Сингулярные проблемы в определении положения и интенсивности скачков уплотнения методом деформированных координат Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIX 199 8 №1-2

УДК 533.6.011.5:629.7.025.1 629.735.33.015.3.025.47

СИНГУЛЯРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ В ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОЛОЖЕНИЯ И ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ МЕТОДОМ ДЕФОРМИРОВАННЫХ КООРДИНАТ

Т. М. Притуло

Для построения приближенных решений уравнений газовой динамики, определения положения и интенсивности скачков уплотнения используется метод малого параметра. Степенными рядами по малому параметру — углу а наклона поверхности относительно скорости набегающего поток;! предстаатяются и приближенное решение, и координаты. Проанализированы степенные ряды для деформированных координат и найдены способы дальнейшего совершенствования методов малого параметра при сверхзвуковых кромках крыла.

Получен фундаментальный вывод о том, что точность определения давления вблизи скачка уплотнения существенно уменьшается по мере приближения кромок крыла к звуковым, а ошибка достигает величины порядка

а4 I ?. Предложен способ уточнения положения и интенсивности скачков уплотнения, опирающийся на точный расчет течения вблизи передних кромок.

1. Оценка точности линейной теории для крыльев со сверхзвуковыми передними кромками при уменьшении скорости набегающего потока. Рассмотрим особенности применения метода деформированных координат для изучения сверхзвуковых конических течений газа. Такого рода течения возникают в поле возмущений от треугольных в плане крыльев с конической поверхностью. Введем декартову систему координат х, у, г, связанную с потоком. При этом ось х направлена по скорости набегающего потока Х1Ж, ось у лежит в плоскости симметрии крыла (рис. 1). Конические переменные имеют вид

г = и777. е1ак,6£. ^ = шпги

X I *

где Мк — число Маха в невозмущенном потоке.

Течение будем считать потенциальным. В теории возмущений, когда угол наклона поверхности а относительно скорости набегающего потока мал, это предположение справедливо с точностью до а2 включительно. Потенциал скоростей Ф выражается следующей формулой с помощью добавочного потенциала ф:

Ф = UKx + ср,

где ф = x/Ux.

Конический потенциал / представим в виде степенного ряда по а:

ОС

/ = £/мМ).

т= 1

где индекс т указывает порядок величины, т. е. fm ~ат. Для определения первого члена ряда необходимо решить дифференциальное уравнение линейной теории

+ + = (1.1)

сг2 г сг г2 св

Видно, что это уравнение имеет особенность на окружности радиуса /‘ = 1, т. е. на конусе Маха невозмущенного потока, выходящем из вершины крыла. При г < 1 уравнение имеет эллиптический тип, при г > 1 — гиперболический.

Будем рассматривать течения вблизи конуса Маха (/• < 1, /•- 1) для треугольного крыла со сверхзвуковыми передними кромками. Решение уравнения (1.1) при 1 ~ /*«1 имеет вид [1]

^L = C1(0) + ^1(0)VT7. (1.2)

сг

Здесь переменные коэффициенты Q(0) и /4i(0) определяются условием непротекания газа через поверхность крыла. На рис. 1 в сечении х = const представлены границы области возмущенного потока в первом приближении. Граничные условия с поверхности крыла снесены на плоскость у = 0. Следы фронтов волн сжатия и расширения, примыкающих к передним кромкам (точки А и А'), касаются характеристической окружности невозмущенного течения /• = 1 в точках В и В', D и D'. На участках ВС В' и DED' окружности /• = 1 выполняется условие С1(0) = 0, на остальных участках этого же круга значение ко-

Г-

Рис. 1. Вил крыла в плане и структура границ возмущенного им течения и асимптотической (линейной) постановке (</->()); г = 1 — слел конуса Маха с вершиной в точке пересечения передних кромок

эффициента С|(й) ф 0. Уравнения во втором и высших приближениях отличаются от уравнения (1.1) наличием известных из предыдущих приближений правых частей, имеющих особенности вблизи г = 1. В первом приближении особенностью вида 1 / у/1 - г обладает градиент давления, во втором приближении — скорость, а в третьем приближении разрывен уже и сам потенциал. Отметим, что условию /• = 1 в каждом приближении соответствует характеристический конус, поэтому положение характеристической поверхности нелинейного уравнения не уточняется с ростом числа приближений.

