Эффективный модуль сдвига в двухсвязной модели композита Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

ЭФФЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ СДВИГА В ДВУХСВЯЗНОЙ МОДЕЛИ КОМПОЗИТА1

A. С. ТЮРЯХИН, кандидат технических наук,

B. Д. ЧЕРКАСОВ, член-корреспондент РААСН,

доктор технических наук, Ю. В. ЮРКИН, аспирант,

Н. Е. ФОМИН, кандидат физико-математических наук

Для полидисперсных моделей композитов в работе Р. М. Кристенсена 11 ] дается вполне исчерпывающий анализ различных решений для эффективных модулей сдвига С, лежащих в интервале < С < Су?. При этом верх-

няя граница известна как оценка Фой-

гта

Ог =(1

с)От + свп,

(1)

а нижняя

как оценка Рейсса

С

я

[(1 - с)/Ст + с/Сп]

-1

(2)

В этих формулах с

объемная

доля наполнителя в композите; и Ст — модули сдвига наполнителя и матрицы.

Для модуля сдвига модели среды с малой объемной долей сферических включений Кристенсен [1, с. 46 — 50] дает вывод формулы

С

Кг\

С

т

1

[15(1 -Ут)(1

Сп/Ст) • с \/[7 - 5ут +2(4

т 1

(3)

а затем для полидисперснои модели Хашина [4 ] приводит выражение эффективного модуля при больших объемных долях наполнителя:

С

Кг2

ОпП

[(1

(7

5гт + 2(4 - 5ут)(7п/С?т) ]

(1 - с)/ [15(1 -ут) |

(4)

где уш — коэффициент Пуассона матрицы. В результате анализа формул (3) и (4) в названной работе делается вывод о том, что „верхняя и нижняя граница оценки модуля сдвига не совпадают, за исключением случаев очень малых и очень больших долей включений. ...То, что... оценки не совпадают в задаче о модуле сдвига, малоутешительно..." [1, с. 56]. И далее автор заявляет, что „для получения точного решения или даже оценки эффективного модуля сдвига... для полидисперсной модели композита нужен другой подход. В настоящее время точное решение неизвестно" |1, с. 56].

Действительно, „точное решение" можно найти при ином подходе к решению задачи, который может заключаться, например, в переходе от одно-связных к двухсвязным моделям единичной частицы полидисперсного композита. С этой целью в соответствии с методологией, изложенной в [2], рассмотрим эффективную гомогенную модель единичной частицы композита в виде сферического тела (пустотелого мяча), подверженного действию давления ро на внутренней сферической поверхности радиусом (рис. 1, а).

Модель составной частицы компози-

Издается при поддержке РФФИ (проект № 98—01—03512)

© А. С. Тюряхин, В. Д. Черкасов, Ю. В. Юркин, Н. Е. Фомин, 2000

та представим в виде двух концентрических сферических слоев (рис. 1, б), матрицы (с наружным и внутренним диаметрами Я и Я\) и наполнителя (с радиусами Я\ и Яу, соответственно). Обозначим: со — У = I — со;

со

У

т

Я]/Яъ; У1

1

сот; шп

я%/яЪ

п

со

Уп/У

(где К V,

У

п

т

т — оо\ с — г п, г мм»- * * ^ т>

объемное относительное содержание композита, матрицы и наполнителя в шаре радиусом Я); У\ = 1 — соп —

объемное относительное содержание наполнителя в шаре радиусом Я\. Эффективные упругие характеристики композиционного материала представим в следующем виде:

г = Е/( 1 - 2у) = ЪК,

Е = Е/{ 1 + V) = 2 С, в = е/2ё = ЗК/4С,

(5)

где Е и V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона; К и С — модули объемного сжатия и сдвига. Характеристики матрицы и наполнителя, определяемые по тем же формулам (5), будут иметь индексы тип соответственно.

