Методология целостности в механике композитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

©000вве©0в©000©00000©00000

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

МЕТОДОЛОГИЯ ЦЕЛОСТНОСТИ В МЕХАНИКЕ КОМПОЗИТОВ*

A. С. ТЮРЯХИН, кандидат технических наук,

B. Д. ЧЕРКАСОВ, доктор технических наук

1. Исходные посылки

Под композитами понимается широкий класс многофазных природных и искусственных материалов. Композиционный материал (или композит) — это конструкционный материал, в котором число составляющих компонентов (фаз) не менее двух; последние имеют связующий элемент (матрицу) и усиливающие элементы (заполнитель) из более или менее прочного материала. Комбинируя состав компонентов и их объемное содержание, можно получить композиционный материал с требуемыми значениями прочности, модуля упругости, жаропрочности, абразивной и демпфирующей стойкости и другими свойствами.

Потребности развития композиционных материалов стимулируют и развитие их теоретического познания, т. е. действительность стремится к понятию. Оставаясь на почве действительности, идею механики полидисперсных композитов легче осознать, если исходить из целостности этого понятия. Категориальное понятие целостности имеет уровень всеобщности, свойственной той или иной научной теории. Категория целостности служит инструментом такого методологического мышления, которое связывает принцип

г

единства теории с принципом ее развития, и, следовательно, мышления, которое устанавливает связь принципа единства законов механики композитов с принципом развития этих законов.

В механике композитов целостное постижение механизма взаимодействия фаз той или иной структурной модели композита рассматривается в двух аспектах: в аспекте специального знания внутренней структуры этой модели и в аспекте поверхностного значения ее целостности. Иными словами, целостное рассмотрение идеи механики конкретного композита ставит перед собой задачу постичь предмет в его внутреннем и внешнем опосредовании и, требует погружения в исследуемый материал в обоих вышеназванных аспектах.

„Чтобы идея целостности (тотальности) выполняла свою функцию как... методологический принцип... она должна отвлечься от внешней формы и полностью отдаться конкретному материалу" [7, с. 107]. Следовательно, чтобы лучше осознать внутреннее единство и самодвижение содержания теории механики композитов, необходимо с самых первых шагов отвлечься от разнообразия внешних форм и полностью сосредоточиться на конкретной структурной модели композиционного

материала.

/

2. Односвязная модель композита

2.1. Однофазная эффективная модель

♦

Употребление внешнего аспекта понятия целостности вполне правомерно, хотя и не требует глубокого теоретического знания. При предварительной характеристике композиционного мате-

* Издается при поддержке РФФИ (проект № 98—01—03512).

© А. С. Тюряхин, В. Д. Черкасов, 1999

риала вначале можно вполне обойтись рассмотрением тех или иных фактов в их полноте и единстве, не думая об их внутренних опосредованиях и происхождении. „Для мышления, которое поэтапно приближается к сущности вещей, нужен живой образный язык, не позволяющий слишком жестко стеснять себя" [7, с. 103] теоретическому размышлению. Изложенная здесь общетеоретическая установка подтверждается фактом того, что в механике композитов вводится в рассмотрение понятие эффективной модели. Это, как правило, простейшая однофазная модель, представляемая однородной сплошной средой с упругими характеристиками, адекватными рассматриваемому композиту в целом. Одной из первых стоит задача установления связи упругих характеристик материала фаз многофазной (структурной) модели с упругими характеристиками эффективной (однофазной, однородной, бесструктурной) модели. Последние, т. е. упругие характеристики однофазной модели, часто называются эффективными (осредненными или приведенными) характеристиками композита, например эффективный объемный модуль упругости композита и другие.

Ограничимся рассмотрением только таких моделей, которые используются при определении упругих эффективных характеристик. Эффективные модули упругости могут быть непосредственно измерены в эксперименте. Они же определяют характеристики жесткости конструкции (выполненной из композита) и распределение в ней эффе#гив-ных деформаций и напряжений. Представление об эффективных модулях жесткости широко - применяется при инженерных расчетах и проектировании конструкций из композитов. Эффективность физико-механических характеристик композита зависит от формы включений, матрицы и физических констант их материалов; поэтому на первый план выступает проблема упрощения формы и структуры рассматриваемых моделей композитов и сокращение числа физических констант.