Для устранения этих особенностей целесообразно, кроме искомых функций, представить рядами по малому параметру также и координаты [1], [2]. Пусть

/• = Л + /|(б) + /5(0) + ..., (1.3)

где >\, г2 и т. д. определяются в процессе решения задачи. Малое изменение координат не приводит к изменению решения в первом приближении. После преобразования координат изменяется ряд

/=£^(*,0) т=1

и для определения Рт следует решать уравнение

(1 Ёт , 1 с^т , 1 ^ ^т п /л л\

лйГ (1'4)

Здесь £?„, — функция, зависящая от функций Г, и их производных, где

/ = 1, 2, 3.{т - 1). В новых переменных окружность Л = 1 также

остается характеристической поверхностью. Для правильного разграничения областей существования различных по типу решений дифференциальных уравнений необходимо так определить преобразование координат, чтобы характеристическая поверхность Л = 1 в новых уравнениях (1.4) соответствовала бы характеристической поверхности и в физической плоскости [2]. Определив таким образом функцию /1(0), переходим к определению функции />(0). При этом оказывается, что на характеристической поверхности во втором приближении всегда существует скачок скорости, а давление при переходе через нее увеличивается. В результате функция /5(0) имеет разрыв, и между характеристическими поверхностями, рассчитанными по параметрам потока до скачка скорости и после него, появляется скачок уплотнения. Если в формуле (1.2) коэффициент С^©) = 0, то и функция /1(0) = 0.

Предметом настоящих исследований являются особенности ряда

(1.3), когда кромки крыла близки к звуковым, а также стремительный рост величины /ь(0) по мере увеличения числа М*.

Следует отметить, что особенности трехмерного поля течения не отличаются качественно от тех, которые свойственны коническим ПО-

токам. Поэтому исследуемые ниже проблемы метода деформируемых координат относятся в то же время и к общей задаче построения высших приближений и определения скачков уплотнения для пространственных крыльев со сверхзвуковыми кромками.

Линейная теория позволяет вычислить по значениям компонент скорости при г = 1 координату уточненной характеристической поверхности /‘хар = 1 + /х(9) - Условием, определяющим преобразование координаты г\, является равенство Л = 1 на характеристической поверхности. На поверхности плоского треугольного крыла со сверхзвуковыми кромками

М2

'1

а

Рос у11 - я2

п +

. ее - 1, -2 1 +----------1УР

_1_

г

угол

где ае— отношение удельных теплоемкостей, п = tg X / ,

стреловидности крыла по передней кромке.

Видно, что при п ->• 1 решение линейной теории сингулярно, т. с. когда передняя кромка крыла приближается к звуковой, величина принимает при любом малом а бесконечно большие значения, и ряд для деформированных координат также имеет особенность. В то же время максимальное значение /] 1ШХ соответствует случаю, когда сумма

1 + )\ равна значению г на передней кромке крыла. Величина /•[ не может превосходить /' -1, так как это противоречило бы первоначально сделанному предположению о независимом обтекании поверхностей крыла. В противном случае оказалось бы, что возмущения давления или скорости на нижней поверхности крыла, распространяясь вдоль характеристик возмущенного потока, выходят за переднюю кромку и влияют на поток на верхней поверхности крыла. Условия совпадения координаты г передней кромки с 1 + г1 можно записать в виде

а = ■

(1-и)3/2(1 + и)ра

пЫ

(1.5)

Отсюда следует, что малая величина 1 - п, при которой еще возможен расчет описанным выше аналитическим методом, имеет порядок а2^3. Соответственно при небольшом отличии кромок от звуковых (й<1, п~ 1) деформация координаты и производные потенциала срх, ср. и

/г, пропорциональные 1 / VI-п, имеют порядок а2//3. Выражение (1.3) перестает быть разложением в ряд по целым степеням а, и точность расчетов по линейной теории существенно снижается.

После определения в координатах (/•, 9) поля скоростей, возмущенных потоком, нужно построить соответствующие им характеристические поверхности. Эти поверхности в первом приближении правильно определят область влияния граничных условий и область существо-

вания решения в целом с точностью до малых первого порядка. Представим конический потенциал /! вблизи характеристической окружности г = 1 рядом по степеням разности (/• - 1):

^ , ^лин ,

Л - /ЛИН + д "-/1 +"- ’

где /! — значение потенциала на характеристике возмущенного потока, а /1ИН получено на основе обычной линейной теории (уравнение (1.1)). Тогда при малом (и - 1) получим /х - /лин ~ ос4/3, в то время как

при отсутствии особенностей В !\

док а2.

