CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983
№ 6
УДК 533.6.011.5
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ ОБТЕКАНИЯ ТРЕУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
Т. М Пригнуло
В предположении изоэнтропичности течения рассматривается обтекание крыльев со сверхзвуковыми передними кромками. Применяется метод возмущений относительно исходного равномерного потока за скачком уплотнения, что позволяет, используя методы линейной теории, существенно повысить точность решения.
Для случая сверхзвуковых скоростей полета многие практически важные результаты теории крыла получены в линейной постановке, когда возмущения предполагаются малыми, пропорциональными местному углу наклона поверхности крыла относительно скорости набегающего потока. Однако точность теории оказывается недостаточной при больших скоростях полета, когда число М>4-5-6. При гиперзвуковых скоростях в теории возмущений известны различные подходы к построению приближенных решений. Наиболее распространенным и общим является метод ударного слоя. Малым параметром в этом случае
является величина е = —— — отношение плотности воздуха в набегающем потоке ?1
к плотности в сжатом слое. Нулевое приближение, соответствующее случаю бесконечно большого сжатия газа в бесконечно тонком ударном слое, выражается известной ньютоновской формулой для давления. Первое приближение позволяет рассчитать достаточно точно распределение давления по крылу при числах М>8-т-10. Однако для диапазона чисел М от 4 до 10 нет достаточно простых общих методов теории возмущений, позволяющих по первому приближению вычислить величины скоростей и давления вблизи крыла. В частном случае обтекания треугольных крыльев с присоединенным к передней кромке скачком уплотнения [1, 2] развит метод возмущений, который может быть применен в достаточно широком диапазоне чисел М, включающем практически значения числа М от 4 до 10. Задача решается для наветренной стороны треугольной пластинки. Скорости и давление предполагаются мало отличающимися от их значений в однородном потоке за передней кромкой. Для конического течения давление в возмущенной области является гармонической функцией некоторых независимых переменных. Решение задачи существенно усложняется по сравнению с линейной теорией, что связано в основном с необходимостью учета завихренности потока за головной ударной волной, форма которой определяется в процессе решения задачи. Значительное упрощение может быть достигнуто в предположении изоэнтропичности течения; в этом случае постановка задачи является более точной, чем в обычной линейной теории крыла конечного размаха.
Для упрощения метода решения задачи воспользуемся тем известным фактом, что если угол атаки а достаточно мал, то с точностью до величины второго
порядка малости а® включительно сверхзвуковое течение газа за скачком уплотнения можно считать изоэнтропическим. Считая приближенно сжатие в скачке уплотнения, примыкающем к передней кромке,изоэнтропическим, введем потенциал скоростей Ф в виде:
Ф = Ulx cos 0 + иг г sin 0 + а, (1)
где U-l — скорость за скачком уплотнения, 0 — угол между направлением этой скорости и осью л: системы координат, связанной с крылом (рис. 1), tp — доба-
Rhc. 1
вочный потенциал, для которого справедливо в первом приближении линейное уравнение:
2 д2 <р д2 9 д2 <?
(м1 —!) дх2 . ays дг2 ~~ °’
где — число М за передней кромкой.