Шар как пространственная форма реальных тел имеет самую простую (сферическую) фигурность и потому обладает наиболее сложной симметрией. „Обыкновенный шар, сделанный из сплошного изотропного вещества...

имеет бесконечное число осей симмет-

%

рии бесконечного порядка, проходящих через центр по всем диаметрам шара" [9, с. 54]. Следовательно, идеализация геометрической формы однофазного композита шаром равносильна отказу от рассмотрения всех других специфических пространственных форм композита.

Изотропные тела имеют наименьшее число упругих (физических) констант — их всего две. Поэтому на первом этапе для отыскания исходных физических закономерностей необходимо выбрать такую идеально упругую однофазную однородную модель структуры композита, сплошная среда которой представляется изотропным шаром.

Наконец, еще более конкретизируя геометрию однофазной модели, рассмотрим такую шаровую частицу (ячейку) полидисперсной сплошной среды, которая имеет радиус Я и эффективные упругие параметры е^ и (объемной и сдвиговой жесткости) композита (рис. 1). Будем считать, что если заданная полидисперсная среда

р и с. 1

композита находится в условиях всестороннего сжатия давлением р, то и деформации во всех частицах (ячейках этой среды) одинаковы, а смещения и

нагрузки будут направлены только по радиусу шаровых частиц [1, 6].

Итак, сделан первый шаг, выбрана однофазная расчетная модель композита, которая представляет собой внешний аспект некоторой конкретной исходной целостности. Представленная идеализация эффективной модели изотропным шаром позволит нам выявить упруго-механический смысл композита в строгой постановке, тем более, что упругие (физические) постоянные материала в принципе не должны зависеть ни от конструктивных форм, в которых он используется, ни от характера нагружения этих форм внешними силами.

2.2. Двухфазная структурная модель

С точки зрения внутренней обусловленности, т. е. со стороны той сущности, которая определяет специфику композита, одна фаза — это еще не композит. Иными словами, для выявления внутренней сущности недостаточно одной однофазной модели, которая объясняет специфику композита только извне (во втором аспекте целостности). Необходимо сделать второй шаг, т. е. нужно выбрать двухфазную (структурную) модель. Но почему именно две, а не три или четыре фазы? Можно сказать так: трехфазный — это уже не простой композит, это его развитие и переход к новым, еще более сложным формам. Следовательно, два компонента — это тот минимум числа структурных фаз, который позволяет абстрагироваться от более сложных количественных форм композита.

Определив однородное изотропное содержание и шаровую форму однофазной, модели и исходя из методологического требования отвлечения от разнообразия внешних форм, целесообразно сохранить аналогичными содержание и форму обеих фаз внутренней структуры композита, т. е. двухфазная модель также должна состоять из сплошных однородных изотропных и упругих фаз: шарообразной матрицы и шарового заполнителя. Уточним гео-

ко-

метрическую постановку задачи — рассмотрим такую структурную ячейку полидисперсной сплошной среды, в торой шаровой заполнитель радиусом Ь окружен сферической оболочкой (матрицей) радиусом Я (рис. 2 ).

\

р

4

//iVAVrV-V-

Né»

k" » • • # # • ô * f« »% • fVi i

k- /è< #Jê Л » «U•

Ш1

т

I

U!

I

R

\

î ■

0 П1НН

P и с. 2

Таким образом, в полном соответствии с методологическим принципом целостности представлена первая (ныне существующая) модель композита, которая включает в себя одновременно две односвязные расчетные модели: однофазную бесструктурную (или эффективную) модель (см. рис. 1) и двухфазную (или более) структурную (см. рис. 2).