На рис. 2 представлена зависимость величины /'! от а для нижней поверхности крыла, когда выполнено равенство (1.5). В диапазоне Мк = 2 + 3 она определяется практически единой кривой.

Расчеты показывают, например, что при а = 0,1 деформация достигает значения /1 = 0,46, существенно превосходящего а. При а = 0,01 эта же деформация 1\ уже в девять раз превышает а. По сравнению с линейной теорией существенно меняется максимальное значение углов стреловидности % , при которых сохраняется возможность выполнения расчетов. Так, при параметрах набегающего потока М00=2, а = 0,1 расчетное значение % ограничено сверху 50°, в то время как в асимптотической (линейной) теории при а -» 0 независимое обтекание поверхностей сохраняется вплоть до % = 60°.

Деформации координаты !\ на верхней и нижней поверхностях одинаковы по абсолютной величине, но на верхней поверхности крыла <0. Это означает, что при а = 0,1 более 60% площади крыла, примыкающей к передней кромке, омывается плоскопараллельным потоком. Здесь, как и на нижней поверхости крыла, вблизи кромки производная потенциала <рл. имеет порядок а2/3 и отличается только знаком. Погрешности в определении скорости фА., имеющие порядок ф2, оказывают заметное влияние на интегральные аэродинамические характеристики, такие, как подъемная сила и сопротивление крыла.

2. Расчет положения скачка уплотнения на верхней поверхности крыла. Для повышения точности вычислений без существенного усложнения математического аппарата предлагается точно рассчитывать параметры течения на верхней поверхности плоского крыла в области, примыкающей к его передней кромке. Эту область будем назы-

и ^лин эта разность имеет поря-дг

Рис. 2. Изменение деформации координаты г\ в зависимости от а для нижней поверхности крыла по результатам первого приближения

вать в дальнейшем областью К, а относящиеся к ней параметры течения будут иметь нижний индекс К соответственно. Далее следует выполнить линеаризацию уравнений движения относительно параметров потока вблизи кромки и решить в

первом приближении задачу обтекания крыла. Поток за передней кромкой отклоняется на угол у относительно верти-

кальной плоскости симметрии крыла б)

(угол отклонения, соответствующий правой консоли, изображен на рис. 3, а). Для того чтобы удовлетворить условию сим-

метрии, поместим в этой вертикальной * плоскости «фиктивное» крыло и потре-

буем выполнения на нем условия непро-

текания. Для соблюдения условия непро- А

текания на поверхности ИСХОДНОГО крыла Рис. 3. Введение «фиктивного» вер-«фиктивное» треугольное крыло ДОЛЖНО тикального крыла ДЛЯ верхней ЛО-

НО плоскости исходного крыла. «Фиктивное» крыло изображено штриховой линией на рис. 3, а, а на рис. 3, б штриховой линией АА'В'ЕБЛ ограничена область влияния «фиктивного» крыла, соответствующая решению задачи в линейной постановке. Видно, что область возмущенных «фиктивным» крылом скоростей отделена от области течения за передней кромкой частью окружности Д£7)', на которой возмущенные скорости равны нулю. Тогда решение в виде ряда для деформированных координат, соответствующее обтеканию «фиктивного» крыла, не содержит членов первого порядка малости, и характеристическая поверхность ОЕИ’ не изменяет своего положения после решения линейной задачи в области влияния «фиктивного» крыла. Таким образом, устраняются особенности, связанные с наличием членов первого порядка малости.

Для плоского треугольного крыла в такой постановке будет применяться следующий порядок расчета: сначала вычисляются скорости в области К по точным формулам для течения Прандтля — Майера, затем с помощью метода малого параметра вычисляются скорости во внутренней области возмущенного потока. Введем систему координат хк' Ук * ' связанную со скоростью в области К (ось хк направлена

по скорости ик потока на поверхности крыла, ось лежит в плоскости крыла). В этих координатах запишем выражение для потенциала скорости во внутренней области возмущенного течения в виде

иметь форму, симметричную относитель-

верхности и структура области его влияния АА’й'ЕОА

Ф = икХк[]+/('- 8)]<

Выполним деформацию координаты /, представляя ее степенным рядом по углу у :

(2.1)

где по-прежнему /2 — величина порядка у2, 73 — величина порядка у3, и снова получаем ряд для конического потенциала:

/=£/■„(* 8), т=1

где /)д(Л, б) удовлетворяет уравнению (1.4), в котором вместо 0 теперь следует писать 8.

