Расчет момента крена крыла со сверхзвуковыми передними кромками, движущегося со скольжением Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том XXI / 9 9 0

№ 5

УДК 539.6.011.55:629.7.025.1

РАСЧЕТ МОМЕНТА КРЕНА КРЫЛА СО СВЕРХЗВУКОВЫМИ ПЕРЕДНИМИ КРОМКАМИ, ДВИЖУЩЕГОСЯ СО СКОЛЬЖЕНИЕМ

Т. М. Притуло

Развитый ранее метод возмущений * распространяется на обтекание крыльев, летящих со скольжением. Получены аналитические формулы, позволяющие рассчитать в явном виде момент крена тх при различных параметрах потока. Момент крена изолированного треугольного крыла изменяется существенно нелинейным образом по углу атаки а и уменьшается с ростом числа Моо.

1. Постановка задачи. Рассмотрим тонкое стреловидное крыло с прямолинейными сверхзвуковыми передними и сверхзвуковыми задними кромками (рис. 1). Крыло расположено под углом атаки а в сверхзвуковом потоке воздуха, % — угол стреловидности крыла по передней кромке. Будем рассматривать диапазон больших сверхзвуковых чисел Моо (Мо, = 4-г-10), где вклад верхней поверхности крыла в его аэродинамические характеристики еще остается значительным. Но эти числа Маха превосходят диапазон применимости обычной линейной теории, поэтому в дальнейшем расчет будет проводиться в рамках предложенного ранее метода возмущений*. Течение с точностью до а2 включительно при данных параметрах потока можно считать изоэнтро-пическим и ввести в рассмотрение добавочный потенциал возмущения ф, описывающий возмущенное крылом течение.

Рассматриваемое крыло расположено в потоке под углом скольжения р, в результате чего меняются эффективные значения углов стреловидности по передней кромке на величину + |3 для правой и левой консолей соответственно. Число Моо достаточно велико, поэтому приведенную стреловидность крыла п = - можно считать малой

V М1-1

величиной, относительно которой производится линеаризация течений на верхней и нижней поверхностях крыла. Наиболе существенной особенностью работы * является то, что линеаризация течения производится не относительно параметров набегающего потока, как в обычной

* Притуло Т. М. Метод возмущений в нелинейной задаче обтекания треугольных крыльев сверхзвуковым потоком. — Ученые записки ЦАГИ, 1983, т. 14, № 6.

линейной теории, а относительно течения на некотором плоском базовом крыле, что позволяет значительно увеличить диапазон применения линейной теории. В данном случае в качестве базового течения возьмем течение сразу за передними кромками на плоском крыле с тем же углом стреловидности и при |3 = 0. Как показано в работе*, течение в области взаимодействия консолей (область II на рис. 1) можно представить как суперпозицию двух течений: плоскопараллельного течения на части консоли плоского базового крыла (область I) и течения, скорости в котором меняются на величину малого порядка п. Малый параметр п в данной задаче соответствует изменению угла наклона рассматриваемого крыла по сравнению с плоским базовым или, как будет показано в дальнейшем, наличию угла скольжения.

С помощью линейной теории можно оценить порядок возмущений, вносимых в поток скольжением. Давление за передней кромкой в этом случае записывается по следующей формуле.

денной стреловидности на левой консоли крыла. Вклад угла скольжения в величину давления демонстрирует порядок произ-„ дР

водной —, который равен

Зависимость (1) показывает, что и при одинаковых по порядку конечных величинах углов атаки и скольжения, величина ДР?) обусловленная скольжением крыла, не больше п по порядку величины, и линеаризация уравнений движения возможна в более широком диапазоне углов скольжения р и углов атаки а.

2. Расчет распределения давления на поверхности крыла в нелинейной постановке. Перейдем теперь к расчету давления на крыле.

Сначала рассчитываются параметры течения на верхней и нижней поверхностях крыла в области I, и относительно этих параметров в области взаимодействия консолей рассчитывается возмущенное течение (область //). Область I — это область плоскопараллельного течения, ограниченная передней кромкой крыла и линией пересечения коничес-

где ^ = /мI- 1 , пэфф =

81» (X + Р)

(Д. сое (х + Р)

эффективное значение приве-

дя _ а п (1 + х)

(3=0 I*2 (! — «2)3/2

(1)

кой характеристической поверхности потока с плоскостью крыла (рис. 1). Уменьшим на величину р угол стреловидности правой консоли и увеличим на то же значение угол стреловидности левой.