2.3. Совместность деформаций двух фаз композита

При всестороннем сжатии шара (см. рис. 2) давлением р условие совместности деформаций матрицы (ри©1 За) и шарового заполнителя (рис. 36) записывается в виде равенства перемещений точек,*Уймеющих общую радиальную координату г = Ь. Чтобы записать это условие, воспользуемся известным решением задачи для сферического сосуда [2, с. 255 — 259], находящегося под действием внешнего р и внутреннего рь давления (рис. За). Примем следующие обозначения:

Е

m

m

1 -2v

ЪКт и

m

2 Е

Sm

m

1 + vm

4 G

m

параметры жест-

кости

материала матрицы композита при изменении его объема и формы;

Кт и Ст объемный модуль упругости и модуль сдвига материала матрицы; Е]

и v

коэффициент

Рт = ЪЪ/1$

т

— модуль

Пуассона

объемное

Юнга и

матрицы;

содержание шаровой полости матрицы; р = г/Я — безразмерная радиальная произвольной

В =^Рь/Р —

давления в в

т

координата точки тела шара; отношение внутреннего матрице к

т

ЗКт/4С

т

внешнему; отношен ие

параметров модулей упругости.

а

Ч

р

• Го:

5

\ Ф

Рь

I - V ) •

\ 2Ь Г

%

Р и с. 3

В соответствии с [2] в принятых обозначениях радиальные перемещения в произвольной точке матрицы определяются следующим выражением:

= рЯ [В 1хт{ръ + вт) -

и

т

-(/>3+/гт вт)]/[( 1-^т)'ет-р21 (1)

В точках внутренней и наружной сферических поверхностей матрицы (при г = Ь и г = Я) перемещения будут равны: «

ит(Ь) = РЪ [В -(/ + вт)]/[(1

(Мт + вт) Рт) ет>

(2)

ит(Л) = рЯ [В рт{1 + вт) -

ет)УЮ -Мт)

-(] +р

т

т

]. (3)

Для заполнителя (см. рис. 36) найдем выражение для перемещений как частный случай (1), сменив индексы т на индексы /, при значении /л; = 0:

Ч

Р

Ч

Р

ь_

ч

р. (4)

В точках поверхности шарового заполнителя (при г = Ь) имеем:

и£Ъ). =-р В^- (5)

Условие совместности деформаций матрицы и заполнителя представим равенством ит(Ь) = ¡¿¡{Ь) и сделаем подстановку перемещений из (2) и (5):

рЪ [В (ит + 0т)-(1 + вт) ] / [7 —

~Рт) ет] = Р В Отсюда найдем

е/

В

т) е// ет го + вт) X

х е/ет + (/ -{¿т) ].

(6)

Выражение (6) дает решение задачи для композита в аспекте специального знания внутренней структуры выбранной модели.

2.4. Эффективный объемный модуль

Для эффективной ' модели (см. рис. 1) исходное решение в принципе то же, что и для заполнителя, нужно только заменить в формулах (4) и (5) радиус Ь радиусом Я и произвести замену индексов на индекс к (композит):

г Я

ик = ~Р ~- = -Я — Р

¿к = -р •

К ек

Ч

(7)

Условием эквивалентности двух расчетных моделей (см. рис. 1 и 2) служит равенство перемещений ит(Я) = и^Я). Подстановка перемещений (3) и (7) в это равенство дает следующее выражение для эффективного параметра объемной жесткости композита:

ст

В

{1-рт)/[(1 +ртвт)

Р

т

С +0т)1

(8)

Выражение (8) с учетом (6) после несложных алгебраических преобразований можно привести к следующему виду:

Ч = 3 Кк

ЪКт х

г

115

и-Ит) В

те// ет + и + И-пАт)

Формула (8*) для эффективного объемного модуля К^ приведена (в других обозначениях) в работе [3], где она выведена (другим способом) применительно к несколько иной расчетной модели; совпадение результатов решений свидетельствует о фактическом тождестве двух (вышеизложенной и использованной в работе [3 ]) формально различных исходных расчетных моделей.

3. Методологический анализ

Из формулы (8) с учетом (6) или из (8*), что то же самое, следует, что, во-первых, параметр е^ является функцией двух параметров матрицы (ет и gm), одного параметра заполнителя (ер и объемной доли заполнителя в композите (коэффициент /гт); параметр модуля сдвига заполнителя в формулах отсутствует. В связи с этим возникают вопросы: это так и должно быть или же решение (8*) „страдает" неполнотой? И, наконец, во-вторых, эффективный параметр модуля сдвига (ёк = 4С0 принципиально не может быть найден при рассмотрении только одной (проанализированной выше) од-носвязной модели композита, т. е. задача решена только наполовину.

