CC BY
14A METHOD OF TEACHING AND APPLYING THE NUMBER OF COMPLETE ELEMENTARY DISJUNCTIONS (PEP), COMPLETE ELEMENTARY CONJUNCTIONS (PEC), PERFECTLY NORMAL CONJUNCTIVE FORM (SNKF) AND THEIR ZEROS, PERFECTLY NORMAL DISJUNCTIVE FORM (SNDF) AND THEIR UNITS
The article describes a method of detailed, all possible compilation for the arguments of the logical formula Ф(х1(х2, ...,xn) of complete elementary disjunctions and complete elementary conjunctions in an amount of 2n, and this is equal to the sum of the coefficients of the Hayem -Newton binomial.
If from all complete elementary disjunctions taking one, two, etc. 2n brackets each and form perfectly normal conjunctive forms from the expression letters х1,х2, ...,xn, then their number will
nTl
be equal to 22 — 1.
The zeros of perfectly normal conjunctive form (these are the sets of values of the arguments x-| = a^fX2 = .'>Xn — an, for which this formula takes false values) are similar to the roots of algebraic equations. Using all the zeros of a logical formula when composing complete elementary disjunctions, substituting the conjunction sign between them, we get perfectly normal conjunctive forms. For a perfectly normal disjunctive form, the unit of the formula is inherent, then the logical formula takes on its true value. Using all units of the logical formula, complete elementary conjunctions are compiled, disjunction signs are placed between them, and completely normal disjunctive forms are obtained. Thus, using zeros and ones of logical formulas, it is possible to compose algorithmically equivalent perfectly normal conjunctive forms and perfectly normal disjunctive forms for each logical formula. Pupils of the senior classes of schools, lyceums, gymnasiums and students of higher educational institutions study and memorize the methods of drawing up the normal forms of logical formulas (see clearly below). Logical research and methodological experiments indicate that with the help of modern technologies it is possible to process raw materials and bring them to high quality, send them to the points of sale of consumers in the country and abroad.
Keywords: complete elementary disjunction, complete elementary conjunction, perfectly normal conjunctive form, perfectly normal disjunctive form, zeros and ones of normal forms and logical formulas, binomial coefficients.
Ceedenue об авторе:
Собиров Абдусабур Шукурович - доцент кафедры алгебры и теории чисел механико - математического факультета Таджикского национального университета, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17. E-mail: [email protected]; Тел.; '+(992) 907388038.
About the author:
Sobirov Abdusabur Shukurovich - Associate Professor of the Department of Algebra and Number Theory of the Mechanics and Mathematics Faculty of the Tajik National University, Dushanbe, Rudaki Ave., 17. E-mail: [email protected]; Tel .; + (992) 907388038.
УДК 51(075.3) МЕТОД^ОИ ХДЛЛИ МУОДИЛАХОИ КВАДРАТЙ
Махкамов М.
Донишгоуи давлатии омузгории Тоцикистон ба номи С. Айни
Муодилаи квадратй ва тарзхои халли онхо дар замони кадим маълум буд. Масалан, 2000 сол пеш аз асри мо вавилонихои кадим масъалахо оид ба чен кардани китъахои заминро барои хал намудан ба муодилахои квадратй меовардаанд. Дар Юнони кадим (Пифагор, Евклид) муодилаи квадратиро бо тарзи геометрй хал мекарданд.
Математики машхур ал-Хоразмй (Абу Абдуллох Мухаммад ибн Мусо ал-Хоразмй, тахминан солхои 783-850) муодилахои квадратиро бо тарзхои алгебравй ва геометрй хал карда буд.
Азбаски дар замони ал-Хоразмй формулаи умумии хал кардани муодилахои квадратй мавчуд набуд, бинобар он у хал кардани шаш намуди муодилахои квадратии гуногуни зеринро нишон додааст:
1) як квадрат ба решало баробар аст: ах2 = Ьх;
2) квадратно ба адад баробар аст: ах = с;
3) решало ба адад баробаранд: Ьх = с ;
4) квадратно ва решало ба адад баробаранд: ах2 + Ьх = с;
5) квадратно ва адад ба решало баробаранд: ах2 + с = Ьх;
6) решало ва адад ба квадратно баробаранд: Ьх + с = ах2.
Х,алли муодилаи квадратии х2 + 21 = 10х -ро муоина менамоем, ки ал-Хоразмй бо ду тарз хал кардааст:
• Адади решахоро ба 2 таксим намоед: 10:2=5 (р: 2 = 10:2 = 5);
• Ин ададро ба худаш зарб занед: 5 • 5 = 25 (р2 = 52 = 25);
• Аз он ададро тарх намоед: 25 - 21 = 4 ((р) - q = 52 - 21 = 4);
• Аз решаи квадратй бароред:
л/4 = 2;
• Ин решаро ба нисфи реша зам ё 5 + 2 = 7; 5 — 2 = 3 (хх = 5 + 2 = 7 ё х2 = 5 - 2 = 3);
Амалхои овардашударо бо як формула муттахид карда, халли муодилаи матл
х1>2 = 10 + ^ 10) — 21 = 5 + ^ 25 — 21 = 5 + 44 = 5 + 2 .
