Эффективные модули упругости двухслойной сферы Текст научной статьи по специальности «Физика»

9. Саль А. О. Исследование трещиностойкости черных покрытий на основаниях из малопрочных каменных материалов // Опыт службы дорожных одежд с асфальтовыми покрытиями. Л., 1972. С. 8 — 38.

10. Смиров А. В. Теоретические основы проектирования дорожных одежд на подвижные нагрузки // Тр. СоюздорНИИ. М., 1978. Вып. 108. С. 32 - 38.

11. Adedimila A. Repeated-Load Indirect Tensile Fatigue Characteristics of Asphalt Mixtures // Transp. Res. Ree. 1976. JMb 595. P. 25 - 33.

12. Aussedat G., Monniot M. Methode pratigue pour le di mensionnement des chasses a la fatigue // Rev. gen routes et ae rodr. 1974. Vol. 44, Щ 495. P. 25 - 32.

13. Just H. Ergebnisse von dynamischen Messungen an vorhandenen Strassen-befestigungen // Strasse. 1968. № 108. P. 505 - 510.

14. Maupin G. Results of Indirect Tensile Tests Related to Asphalt Fatigue // Highway Res. Ree. 1976. JMb 404. P. 1 - 7.

Поступила 11.11.01.

ЭФФЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ УПРУГОСТИ ДВУХСЛОЙНОЙ СФЕРЫ*

A. С. ТЮРЯХИН, кандидат технических паук,

B. Д. ЧЕРКАСОВ, доктор технических наук, член-кор. РААСН

В статье [4] приведено обоснование необходимости перехода от односвязных моделей представительной ячейки поли-дисперсиого композита к рассмотрению эффективных двухсвязных. В работах [5 — 7] на частных примерах показана эффективность такого подхода при теоретическом определении эффективных характеристик композита по заданным величинам упругих констант его исходных компонентов. В данной статье на базе по-лидисперсной модели Хашина [8], методологии авторов [4 — 7] и результатов работы [3] делается общий вывод формул для двух характеристик жесткости композита: объемного модуля и модуля сдвига.

Представим модель ячейки композита в виде толстостенной сферы (рис. 1, а), которая испытывает радиальное давление р изнутри (г = а) и давление q извне (г = Ь). Для заданных радиусов сферы а < Я, < Ь взаимодействие матрицы с наполнителем на границе г - К про-

явится в виде контактного давления р^ (рис. 1,6).

Обозначим: хю = т = Я3/Ь3,

п = а3/К3, V = 1 - хю} Ут = 1 - т, 8п~ 1 - п, где V и V' — объемные доли (в шаре радиусом Ь) соответственно композита и матрицы; 8п — объемная доля наполнителя в шаре радиусом Я; при этом да = тп. Индексами тип здесь и далее обозначаются величины, относящиеся соответственно к матрице и наполнителю. В целях сокращения объема и громоздкости последующих выкладок введем еще три объемные координаты: рп -= г3//?3, р~рт ~г3/Ь3у шесть обобщенных давлений: Р и £) — для гомогенной сферы композита по формулам

Р = (рт- Я)/У\ О = (р - (1)

и еще четыре для сфер наполнителя и матрицы гетерогенной модели (по аналогичным форму дам):

ы

Рп = (рп - рк)/8п\ (2)

Оп = (Р ~ Рк>/8Ь

Издается при поддержке РФФИ (проект № 98 — 01—03512).

© А. С. Тюряхин, В. Д. Черкасов, 2001

135

я

Композит

ь

а

<1

R

b

>1

а

Матрица

а

б

тель

Рис. 1. Расчетные модели представительной ячейки композита:

а — гомогенная; б — гетерогенная

рт = (pkm -

т>

Qm = (Pk - Я)/У

(3)

771'

С учетом принятых обозначений и согласно [1, 3] представим окружные относительные деформации вышеназванных толстостенных сфер в виде суммы деформаций сферического 'сжатия и сферического сдвига:

£ =— +

Р . Q_w_ 29 Р

• р — у сш

р.

т

+

Q

т

т

т

2 9т Рт

Р.

£ = — + 72 ^

«я

Qn п

19п Рп

(4)

где е = Е/( 1 - 2у); д = £/(1 + у); Е -модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона для материала гомогенной модели композита.

