их смежной границе представим равенством деформаций = из которого согласно (2) и (3) следует

Р1От + 0т)-р -(1 +3т) _

. • Л

/

Ромп(1 + е„) - р! (i + fine0)

e„Vn

Отсюда найдем отношение давлений к = р/р0:

к = {ki [а V; • (ига + вт) +

+ V

Ш

(i + mА) ] - vm • fiji + 0„)} /

/а Vn (l+0m),

а

en/e,

Kn/K

(6)

отношение

ГДе ^ - ^п' ~ АЖП'

объемных модулей наполнителя и матрицы. При заданном давлении р выражения (5) и (6) позволяют найти не-

4

известные величины давлений ро и р^ и тем самым дают полное решение задачи о сжатии композита (модель N9 1).

Для получения эффективных характеристик воспользуемся вторым из граничных условий (4), из которого согласно (1) следует равенство

О к + 0к) - к (1 + 0)0 = 0. Отсюда найдем выражение для отношения эффективных модулей композита:

0к = (к-/*к)/(1-Ю. (7)

Величину объемного модуля сжатия определим из условия эквивалентности двух расчетных моделей, которое представим в виде равенства деформаций в точках наружных сферических поверхностей — композита в эффективной модели и матрицы в структурной:

(8)

Подстановка выражений из (1) и (2) в условие (8) дает выражение

РрЦк(1 + вк) ~ Р (1 + _

екук

Р1/*ш0 + Ащ) ~ Р (1 + ^т)

-Ту-'

^т ¥ т

из которого следует формула для коэффициента объемного модуля

V

X

ек = /*к(1 + *к)

ш

т

X

к (1 + рфь)

кхмт(1+вт)-к (1 + /гт0т)

(9)

Ре

ение поставленной задачи дают выражения (5), (6), (7) и (9); другие эффективные характеристики находятся обратной подстановкой по формулам

К

Vk

е_к

3

2вк- 1

ёк

20

в

к

ёк 2

Ек = ек(1 - 2ук). (10)

Схема вычислений: 1) задаются геометрические параметры модели, т. е. величины коэффициентов /гк и с (в интервале их значений от 0 до 1), и по ним определяются другие необходимые при вычислениях относительные объемы (Ук, рт Ут, Уп, /лп и Уп); 2) задаются физические параметры, т. е. величины модулей Кт, Кп, Ст и Сп (или величина ет и отношения а, 0т, 0П, что

то же самое); 3) по формулам (5) и (6) вычисляются отношения к] и к; 4) по формулам (7) и (9) вычисляются 0к и ек и согласно (10) все

остальные эффективные характеристики композита. Численный анализ результатов, получаемых в соответствии с предложенной схемой, свое смысловое отражение находит при рассмотрении некоторых характерных частных случаев.

Случай 1. Имеем исходный материал с модулями объемного сжатия матрицы Кт = 1 и наполнителя Кп = 2 (в безразмерных единицах) и с модулями сдвига фаз и композита Ст = = Оп = Ок. Значения величины объемного модуля для различных показателей Ок представлены на рис. 2 в виде кривых (сплошные линии) зависимости Кк от величины отношения с.

а

И

1.8

1,6

1

1.4

г

8

1.2

0.2

0.4

0.6

0,8

Объемная доля наполнителя (с ■ УпЛ^ц)

Рис. 2. Влияние объемной доли наполнителя на величину объемного модуля упругости композита при различных значениях модуля сдвига: 1 — по формуле (11); 2 — при вк - 1,5; 3 — при вк - 0,75; 4 — при вк - 0,5; 5 — при Ск - 0,25; 6 — при вк »0,125; 7 — по

формуле (12)

Штриховыми линиями изображены соответствующие значения по зависимостям Фойгта и Рейсса, которые в наших обозначениях имеют вид:

Ккф = (1-с) Кш + с К

Скф = (1 - с) Ст + с Оп,

п»

(11)

КкР

1 ~ С + _С

Кт К

-1

п

с

кР

^ 1 — С С

--Г

-1

\

в

т

с„

(12)

Отметим, что найденные значения

в точности совпадают с вычислениями, получаемыми по общеизвестным формулам односвязных моделей композита для модуля Кк [1, 3, 4, 5 и др.], и что в данном случае результаты, полученные по формулам двухсвязной эффективной модели, не зависят от величины коэффициента

Случай 2. Имеем два материала, у которых объемные модули

Кт ~ К

П

Кк =

1; модули сдвига:

Ощ = 0,75 и вп « 0,25 у первого материала и Ст = 0,25 и .Сп = 0,75 —

у второго. Значения величины модуля сдвига для различных отношений ¡и^ на

рис. 3 и 4 представлены также в виде зависимости (сплошные линии) от величины объемной доли с наполнителя в композите.