Аз ин чо: х = 3 ва х2 = 7 .
Аз формулаи овардашуда, аён аст, ки тарзи халли ал-Хоразмй ба методи хозираи халли муодилахои квадратй аз руи формула монанд аст.
Формулахои халли муодилахои квадратй дар Аврупо бори аввал дар китоби математики итолиёвй Леонардо (Пизанский) Фибоначчи (1170-1250) "Китоб дар бораи абак" соли 1202 оварда шуда буд.
Ин китоб барои пахн шудани донишхои алгебравй на факат дар Италия, балки дар Германия, Франсия ва дигар мамолики Аврупо замина гузошт. Чунки падари Фибоначчи (падараш Боначчи аз Пиза) оид ба кор^ои савдо ба Алцазоир зиёд сафар мекард, Леонардо он цо назди омузгорони араб фанни математикаро хифз кардаст. Баъдтар у Миср, Сурия, Византия ва Ситсилияро зиёрат кард. Леонардо асархои таълифкардаи математикон ал-Хоразмй ва Абу Комилро меомухт. Тавассути тарчумахои арабй у инчунин бо дастовардхои математикаи кадима ва хиндй шинос шудааст. Фибоначчи дар асоси донишхои азхудкардааш як катор рисолахое эчод кард, ки зухуроти барчастаи илми асримиёнагии Аврупои Гарбиро муаррифй мекарданд.
Методи умумии халли муодилахои квадратии намуди ах2 + Ьх = с -ро барои киматхои гуногуни а, Ь ва с математики немис М. Штифел (1487-1567) соли 1544 пешниход кардааст.
Теорема оид ба алокаи байни коэффитсиентхои муодилаи квадратии ислохшуда ва решахои онро соли 1591 Виет пешниход намуда буд.
Вобастагии байни решахо ва коэффитсиентхои муодилахоро бо формулахои умумй бо ёрии рамзхо ифода намуда, Виет тарзхои ягонаи халли муодилахоро баркарор намуд. Аммо, рамзи Виет аз намуди тарзи муосир хеле фарк мекард. Вай ададхои манфиро истисно менамуд, бинобар он хангоми халли муодилахо факат хамон холатхоеро ба инобат мегирифт, ки хамаи решахо мусбат бошанд.
Дар Вавилони кадим аз ухдаи халли баъзе намудхои муодилахои квадратй мебаромаданд.
Диофант Александрийский, Евклид, ал-Хоразмй ва Умари Хайём муодилахоро бо тарзхои геометрй ва графикй хал менамуданд.
Муодилахои квадратй дар сохахои гуногуни илм ба монанди физика, математика, техника ва гайра истифода бурда мешаванд.
Муодилахои квадратй дар аэродинамика ва баллистика (аз юнонй - партофтан)
татбик карда мешаванд.
Ахамияти муодилахои квадратй на факат дар зебой ва кутохии халхо зохир мешаванд, балки мухим он аст, ки дар натичаи татбики муодилахои квадратй дар халли масъалахо аксар вакт мафхум ва воситахои нав ошкор карда шуда, умумигардонихои шоёни диккат ба амал бароварда мешавад ва баъзе далелхои нав, ки аз тахлили формулахо ва таносубхои ба дастовардашуда бар меоянд, дохил карда мешаванд.
Дар курси математикаи мактабй формулахои решахои муодилахои квадратй омухта мешавад, ки бо ёрии онхо муодилаи квадратии дилхохро хал намудан мумкин аст.
Ба хонандагон маълум аст, ки дар китобхои дарсии мактабй хангоми омухтани муодилахои квадратй аввал мувофики формула бояд решаи калон бо аломати мусбати назди радикал ёфта мешавад. Аммо хангоми муайян намудани решахои муодилаи квадратй аввал адади хурд бо аломатхои
- Ь + 7Ъ2 - 4ас
X =-^-•
2 2а
Масалан, муодилаи квадратии 3х2 - 5х - 22 = 0
_ -(-5)^У289 _ 5± 17
^ 2 • 3 6 •
л 5 -17 -12 0 5 +17 22 11
Аз ин чо х = —т— = = -2 ва х9 = —-— = — = — хосил мешавад.