В точках граничных поверхностей эффективной модели при р = т и р = 1 выражения для деформаций согласно (4) примут вид:

е(й)

е(Ь)

Р Q —+ —; е 2 д

Р Q

— + — W

2д

(5)

Аналогично в случае рт = т к рт = \ получим выражения для матрицы:

£т(Ю

Р

т

+

О

772

т

2 9

772

£m (b) = + т;

(6)

т

2 9

772

при значениях рп наполнителя:

п и рп

1

для

ГС

£п(а) =

Etl+ On .

Л I

' <

п

29п '

е„(Ю

71

29п

Для определения эффективных модулей ей д запишем одно условие совместности деформаций (матрицы с наполнителем в точках с координатой г = Ю и два условия эквивалентности (эффективной и структурной моделей в точках с координатами г = а и г = Ъ)\

ет(Ю = еп(Ю; е(а) = £п(а)\

е{Ь) = £т(Ь).

(8)

С учетом (5) примут вид:

(7) равенства (8)

Р О

Рт . а

т .

п

2дп

т

29т

(8а)

Р О — + —

* 2 д

е

п

2д„ '

(86)

Р О

—1- — XV

е 2 д

Р.

т

+

О

т

т

2 д

т.

(8в)

т

Условие совместности деформаций используем для определения контактного давления рк. С этой целью комплексные давления, входящие в (8а), выразим, используя (2) и (3), через действующие давления р} рк и д:

рп~рк р - рк = ркт - д рк

Я

еп3п отсюда

29п8п

е У

у т

2 ЯтУ,

т

к =

п( 1 + вп )Ут + д / р( 14- вт )а6п (1 + впп)Ут+(т + вт)а6п

(9)

гд^й = рк/р\ вп = еп/2дп\ вт = ет/2дт\

а ~ еп/ет-

Для нахождения эффективного модуля сдвига сначала представим выражение (8а) в следующем виде:

Р Р

1 п 1 т

о

т

п

т

2 д

т

Яп

29п

п,

(10)

затем вычтем (8в) из (86) и с учетом (10) избавимся от слагаемых, содержащих модули еп и ет. В результате получим:

05

2 д

О А. ОпУт

(И)

2 9п

2 д

т

Подстановка (1)

(3) в (11) после

упрощении дает выражение

Р~<7 = Р~Рк +

2 д

2 дп

2 д

772

из которого найдем модуль д:

9 =

♦

(\-д/р)дп

(12)

где ¡3 = дп/дт, а отношение & = р^/р определяется выражением (9).

Чтобы найти модуль умножим левую и правую части равенства (86) на величину т\ затем вычтем (86) из (8в) и, избавившись с учетом (10) от слагаемых, содержащих модули дп и дт, запишем:

РУ Р У Р 5

1 у _ 1 ту 772 , 1 пип — г /н

(13)

е

772

72

Аналогично (11) подставим (3) в (13) и найдем:

(1)

рхю

д = ркт - д рп-рк

е

772

72

откуда

е -

(д/р- т)еп

кт(\ - а) + (ад / р-хю)

(14)

где к определяется тем же выражением (9).

Простые алгебраические выражения (9), (12) и (14) дают решение задачи в самой общей постановке. Эффективный объемный модуль К = е/3 и эффективный модуль сдвига С = д/2 вычисляются по названным формулам при произвольном отношении д/р действующих давлений. Из(12)и(14) следует, что каждый из модулей К и С зависит в общем случае от б параметров матрицы и наполнителя: 4 упругих констант (ет, дт, еп, д ) и 2 коэффициентов структуры (тип). При практических вычислениях в качестве исходных удобнее задаваться величинами хю = тп и с = Уп/У (где с — объемная доля наполнителя в композите). В этом случае структурные коэффициенты т и

о

п определяются из выражении

т = 1

(1

а>)(1 ~ с);

п = т/т,

(15)

где (1

- С) = Ут/У

матрицы в композите.

А

объемная доля

Дадим краткий анализ полученного решения при рассмотрении 4 характерных случаев равновесного состояния сферической ячейки композита. При этом в численных примерах величины эффективных модулей К и Ь будут выражены в долях от их значений по Фойгту:

К Р = (1 - с)Кт + с К

вр = (1 - сЮт + сап

(16)

и для сравнения будут сопоставлены с оценкой Рейсса:

Кк = С* =

1/[(1 1/[(1

- с)/От + с/Оя]Л17;

которая также будет выражена в долях соответственно от Кр или Ср.

