Об одном способе элементов дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.1 ББК 22.161.6

ОИД БА ЯК РОХИ Шарипова Фотима Абдуфаттоевна, муаллимаи

ОМУЗИШИ УНСУРХОИ кафедраи методикаи таълими математика ва

МУОДИЛАХОИ технологияи информатсионии МДТ "ДДХ ба номи

ДИФФЕРЕНСИАЛЙ академик БТафуров"(Тоцикистон, Хуцанд)

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ Шарипова Фотима Абдуфаттоевна, преподаватель

ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ кафедры методики преподавания математики и

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ информационной технологии, ГОУ "ХГУ имени Б.

УРАВНЕНИИ Гафурова" (Таджикистан, Худжанд)

METHODOLOGY Sharipova Fotima Abdufattoevna, lecturer of methods of

FOR STUDYING ELEMENTSOF DIFFERENTIAL

teaching mathematics and information technologies department under the SEI "KSU named after acad. B. Gafurov " (Tajikistan, Khujand),

EQUAnoNS E-mail: m. fotima.1980@mail.ru

Вожах,ои калидй: муодилауо, муодилауои диференсиали, доимият, давомноки, принсипи доимият, амсилаи математики, фишори атмосфера

Мацола дар мавриди шаклгирии мафууми дифференсиал дар тащили математики баус менамояд. Арзиши татбици муодилауои дифференсиали барраси карда мешавад. Таъкид мегардад, ки онуо дар омузиши илмуои дациц васеъ истифода бурда мешаванд. Тазаккур меравад, ки усули вазифаи ба амалия нигаронидашуда самаранокии омузиши муодилауои дифференсиалиро дар назар дорад. Нишон дода мешавад, ки усули улгубардории риёзи дар уалли масъалауо барои омузиши мууити иуотакунанда ва мафууми он ба таври васеъ истифода бурда мешавад. Собит мешавад, ки онуо аз интицоли масъалауои пешниуодшуда ба таулили шакли аналитики ва уалли он иборатанд. Цалли масъалауо ба амалия нигаронидашуда пешниуод гардида, диццати махсус ба муодилауои дифференсиали равона шудааст.

Ключевые слова: уравнения, дифференциальные уравнения; преемственность;

непрерывность, принцип непрерывности; математическая модель, атмосферное давление

В статье рассматривается формирование понятия дифференциала при изучении математического анализа. Рассматривается прикладное значение дифференциальных уравнений, которые широко используются при изучении естественных наук. Отмечается, что метод практико-ориентированных задач значительно повысит эффективность обучения рассматриваемого понятия. По мнению автора, метод математического моделирования решения практико-ориентированных задач обширно применяется для изучения окружающей среды и его сущности. Подчеркивается, что моделирование состоит из перевода предложенной задачи к аналитической форме и её решения. Приведены решения практико-ориентированных задач. Особенное внимание уделено дифференциальным уравнениям.

Key words: equations, differential equations; continuity; continuity, the principle of continuity; mathematical model, atmospheric pressure

The article discusses the formation of the concept of differential in the study of mathematical analysis. The applied value of differential equations is considered. They are widely used in the study of natural sciences. The method ofpractice-oriented tasks significantly improve the learning efficiency of the concept under consideration. The method of mathematical modeling of solving practice-oriented problems is widely used to study the environment and its essence. It consists of transferring the proposed problem to an analytical form and its solution. The solutions of practice-oriented problems are given. Particular attention is paid to differential equations.

Унсурхои муодилаи дифференсиалиро донишчуён дар курси тахлили математикй меомузанд. Барои омузиши унсурхои муодилаи дифференсиалй донишчуён бояд мафхумхои косила, дифференсиал, дифференсиронидашавандагиро аз худ намуда, онхоро бо халли масьалахои физикй мустахкам намоянд.

Хднгоми тахлили барномахои омузишй барои донишчуёни курсхои якум ва дуюм дар омузиши курси тахлили математикй донишчуён бо мафхумхои хосила, интеграл, дифференсиал шинос

мешаванд. Омузиши муодилахои дифференсиалй ин давоми курси алгебра ва ибтидои анализ буда, бо мафхумхои геометрй ва физикй алокаманд мебошанд.

Омузиши муодилахои дифференсиалй ахамияти амалии калон доранд. Онхо дар омузиши механика, электродинамика, астрономия ва дар дигар масьалахои физикй, биологй, химиявй истифода бурда мешаванд. Масалан, бо ёрии муодилахои дифференсиалй мо харакати сайёрахои системаи Офтоб, кусуфу хусуфи Офтобу Мохро хисоб карда метавонем. Олими машхур Галилео Галилей гуфтааст "Китоби бузурги табиат бо забони математика навишта шудааст", "Математика -ин асосест, ки бо он одамон табиатро идора карда метавонанд"(1).

