CC BY
43
ТДУ 534 ТКБ 22.32
ХАЛЛИ Усмонов Отацон, н.и.п., дотсент;
МАСЪАЛАХОИ Абдулакимова Цанатой Абдурауфовна,
ДУШВОРДАР СИНФИ н.и.п., дотсенти кафедраи МТМ ва ТИ-и
НУХУМИ МАКТАБХОИ МИЁНА МДТ "ДДХ ба номи акад. Б.Гафуров
(Тоцикистон, Хуцанд)
РЕШЕНИЕ Усмонов Отаджон, к.п.н., доцент;
СЛОЖНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ Абдулакимова Джанатой Абдурауфовна, ЗАДАЧ В 9 КЛАССЕ к.п.н., доцент кафедры МПМ и КИ ГОУ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ "ХГУ имени акад. Б.Гафурова"
(Таджикистан, Худжанд)
SOLUTION Usmonov Otajon, c.p.s., Associate Professor;
OF SLOT MATHEMATICAL Abdulakimova Janatoy Abduraufovna, TASKS IN THE 9-TH GRADE OF Associate Professor of MTM and TI under the SECONDARY SCHOOLS SEI "KhSU named after acad. B.Gafurov
(Tajikistan, Khujand),E-mail: [email protected]
Вожщои калиди: математика, тафаккури мантщй, шартгузори дар масъалауои математики, объекти масъала, циматуои номаълуми матлуб
Мацола ба мавзуи уалли масъалауои математикии сатуашон мушкил дар синфи нуууми мактабуои миёна бахшида шудааст. Муаллифон цайд мекунанд, ки щлли масъалауои математикии сатщшон душвор барои ташаккул ва рушди тафаккури мантиции хонандагон кумак мекунад. Дар мацола таъкид меравад, ки щлли масъалщои душвор дониши мукаммал ва тафаккури мантициро тацозо мекунад. Усули уалли масъалщо тавассути мисолуои равшан, баррасии раванди щлли ощо амали шудааст. Зикр шавад, ки дар маруилаи таулили масъала шарт ва талаботи масъала бояд муайян карда шуда, циматуои номаълуми матлуб ишора карда шавад. Дар раванди уалли масъала соуаи предметы ва муносибатуои байни объектуои дар шарти масъала додашуда бояд сауеу муайян карда шаванд.
Ключевые слова: математика, логическое мышление, условия математических задач, объект задачи, искомые неизвестные
Статья посвящена теме решения сложных математических задач в 9 классе общеобразовательных учреждений. Авторы подчеркивают, что решение математических задач сложного уровня содействуют становлению и развитию логического мышления учащихся. Утверждается, что для решения сложных математических задач требуются определенные знания и логическое мышление. Приводится решение задач посредством математических методов на примере увлекательных и жизненных ситуаций. Подчеркивается, что в процессе решения задач должны быть определены условия, указаны искомые неизвестные величины, в ходе решения задач следует установить точную предметную отрасль и отношения между объектами, данными в условиях задачи.
Key words: mathematics, logical thinking, conditions of mathematical tasks, object of task, desired unknowns
The article dwells on the theme beset with the solution of slot mathematical tasks for the 9-th grade of secondary establishments. The authors of the article lay an emphasis upon the idea that the solution of mathematical tasks of slot level contributes into studentsл logical thinking formation and development. It is proved that certain knowledge and logical thinking are required to solve slot mathematical tasks. The solution of the relevant tasks by virtue of mathematical methods is carried out on the example of fascinating and life ones. It is asserted that while solving such kinds of tasks the conditions must be determined and be indicated required unknown quantities. In the course of solving tasks it is necessary to establish the exact subject branch and relationship between the objects given under the conditions of the former in question.