Объемная догм наполнителя (с * У«ЛЛ,)

Рис. 3. Влияние объемной доли иаполнитсля на величину модуля сдвига композита при различных значениях коэффициента /и^:

1 — по формуле (11); 2— /^-0,999;

3 — ць - 0,7; 4 — по формуле (12)

и /¿ъ - 0,5; 5 — рь - 0,3; 6 — /л^ - 0,2;

7 — ^^ - 0,1; 8 — 0,001

Здесь в отличие от объемного модуля (см. рис. 2) модуль сдвига существенно зависит от величины коэффициента Причем при больших величинах ¡л^ значения лежат в пределах „вилки < 1/2

Фойгта

Рейсса; при

Ск Ок

НИИ с

модуль первого материала

^кРейсса (см- Рис- 3) и при 2/3 модуль второго материала

^кФойгта <см- Рис- 4). При значе-0,5 характер изменения модуля

названных

сдвига двух

материалов в

(5

I

0 А 0,6 0,1

доля наполнителя (с ■ УЛы)

Рис. 4. Влияние объемной доли наполнителя на величину модуля сдвига композита при различных значениях коэффициента /г^:

1 — по формуле (12); 2 — ^-0,999; 3— /^-0,8; 4 — по формуле (11) и ИЪ - 2/3; 5 — - 0,6; 6 — /л^ - 0,4; 7 — /*к"0'2*' 8 — ^к"0«1; 9 — /¿к""0*001

лен на рис. 5, из которого следует, что при /¿к 1 модули сдвига этих материалов совпадают.

0.2

ол

0.6

0,8

1

Коэффициент /4 ■ 1 - V*

Рис. 5. Влияние коэффициента ^ (при

заданном с - 0,5) на величину модуля сдвига двух композитов с исходными модулями

компонентов Кт - К« - 1: 1 — при Ст/Сп - 1/3; 2 — при Ст/Сп - 3; 3 — по формуле (12);

4 — по формуле (11)

зависимости от величины /и^ представ-

Не приводя выкладок, аналогичных приведенным для модели № 1, отметим лишь, что вычисления, получаемые по формулам, соответствующим моделям № 2 и № 3, дают для рассмотренных частных случаев 1 и 2 те же самые результаты (см. рис. 2 — 5). Из этого факта и на основании анализа названных результатов можно сделать следующие выводы.

1) Эффективные упругие модули

композита в трех рассмотренных моделях не зависят от величины к = р/ро-

2) Эффективные объемные модули упругости при равных модулях сдвига матрицы и наполнителя не зависят ни от отношения давлений ро и р, ни от особенностей структуры композита (коэффициент /г^).

3) В зависимости от величины коэффициента значения эффективных

упругих характеристик композита могут как попадать в „вилку" Фойгта — Рейсса, так и быть вне этой вилки (см. рис. 3 — 5).

4) Коэффициент ¡и^ можно рассматривать как параметр композита, который в обобщенном виде отражает все особенности его структуры, в том числе сдвиговую податливость (или стесненность) композита в целом.

Например, при 0 сдвиговые деформации материалов существенно зависят от величины этого коэффициента, а при /¿к 1 его влиянием можно

пренебречь.

Композиционные материалы всегда имеют определенную структуру и в реальных условиях их испытания конкретную величину стесненности к сдвиговым деформациям, соответствующую данной структуре, которую почти не-

возможно учесть теоретически. При постановке экспериментов эту величину можно соотнести с определенным значением коэффициента /ику который в

таком случае даст привязку результатов эксперимента к теоретическим результатам. Следовательно, коэффициент должен играть роль своеобразного мостика, который установит адекватную связь эксперимента с теорией.

Отличие рассматриваемого подхода к определению эффективных упругих констант композиционных материалов состоит в том, что вместо односвязной предлагается двухсвязная эффективная модель. При этом модули К^ и композита вычисляются одновременно при рассмотрении одной и той же модели. Данный подход к решению (на примере двухфазного композита) не препятствует в принципе как непосредственному рассмотрению многофазных композитов, так и последовательному (рекуррентному) использованию полученных результатов при переходе от двухфазных к трехфазным материалам и т. д., например, при исследованиях роли добавления заполнителя к вяжущему с дисперсным наполнителем [6].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Баничук Н. Б., Кобелсв В. В., Ри-кардс Р. Б. Оптимизация элементов конструкций ил композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 224 с.

2. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. M.: Высш. шк., 1968.

512 с.

3. Ванин Г. А. Микромехапика композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1985. 302 с.

Поступила 14.02.2000.

4. Кристенсен Р. М. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 336 с.

5. Тюряхип А. С., Черкасов В. Д. Методология целостности и механике композитов // Вести. Морд, ун-та. 1999. № 1—2. С. 112 — 120.

6. Черкасов В. Д. Демпфирующие свойства полимерных композиционных материалов //

Вести. Морд, ун-та. 1993. № 1. С. 70 — 74.