ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ЭФФЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ СДВИГА В ДВУХСВЯЗНОЙ МОДЕЛИ КОМПОЗИТА1
A. С. ТЮРЯХИН, кандидат технических наук,
B. Д. ЧЕРКАСОВ, член-корреспондент РААСН,
доктор технических наук, Ю. В. ЮРКИН, аспирант,
Н. Е. ФОМИН, кандидат физико-математических наук
Для полидисперсных моделей композитов в работе Р. М. Кристенсена 11 ] дается вполне исчерпывающий анализ различных решений для эффективных модулей сдвига С, лежащих в интервале < С < Су?. При этом верх-
няя граница известна как оценка Фой-
гта
Ог =(1
с)От + свп,
(1)
а нижняя
как оценка Рейсса
С
я
[(1 - с)/Ст + с/Сп]
-1
(2)
В этих формулах с
объемная
доля наполнителя в композите; и Ст — модули сдвига наполнителя и матрицы.
Для модуля сдвига модели среды с малой объемной долей сферических включений Кристенсен [1, с. 46 — 50] дает вывод формулы
С
Кг\
С
т
1
[15(1 -Ут)(1
Сп/Ст) • с \/[7 - 5ут +2(4
т 1
(3)
а затем для полидисперснои модели Хашина [4 ] приводит выражение эффективного модуля при больших объемных долях наполнителя:
С
Кг2
ОпП
[(1
(7
5гт + 2(4 - 5ут)(7п/С?т) ]
(1 - с)/ [15(1 -ут) |
(4)
где уш — коэффициент Пуассона матрицы. В результате анализа формул (3) и (4) в названной работе делается вывод о том, что „верхняя и нижняя граница оценки модуля сдвига не совпадают, за исключением случаев очень малых и очень больших долей включений. ...То, что... оценки не совпадают в задаче о модуле сдвига, малоутешительно..." [1, с. 56]. И далее автор заявляет, что „для получения точного решения или даже оценки эффективного модуля сдвига... для полидисперсной модели композита нужен другой подход. В настоящее время точное решение неизвестно" |1, с. 56].
Действительно, „точное решение" можно найти при ином подходе к решению задачи, который может заключаться, например, в переходе от одно-связных к двухсвязным моделям единичной частицы полидисперсного композита. С этой целью в соответствии с методологией, изложенной в [2], рассмотрим эффективную гомогенную модель единичной частицы композита в виде сферического тела (пустотелого мяча), подверженного действию давления ро на внутренней сферической поверхности радиусом (рис. 1, а).
Модель составной частицы компози-
Издается при поддержке РФФИ (проект № 98—01—03512)
© А. С. Тюряхин, В. Д. Черкасов, Ю. В. Юркин, Н. Е. Фомин, 2000
та представим в виде двух концентрических сферических слоев (рис. 1, б), матрицы (с наружным и внутренним диаметрами Я и Я\) и наполнителя (с радиусами Я\ и Яу, соответственно). Обозначим: со — У = I — со;
со
У
т
Я]/Яъ; У1
1
сот; шп
я%/яЪ
п
со
Уп/У
(где К V,
У
п
т
т — оо\ с — г п, г мм»- * * ^ т>
объемное относительное содержание композита, матрицы и наполнителя в шаре радиусом Я); У\ = 1 — соп —
объемное относительное содержание наполнителя в шаре радиусом Я\. Эффективные упругие характеристики композиционного материала представим в следующем виде:
г = Е/( 1 - 2у) = ЪК,
Е = Е/{ 1 + V) = 2 С, в = е/2ё = ЗК/4С,
(5)
где Е и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона; К и С — модули объемного сжатия и сдвига. Характеристики матрицы и наполнителя, определяемые по тем же формулам (5), будут иметь индексы тип соответственно.