1. Если д/р = 1, т. е. давление извне

о

равно давлению изнутри, то ячейка композита испытывает состояние сферического сжатия. При этом согласно (12), (14) и с учетом того, что 0 = 0, объемный

модуль

к =

(1 - тю)еп / 3

кет(\ ~ а) + {а - тю)'

(18)

где ке находят согласно (9). С учетом (15) эта формула примет вид:

к

1 + вп)(1 ~ с) + (1 + вт )са

т(\ + впп) (1 - с) + (т + вт )са

(19)

Результаты пробных вычислений представлены графиками (рис. 2), из которых следует, что: а) значения эффективного объемного модуля лежат в пределах вилки Фойгта (прямая 5) — Рейсса (кривые 4) при всех значениях коэффициентов а, с и тю\ чем больше величина отношения а= Кп/Кт, тем ближе К к оценке Рейсса; б) при заданных а и с численное значение К неоднозначно и в общем случае зависит от тю (в диапазоне значений, ограниченных кривыми 1 и 3).

2. Если ц/р = ту то ячейка композита испытывает сферический сдвиг. При этом согласно (12; и (14) эффективный объемный модуль К = 0, а эффективный модуль сдвига

(1 - тю)дп / 2

кд(р-\) + (\-тюрУ

(20)

где отношение кд согласно (9) и с уче-

том (15) примет вид:

= а>[(1 + 0я)(1 9 т(1 + вял)(1

с) + (1 + Эт )са 1

с) + (т+вт)са

(21)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Объемная доля наполнителя

С

Рис. 2. Сферическое сжатие (д = р). Влияние коэффициентов а, с \\ хю на величину эффективного модуля К при значениях Кт = 1, Ут = 1 /3 и V = 1/4. Цифры соответствуют: 1 — т = 0,999; 2 - т = 0,500; 3 - и> = 0,001; 4 модуль К по Рейссу (в долях от К по Фойгту); 5 — модуль К по Фойгту, условно равный единице

Анализ результатов вычислений по формулам (20) и (21) показывает (рис. 3):

а) значения модуля сдвига (в отличие от объемного) могут как попадать в вилку Фойгта — Рейсса, так и быть вне ее;

б) при /3 = 1 и хю = 0,8333 значения модуля С в точности совпадают с его значениями, определяемыми по Фойгту (прямая 1), а в случае /3 = 0,625 и гю = = 0,75 — со значениями по Рейссу (кривая 4); в) в обоих случаях (/} = 1 и ¡5 = = 0,625) при т —» 1 значения С/Ср имеют предел (кривые 6 — сплошная и штриховая), при тю = 0,999 это две очень близкие, но различные кривые, кососим-метричиые относительно значения с = 0,5; г) в случае /3 = 1 и тю < 0,8333 модуль сдвига выше модуля С по Фойгту, а в

случае ¡3 = 0,625 и тю < 0,75 — ниже модуля С по Рейссу.

3. При отсутствии давления извне (р/д = 0) из (12) и (14) следует:

К =

пе

п

3[Кос -1) + п)'

9п

2{№ - 1) +1]'

где

к

о>(1+ея)(1-с)

т(\ + впп)(\ - с) + (т + вт )са

(23)

Данный вариант проще двух первых как в смысле нагружения микроячейки композита, так и но структуре формул (22) по сравнению с (18) и (20). Однако деформированное состояние ячейки является более сложным, поскольку оба модуля (К и О не равны нулю. Иными словами, этот случай может быть представлен совокупностью двух вышеназванных состояний — сферического сжатия и сферического сдвига.

-1/3, уя =1/4

0,1 0,2

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Объемная доля наполнителя

0,9 С

Р и с. 3. Сферический сдвиг (¿/ = ргю). Влияние с и т на величину эффективного модуля С двух групп композита с одинаковыми значениями а = 1 и Кт = 1, но с разными р, равными 1,6 (сплошные линии) и 0,625 (штриховые). Цифры соответствуют значениям коэффициента структуры ячейки: 1 — да = 0,8333; 2 — хю - 0,2; 3 - по = 0,3; 4 - т = 0,75; 5 - м = 0,5; 6 - тю = 0,999; 7 - ю = 0,7 и 8 - да = 0,9

4. Если модули сдвига наполнителя и матрицы равны, то /5= 1; из (12) следует, что при этом д = дт = дп для всех значений д/р. В случае, когда д/р = 1, формулы (18) и (19) сводятся к выражению

К =К

вп + (1 - с) + са

я 0п[(1-с)а + с] + а

(24)

или, что одно и то же, к формуле Крис-тенсена [2]

К = Кт +

с(Кп - Кт )

+

1 + (1 - с)(3Кп ~ЗКт)/(ЗКт + 40

(25)

В формулах (24) и (25) структурный параметр сократился, и в нашем примере модуль К зависит всего от 4 параметров (вместо 6 в общем случае).