Из условия непротекания следует, что при у = О
а из условия симметрии при г = 0
+ £/i Sin 0 = 0. (4)
Нетрудно видеть, что задача свелась к линейной задаче об обтекании эквивалентного треугольного крыла, расположенного в вертикальной плоскости в равномерном потоке за передней кромкой исходного крыла. При этом условие (3) выполняется, если считать это крыло симметричным относительно плоскости у = 0, а условие (4) соответствует условию непротекания в плоскости г — 0. Следует отметить, что в такой постановке, т. е. при линеаризации течения относительно потока за передней кромкой, эффективность метода определяется соотношением между углом атаки а и углом поворота потока 0. Отметим, что если 0 мало по сравнению с а, то область применимости данной теории, по сравнению с линейной, расширяется обратно пропорционально отношению углов т = 0/а. Для приближенных оценок величины х может быть использована линей-
tg 7 1
ная теория, в которой т = —^ . При фиксированном угле
V 1 — М2 — 1
атаки первые отбрасываемые члены в линейной теории пропорциональны а3, а в данной теории ~ 02. Отношение с2 = 02/а2 может служить оценкой увеличения точности за счет данной модификации метода возмущений. Можно так ограничить значение 0, что точность расчета на всей поверхности будет одинаковой и равной той, которая принята при расчете течения за скачком уплотнения, т. е. до величины а1 включительно, так как угол 0 является малым параметром,
который стремится при х -* 0 к нулю при любом значении а. Если теперь рассматривать крылья, для которых 02 — а3 или 6 — а3'2, то порядок величин, отбрасываемых при линеаризации уравнений движения, будет равен а3. При ограничении Э-О3'2 могут быть рассчитаны крылья достаточно большой стреловидности. Например, при числе М = 6 и угле атаки а = 10° для треугольных крыльев с углом стреловидности по передней кромке •/_ = 60° и 65° углы 0 на нижней поверхности равны соответственно 2° и 2,6° и 0/а ~ 0,2-5-0,25, что укладывается в это ограничение. (При а=10° из условия 0^а3/2 следует 0/а^О,4). Предполагая сжатие изоэнтропическим, рассчитаем скорость Un и число Маха М„ за скачком уплотнения по величине нормальной к передней кромке составляющей скорости набегающего потока. Используя известные формулы для течения Прандтля — Майера, в итоге получим:
Un = Yc°s2 я cos2 х + s'n2 а 1
п со
где X — отношение скорости потока к критической скорости звука.
Расчет по точным формулам для течения Прандтля—Майера провести проще, чем по сумме первых двух членов разложения этих формул в степенные ряды по а. Величину полной скорости в плоскости крыла находим по формуле:
U\ = Y U2n + U2^ cos2 a sin2 х , а угол 0 между осью х и направлением вектора скорости по формуле
9 = 9°° - X - arctS Uoo cos a sin х •
Угол стреловидности 90° — 7 вспомогательного треугольного крыла в вертикальной плоскости определяется по углу наклона скачка -ц:
tg 71 =
tg'f cos X
Тогда по формуле, аналогичной известной формуле линейной теории крыла, в плоскости симметрии исходного получим:
-20
Р1 =
3t VI-nj
1 —------arcsin
V'--t
п\ 2
- С 1
(5)
если tg -f > ctgT
-, где pj = |/м2 —1 > Mi — число М за скачком уплотнения, пг= z ctg 7
4«i-
Р1 1 '•*
Формула для давления соответствует,
- р, и\
ней кромке крыла. Умножая рг на
таким образом, сверхзвуковой перед-(индекс 1 по-прежнему используется
для обозначения параметров течения за скачком уплотнения) и складывая со значением р для а > п, полученным по формулам изоэнтропического сжатия, найдем значение р всюду в плоскости крыла.
На рис. 2, 3 представлены результаты расчета для треугольных крыльев со стреловидностью по передней кромке х — 60° и 65°. Видно, что как при числе М = 6, так и при числе М = 10 достигается удовлетворительное согласование расчетов на ЭВМ [3] с расчетами по изложенному методу возмущений. Таким образом, предлагаемое изменение метода возмущений позволяет существенно уточнить линейную теорию.
Расчет обтекания верхней поверхности крыла можно провести применяя тот же метод; при этом в формуле (5) следует считать 0 величиной отрицательной. Результаты расчетов приведены на рис. 3 (кривые при р<;0). Область влия-
ния обеих передних кромок на верхней поверхности треугольного крыла меньше, чем на нижней. Кроме того, сами абсолютные величины изменения давления, определяемые с помощью формулы (5) меньше, чем на нижней поверхности.
Развитый для плоского треугольного крыла метод расчета может быть обобщен на случай крыльев, ограниченных прямолинейными передними и сверхзвуковыми задними кромками, поверхность которых слабо изогнута относительно базовой плоскости исходного треугольного крыла. Если местные углы наклона поверхности такого крыла положить равными а + аг(х, г), где величина сц(х, г) порядка ха, то, линеаризируя решение как и раньше относительно течения со скоростью 11ь можно применить линейную теорию для расчета возмущений, вносимых а, (х, г). Для крыла со сверхзвуковыми передними и задними кромками добавочный потенциал определяется как потенциал распределенных по поверхности крыла источников, интенсивность которых пропорциональна IIх а1 (х, г)
ГГ_________аЛх, г)сЦй:___________
?1 я Л) У(х — ?)2 — В2 У2 - Р2 (г — О2 ’
Е
где 3—часть базовой плоскости крыла, вырезаемая конусом влияния с вершиной в точке с координатами х, у, г.