Специалисты по механике композитов [1,3 — 6], хорошо это понимая, для получения эффективного модуля сдвига используют другие односвязные модели с соответствующими условиями на их границах. Но в таком случае при использовании различных моделей (для получения модулей К^ и С^ одного и того же композита) комплексные результаты решения изначально становятся проблематичными и требуют специальных приемов исследования степени достоверности применяемого комп-лексирования. И снова возникают вопросы, как можно исключить неполноту полученного решения (8*) и можно ли в принципе получить эффективные модули К^ и в рамках рассмотрения единой модели композита. Для предварительного ответа на них достаточно

лишь качественной оценки характера деформации исходных расчетных моделей с учетом имеющегося результата (8*).

В двухфазной модели (см. рис. 2) при действии всестороннего сжатия в матрице возникают деформации вследствие изменения ее объема и формы, а в заполнителе — только из-за изменения объема при сохранении формы. Чтобы учесть влияние параметров еу и gf заполнителя, необходимо обеспечить его деформирование с изменением как объема, так и формы. Подобная деформация наблюдается, например, в случае применения заполнителя с полостью (рис. 4), и поэтому естественно возникает стремление перейти от одно-связной структурной модели к двухсвязной, которая включает в себя шаровую матрицу радиусом Яу содержащую внутри себя шаровой заполнитель радиусом Ь со сферической полостью радиусом а, заполненной (в общем случае) каким-либо газом или жидкостью с давлением ра. В специфической постановке решения для эффективных параметров подобной модели уже имеются, например, в той же работе [3]; однако в последней для определения объемного модуля К\ и модуля Юнга Е^ используются различные одно-связные эффективные модели композита.

Рис. 4

Перейдем к анализу внешнего аспекта целостности. В однофазной и од-носвязной эффективной модели при ее

всестороннем сжатии изменяется (как и в заполнителе структурной модели) только объем при сохранении формы

и, следовательно, принципиально можно составить единственное условие ее эквивалентности с многофазной моделью и определить единственный эффективный параметр (объемный модуль упругости). Для нахождения же второго параметра требуется еще одно условие эквивалентности, т. е. необходимо, чтобы эффективная модель имела возможность изменять и объем, и форму одновременно. В рассмотренной нами односвязной однофазной модели (см. рис. 1) такой возможности нет, и потому возникает потребность перехода от одно- к двухсвязной эффективной модели. Таковой может быть, например, модель шарового композита радиусом Я с шаровой полостью радиусом а (рис. 5), заполненной газом с тем же давлением ра, что и в полости заполнителя двухсвязной структурной модели (см. рис. 4)

р

Рис. 5

4. Двухсвязная модель композита 4.1. Двухсвязная эффективная

модель

О

радиус Ъ радиусом а (и откажемся от индексов):

Для эффективной двухсвязной модели (см. рис. 5) исходное решение будет аналогичным решению для матрицы первой модели (см. рис. За). Выражения перемещений на граничных сферах получим, если заменим в (2) и (3)

и(а) и(Я)

-а

а [А

(м + 0)-

е],

0 +

Р)

= Р + 0)]/[(1 = р Я [А ¡1 (I + в) -+ р в)]/[(1-/1) е],

(9)

где А = ра/р.

4.2. Структурная двухсвязная модель

Для матрицы структурной двухсвязной модели решение будет тождественным решению, представленному формулами (1) — (3). Для заполнителя (рис. 6) исходные выражения для пе-

р и с. 6

ремещений на граничных сферах будут аналогичными (2) и (3); при этом вместо индекса т будем пользоваться индексом / и учтем изменение радиусов

сфер:

Ч

= р Ь [А р/) (/+в/)-Я*х

х (У +/*/• 0/) ]/[('-/*/) «Д (10)

а

и^а) = р

X (1 +в5)]/1(1

[А (р/+0/)-В*Х

Р/) ' е/]. П1)