Ин акидахо бо фахмонидани конунхои обьективй, ки ходисахо бо онхо тобеь буда, онхоро дар шакли аналитикй, бахусус дар шакли муодилахои дифференсиалй, барои ифодаи конунхои микдорй ба назар гирифта шудаанд. Махз халли масьалахои мушаххасе, ки бо ёрии муодилахои диференсиалй хал карда мешаванд, барои ифодаи конунхои микдорй хизмат мекунад.

Муодилахои дифференсиалй дар амалияи таьлими математикй ба афзоиши таваччух ва инкишофи донишхои фикрии донишчуён мусоидат менамояд. Хангоми халли масьалахо бо истифодаи муодилахои дифференсиалй, ба назар гирифтани усули дар амалия, ки он барои самаранокии омузиши муодилахои дифференсиалй равона карда шудааст. Дар айни замон, на танхо кобилияти хал кардани муодилахои дифференсиалй, балки донистани халли навьхои муодилахои дифференсиалй, аз чумла: муодилахои тагйирёбандахояш чудошуда, муодилахои омехта, муодилахои якчинса, муодилахои хаттй, муодилахои Бернуллй ва гайра мебошад. Бояд кайд кард, ки халли масьалахое, ки ба муодилахои дифференсиалй оварда мерасонанд аз ду сатх иборат мебошад: эчодй (тартиб додани муодилаи дифференсиалй) ва татбикй (халли муодилахои дифференсиалй). Дар айни замон, як муодилаи дифференсиалй метавонад модели математикии чараёнхои гуногуни табий бошад. Масалан, халли масьалаи муайянкунии вобастагии фишори атмосферй аз баландии он, ба муодилаи дифференсиалй оварда мешавад, ки дар он функсияи ёфташаванда - зичии хаво дар баландии мухталиф, масьала дар бораи радиоактивият, ки вобаста ба он ки сурьати камшавии массаи радиоактивй ба микдори ин модда мутаносиб аст, дар он массаи радиоактивй функсияи вакт аст.

Улгубардории риёзй барои омузиши табиати моро ихотакунанда ба таври густарда истифода бурда мешавад, ки мохиятан хеле мухим аст. Масьалахои математикй бештар барои шаклгирии фикрронии донишчуён равона карда мешавад.

Муодилахои дифференсиалй яке аз воситахои маьмултарини халли масьалахои математика мебошанд. Онхо махсусан барои халли масьалахои илмхои дакик: физика, химия ва биология, оптикаи геометрй, харитасозй истифода бурда мешаванд. Чунин масьалахои геометрие, ки барои муайян кардани хатхои кач аз руи хосиятхои додашуда бо истифодаи муодилахои дифференсиалй хал карда мешаванд. Масалан, баррасии як масъаларо дида мебароем.

Масъала. Нуктаи додашуда бо суръати ибтидоии 4м/с харакат мекунад. Муодилаи

харакати нукта ёфта шавад, агар шитоби нукта бо формулаи зерин дода шуда бошад

a(t) = 5$(t) - 6s(t); t = 0; s = 0.

Хал: Маьнои физикавии хосилаи тартиби якум ва дуюмро истифода бурда муодилаи

зеринро месозем S = 5s 6S . Барои халли ин, зарур аст, ки муодилаи характеристикиро хал намоем. Муодилаи характеристикиро хал намуда, решахои онро меёбем:

к2 = 5k - 6, к2 - 5k + 6 = 0, k = 2, К = 3-

2

_ 2t _ 3t

Халли хусусии муодиларо дар намуди зерин менависем: S — e , S — e , он гох халли

. s = Ce2t + C e3t

умумиро дар намуди зерин меорем

$ (t) ро меёбем. $(t) = s(t) = 2Cxe2t + 3C2e3t.

Шартхои аввалаи додашударо истифода бурда системаи муодилахои зеринро месозем:

С = 4,

2С + 3С2 = 4,

С+ С =0; ^!

s = Qe2t + C2e3t = -4e2t + 4e3t = 4e3t - 4e2t = 4e2t (e -1)

2

С = -4.

Ч,авоб: муодилаи харакати нудта ба s = 4e (e -1) баробар аст.

Масъалаи 2. Т Ч,исми К дар нимустувонаи дутраш R чойгир шудааст. Кадом сурьати аваларо o0 ба чисм бахшем, ки вай харакаташро огоз намуда, дар нимустувона бозистад. Агар коэффисиенти моиши лагжиш хангоми харакат ва холати оромй якхела бошад ва Л баробар бошад.