Дар таълими математика масъалахо ва халли онхо чои махсусро ишгол мекунанд. Масъалахо аз як тараф барои бошуурона азхуд кардани маводи таълимй, мустахкамкунии онхо ва татбщи амалии назария ёрии амалй расонад, аз тарафи дигар ба ташаккули тафаккури мантщии
№4(69) 2021
• НОМАИ ДОНИШГО^ • УЧЁНЫЕ ЗАПИСКИ • SCIENTIFIC NOTES
хонандагон кумак мерасонад. Бинобар он ба хонандагон омyзонидани усули умумии раванди халли масъалахо мувофи;и ма;сад аст.
Масъалахоро аз руи якчанд ну;таи назар ба гуруххо чудо кардан мумкин аст. Яке аз онхо мувофи;и талаботи масъала мебошад. Масъалахо аз руи талаботаш ба се гурух тасниф мешаванд:
• масъалахо доир ба хисобкунй ва табдилдихй;
• масъалахо доир ба исбот;
• масъалахо доир ба сохтан.
Масъалахои гурухи якум ба такрор ва мустахкам кардани дониш ва татби;и амалии назария мувофи;ат мекунанд.
Дар маводи таълимии алгебраи синфи нухум масъалахои душвор дар мавзуъхои "Муодила ва системаи муодилахо" ва "Прогрессияи арифметикй ва геометрй" вомехуранд. Дар мавзуи якум муодилахои дарачаи сеюм ва чорум хастанд, ки халли онхо бо тарзи ба зарбкунандахо чудо кардан талаб карда шудаанд. Маълум аст, ки усулхои ба зарбкунандахо чудо кардани ифодаи бутун ичрои ин панч амалро та;озо менамояд:
а) зарбкунандаи умумиро аз ;авс баровардан;
б)гурухбандй;
в) истифодаи формулахои зарби мухтасар;
г) дохил кардани аъзохои нав;
д) дохил кардани коэффитсентхои номаълум.
Ду усули охирй нисбатан ба се усули болой душвор буда дониши мукаммал ва тафаккури манти;иро талаб мекунад.
Масъалаеро аз китоби дарсии синфи нухум, ки муаллифонашон Н.Усмонов ва Р.Пиров мебошанд, дида мебароем.
Решахои муодилаи 3х4 — 10х3 + 12х2 — 6х + 1 = 0-ро бо ёрии ба заркунандахо чудокунй ёбед[2,с.74]
Х,ал. Тарафи чапи муодила бисёраъзой мебошад. Онро бо Р(х) ишорат мекунем, яъне Р(х) = 3х4 — 10х3 + 12х2 — 6х + 1 чунин ;имати х - ро меёбем, ки Р(х) = 0 шавад, масалан х = 1 бошад Р(1) = 3 • 14 — 10 • 13 + 12 • 12 — 6 • 1 + 1 ба 0 баробар аст. Хонандагон дар мавзуи ба заркунандахо чудо кардани сеаъзоии квадратй омухтаанд, ки агар решахои сеаъзоии xí ва х2 бошад он гох вай ба зарбкунандахои х — xí ва х — х2 чудо мешавад. Аз ин бармеояд, ки ин бисёраъзоии Р(х) зарбкунандаи х — 1 дорад. Бинобар он бо истифодаи усулхои дохил кардани аъзохои нав, аз ;авс баровардани зарбкунандаи умумй ва гурухбандй бисёраъзоии Р(х) - ро чунин табдил медихем, ки зарбкунандаи х — 1 чудо шавад. Яъне
Р(х) = 3х4 — 10х3 + 12х2 — 6х + 1 = 3х4 — 3х3 — 7х3 + 7х2 + Sx2 — Sx — х + +1
= (3х4 — 3х3) — (7х3 — 7х2) + (Sx2 — Sx) — (х — 1) = (х — 1)(3х3 — 7х2 + Sx — 1) Акнун бисёраъзоии 3х3 — 7х2 + Sx — 1 - ро бо PiXx) ишорат карда, мисли усули пешина (болой) ба зарбкунандахо чудо мекунем: í(
Сеаъзоии квадратии 3х2 — 4х + 1 ба зарбкунандахои 3х — 1 ва х — 1 чудо мешавад. Пас Р(х) = (х — 1)(3х3 — 7х2 + Sx — 1) = (х — 1)(х — 1)(3х2 — 4х + 1) = (х — 1)( х — 1)(х — 1)(3х — 1). Аз ин чо бармеояд, ки муодилаи додашуда пас аз ба зарбкунандахо чудо кардан намуди (х — 1)3(3х — 1) = 0 дорад. Бинобар он, решахои муодилаи мазкур х = 1 ва х = í аст.