и

Ко

а

Рис. 1. Расчетные двухсвязные модели ком позита: а — гомогенная; б — гетерогенная

При действии давлений ро танген-

циальные деформации е! в точках

и

внутренней и наружной граничных поверхностей эффективной модели (см. рис. 1, а) в соответствии с решением, представленным в [2 и 3], будут рав-

ны:

Ро (со + в)

V

е<(Я)

Росо (1 4- в)

(6)

е V

На границе раздела матрицы и наполнителя возникнет взаимное давление, которое обозначим р\ (см. рис. 1, б). С учетом этого выражения для тангенциальных деформаций в точках граничных поверхностей матрицы, возникающих при действии давления р 1, будут выражены аналогично (6) и примут вид

Р\ (^т + °т)

етУт

Р\0> (1 + впд

(7)

Выражения деформаций в граничных точках наполнителя, возникающих при одновременном действии давлений Ро и Р\, примут вид

4(*о)

Ро(а>п + Оп) - Р1(1 + вп)

р0а)п( 1 4- вп) - р!(1 + сопвп)

еП Vп

(8)

Условие совместности деформаций матрицы и наполнителя для точек на их смежной границе представим равенством

*Ш\) = 4(^1).

(А)

Используя (7) и (8), удовлетворим условию (А) и найдем отношение

к

Ро

\етУт'0)п{\ +

/

/ [етУт-{\ + сопвп) + епУ}1-((от + ет)].

(9)

Для двухсвязных моделей, составной и эффективной, два условия их эквивалентности можно записать, например, в виде равенства деформаций в точках внутренних и внешних граничных поверхностей:

(B)

(C)

е<п(Я0) = е'(Д0), е<т(Я) = е\Я).

Подстановки из (6), (7) и (8) в условия (В) и (С) дадут два различных выражения для одной и той же величины произведения еУ:

атрица

с У

еп ^ (со + в)

(шп + вп)-к-( 1 +0,г)

И

+6)

£•/¿„,(1 + вту

(10)

Приравняв правые части этих выражений, найдем в, подстановка которого в любую из формул (10) с учетом (9) даст окончательное выражение для коэффициента е и объемного модуля К = е/3. Затем определяются коэффициент 8 = с/10 и эффективный модуль сдвига С = #/2. Если же необходимо найти только модуль сдвига, то можно избрать более короткий путь.

С этой целью сначала найдем разность деформаций для точек внутренней и внешней граничных поверхностей эффективной модели. Согласно (6) и с учетом того, что V = 1 -в = е/2д, получим

со и

е'(Л0) -

Ро (со + в)

еУ

Ро-ш (1 + в)

еУ

Ро

2Е

Затем,

используя условия (В) и (С), можно записать

Ро 28

(И)

Подстановка (7) и (8) в (11) с учетом того, что к ~ р\/ро, дает

1

2*

(шп + вп) - к (1 + вп)

р V 1

ьп у п _ к + вщ)

^т Ут

(12)

доли наполнителя (коэффициент с), так и от объемной структуры слоев матрицы и наполнителя, которая в (13)

т

и

представлена коэффициентами со соп. Однако при значениях сот и соп,

близких к единице, влияние структуры проявляется слабо и этим влиянием можно пренебречь. Поэтому, положив

1 J V V ■ т

СО

т

1 и соп~ 1, из (13) найдем

28

т

(1-е) (1+0л) +

+ еп с {\+вт)\/\[(\

+ свп + втвп ]

с) вт +

> •

(14)

Анализируя формулу (14), следует отметить наличие как симметрии, так и дисимметрии в структуре самой этой формулы, что проявляется при рассмотрении ее следствий. В самом деле, если £т = то из (14) следует тривиальный случай: С = <7т = С,г. В другом случае, когда коэффициенты Пуассона матрицы и наполнителя равны, отношения в, вт и вп также равны. Это

упрощает выражение (14), из которого следует, что

8 = (1 - с) + С8п. (15)

А так как 8 = 2(7, £т = Ют и £п = = Юп, то выражение (15) в точности совпадает с оценкой Фойгта, представленной формулой (1). И третий случай: численный анализ показывает, что если для упругих свойств наполнителя и матрицы композита соблюдается отношение сп/ет = (1 + 0п)/( 1 + вт), то

формула (14) сводится к оценке Рейс-са, представленной выражением (2).