и
Ко
а
Рис. 1. Расчетные двухсвязные модели ком позита: а — гомогенная; б — гетерогенная
При действии давлений ро танген-
циальные деформации е! в точках
и
внутренней и наружной граничных поверхностей эффективной модели (см. рис. 1, а) в соответствии с решением, представленным в [2 и 3], будут рав-
ны:
Ро (со + в)
V
е<(Я)
Росо (1 4- в)
(6)
е V
На границе раздела матрицы и наполнителя возникнет взаимное давление, которое обозначим р\ (см. рис. 1, б). С учетом этого выражения для тангенциальных деформаций в точках граничных поверхностей матрицы, возникающих при действии давления р 1, будут выражены аналогично (6) и примут вид
Р\ (^т + °т)
етУт
Р\0> (1 + впд
(7)
Выражения деформаций в граничных точках наполнителя, возникающих при одновременном действии давлений Ро и Р\, примут вид
4(*о)
Ро(а>п + Оп) - Р1(1 + вп)
р0а)п( 1 4- вп) - р!(1 + сопвп)
еП Vп
(8)
Условие совместности деформаций матрицы и наполнителя для точек на их смежной границе представим равенством
*Ш\) = 4(^1).
(А)
Используя (7) и (8), удовлетворим условию (А) и найдем отношение
к
Ро
\етУт'0)п{\ +
/
/ [етУт-{\ + сопвп) + епУ}1-((от + ет)].
(9)
Для двухсвязных моделей, составной и эффективной, два условия их эквивалентности можно записать, например, в виде равенства деформаций в точках внутренних и внешних граничных поверхностей:
(B)
(C)
е<п(Я0) = е'(Д0), е<т(Я) = е\Я).
Подстановки из (6), (7) и (8) в условия (В) и (С) дадут два различных выражения для одной и той же величины произведения еУ:
атрица
с У
еп ^ (со + в)
(шп + вп)-к-( 1 +0,г)
И
+6)
£•/¿„,(1 + вту
(10)
Приравняв правые части этих выражений, найдем в, подстановка которого в любую из формул (10) с учетом (9) даст окончательное выражение для коэффициента е и объемного модуля К = е/3. Затем определяются коэффициент 8 = с/10 и эффективный модуль сдвига С = #/2. Если же необходимо найти только модуль сдвига, то можно избрать более короткий путь.
С этой целью сначала найдем разность деформаций для точек внутренней и внешней граничных поверхностей эффективной модели. Согласно (6) и с учетом того, что V = 1 -в = е/2д, получим
со и
е'(Л0) -
Ро (со + в)
еУ
Ро-ш (1 + в)
еУ
Ро
2Е
Затем,
используя условия (В) и (С), можно записать
Ро 28
(И)
Подстановка (7) и (8) в (11) с учетом того, что к ~ р\/ро, дает
1
2*
(шп + вп) - к (1 + вп)
р V 1
ьп у п _ к + вщ)
^т Ут
(12)
доли наполнителя (коэффициент с), так и от объемной структуры слоев матрицы и наполнителя, которая в (13)
т
и
представлена коэффициентами со соп. Однако при значениях сот и соп,
близких к единице, влияние структуры проявляется слабо и этим влиянием можно пренебречь. Поэтому, положив
1 J V V ■ т
СО
т
1 и соп~ 1, из (13) найдем
28
т
(1-е) (1+0л) +
+ еп с {\+вт)\/\[(\
+ свп + втвп ]
с) вт +
> •
(14)
Анализируя формулу (14), следует отметить наличие как симметрии, так и дисимметрии в структуре самой этой формулы, что проявляется при рассмотрении ее следствий. В самом деле, если £т = то из (14) следует тривиальный случай: С = <7т = С,г. В другом случае, когда коэффициенты Пуассона матрицы и наполнителя равны, отношения в, вт и вп также равны. Это
упрощает выражение (14), из которого следует, что
8 = (1 - с) + С8п. (15)
А так как 8 = 2(7, £т = Ют и £п = = Юп, то выражение (15) в точности совпадает с оценкой Фойгта, представленной формулой (1). И третий случай: численный анализ показывает, что если для упругих свойств наполнителя и матрицы композита соблюдается отношение сп/ет = (1 + 0п)/( 1 + вт), то
формула (14) сводится к оценке Рейс-са, представленной выражением (2).