Акнун масъалахои доир ба тартиб додани муодила ва системаи муодилахо ва хал кардани онхоро дида мебароем.
Азбаски хал кардани муодила ёфтани чунин ;иматхои тагйирёбандаи ба муодила дохилшаванда, ки муодиларо ;аноаткунанда (ба баробарии дуруст табдилдиханда) мебошад, пас ингуна масъалахо ба масъалахо доир ба хисобкунй тааллу; доранд. Fайр аз он талаботи масъала аз ёфтани ;имати номаълуми матлуб мебошад, бинобар он барои тартиб додани модели математикии чунин масъалахо талаботи масъаларо бо ягон тагйирёбанда ишорат кардан мувофи;и ма;сад аст. Аз хамин сабаб, барои тартиб додани муодилаи ба шарти масъала мувофи;, объекте, ки ;имати ёфтани онро масъала талаб мекунад, бо ягон тагйирёбанда ишорат намуда, вобастагихои объектхои масъаларо ба назар гирифта, муодила ё ки системаи
Pí(x) = 3х3 — 7х2 + Sx — 1 = 3х3 — 3х2 — 4х2 + 4х + X — 1 = (х — 1)(3х2 — 4х + 1)
муодилахоро тартиб медихем. Тагйирёбандаи муодила - объекти чустучу кардашавандаи талаботи масъала мебошад.
Х0ангоми хал кардани масъалахои намуди мазкур ба хонандагон таъкид кардан лозим, ки дар мархилаи тахлили масъала шарт ва талаботи масъаларо муайянкунанд ва номаълуми матлубро бо ягон гуна тагйирёбанда ишорат кунанд. Дар шарти масъала сохаи предметй ва муносибатхои байни объектхои дар шарт додашударо сахех муайян намуда, бо назардошти номаълуми матлуб муодила ё ки системаи муодиларо тартиб диханд. Пас онро хал кунанд. Дар охир ;иматхои ёфташудаи тагйирёбандахоро бо шарти масъала му;оиса намуда, яъне санчиш гузаронида, муайян кардани ;иматхои тагйирёбанда, ки шарти масъаларо ;онеъ мегардонад, хамчун чавоб (халли масъала) ;абул кардан лозим аст. Намунаи раванди таълими масъала ва халли онро меорем.
Масъала. Ду бригадаи чинакчиён якчоя кор карда, пахтаи майдонеро дар 18 соату 45 да;и;а мегундоранд. Агар як бригада хосили майдонро нисбат ба дигараш 20 соат зудтар гундорад, он гох бригадахо алохида- алохида кор карда пахтаи майдонро дар муддати чанд ва;т чида метавонанд?[2,с.100].
Хдл. Тахлил. Дар масъала сухан дар бораи ду бригадаи чинакчиён ва майдони пахтазор меравад. Ду бригада якчоя кор кунанд, пахтаи майдонро дар 18 соату 45 да;и;а мегундоранд. Дар алохидагй як бригада нисбат ба дигараш 20 соат тезтар пахтаи майдонро мечинанд.
Талаботи масъала: хар як бригада дар алохидагй пахтаи майдонро дар чанд соат мегундорад. Номаълуми матлуб-давомнокии ва;т, ки дар алохидагй хар як бригада пахтаи майдонро мегундорад. Яке аз номаълум матлубро бо х ва дигарашро бо у ишорат мекунем. Вобастагии байни онхо у = х — 20 мебошад. Давомнокии кори якчояи бригадахоро ба соат ифода мекунем.