Для крыльев, образованных коническими поверхностями с вершинами на концах крыла (в точках пересечения передних и задних кромок), вычисление интеграла можно выполнить в аналитическом виде. Поверхность таких крыльев может быть достаточно точно аппроксимирована поверхностью многогранной пирамиды, ребра которой состоят из лучей конической поверхности. Тогда
т
ат = “0 ~ Да1 — • • • — Дог — • • ■ — Ьз.т = «О — 2 Дc^i,
г=1
где ат — наклон поверхности крыла на (от + 1) грани пирамиды, а Ла„г — есть разность наклонов ат\^ и ат двух соседних граней пирамиды. Из формулы (6) для <рг следует, что
?!-■
я
с!-5 й'С
V (х — Е)2-
'(г-С)*
г=1
сГС
У{х- £)2 - р2 у2 - Р2 (г - С)2
(7)
Входящие в эту формулу слагаемые представляют собой потенциалы треугольных крыльев с наклонами а0 и —Да,-. Угол стреловидности крыла с углом наклона— определяется по углу стреловидности ребра, разделяющего (т-\- ])-ю и т-ю грани пирамиды.
На рис. 4, а приведены результаты расчета распределения давления в центральном сечении треугольного крыла (х = 60°) с симметричным профилем, образованным дугами параболы. Угол атаки крыла равен 10°, относительная толщина профиля в корневом сечении равна 2%, число М набегающего потока равно 6. В отличие от линейной теории приращения давлений С±р, обусловленные толщиной, на верхней и нижней поверхности треугольного крыла существенно различны по абсолютной величине. Обтекание верхней и нижней поверхности крыла можно рассматривать независимо друг от друга и сравнить между собой характеристики крыльев с несимметричными профилями, у которых: а) нижняя поверхность — плоскость; б) верхняя поверхность — плоскость. При одинаковом объеме крыльев увеличение сопротивления сверх плоской пластинки в корневом сечении крыла „а" в 15 раз меньше, чем приращение сопротивления крыла „б“. Расчеты проводились путем задания конического крыла в виде двадцатигранпой пирамиды. Подъемные силы сечений сравниваемых крыльев практически одинаковы и равны подъемной силе сечения крыла с нулевой относительной толщиной. Для крыла с симметричным параболическим профилем при с = 0,02 увеличение сх в корневом сечении за счет толщины составляет 2,5% от значения сх плоской пластины, а уменьшение подъемной силы су составляет 1,8% от величины су для пластины. Расчеты показывают, что уже при числе М = 6 целесообразно, как и при гиперзвуковых скоростях, нижнюю поверхность объемного крыла делать плоской.
Для более подробного исследования влияния толщины на характеристики крыла были проведены расчеты по предложенному методу для наиболее простых случаев — крыльев, имеющих ромбовидный или двускатный профиль в кор-
Рис. 4
невом сечении. Были рассмотрены три случая (рис. 4, б) при тех же параметрах (Х = 60°; а = 10°; Мга = 6; ~с = 2%).
Наиболее интересным оказался второй случай, где за счет несимметричности профиля относительно вертикальной оси ух получается увеличение су по сравнению с плоской пластинкой на 1,5%, однако и сопротивление увеличивается сильнее (на 2,6%), чем для других форм профиля. Наиболее близкие к плоской пластипке результаты получены для третьего профиля, для которого значения сх и с у меняются (на 0,75 и па —0,6% соответственно). В первом случае симметричного профиля изменение сх и Су по порядку величины составляет 1,9 и —1,396. Приведенные примеры позволяют сделать выводы, касающиеся поиска оптимальной профилировки. Повидимому, некоторая комбинация второго и третьего профилей будет наиболее подходящей.
В заключение автор выражает благодарность Голубинскому А. И. за помощь в постановке задачи и обсуждение результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тер-Миносяиц С. М. Задача о сверхзвуковом обтекании нижней поверхности треугольного крыла. •—Изв. АН СССР, МЖГ,
1966, № 6.
2. Булах В. М. Нелинейные конические течения газа. —М.: Наука, 1970.
3. Воскресенский Г. П., Ильина А. С., Т а т а р е н-ч и к В. С. Сверхзвуковое обтекание крыльев с присоединенной ударной волной. —Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1590.
Рукопись поступила 7/VI 1982 г.