Отсутствие в ряде для функции / члена первого порядка ^ позволяет легко вычислить не только /2, но и /3, обеспечивая тем самым высокую точность расчетов поля течения и положения скачков уплотнения и в особом случае, когда 1\ — величина порядка а2/3, а (1-я) — величина порядка а1/3. Действительно, тогда в первом приближении угол атаки «фиктивного» крыла у = Ш

- п2

— величина по-

рядка ос2/3, а величина у3 — порядка а2. Порядок учитываемых в расчете величин оказывается таким же, когда ряд (1.3) не имеет особенности, и для определения положения скачка уплотнения применяется метод деформированных координат [2].

Вычислим по методу [2] члены ряда /2 и в общем случае обтекания конических (неплоских) крыльев. Запишем уравнение характеристической поверхности / = 1 + + /3 в виде

( \ ( Л ^ ( л ^

Фг сое к пхк V У + Ф,, СОЯ > к ПУК \ + Ф. сое *-к К )

= а,

(2.2)

где а — скорость звука, а и — внешняя нормаль к характеристической поверхности. Удерживая в уравнении (2.2) величины порядка у2 и у3, получаем

*2+Ь =

2 М^-1

Как уже отмечалось, в данном случае = 0, а во втором приближении получаем

2

л->1

Р К

где

Ра- = л/м5: ~1; [= 1іпї ТГ%

V 7-Й у! — т

Следовательно, с учетом /2/ > 0 получаем, что второй член разложения г2 положителен. Таким образом, появляется область, в которой решение определено дважды: с одной стороны — это область равномерного потока, с другой — область потока, возмущенного «фиктивным» крылом. Внутри этой области находится скачок уплотнения.

Положение скачка уплотнения можно определить по значению скорости в возмущенном поле, поскольку скачок скорости зависит от формы поверхности разрыва скоростей. Изменение скорости при переходе через скачок уплотнения представим в виде

ее + 1

‘—-Уп

V

г и

(2.3)

где У„ — компонента скорости потока, нормальная к поверхности скачка.

Величины У„ и а задаются непосредственно перед скачком уплотнения. Из равенства (2.3) находим связь между разрывом нормальной компоненты скорости и величинами /2с и Ьс' характеризующими во втором и в третьем приближении удаление конического скачка уплотнения от конуса Маха (/ = 1) с вершиной в начале координат. При переходе через поверхность скачка уплотнения производная /? скачкообразно изменяется на величину

А//

+ Ьс) (ае + 1)М

(2.4)

К

Вычислим теперь производную потенциала ./> вблизи конуса Маха / = 1, определяемую «фиктивным» крылом. В этой области решения в деформированных координатах имеют вид

~ Л2(8)

ід - -Л;

(ае + 1)М^ + А2 (^)л/1 “ И •

1 2Р* .

(2.5)

В формуле (2.5) Р1К имеет тот же вид, что и в физических координатах /и § с простой заменой обозначений ґ на Л. Первое слагаемое в формуле для Р2к находится путем решения уравнения при значениях Я, близких к 1 [1]. Коэффициент /42(б) определяется решением однородного уравнения с заданными на крыле граничными условиями. За-

пишем часто применяемое в линейной теории выражение для потенциала источников в виде

(2.6)

где интенсивность известна из условий непротекания газа через

поверхность крыла. Область I — часть плоскости = 0, ограничен-

ная передними кромками и линией пересечения (гиперболой) поверхности конуса ВЛИЯНИЯ С вершиной В точке (хх,Ух>1к) с плоскостью = 0. Вместо прямого вычисления производных потенциала ф! воспользуемся теми упрощениями, которые можно сделать, определяя решение в непосредственной близости от конуса Маха

ходим к выводу, что, не меняя значения потенциала, можно снести источники на ось г) = 0 вдоль прямых х'к - с + p^risinS = х'к - %' - const. Величину % при г| = 0 обозначим с'. Формула (2.6) теперь приобретает вид

где Г| = \'(с), Л = ц(с) — формы верхней и нижней передних кромок вертикального «фиктивного» крыла. Способ снесения источников на ось % (интегрирование по ^ при постоянном с') определяется значением 6 . При заданном 6 потенциал определяется как потенциал источников, расположенных на оси % .