45 3
18 соату 45 дацица = 18 — соат = 18 —соат
Акнун дар як соат кадом хиссаи пахтаи майдонро хар як бригада мегундорад бо номаълумхои матлуб, яъне тагйирёбандахои дохилкардашуда ифода мекунем:
^ —хиссаи майдоне, ки бригадаи якум пахтаи онро дар як соат мегундорад;
1 —хиссаи майдоне, ки бригадаи дуюм пахтаи онро дар як соат мегундорад.
Бо назардошти шарти масъала муодилаи зеринро тартиб медихем (дар асоси кори якчояи онхо)
1,1 1 .. 1,14
- + - = —з ё ки - + - = —
x y 183 x y 75
4
Акнун хар ду муодилаи тартиб додашударо якчоя намуда системаи зеринро хосил мекунем:
<у = х — 20 1 1 _ 4 ^х у 75
Системаи мазкурро бо методи гузориш хал мекунем. Муодилаи дуюми система чунин мешавад:
1 1 _ 4
х х — 20 75
Муодилаи касрии хосилшударо хал мекунем: 75х(х — 20) — махрачи умумй
75(х — 20) + 75х = 4х(х — 20)
Пас аз содда кардан муодилаи квадратй хосил мешавад.
4х2 — 230х + 1500 = 0
Муодила решахои х1 = 7,5 ва х2 = 50- ро дорад.
Акнун, ;иматхои мувофи;и у — ро меёбем:
у1 = х1 — 20 = 7,5 — 20 = —12,5 ва у2 = х2 — 20 = 50 — 20 = 30
Азбаски х ва у давомнокии ва;тро ифода мекунанд, бинобар ин х > 0 ва у > 0 мебошад. Киматхои х1 = 7,5 ва у1 = —12,5 шарти масъаларо ;онеъ намегардонанд, бинобар ин чавоби масъала шуда наметавонанд.
Ч,авоб: Як бригада дар алохидагй пахтаи майдонро дар 50 соат, дигараш дар 30 соат мегундорад.
№4(69) 2021
• НОМАИ ДОНИШГО^ • УЧЁНЫЕ ЗАПИСКИ • SCIENTIFIC ШТЕ8
Масъалаи № 519. Се адад прогрессияи геометриро ташкил медихад. Агар аъзои дуюмро ба 8 вохид зиёд кунем, онгох прогрессияи арифметикй ва агар аъзои сеюми прогрессияи арифметикиро ба 64 вохид зиёд намоем боз прогрессияи геометрй хосил мешавад. Ин ададхоро ёбед [2,с.166-167].
Хдл: Се ададхои додашударо бо х,у ва г ишорат мекунем. Агар бо ц — махрами прогрессияро ишорат кунем он гох вобастагии байни се ададхои мазкур у = хц ва г = хц2 мебошад.
Се адад х, у + 8, г прогрессияи арифметикиро ташкил медиханд, пас вобастагии байни онхо дар асоси хосияти прогрессия
х + г = 2(у + 8) ё ки х + хц2 = 2(хц + 8) мебошад.
Ададхои х,у + 8 ва г + 64 ё ки х, хц + 8, хц2 + 64 аз нав прогрессияи геометриро ташкил медихднд. Бинобар он дар асоси хосияти прогрессияи геометрй вобастагии байни онхоро чунин навишта метавонем:
х(г + 64) = (у + 8)2 ё ки х(хц2 + 64) = (хц + 8)2
Хдмин тавр, системаи ду муодилаи дуномаълумаи зеринро хосил кардем:
\ — (1 — 2ц + ц2) = 16_ (1 — 2ц + ц2 = 4(4 — ц) _ ((1 + ц)2 = 16_ (Ц1 = —Б г^ = 3
* = ТТЧ I х = 4-я =>( * = =>{х1=^ 6 2 =4
Ададхои у ва г - ро меёбем
4 20 -4.100
У1 = х1^1 = д • (—5) = —^;7:1 = Х1^ = 9 ^ (—5)2 = ~
У2 = Х2Ч2 = 4^3 = 12^2 = Х2q22 = 4 • 32 = 36
Ч,авоб:ё 4;12;36.