Полный потенциал Ф рассматриваемого течения имеет вид

где и 1 — скорость плоскопараллельного течения в области I, 01 — угол отклонения плоскопараллельного потока за передней кромкой, вычисляемый по формуле

(Uni — компонент скорости в области I, нормальный к передней кромке крыла).

Добавочный потенциал <pi представляет собой вклад, вносимый в поток крылом, летящим без скольжения. Решение для этого случая можно найти в работе (см. сноску). Поэтому здесь будем рассматривать лишь потенциал возмущений <р2, описывающий скольжение. Общее решение находится суперпозицией частных решений.

В дальнейшем будет показано, что в результате скольжения область взаимодействия консолей смещается по оси набегающего потока, при этом почти не изменяются ее размеры. Запишем линейное уравнение для добавочного потенциала <рг, определяющее течение в области взаимодействия консолей

где М.1 — число Маха в области / при р=0.

Для начала рассмотрим правую консоль. Граничными условиями при решении уравнения (2) являются условия непрерывности давления при переходе от одного плоскопараллельного течения (без скольжения) к другому (со скольжением). Добавочное давление, вносимое скольжением В ПОТОК, ДРр =Р2—Ри где Р1 — давление вблизи передней кром-

Ф = Ut X • COS 0, -f C/j Z-Sin 0J + cpj + cp2,

(2)

■}i0=arcsin-jL

Рис. 2

ки при отсутствии скольжения, а Р2— давление в той же области при $Ф0. Сформулируем граничные условия для и ф2.

На границе между областями I я II на правой консоли крыла добавочное давление приобретает рассчитанное значение ДЯр. На границе же между областями I и II на левой консоли значение этого давления должно остаться нулевым (без скольжения), чтобы не изменились граничные условия на левой консоли. Поэтому угол наклона добавочной скорости относительно плоскости крыла 02, вносимый скольжением, должен быть постоянным в области I. Крыло, удовлетворяющее этим граничным условиям, изображено в плане на рис. 2, а.

Получаем решение для правой консоли:

Ра~Р' ' " Г1 -1 1 (3)

ДР =

* . X- IV *1

-------агсэт -----------------------

2 ^1 (-^1 —

где == VЫ[\ — 1, (дг1( 2,) — оси координат, связанные с потоком Формула (3) удовлетворяет приведенным выше граничным условиям, поскольку при Х1 = ц1-ги т. е. на границе с плоскопараллельным течением на правой консоли АР = Р2—Ри а при Х1 = —\ii-Zi — на границе с левой консолью — ДР = 0.

Аналогичное решение можно получить и для левой консоли с учетом увеличения угла стреловидности х+Р- Для этого достаточно в формуле (3) поменять знак перед Итак,

ДР =

Рз-Л

-------агсэ1п

•Кг^Х + ^-гЧ

(4)

2 и (Х1 + Х’г,)

где Р3 — давление не левой консоли при наличии угла скольжения.

На рис. 3 представлен график распределения давления на верхней и нижней поверхностях треугольного крыла. Штриховой линией показано распределение давления в отсутствии скольжения, а сплошной —

результаты расчетов для скользящего крыла, полученные на основе метода, предложенного в данной работе. Угол стреловидности исследуемого крыла %=45°, угол скольжения |3=10°. Крыло расположено в сверхзвуковом потоке газа с числом Моо = 5 под углом атаки а=10°. Графики показывают, что скольжение практически не меняет значение давления в области / плоскопараллельного течения. Для большей наглядности ниже приводится сравнительная таблица численных данных для коэффициента давления ср и для полного угла разворота потока 0(0 = 01 + 02) на правой и левой консолях крыла при различных значе-

ниях угла стреловидности %, что адэкватно наличию угла скольжения (3=10° (х = 35° — правая консоль, х = 45° — отсутствие скольжения, % = = 55° — левая консоль рассматриваемого крыла).

Нижняя поверхность

Верхняя поверхность

X — 35° II СЛ О X = 55° И СО сл о X — 45° , II Сл СЛ о J

ср 0,118048 0,119496 0,122989 ср -0.0571167 -0,0571175 —0.0571189

0° 1,23 1,803 2,73 6° -1.844 —2,631 —3,751

Здесь Ср есть коэффициент давления, равный отношению перепада давления на консоли крыла к скоростному напору на бесконечности

Р1~Р оо

(ср =-----где t'=l, 2, 3). Таблица наглядно демонстрирует весьма

незначительное влияние скрльжения на распределение давления в области I (изменение порядка процента для нижней поверхности и лишь порядка сотой доли процента для верхней). Изменение угла 0 также мало меняет область взаимодействия консолей е, определяемую по формуле e = 2arcsin — -j- бдев + 6пр. Как видно из таблицы, значение суммы М,

(0лев + 0пр) практически равно величине 26|р_0, да и сама величина 0 существенно меньше угла раствора характеристического конуса.