1 6 6 2 6 6 3
Дар хакикат хам, дар баъзе китобхои дарсй ва дастурхои методй ба тартиби ёфтани решахо риоя накарда, аввал решаи хурдро ёфта, баъд решаи калонро меёбанд. Аммо, дар ягон китоб\ои дарсии мавцудаи тамоми цумхури\ои собиц шуравию хорицй ва дастурхои методй асоси илмии он исбот карда нашудааст. Тарзи ёфтани решахои муодилаи квадратии дар китобхои дарсй овардашуда ба назар сунъй менамояд.
Асоси илмии ёфтани решахои муодилаи квадратй вобаста ба хамзарбхо чудо кардани фарки квадратхо мебошад. Хрло мо ду тарзи ба хамзарбхо чудокунии фарки
2 г.2
квадратхои а - Ь -ро нишон медихем.
Тарзи якум. Барои ба хамзарбхо чудокунии а2 - Ь2 формулаи
= а(а - Ь) - Ь(а - Ь) = (а - Ъ
(а - Ь) - Ь(а - Ь) = (а - Ь)(а + Ь). *уюм. Фарки квадратхоро ба намуди (а2 + аЬ)+(- аЬ - Ь2 )= а(а + Ь) - Ь(а + Ь) = (а + Ь)(а - Ь).
Х,амин тавр, ду формулах
а2 - Ь2 = (а + Ь)(а - Ь) (2) Пас, навиштан ва ёфтани решахои муодилаи квадратй аз формулахои (1) ва (2) вобастагии зич доранд. Чунки формулаи решахои муодилаи квадратии мавчуда, дар китобхои дарсй дар асоси формулаи (1) ёфта шудааст. Агар мо барои ёфтани решахои муодилаи квадратй формулаи (2)-ро татбик куне
_ - Ь + У Ь1 - 4ас ^ = 2а
хосил мешавад, ки он ба талаботи навиштани чавоби муодилаи квадратй мувофикат менамояд.
Дар ибтидо, муодилаи квадратии дуузваи зери х2 - а2 = 0.
^ал. Муодилаи мазкурро дар асоси формул (х + а)(х - а) = 0.
Аз ин чо х + а = 0 ё ки х - а = 0 шуда, хх = -а ва х2 = а мешаванд. Ана, пайдарпаии ёфтани решахои муодилаи квадратй бо тартиби афзуншавй дар асоси формулаи (2) риоя карда шуданд.
Акнун муодилаи квадратиро дар холати умумй муоина мекунем: Муодилаи квадратии зе
ах2 + Ьх+с = 0. (3)
Х,ар ду тарафи муодилаи квадратии ах2 + Ьх+с = 0-ро ба а (а Ф 0) таксим карда, муодилаи зер
х2 + Ьх + с = 0. (3.1) а а
Формулаи зарби мухтасари а2 + 2аЬ + Ь2 = (а + Ь)2 -ро ба назар гирифта, тарафи чапи муодилаи квадратии (3.1)-ро ба намуди зерин табдил дода, онро бо тарзи чудо кардани квадрати
х2 + 2• х + с = 0. 2а а
Ба хар ду тарафи муодилаи хосилшуда
2 ~ Ь ( Ь л2 с ( Ь 42 х + 2 • —• х + 1^—1 + —= 1^— 2а у2а) а у2а
Аз ин чо: (х + ЬЛ2 -(ЬЛ2 + С = 0 ё ки (х + ЬТ -= 0 (3.2) У 2а) у 2а) а у 2а) 4а2
Муодилаи (3.2)-ро ба наму
( 1,2 . V
г Ь Л2 NЬ2 - 4ас
X +о У 2а
2а
0. (4)
Акнун мувофики формулаи (2) муодилаи (4)-ро ба хамз ^ Ь -ч/Ь2 - 4асУ Ь л/ь2 - 4ас ^
х + --~- х +
2а 2а
У )У
Аз ин
2а 2а
= 0
Ь л/ь - 4ас - Ь -V Ь - 4ас Ь ^Ь - 4ас - Ь + -<Ь-4ас
х =----—~-=-^- ва х9 = -—+ -—г-=-^- хосил
1 2а 2а 2а 2 2а 2а 2а
мешаванд.
Решахои муодилаи квадратии хосилшударо муттахид намуда, формулаи ёфтани решахои муодилаи квадра
- Ь + л/Ь2 - 4ас х12 =-20-. (5)
Инак, формулае, ки аз руи афзуншави решахои муодилаи квадрати ёфта мешаванд, пайдо карда шуд.
л 2 2..—
Аз ин лихоз хангоми халли муодилаи х = а ё ки х12 = + а.
Бинобар ин колаби ёфтани решахои муодилаи квадратии мавчударо шикаста, бояд ба чои аломатхои "±" аломатхои "+" истифода карда шавад. Муодилаи зеринро мувофики формул
2х2-11х +15 = 0.