Для сравнительного анализа формул (14) и (1) — (4) полезно использовать симметрию структуры формул (14) и (2) по отношению к (1). С этой

Последующая подстановка отношения к из (9) в (12) после обычных алгебраических преобразований приводит к целью введем отношения окончательному выражению

28=еп[ет (1-е)

сот (1 +

= (7/г/ (7/г = 1, Сг = Сд/С/?, Скг\ = Скг2 = СКг2/СГ>

и О

Т

(16)

Л

т

С (1 ~ шт) +

а>

т

[(1

с) + <$п + 11

(13)

Отсюда следует, что эффективный модуль сдвига С = 8/2 (в строгой постановке задачи) зависит как от объемной

где Сд, С/сгЬ Скг2 и в определяются по формулам (1) — (4) и (14)

соответственно.

Ниже представлены графические результаты сравнения величины отношений (16) в зависимости от значения

коэффициента с для двух наполнителей матрицы (при Кт = 1; = 0,25): с модулями Кп = 0,5 и <3>г = 0,75 (рис. 2) и Кп = 2 и дп = 3 (рис. 3).

шения и имеют большие расхождения с ней, но дают хорошие приближения (при малых и больших значениях с) к оценке Рейсса (кривая 2).

X Л

1 ~

г е-

«о >fiC

5. е

2 о

5 о

О ц.

II

п **

и О

л 2

* Н С

3

0.9

0,8

0,7

0,6

о

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Объемная доля наполнителя

Р и с. 2. Зависимости значений модуля сдвига от объемной доли наполнителя, вычисленные но формулам: 1 - (1); 2 - (2); 3 - (3); 5 - (14)

Отметим, что на рис. 2 и 3 отношения бу = 1 (линии 1) представлены горизонтальными прямыми, а (кривые 2) симметричны относительно вертикальной оси при с = 0,5. Кривая 5 (С* = С/С/7) на рис. 2 обладает слабой,

а на рис. 3 —

явно выраженной ди-симметрией относительно той же оси. Кривая 3 (С^) дает хорошее приближение к точному решению (при слабой дисимметрии) для малых значений объемной доли наполнителя (с < 0,35), а

кривая 4 (С^) — ПРИ больших значениях (с > 0,85). При явной же ди-

х

0,9

л >s

5 е

S £

т 5

О ц.

* О

С «

о о

JG ЗЕ

1° 5

£ 0,8

симметрии кривой 5 (см. рис. 3) отно-

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

О 0.1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Объемная доля наполнителя

Рис. 3. Зависимости значений модуля сдвига от объемной доли наполнителя, вычисленные по формулам: 1 - (1); 2 - (2); 3 - (3); 5 - (14)

Приведенный анализ далеко не исчерпывает всех особенностей зависимости величины эффективного модуля сдвига композита от параметров, входящих в выражение (14). Еще более сложной зависимостью обладает эффективный модуль сдвига С = #/2, определяемый формулой (13), в которую кроме названных входят также параметры объемной структуры матрицы и наполнителя композита. Анализ влияния структурных коэффициентов сот и

соп на значения модуля сдвига О мы

намерены продолжить в последующих публикациях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кристенсен Р. М. Введение в механику композитов. M.: Мир, 1982. 336 с.

2. Тюряхин А. С., Черкасов В. Д. Методология целостности в механике композитов // Вестн. Морд, ун-та. 1999. № 1 — 2. С. 112 — 120.

3. Тюряхин А. С., Черкасов В. Д., Юр-

П осту пила 06.06.2000.

кин Ю. В., Соломатов В. И. Гидростатическое сжатие на жесткой подложке сферически многослойного композита // Вестн. Морд, ун-та. 2000. № 1 — 2. С. 135 — 139.

4. Hashin Z. The elastic moduli of heterogeneous materials // J. Appl. Mech. 1962. Vol. 29. P. 143.