Наиболее существенным влиянием угла скольжения является смещение области взаимодействия консолей влево, и этот эффект сказывается на появлении момента крена тх. С другой стороны, приведенные выше соображения позволяют утверждать, что наличие скольжения не вносит заметных изменений в величины интегральных аэродинамических характеристик сх и су.

3. Расчет момента крена на скользящем треугольном крыле. Безразмерный коэффициент момента крена тх рассчитывается по следующей формуле

Мх

С 1 Роо

где о — площадь крыла, I—его размах, а—-—■— скоростной напор набегающего потока.

Известна точная формула для расчета момента крена

Мх = -у 11 ДРдоп г йг .

Тогда тх == ^сряоп о ёс, где о=-^2—безразмерный конический параметр.

Коэффициент давления ср доп, описывающий изменение в давлении, вызванное скольжением, удобно представить в виде суммы трех слагаемых.

С одной стороны, это изменение давления на правой и левой консолях в области I плоскопараллельного течения. Этот добавок в давле-

нии связан с изменением эффективного угла стреловидности По-

лучаемый в результате этих изменений момент крена Дтхпл рассчитывается по следующей формуле:

А^^пл1 -,ъг| +

СР ~СР I (t*lB ‘g Р + *) ,

___122________Z1S- 1 — tg2 у —--------------------------------4-

12 * (H-lB — tg Р)2

С

2

С

(5)

J__________PiB_ I t a ______;---'___j

12 L O^ + 'gf*)2

Здесь и далее нижние индексы «н» и «в» относятся к нижней и верхней поверхностям крыла, а индексы 1, 2, 3 — к течению без скольжения и к правой и левой консолям со скольжением соответственно.

Задача сводится к расчету коэффициентов давления ср для различных значений Хэфф-

Коэффициент давления ср и угол наклона скачка уплотнения

1ня

находятся из соотношений на косом скачке уплотнения при отношении удельных теплоемкостей, равном 1,4.

В случае обтекания нижней поверхности коэффициент давления рассчитывается по формуле

0 sin К sin ап Сп ---- ' — 2d

У'--

1н* Чпоо cos (8« — ап)

где ап, 6п и qnco — параметры течения в плоскости, перпендикулярной передней кромке крыла. Нормальный компонент угла атаки находится по формуле

, tg а

ап — arctg —15— ,

cos у

а угол наклона скачка уплотнения 6П находится методом итераций

Mnoosin28„i — Л tg;

s« i+1 = «л 4 arctg

1 +

ML sin2 i

при этом за нулевую итерацию б«о удобно принять линию Маха

0 = *я + аГСБШ -тг^— .

1 П СО

Здесь М„оо — компонент числа Маха набегающего потока, перпендикулярный передней кромке крыла:

М„ оо= Moo V cos2 а • cos2 X -f- sin2 а .

Формулу для ср необходимо пересчитать по отношению к ско-

1НЛ

ростному напору на бесконечности. Получим

Pi — Pnr- ~ sin 6» sin а_ ср = —---------= 2-------------- (cos2 а cos2 у + sin2 а).

Чоо COS (Ьп ал) >

Для нахождения сРан и ср достаточно в указанные выше формулы подставить значение ХэФФ-

Для решения задачи обтекания на верхней поверхности используются точные формулы течения расширения Прандтля—Майера. Изменение давления за волной разрежения определяется по формуле

*-1

л. I 1 + ^Гм'

Ло \ 1+^М^

где *— отношение удельных теплоемкостей (■* = —

\ Су

Число М после прохождения потока через веер разрежения может быть найдено из уравнения взаимосвязи с углом отклонения потока VI

V- УШ (/Пт у’“г:г‘) - агс,§ ■ (б>

С другой стороны, угол поворота потока v1 определяется суммой VI =^«, + (171, где v<x. находится по формуле, аналогичной (6) с заменой М.1 на М» в правой части. Итак, совокупность приведенных выше формул позволяет рассчитать распределение давления на консолях крыла в области плоскопараллельного потока. Подставляя полученные значения для сР в формулу (5), получим в явном виде выражения для Атх • Значение коэффициента Ат*пл незначительно, поскольку давление на треугольном крыле в плоскопараллельном потоке слабо зависит от величины % (см. рис. 3 и таблицу).

Основной вклад в значение момента крена вносит смещение области взаимодействия консолей в направлении набегающего потока. Образующаяся область создает момент крена Ат^з, вычисляемый в поточной системе координат приближенно по формуле

л *&3 х Г л А Г д .