Для сравнительного анализа формул (14) и (1) — (4) полезно использовать симметрию структуры формул (14) и (2) по отношению к (1). С этой
Последующая подстановка отношения к из (9) в (12) после обычных алгебраических преобразований приводит к целью введем отношения окончательному выражению
28=еп[ет (1-е)
сот (1 +
= (7/г/ (7/г = 1, Сг = Сд/С/?, Скг\ = Скг2 = СКг2/СГ>
и О
Т
(16)
Л
т
С (1 ~ шт) +
а>
т
[(1
с) + <$п + 11
(13)
Отсюда следует, что эффективный модуль сдвига С = 8/2 (в строгой постановке задачи) зависит как от объемной
где Сд, С/сгЬ Скг2 и в определяются по формулам (1) — (4) и (14)
соответственно.
Ниже представлены графические результаты сравнения величины отношений (16) в зависимости от значения
коэффициента с для двух наполнителей матрицы (при Кт = 1; = 0,25): с модулями Кп = 0,5 и <3>г = 0,75 (рис. 2) и Кп = 2 и дп = 3 (рис. 3).
шения и имеют большие расхождения с ней, но дают хорошие приближения (при малых и больших значениях с) к оценке Рейсса (кривая 2).
X Л
1 ~
г е-
«о >fiC
5. е
2 о
5 о
О ц.
II
п **
и О
л 2
* Н С
3
0.9
0,8
0,7
0,6
о
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Объемная доля наполнителя
Р и с. 2. Зависимости значений модуля сдвига от объемной доли наполнителя, вычисленные но формулам: 1 - (1); 2 - (2); 3 - (3); 5 - (14)
Отметим, что на рис. 2 и 3 отношения бу = 1 (линии 1) представлены горизонтальными прямыми, а (кривые 2) симметричны относительно вертикальной оси при с = 0,5. Кривая 5 (С* = С/С/7) на рис. 2 обладает слабой,
а на рис. 3 —
явно выраженной ди-симметрией относительно той же оси. Кривая 3 (С^) дает хорошее приближение к точному решению (при слабой дисимметрии) для малых значений объемной доли наполнителя (с < 0,35), а
кривая 4 (С^) — ПРИ больших значениях (с > 0,85). При явной же ди-
х
0,9
л >s
5 е
S £
т 5
О ц.
* О
С «
о о
JG ЗЕ
1° 5
£ 0,8
симметрии кривой 5 (см. рис. 3) отно-
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2
О 0.1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Объемная доля наполнителя
Рис. 3. Зависимости значений модуля сдвига от объемной доли наполнителя, вычисленные по формулам: 1 - (1); 2 - (2); 3 - (3); 5 - (14)
Приведенный анализ далеко не исчерпывает всех особенностей зависимости величины эффективного модуля сдвига композита от параметров, входящих в выражение (14). Еще более сложной зависимостью обладает эффективный модуль сдвига С = #/2, определяемый формулой (13), в которую кроме названных входят также параметры объемной структуры матрицы и наполнителя композита. Анализ влияния структурных коэффициентов сот и
соп на значения модуля сдвига О мы
намерены продолжить в последующих публикациях.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кристенсен Р. М. Введение в механику композитов. M.: Мир, 1982. 336 с.
2. Тюряхин А. С., Черкасов В. Д. Методология целостности в механике композитов // Вестн. Морд, ун-та. 1999. № 1 — 2. С. 112 — 120.
3. Тюряхин А. С., Черкасов В. Д., Юр-
П осту пила 06.06.2000.
кин Ю. В., Соломатов В. И. Гидростатическое сжатие на жесткой подложке сферически многослойного композита // Вестн. Морд, ун-та. 2000. № 1 — 2. С. 135 — 139.
4. Hashin Z. The elastic moduli of heterogeneous materials // J. Appl. Mech. 1962. Vol. 29. P. 143.