Конические потоки обладают той особенностью, что производная «р1 „ ..

—1— здесь не меняется вдоль лучей с вершинои в точке пересечения

<%к

передних кромок крыла. Поэтому после интегрирования (2.7) по частям и дифференцирования по хк получим

Совершенно аналогичная формула определяет величину А2. Суммируя Р\я и ^2Л по формулам (2.5), подставляя значение /? = 7 - /2 - и при-

хк = + z?K ; (г - 1). Полагая разность

= хк - $крк = х'к малой величиной (в данном случае порядка у2), при-

Ф, = -

я

1

х'к

(2.7)

(2.8)

нимая во внимание, что на скачке уплотнения / = 1 + /2с + /Зс, получаем выражение для производной потенциала :

// - 2 + Ь ~ *2с - Ьс + -^(й)

ае

+ 1М

г~ + Л2(б)^2 ~ Не • (2-9)

Приравняем правые части формул (2.4) и (2.9). Собирая члены одинакового порядка малости и приравнивая их сумму нулю, найдем /2с и /Зс. В частности, для плоского треугольного крыла на его поверхности

, _ 3 л + 1) _ 3 (ае + 1) М*

2С = 4 ' р* =2*2^

(2.10)

Не - —

1 (ае + 1)2м^ (м2к -2

3 л у./

М^-1

(2.11)

где х/ — угол стреловидности по передней кромке «фиктивного» крыла, П/ =^Х/ /Рлг-

Формулы (2.10) и (2.11) показывают, что при небольших числах Мм и умеренных углах атаки основного крыла учет члена /Зс не вносит существенных изменений в результат, определяемый главным членом разложения /2с, задающим положение скачка. При уменьшении числа М*, и приближении кромок крыла к звуковым значения у и /2с возрастают и член /2с приобретает порядок а4/3. В случае больших М*. при введении «фиктивного» крыла особых проблем не возникает, так как при малых а угол атаки у «фиктивного» крыла имеет порядок

1 2

а / р, а — и, следовательно, /2с ~а .

Р

Для верхней поверхности крыла расчет в области К был выполнен по точным формулам течения Прандтля — Майера. На рис. 4 представлены результаты расчета положения конического скачка в плоскости, перпендикулярной оси симметрии крыла, которые оказались близкими к найденным в расчетах по численным методам [3]. Вблизи самой поверхности крыла наблюдается некоторое различие в результатах расчета по

Рис. 4. Положение скачка уплотнения при Мш = 3, у = 45°, а = 5°: аналитическим и численным методам.

I — предлагаемый метод; 2 — численный При удалении от поверхности крыла реметод [3]; 1 = 1 - след характеристики 3уЛЬтаты расчетов ПО обоим методам СОВ-потока за передней кромкой; / — полу- •'

размах в поперечном сечении крыла ПЗДаЮТ.

Для неплоских конических крыльев поток в области К может быть рассчитан по тем же формулам для течений Прандтля — Майера [4]. Линеаризацию уравнения для потенциала надо проводить в этом случае относительно равномерного потока со скоростью Uк в области К, когда угол между вектором скорости Uк и лучом, которому этот вектор соответствует, составляет arcsin—. Тогда в плоскости крыла поМ*

прежнему выполняется условие ty = 0. Воспользовавшись формулой (2.8) и затем формулой (2.10), записанной для нового значения А^, можно вычислить положение скачка 12с и его интенсивность (формула

(2.4)) на верхней поверхности конического крыла любой формы.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 95-01-01070).

ЛИТЕРАТУРА

1. L i g h t h i 11 M. G. The shock strength in supersonic «Conical Fields»//J. of Theoretical Experimental and Applied Physics.— 1949. Vol. 40. seventh series,

N311. '

2. Притуло Т. М. Расчет положения и интенсивности головных скачков уплотнения на треугольных крыльях методом деформированных ко-ординат//Ученые записки ЦАГИ.— 1987. Т. XVIII, № 5.

3. Б а ш к и н В. А. Треугольные крылья в гиперзвуковом потоке,— М.: Машиностроение.— 1984.

4. Никольский А. А. Некоторые точные решения уравнений пространственного течения газа//Сб. теоретических работ по аэродинамике.—

М.: Оборонгиз.— 1957.

Рукопись поступила 9/XII1996 г.