&тх = —7г ьср а ас ^---------- —• Дс„ а<з .

вз 6^ ] Рвз 6^ J Рвз

Подставляя ДсРвз =--Д1—-- , получим

И-1 к 1 — п\

. р7 Р 1и\ Л1

Шг =----------------------------- — . (7)

ВЗ О 2

М-1 3 Рсх, иоо «

Формула (7) записана в общем виде, по ней величина мо-

жет быть вычислена отдельно как для нижней, так и для верхней поверхности. Здесь при решении задачи вводится вспомогательное вертикальное треугольное крыло (см. сноску), относительно которого рассчитывается течение в области взаимного влияния консолей по формулам линейной теории. В формулу (7) вошли некоторые геометрические параметры этого вспомогательного крыла: у — полуугол раствора крыла, определяемый по углу наклона скачка б« как tgY = tgбиCosx и

приведенная стреловидность пх= £11Л_ . Приведенная стреловидность

вертикального крыла связана с приведенной стреловидностью исходного приближенным соотношением /г, 1—/г2. Для верхней поверх-

ности рассматривалось вспомогательное вертикальное треугольное крыло со звуковыми кромками, т. е. ~(в= агсвт ——.

Щв

Скользящий поток вызывает не только смещение области взаимодействия консолей, но и ее небольшую деформацию, которая изменяет распределение давления в соответствии с формулами (3) и (4). Для расчета момента крена нужно переписать формулы (3) и (4).

в связанной с крылом системе координат (х, г). В новых осях коническая переменная а выражается следующим образом через старую ко-

ническую переменную 3! == —— : о =

(3) и (4) примут вид:

Ср2 £р\

С п — 1 прав п

Ср = ^лев

^рг ’

ср\

• агсвт

Тогда формулы

о-(А? + (^ |

-агсвт

+ Р1-*ёР-с — а^ёХ'Рг + Рг^Х^Ер, Рг*ёХ + °^ё? *ёХ + - НГ^{

А -+-И1-1Е Р-а -+-0-12 -Х.-Н-1 — Н^Х'^ ^

Теперь, зная распределение давления, можно рассчитать коэффициент момента крена по приближенной формуле

Д/и,

деф

;ЩхЛ_!

3(^1

Со ск .

7доп

111

Ниже приводится значение для одной из поверхностей — ниж-

ней или верхней. Выражение для ^тхдеф, хоть и весьма громоздкое,, удалось получить в явном виде:

СЕ /Г

-1-Ж

-210'

-110

-ЧЮ'-

-но

тх

-610'1

Рис. 4

3—«Учены» записки» № 5

Рис. 5

Д тх =

деф

^2Х-^ СР 2 — Ср 1 3[Х1 К

(1 + 1ё2 р)

3 ([А! — tg

(1 + tgгft) (и1 —Мч-^х) . (^1 - *8 Р) (‘2 х - ‘8 Р)

4- и,, --------

2 ' «8Х-1§

<й3 Р 1й ^ эгсвт--------------Ь

. (1 + tg2 Р) (X! _ tg2 Х „ (1 + tgS Р) (Х4 У— tg2 X tg

+ ---------------------^■■= . :---------(- ;у ....- ---------------- аГС81П

<‘ЙХ — *2 р) Ун* — »§2Р 2 у у* — Р ^х —1дР)

*§2х-»аР сръ — ср1

3[Л! ТС

(1 + *Е® Р) (р? + *8 X ) 11

(На — ‘йР) х + *йР) 2

•1*1

X + tg (

^Х

агсвШ------------

На

(1 + 182 ?) и — tg2x я —‘^Х tg

----------------. — ,------------------------- . ._.-агсэт —

Овх + 18 М V $ — ‘й2 Р 2 ^Х + У^ —‘й2!5

Н-1

(8)

Полный момент крена находится как сумма значений, полученных яо формулам (5), (7) и (8)

тг = Атх

+ ЬпЪг + Д тх

деф

(9)

На рис. 4, 5 представлены зависимости тх от а для треугольного крыла с углом стреловидности %=60° для различных значений чисел Маха и для угла р = 5° и 10°. В формуле (9) слагаемые имеют различные знаки: Д/гехпл всегда положительно, ДгПхвз и Д^дгдеф всегда принимают отрицательное значение. Но в целом значение тх отрицательно из-за превалирующего вклада ДтХвз в суммарную величину тх. Величина момента крена тх слабо убывает с ростом числа Моо и имеет существенно нелинейную зависимость по углу атаки а.

Рукопись поступила 10/Х 1988 г.