А

Для упрощения выкладок положим .. = 0, т. е. рассмотрим случай вакуума в полости композита, и запишем условие совместности деформаций при г - Ь: и/^Ь) = ит(Ь). Подстановка выражений (10) и (2) в это условие дает следующее равенство:

>+

В* ■ (1 + • в/) _ (1-/1/) • е{

(Мт + От) + 0т)

О ~Ит) е

т

Отсюда найдем

В

ет +

+ (ит + вт) е,]. (12)

Отметим, что в (12) в отличие от (6) вошли два упругих параметра заполнителя (вг и вf = ef/gf) и коэффициент — а

4.3. Два условия эквивалентности

Первое условие эквивалентности деформаций эффективной и структурной моделей для двухсвязной модели композита будет тем же самым, что и для односвязной модели, — равенство перемещений в точках наружных поверхностей моделей (при г — К), т. е. ит(К) = и(К). Подстановка выражений

(3) и (9) в это условие дает равенство

й

В* /хт (1 + 9т) ~(1 +/гт -вт)

и - Рт) е

т

(1 + И 9)

0-м)

из которого получим

(1+цд) О-Рт) е

т

О-/*)- 1и+1"т0т)-В*'Ити+вт)]

(13)

^ • ¡хт и отношение

где /г = аъ/Яъ = в = е/ё.

Чтобы записать второе условие эквивалентности, примем во внимание, что двухсвязные структурная и эффективные модели имеют помимо наружной еще внутреннюю сферическую поверхность (при г = а), в точках которых перемещения также должны быть равны: и^а) — и(а). Подставив сюда

выражения перемещений из (11) и (9), получим

В* (1 + в/)

(У + в

и отсюда найдем

и

и + в)

В* (У + 0/) (1-Ц)

е/.

(14)

>

Приравняем правые части . выражений (13) и (14):

[(/ + (¿в) (1 -/¿т) ет]/ {(/ ~Ц) X

X [(/ + Цтвт) ~ В* Цт О + вт) И =

= [(1-Ц/) (1+в) ег]/[В* (7 +

+ 61/) х(7-/*)]. (15)

Отсюда нетрудно найти отношение б,

зная которое по формуле (13) или (14) можно вычислить эффективный параметр е и эффективный объемный модуль К = е/3, затем — эффективный параметр % = е/6 и эффективный модуль сдвига (7 - ё/4.

Таким образом, в рамках единой двухсвязной модели композита одновременно определяются эффективные модули К и й и тем самым проблема разрешается в полном объеме и в строгой постановке.

5. Третья модель — композит с выколотой точкой

При уменьшении радиуса а объем внутренней полости композита уменьшается и в пределе, когда а = 0, она вырождается в точку. Такой предельный случай рассмотренной выше двухсвязной мрдели назовем моделью композита с выколотой точкой (рис. 7 и 8), Отличие третьей модели от первой (см. рис. 1 и 2) состоит только в том, что в первой нет выколотой точки. Однако наличие названной точки превращает односвязную эффективную модель (см. рис. 1) в двухсвязную эффективную (см. рис. 7); аналогично — односвязную структурную модель (см. рис. 2) в двухсвязную структурную (см. рис. 8). Решение для третьей модели получим как частный случай решения двухсвязной модели композита, если положим в формулах (12) — (15) значения коэффициентов и ¡и равными нулю.

р

Рис. 7

Рис. 8

•/л

Ъ

Приняв в (13) и (14) = —0, най-

дем:

В* (О)

[(1+вт) е/ет)/[(1-!лт) +

+ (м

(16)

е(О)

где С (О) х (/ + вт).

(1-Ит)

С( О) ИтРт) ~

т

В\О)

И-т X

(17)

Положим в (15) = ^ = О и найдем выражение для отношения 0:

ад

[в*(0) (¿+0/) (*-/*пд

С( 0) е//гт]/[С(0) е//ете]. (18)

Наконец, поделив (16) на (18), на-

8(0) = е(0)/в(0) = ет [(1 -//т) х

х.е/ет]/[В*( 0) (/-/гт) (/+ 0/)-

-С(0) (19)

ходим:

Пример вычислений по формулам (16) — (19) представлен в работе [8].