Х,ал:

Куввахои ба чисм таьсиркунандаро мегузорем: Мувофиди донуни дуюми Нютон: ma = mg + N + F

о соиш

Аз ин муодила системаи зеринро месозем : do . „

m~i~ = mg • Sln^- F€GU dt

o2

m— = mg cos®- N R

Дар ин чо сурьати марказшитоб ба о2

a=o

[ 1]

ва проексияи он ба do

аг =

dt

Дар муодилаи якум [1] тагийёбандаро иваз намуда, яьне аз дифференсиронии вадт ба дифференсиронии кунч p :мегузарем:

do do dp do о do , о ч

— = —• -!- = ш— = — •— (ш =—) dt dt dt dp R dt R

Системаи якуми мо намуди зеринро мегирад: m do2

— •-= mg • sin p - ¡лN

2R dp

o

m— = mg cosp- N R

[ 2]

Муодилаи дуюмро ба ц зарб намуда ва аз муодилаи якум онро тарх намуда хосил мекунем:

do2 dp

- 2io2 = -2gR(i cos p - sin p)

[3]

>

P(t —2/; Q(t —2gR(/ cos р — sin р) . Муодилаи [3] -ро бо шартхои аввала пурра намуда, хосил мекунем:

2 I 2

U = U

1р=0 0

Халли муодилаи [3]- ро дар намуди зерин навиштан мумкин аст:

и2 = в2/р

2

Uo2 +

р

j 2gR(sir

Sin р — / cos

рУ2/Чр

Бо ёрии интегронии ^исм ба ^исм хосил мекунем:

и2 = в2/р

1 + /

[e-2/p((l — 2/2 )cos р + 3/sin р)— 1 + 2/2 ]

Шартхои масъала р0 , и(р0 )= 0 - ро ба инбат гирифта, хосил мекунем:

[4]

[5]

[6]

Дар муодилаи [6] ба чои р ^ р0 мегузорем:

и2 =

^gR 2 [в 2/р((1 — 2/2 )cos р + 3/ sin р)— 1 + 2/2]

[7]

^имати ^унчи р0 -ро бо / - низ иваз кардан мумкин аст. Он гох аз муодилаи [2] хосил мекунем:

mg sin^ = /N ]

mg cosp0 = N

[8]

Аз ин чо: tg (ро ) = / ро = arctg(//

[9]

соб

(ро ) =

а/1+tg 2ро -J1+; '2

/

муодилаи [7] хосил мекунем:

Uo =

2 gR

1 + 4/

—2 /arctg/л

д/1 + /2 — 1 + 2/2

sin(Po ) =

/

Л

+ /

ба назар гирифта аз

[10]

Пас барои чисм дар нимустувона аз харакат бозистодан, суръати аввалаи он ба ^имати

муодилаи [10] баробар бояд шавад.

ПАЙНАВИШТ:

1. Аммосова, н.в. решение неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в системе дополнительного образования/Н.В.Аммосова, Н.И. Лобанова // Сибирский педагогический журнал. -2016.-№2. -С. 24-34.

2. Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов/Н.В. Богомолов. -М.: Высшая школа, 1979.-448с.

3. Бондарев, Б.В. Курс общей физики. Механика: Учеб пособие/Б.В.Бондарев.-М.: Высш. шк., 2005 - 352 с.

4. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. - Минск: «Вышейшая школа», 1973. - 560 с.

5. Шапиро, И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Книга для учителя/ И.М. Шапиро. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.

о

1

1

в

REFERENCES:

1. Ammosova, N.V. Solution of Indeterminate First Degree Equations with two Unknowns in the System of Extra Tuition/ N.V. Ammosova, N.I. Lobanova // Siberian pedagogical journal. 2016 № 2. - P. 2434.

2. Bogomolov, N.V. Practical Lessons in Mathematics. Manual for technical schools/ N.V. Bogomolov. -M.: Higher school, 1979. - 448 p.

3. Bondarev, B. V. Course of General Physics. Mechanics/ B. V. Bondarev. Textbook, - M.: Higher school, 2005. - 352 p.

4. Ponomarev, K.K. Formulation of Differential Equations/ K.K. Ponomarev. - Minsk: Higher school, 1973. - 560 p.

5. Shapiro, I.M. The Usage of Tasks with Practical Contents in Teaching Mathematics. Manual for teachers/ I.M. Shapiro. - M.: Enlightenment, 1990. - 96 p.