^ал. В = Ь2 - 4ас = (-11)2 - 4 • 2-15 = 121 -120 = 1; х12 = -(-Ц}^ ^ =.
А 11 -1 10 5 11 +1 12 -
Аз ин чо х = —-— = —- = — = 2,5 ва х =-= — = 3 хосил мешавад.
1 4 4 2 2 4 4
Пас, формулаи фарки квадратхоро хангоми ба хамзарбхо чудокунИ ва халли муодилахо дар намуди зерин татби а2 - Ь2 =(а + Ь)а - Ь).
Аз ин лихоз ба муаллифони китобхои дарси ва дастурхои методи зарур аст, ки хангоми омода кардани китобхои дарси ва дастурхои ёрирасон формулаи пешниходшударо истифода намоянд.
Хулоса, муодилахои квадратИ дар инкишофи математика мавкеъи мухимро ишгол намуда, ба мо дар хаёт ёрии амали мерасонад.
Математики англис Годфри ХардиХаролд (07.02.1877-01.12.1947) кайд карда буд:
"Зебоги талаботи аввалиндараца аст: дар олам барои математикаи "безеб" цой нест".
Пас, агар ба Шумо гуянд, ки касе математикаро дуст намедорад, бовар накунед. Математикаро надонистан мумкин аст, вале дуст надоштан гайриимкон аст!
АДАБИЁТ
1. Абдурадмонов А. Мудаммад Ибн Мусо ал-Хоразмий-буюк математик. -Тошкент "Укитувчи", 1983. -112 б.
2. Боймурод Алиев Алгера. Китоби дарсй барои синфи 8. / А.Боймурод -Д: Ч,С. "Матбуот" 2002 - 328 с.
3. Макарычев Ю., Н. Миндюк Н.Г., Монахов В.М. ва диг. Алгебра, китоби дарсй барои синфи 8-уми мактаби миёна: Дар зери тадрири С.А.Теляковский. -Д.: Маориф, 1989. - 288 с.
4. Мадкамов М. Роднамои математика. / М. Мадкамов, К^. Осимй -Д.: Маориф, 2020. -364 с.
5. Мадкамов М. 25 тарзи далли муодиладои квадратй: / М.Мадкамов // Дастури методй барои хонандагон, донишчуён ва омузгорон. - Душанбе: Маориф, 2017. - 132 с.
6. Никифоровский В.А. В мире уравнений. / В.А. Никифоровский -М.: Наука, 1987.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТАЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В статье рассмотрены история, источники и необходимости возникновения квадратных уравнений. Утверждается, что эти уравнения и способы их решения, впервые встречаются в работах ученых древнего Востока, а в Европе, позднее были формализованы способы решения. С помощью различных формул решены ряд квадратных уравнений.
В статье впервые показывается, что научная основа нахождения корней квадратного уравнения зависит от разложения на множители разности квадратов корней уравнения.
Ключевые слова: квадратные уравнения, алгебраический способ, геометрический способ, разложения на множители, формулы сокращенного умножения, полный квадрат, корни квадратного уравнения.
METHODS FOR SOLVING SQUARE EQUATIONS
The article discusses the history, sources and necessity of the occurrence of quadratic equations. It is argued that these equations and methods_ for their solution were _ first encountered in the works of scientists of the ancient East, and in Europe, later, the methods of solution were formalized. A number of quadratic equations have been solved using various formulas.
The article shows for the first time that the scientific basis for finding the roots o f a quadratic equation depends on the factorization of the difference between the squares of the roots of the equation.
Keywords: quadratic equations, algebraic method, geometric method, factorization, abbreviated multiplication formulas, full square, roots of a quadratic equation.
Сведение об авторе:
Махкамов М. - кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподования математика Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни. Тел.: (+992) 935851055. E-mail: [email protected]
About the author:
Makhkamov M. - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor - Tajik State Pedagogical University named after S. Aini. Phone: (+992) 935851055. E-mail: mahkamov_M51@mail. ru
УДК 536.7
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЭФФИСИЕНТА АДСОРБЦИИ НЕГАЩЁННОЙ ИЗВЕСТИ МЕСТОРОЖДЕНИЯ СЕЛО ЧАМАНЗОР ЯВАНСКОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ
ТАДЖИКИСТАН
Зарипов Дж.А.
Таджикский технический университет им. акад. М. С. Осими
Прогресс во многих областях науки, техники и особенно технологии практически невозможен без необходимых достоверных данных, используемых при постановке задач для исследований, проектировании и эксплуатации материалов и жидкостей.
К сожалению, до настоящего времени такие сведения весьма скупы даже для элементов, а имеющиеся данные носят разрозненный и часто противо-речивый характер. Развитие современной