6. Выводы

Формулы (17) и (8) тождественны. Следовательно, решение (8*) является строгим, т. е. эффективный модуль объемной жесткости один и тот же, независимо от того, есть выколотая точка в композите или нет.

Эффективный модуль сдвиговой жесткости С(0) = #(0)/4, вычисляемый по формуле (19), стал возможным для определения только благодаря применению модели с выколотой точкой.

Выколотая точка в третьей модели в отличие от первой, где ее нет, играет двоякую роль: позволяет записать внутреннее условие эквивалентности эффективной и структурной моделей и дает возможность заполнителю при его деформировании внешними силами изменять форму. Последнее и служит причиной того, что появилась возможность нахождения не только эффективного объемного модуля, но и эффективного модуля сдвига.

Вышеизложенный методологический анализ выполнен на примере только одной расчетной модели из разрабатываемых механикой композитов. При этом показано, что целостная модель композита хорошо иллюстрирует единство его внешнего и внутреннего аспектов.

Анализ односвязной эффективной модели показал ее принципиальную неполноту и невозможность в связи с этим получения двух необходимых эффективных параметров в рамках единой модели композита. Методологический принцип целостности позволил обосновать необходимость перехода от одно- к двухсвязной эффективной модели.

Рассмотренный пример двухсвязной эффективной модели композита представляет возможную альтернативу об-

щепринятой односвязной эффективной модели. В этом смысле двухсвязная эффективная модель в совокупности со структурной двухсвязной моделью образует новую целостную модель композита, которая, как и всякая новая

целостность, как бы „высвобождает" себя от „старой" и следует своей собственной „судьбе", т. е. она может и должна развиваться на своей собственной основе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Баничук Н. Б., Кобелев В. В., Ри-кардс Р. Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 224 с.

2. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высш. шк., 1968. 512 с.

3. Ванин Г. А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наук, думка, 1985. 302 с.

4. Васильев В. В., Протасов В. Д., Болотин В. В. и др. Композиционные материалы: Справ. М.: Машиностроение, 1990. 512 с.

5. Дюрелли А., Холл Дж., Стерн Ф. и др. Экспериментальная механика: В 2 кн. Кн. 2:

Поступила 16 11.98.

Пер. с англ. /Под ред. А. Кобояси. М.: Мир,

1990. 552 с.

6. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 334 с.

7. Леске М., Редлов Г., Штилер Г. Почему имеет смысл спорить о понятиях: Пер. с нем. М.: Политиздат, 1987. 287 с.

8. Тюряхин А. С. Двухсвязная эффективная модель композита // Материалы научной конференции Мордовского государственного университета имени Н. П. Огарева: (XXVII Огаревские чтения). 15 — 19 дек. 1998: В 5 ч. Саранск, 1998. Ч. 5. С. 87 — 91.

9. Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука, 1972. 239 с.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ НА РАБОТУ МАШИННО-ТРАКТОРНЫХ АГРЕГАТОВ

А. М. КАРПОВ, кандидат технических наук, П. В. СЕНИН, кандидат технических наук, Т. В. ВАСИЛЬКИНА, кандидат физ.-мат. наук, Д. КАРПОВ, студент

В последние годы большое внимание уделяется энергетическому анализу существующих и перспективных машинных технологий. Такой анализ служит дополнительным методом выбора и обоснования энергосберегающих технологий, вскрывает низкую эффективность энергетического функционирования некоторых отраслей сельского хозяйства, указывает на целесообразность применения отдельных мероприятий и приемов при производстве продуктов питания.

Развитие получил метод оценки энергоемкости конечных видов сельско-

хозяйственной продукции. При этом учитываются затраты энергии на производство удобрений, сельскохозяйственной техники, строительных конструкций, энергоносителей (уголь, газ, дизельное топливо и бензин).

Энергоемкость производства продукции принято оценивать отношением суммарных затрат энергии во всех звеньях хозяйства к энергосодержанию конечной продукции, т. е. к заключенной в продукции энергии. Термин „энергетический анализ" был принят рабочей группой методологии на съезде федерации аграрных организаций, со-

© А. М. Карпов, П. В. Сенин, Т. В. Василькина. Д. KaDnoi