На рис. 4 представлены вычисленные по формуле (22) графики зависимостей величины модуля К от параметра с для трех пар композитов. В композитах каждой пары отношения а выбраны такими, при которых модули К по Фойгту и Рейс-су совпадают, а их графики имеют ось симметрии (при с = 0,5). Графики же каждой пары кривых 1—6 кососим-метричны относительно названной оси рисунка.

?

IX

2 о

с &

§ ч:

о

л

с

0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0.7 0.8 Объемная доля наполнителя

0.9 С

Р и с. 4. Сферическое сжатие (¿7 = р). Влияние коэффициенов а и с на величину эффективного модуля К при значениях Кт = 1 и /3 = 1 для трех пар композитов с параметрами: 1 — а = 1/2

и С = 0,375; 2 - а = 1/3 и С = 0,25; 3 -а = 1/5 и О = 0,15; 4 - а=2иС = 0,75; 5 - а = 3 и С = 0,75; 6 - а = 5 и С = 0,75. При этом прямая 7 отвечает значениям К по Фойгту, кривые 8, 9 и 10 — значениям К по Рейссу (для соответствующих трех пар кривых 1 — 6)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высш. шк„ 1968. 512 с.

2. Кристенсен Р. М. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 336 с.

3. Тюряхин А. С. Макромеханика сферической ячейки композита // Долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы науч.-практ. конф. Саранск, 2000. С. 79 — 85.

4. Тюряхин А. С., Черкасов В. Д. Методология целостности в механике композитов // Вестн.

Морд, ун-та. 1999. Ne 1 - 2. С. 112 - 120.

5. Тюряхин А. С., Черкасов В. Д., Юркин Ю. В. и др. Модули упругости двухсвязной модели

композита // Вестн. Морд, ун-та. 2000. № 1 — 2. С. 135 — 139.

6. Тюряхин А. С., Черкасов В. Д., Юркин Ю. В. и др. Эффективный модуль сдвига в двухсвязной модели композита // Вестн. Морд, ун-та. 2000. Jsfe 3 — 4. С. 127 — 130.

7. Соломатов В. И, Черкасов В. Д., Тюряхин А. С. и др. Объемные модули упругости двухсвязной модели композита // Изв. вузов. Стр-во. [Новосибирск]. 2001. № 4. С. 43 — 48.

8. Hashin Z. The elastic moduli of heterogeneous materials //J. Appl. Mech. 1962. Vol. 29.

P. 143.

Поступила 19.03.01.

О ДИССИПАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ композитов

СО СВЕРХВЫСОКИМ НАПОЛНЕНИЕМ

В. Д. ЧЕРКАСОВ, доктор технических паук, члеи-кор. РААСН, В. А. КАРТАШОВ, кандидат технических наук

Известно [2; 3], что кривая зависимости коэффициента потерь 7] от объемного наполнения /х вначале идет вниз, а затем наступает ее рост. Он начинается со значения \х, близкого к 0,5. С точки зрения структурных особенностей композита это объясняется разными условиями работы диссипативной матрицы при разной плотности расположения частиц малодиссипа-тивного наполнителя. Если эти частицы находятся на достаточно больших расстояниях друг от друга, приемлема модель, согласно которой регулярно повторяющаяся ячейка композита представляет собой параллелепипед, в центре которого находится включение — частица наполнителя. Это позволяет, имея в виду большие размеры ячейки по сравнению с включением , пользоваться расчетной схемой шара-включения, окруженного полой сферой-матрицей. По мере роста объемного наполнения, когда частицы наполнителя сбли-

жаются, такой подход становится все менее адекватным, а при очень близком расположении включений — совершенно неприемлемым. Работа матрицы приобретает гораздо более сложный характер. Плотное касание одинаковых частиц наступает при объемном наполнении /! = 0,52, что соответствует наблюдаемому в эксперименте описанному выше изменению характера кривой 77 = Г1(/и). С феноменологических позиций композиты, матрица которых имеет коэффициент потерь, зависящий от объемного наполнения, рассмотрена в статье [1].

Ниже предлагается расчетная модель, относящаяся к композитам со сверхвысоким наполнением. При этом используются представления о свободных зонах [2; 3], согласно которым матрица в пространстве между близко расположенными зернами наполнителя рассредоточена в виде отдельных островков. Между этими островками

© В. Д. Черкасов, В. А. Карташов, 2001