Масъалаи №587. Дар прогрессияи геометрй аъзои якум, сеюм ва панчумаш мувофи;ан ба аъзои якум, чорум ва шонздахуми ягон прогрессияи арифметикй баробар аст. Аъзои чоруми прогрессияи арифметикиро ёбед, агар аъзои якуми он ба 5 баробар бошад [2,с.176].
Х,ал. Агар (Ьп) - прогрессияи геометрй ва бо (ап) - прогрессияи арифметикиро ишорат кунем, онгох мувофи;и шарти масъала
Ь1 = а1 = 5, Ь3 = а4 ва Ь5 = а16 буда, ёфтани а4 - талаб карда шудааст. Хднгоми махрачи прогрессияи геометриро бо ц ва фар;и прогрессияи арифметикиро бо й ишорат кардан ва бо назардошти шарти масъала системаи зерин хосил мешавад:
(5ц2 = 5 + 3(1 _ (5ц2 = 5 + 3й (5д4 = 5 + 15а=> Хц4 = 1 + 3(1 Аз муодилаи якуми система муодилаи дуюмро тараф ба тараф тарх кунем, муодилаи 5 ц2 — ц4 = 4 хосил мешавад. Аз инчо ц4 — 5ц2 + 4 = 0 - ро хосил мекунем, ки онро нисбат ба ц2 хал кунем (ц2)1 = 1 ва (ц2)2 = 4 мешавад. Азбаски а4 = 5ц2 аст, пас (а4)1 = 5-1 = 5 ва (а4)2 = 5 • 4 = 20 - ро хосил мекунем. Хднгоми аъзои чоруми прогрессияи арифметикй ба 5 баробар будан аъзохои он ба як адад - адади 5 баробар мешавад, ки ба гуногун будани аъзохои он мувофи;ат намекунад.
Ч,авоб: аъзои чоруми прогрессияи арифметикй ба 20 баробар аст.
Хдмин тари;, халли масъалахои мазкур нишон дод, ки хар чй бештар сатхи халли масъалахо душвор бошад, хамон андоза рушди тафаккури манти;й ва ;обилияти зехнии хонандагон хуб мешавад. Онхоро барои халли масъалахои гуногуни душвори хаётй омода месозад. Хдмчунин халли масъалахои математикии сатхашон душвор ;обилияти тахлили холатхои мураккаби хаётиро дар хонанда тавсеа мебахшад, барои зуд фикр намудан ва халли масъалахои ичтимой мадад мерасонанд.
ПАЙНАВИШТ:
1. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. Китоби дарсй барои синфи 9/Ю.Н Макарычев,Н.Г.Миндюк, К.М.Нешков,С.Б.Суворова,С.А.Таляковский.-Д: Маориф, 1991.-320 с.
2 . Усмонов, Н . Алгебра. Китоби дарсй барои синфи 9-и мактабхои тахсилоти умумй/Н.Усмонов,Р. Пиров Р.- Душанбе, Матбуот 2005.-224 с.
3.Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи. Книга для учащихся старших классов/Л.М.Фридман,Е.Н.Турецкий.- М.: Просвещение, 1989. - 192 с.
4. Фридман, Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач/ Л. М.Фридман.-М.: Педагогика, 1977.
REFERENCES:
1. Makarychev, Yu.N. Algebra: manual for the 9th grade / Yu.N Makarychev, N.G. Mindyuk, K.M. Neshkov, S.B. Suvorova, S.A. Talyakovsky. - Dushanbe: Enlightenment, 1991. - 320 p.
2. Usmonov, N. Algebra: manual for the 9th grade of secondary schools / N. Usmonov, R. Pirov R. -Dushanbe: Press, 2005. - 224 p.
3. Friedman, L.M. How to Learn to Solve Tasks: manual for senor classes/L.M.Fridman,E.N. Turetsky.-M.:Enlightenment, 1989. - 192 p.
4. Fridman, L.M.Logical and Psychological Analysis Beset with School Educational Tasks/L.M. Fridman.-M.:Pedagogy, 1977.
